Златен пресек

Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините a и b и a > b > 0,

грчката буква фи ( ili ) е константна. Неговата вредност е:

Златниот однос се нарекува и  златен пресек (латински: sectio aurea).. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златен сразмер, златен број. божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи phyllotaxis (спирално сортирање листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

 Пресметка 
Две величини a и b се во златниот однос φ ако

Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

Затоа,

Множење со φ дава

што може да се изрази како

Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

и

Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности  φ е секогаш позитивна вредност:
 .

 Алгебра 

 Ирационалнот 
Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

 Контрадикција на израз во најниска вредност 
мини|344x344пкс|Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.
Да се потсетиме дека:
 целината е подолг дел плус пократок дел;
 целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.
Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува:
 n спроти m , исто како што и m спроти n − m,
или, во алгебрата:

Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(n − m), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.

 Извод од ирационалноста на бројот √5 
Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако  е рационално, и  е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

 Најмал полином 
Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

 Роднина на златниот пресек 
Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1

Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек. Се означува со голема буква Фи ():

 Поврзано 
 Златен правоаголник
 Сребрен пресек

 Наводи 


Категорија:Ирационални броеви
Категорија:Математички константи
Категорија:Планиметрија