Лапласова равенка

Лапласова равенка — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:

Решенијата на Лапласовата равенка се хармонични функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

 Дефиниција 
Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи.
Во Декартовиот координатен систем го има обликот:


Во цилиндричниот координатен систем е:

Во сферниот координатен систем е:


Во закривениот координатен систем е:

или 


   Дводимензионален систем 
Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:


Во дводимензионалниот Декартов систем е:


  Гринова функција 
Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:

Дефиницијата на Гриновата функција е:

Ако во Гриновата теорема се стави   се добива:

Сега може да се реши Лапласовата равенка  во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:

равенката се сведува на:

Кога нема рабни услови Гриновата функција е:

Литература
 Sommerfeld A,  Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
 Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
 Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
Лапласова  равенка

Надворешни врски

 Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Example initial-boundary value problems  using Laplace's equation from exampleproblems.com.

 Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method 

Категорија:Равенки
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Хармонични функции
Категорија:Фурјеова анализа