Хелмхолцова равенка

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:

каде  претставува Лапласов оператор,  е бранов број, а  амплитуда.
Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:


 Извод 
Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:
 (1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:
 (2)
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:
 (3)
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:
 (4)
и
 (5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:
 (6)
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција  се добива:

Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.

 Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите 
За Хелмхолцовата равенка:
 (7)
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

Заради тоа равенката (7) станува:
 (8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:

каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

 (9)

и
 (10)
Решенијата од (9) и (10) се:

каде  е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

 Тридимензионално решение во сферни координати 
Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

каде 
 и  се сферни Беселови функции, а : ги претставува сферните хармоници.

 Нехомогена Хелмхолцова равенка 
Нехомогената Хелмхолцова равенка:

се решава со помош на Гриновата функција, односно:

Бидејќи е:

<p align="left">

тогаш е тридимензионална Гринова функција:

Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

а Гриновата функција како:

Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:

 Поврзано 
Лапласова равенка

 Литература 
 Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
 Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
 Хелмхолцови равенки

Надворешни врски
 Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

 Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
 Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain

Категорија:Равенки
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Херман фон Хелмхолц