Правоаголен триаголник

Во геометријата, правоаголен триаголник е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол од 90°. интерактивен Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со c. Другите две страни се викаат катети и се означуваат со a и b. Спротивно на страната a е темето А и аголот α, a спротивно на страната b е темето В и аголот β.

Основни поставки: 
 Аглите α и β се остри агли и се комплементни.
 Правиот агол се наоѓа помеѓу страните a и b. Значи тие се меѓусебно нормални и a e висината на правоаголниот триаголник со основа b.
 Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само акоКој било доказ на косинусовата теорема


Формули и особини

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · b · h = ½ × b × h

Периметарот е збир на должините на трите страни


Плоштина е: 
 Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната а е висината на основата b кај правоаголен триаголник имаме: 
 . 

Пример: Нека е даден правоаголен триаголник со катета a=5 cm и хипотенуза c=13 cm. Според Питагоровата теорема

Периметарот e: L=a+b+c=5 cm+12 cm+13 cm=30 cm. Плоштината е: ½·a·b=½·5cm·12cm=30 cm²

Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).

Пример: Нека е даден триаголник со катети а = b = 10mm. Според Питагоровата теорема

Периметарот e: L=a+b+c=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: ½·a·b=½·10mm·10mm=100mm²

Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите α и β се еднакви, α = β =45°. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.

Тригонометрија

Тригонометријата е гранка на математиката во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180°. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

Впишана кружница
Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има впишана кружница (види триаголник).
Поставка: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот r на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:


100px150px150pxВпишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали.Опишана кружница како последица од Талесовата теорема. Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината Mc на хипотенузата c.

Талесова теорема

Талесова теорема гласи: Секој периферен агол над пречникот на кружница е прав агол.

Опишана кружница 
Поставка: (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата c на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:

Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

130п115пТежиштето e заеднички пресек на тежишните линии.Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија CMc e c/2 тогаш ΔABC e правоаголен триаголник.

Тежишна линија на хипотенуза
Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е медијана.
Теорема: Нека CMc е тежнишната линија до најдолгата страна c=AB на триаголникот ΔABC. Должината на CMc е еднаква на c/2 ако и само ако ΔABC е правоаголен триаголник. интерактивен (Доколку триаголник нема најдолга страна, тој не е правоаголен.)
Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).

Наводи

 Поврзани теми 
Триаголник
Питагорова теорема, Косинусова теорема
Рамностран триаголник, Рамнокрак триаголник
Складност на триаголници, Сличност на триаголници
Талесова теорема

 Надворешни врски 
 интерактивен
 интерактивен</ref>
 интерактивен

Категорија:Триаголници
Категорија:Тригонометрија
Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометриски фигури
Категорија:Геометрија
Категорија:Математичко образование