Транслација (геометрија)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).

Основна поставка: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Само се лизга паралелно. интерактивен

Означување и пресметување
Честопати трансформацијата транслација за вектор v се означува со: Tv.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека v  е вектор со почетна точка P=(xp,yp) и крајна точка Q=(xq,yq).

Го формираме соодветниот полупречник-вектор rv на v, т.е. r е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:
   каде што      и   , т.е. крајната точка на r e     .
Тогаш: 
 .

Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш  
   ,    и     е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).

Особини на транслација
Транслација како трансформацијата ги има следните особини: интерактивeн
 Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
 Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
 По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
 По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
 По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
 По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
 Две последователни транслации се повторно транслација: TuTv=Tu+v.
 Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. TuTv=TvTu.
 Инверзната транслација на Тv е Т-v каде што -v е вектор со истата должина и правец како v, а обратна насока, т.е. Тv+Т-v=Т0 (нема поместување).

Обопштување
Нека v е вектор во Евклидов простор ℝn, a r нека е соодветниот полупречник-вектор со крајната точка R.
Транслација на ℝn за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
На пример, за n=3, ако A е произволна точка, Тv(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Тv((0,0,0))=R.

Претставување на транслација со матрици
Секоја транслација Tv за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица.  

Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.

Нека v е вектор во Евклидов простор ℝ3, a r=<rx,ry,rz> нека е соодветниот полупречник-вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица: 

Потоа, нека A=(ax,ay,az) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица: 

Тогаш:

Значи, (како што треба) имаме:

Наводи

 Поврзани теми 
 Складност
 Ротација
 Рефлексија
 Изометрија

 Надворешни врски 
 интерактивен



 интерактивен

Категорија:Многуаголници
Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Геометрија
Категорија:Математичко образование