Бесконечна комбинаторика

Бесконечна комбинаторика или Комбинаторна теорија на множества — проширување на идеите за поврзување на комбинаториката со бесконечните множества. Работите коишто се проучуваат во рамки на бесконечната комбинаторика вклучуваат: континуелни графови и дрвја, проширувања на Ремзиевата теорема и Мартиновата аксиома. Скорешните проширувања се однесуваат на комбинаториката на континуумAndreas Blass, Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum, Chapter 6 in Handbook of Set Theory, edited by Matthew Foreman and Akihiro Kanamori, Springer, 2010. и комбинаториката на кардинални броеви.Todd Eisworth, Successors of Singular Cardinals Chapter 15 in Handbook of Set Theory, edited by Matthew Foreman and Akihiro Kanamori, Springer, 2010

 Ремзиева теорија за бесконечни множества 
Ако претпоставиме дека κ, λ се редни броеви, m е кардинален број и n е природен број, тогаш записот:

претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството [κ]n од подмножества со n елементи од  на m делови има хомогено множество од ред λ. Хомогеното множество во овој случај е подмножество од κ, така што секое подмножество со n елементи е во истиот елемент на поделбата. Кога m е 2, тоа обично се избегнува.

Под претпоставка дека важи аксиомата на избор, тогаш нема редни броеви κ со κ→(ω)ω, па така n обично се јавува како конечен број. Проширувањето во коешто n се јавува како бесконечен број може да се прикаже со записот:
,

што претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството на конечни подмножества од κ на m делови има подмножество од ред λ, така што за секој конечен n, сите подмножества со големина n се во истиот елемент на поделба. Кога m е 2, тоа обично се избегнува.

Друга варијанта е записот:
,

што е скратен облик на објаснувањето дека секое обојување на множеството [κ]n од подмножества со n елементи од κ со 2 бои има подмножество од ред λ, така што сите елементи од [λ]n се обоени со првата боја или подмножество од ред μ, така што сите елементи од [μ]n се обоени со втората боја.

Некои особини на теоријата, од каде што произлегува дека  е кардинален број, се следните:
 за сите конечни n и k (Ремзиева теорема);
 (Ердеш-Радоева теорема);
 (Сјерпинскиева теорема);
; и
 (Ердеш-Душник-Милерова теорема).

Во случаите без избор, особините на поделбата со бесконечни експоненти може да биде веродостојна и некои од нив се добиени како последица на аксиомата на одредување. Доналд Мартин докажал дека аксиомата на одредување укажува дека важи:  
.

 Големи кардинални броеви 
Како големи кардинални броеви и нивните особини може да се издвојат следните:
 слаби компактни кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)2;
 α-Ердешови кардинални броеви κ коишто се најмалите броеви што го задоволуваат условот κ→(α)<ω; и
 Ремзиеви кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)<ω.

 Поврзано 
 Комбинаторина
 Теорија на множества
 Кардинален број

 Наводи 

 Литература 







Категорија:Комбинаторика
Категорија:Теорија на множества