Прекината случајна променлива

Во веројатноста, прекината случајна променлива (дискретна случајна променлива) е случајна променлива со конечен број или со изброив број елементи. (Случајна променлива e непрекината ако нејзиното множество на вредности е интервал или унија од интервали.)

Подолу ја користиме буквата Х како „генерична ознака“ на случајна променлива. Вообичаено е да се користат големи букви од латиница како X, Y и Z за случајни променливи, а соодветните мали букви за нивни елементи.

Веројатноста на елементот х од Х се означува со Pr(Х=х) или со P(Х=х) или со P(х) или со p(х). Од основните принципи на веројатноста (види веројатност, случајна променлива): 
     и    

Прекинати распределби
Случаен опит или експеримент со прекината случајна променлива се вика прекината распределба. Неколку познати прекинати распределби се:
Бернулиевa B(1,p)
Биномна B(n,p)
Геометриска G(p)
Логаритамска
Поасонова
Прекината рамномерна U(N)
Хи-квадратна
Хипергеометриска

Закон на распределба
Распределба на веројатностите кај прекината случајна променлива се вика Закон на распределба. Значи Законот на распределба е приказ на веројатностите за секоја вредност на Х. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
Кратенка за Законот на распределба е PDF (анг. Probability Distribution Function) (обично). Оваа кратенка важи и кај непрекинати прекинати променливи (анг. Probability Density Function). 
Кај прекинатата случајна променлива, се дефинира PDF-от само за вредностите на случајната променлива, а за други реални броеви законот е недефиниран (обично). 
За табеларен приказ на PDF-от со случајна променлива Х како насловни имиња во табелата се користат Х=х и Pr(Х=х) (за веројатностите).
За функциски приказ на PDF-от се користи мала буква f за функцијата, а за променливата се користи мала буква од случајната променлива. На пример, ако Х е случајната променлива, со f(x) се означува соодветниот PDF. Доколку елементите на X се подредени цели броеви, честопати се користи k наместо x и пишуваме f(k).

За графички приказ на PDF-от, едноставно се внесуваат точките користејќи го табеларниот приказ (веројатностите се на y-оската).
Од основните принципи на веројатност, збирот на сите веројатности на елементите на случајната променлива Х е 1, т.е.

Кумулативна распределба
Кумулативна распределба на една прекината случајна променлива Х е приказ на збирот на веројатностите на елементите помали и еднаква на x∈ℝ. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
Кратенка за кумулативна распределба е CDF (анг. Cummulative Distribution Function) (обично). И називот и кратенката важат и кај непрекинати прекинати променливи.
Се дефинира CDF-от за сите реални броеви, а не само за вредностите на Х.
За функциски приказ на CDF-от се користи голема буква F за функцијата, а мала буква од случајната променлива за променливата. На пример ако Х е случајната променлива, со F(x) се означува соодветниот CDF.

При прекината случајна променлива Х, секој елемент на Х има ненегативна веројатност, па се појавува скок во CDF. Значи CDF-от не е мазна непрекината функција! 
Од основните принципи на веројатноста, 
Вредноста на CDF-от пред првиот (најмал) елемент на Х е 0.
Вредноста на CDF-от во и после последниот (најголем) елемент на Х е 1.

Означување
Кардиналноста на едно множество А е бројот на (различните) елементи на множеството и се означува со #A. 
Конечна случајна променлива Х: Значи #Х=N, за позитивен цел број N, N≥2.  
Изброива случајна променлива Х: Значи Х≅ℕ

Елементите на множеството Х се реални броеви и се подредени од најмал кон најголем број. 
Првиот елемент на Х се означува со х1, вториот елемент со х2, итн.
Соодветно се означуваат веројатностите, односно Pr(х1)=p1, веројатноста Pr(х2)=p2, итн.

За конечна случајна променлива X со #X=N, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:
PDF на X со #X=N......

За изброива случајна променлива X со #X=ℕ, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:
PDF на X со #X=ℕ............

Мерки на прекината случајна променлива
Очекувана вредност
Очекувана вредност E(x)  
   односно   
Поради соодветноста на формулите, честопати наместо „очекувана вредност“ се користи и терминот аритметичка средина од статистиката како и означување μ.

Дисперзија (варијанса)
Дисперзија σ2
  односно  

Стандардно отстапување 
Стандардно отстапување σ

Примери
100п|right
Пример: Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна). 
Соодветна прекината (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)
 PDF на опитот CDF на опитотX=x12345678910 f(x)0,10,10,10,10,10,10,10,10,10,1x∈(-∞,1) [1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10)[10,∞)F(x)00,10,20,30,40,50,60,70,80,91200п|center|PDF-от на опитот (Геогебра)200п|center|CDF-от на опитот (Геогебра)

Очекуваната вредност:E(x) = N+1/2=10+1/2 = 11/2 = 5,5Дисперзијата: σ2 = (N²-1)/12 = (10²-1)/12 = 99/12 = 8,25 Стандардното отстапување: σ ≈ 2,87

Забелешка: floor е математичка функција од ℝ во ℤ со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.

Пример: Опитот е: Гаѓање по цел сè додека не погоди со веројатност на погодок p=0,6. Се запишува бројот на гаѓања.
Соодветен прекината (изброива) случајна променлива е: X={1,2,3,...,n,...}, т.е. X=ℕ. Веројатноста е: Pr(X=n)=0,4n-1·0,6. (Ова е геометриската распределба G(0,6).)
 PDF на опитот CDF на опитотX=k123...12... Pr(X=k)=f(k)0,60,240,096...0,000...x∈(-∞,1) [1,2)[2,3)[3,4)...[12,13)... Pr(X<x)=F(x)00,60,840,936...1,000...200п|center|PDF-от на опитот (Геогебра)200п|center|CDF-от на опитот (Геогебра)

Очекуваната вредност:E(x) = 1/p=1/0,6 = 1,667Дисперзијата: σ2 = (1-p)/p² = (1-0,6)/0,6² = 1,111Стандардното отстапување: σ = 1,054

Претставување на прекината распределба со Геогебра
Првите три дефиниции зависат од опитот. Сите дефиниции се внесуваат во полето за внос.
N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избере некој конечен број).
list1=„X“
list2=„Pr(Х=x)“
Следните дефиниции се исти за сите прекинати случајни променливи.
list3=Sequence[(Element[list1,k],Element[list2,k]),k,1,N] Точките од Законот на распределбата. (PDF)
list4=Sequence[Sum[Take[list2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности. 
list5=Sequence[(Element[list1,k], Element[list4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
list6=Sequence[(Element[list1,k+1], Element[list4, k]), k, 1, N-1] Десните точки на отсечките.
list7=Sequence[Segment[Element[list5, k], Elementlist6, k, k, 1, N-1]  Внатрешните отсечки. (CDF)
a=Segment[(Element[list1,1]-5,0),(Element[list1,1],0)]  Почетната отсечка. (CDF)
b=Segment[(Element[list1, Length[list1]], 1), (Element[list1, Length[list1]] + 5, 1)]  Крајната отсечка. (CDF)

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на латиница и кирилица).
N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избира некој конечен број).
листа1=„X“
листа2=„Pr(Х=x)“
листа3=Низа[(Елемент[листа1,k],Елемент[листа2,k]),k,1,N]  PDF
листа4=Низа[Сума[ПодЛиста[листа2, 1, k]], k, 1, N] Кумулативните вредности. 
листа5=Низа[(Елемент[листа1,k], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
листа6=Низа[(Елемент[листа1,k+1], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Десните точки на отсечките. 
листа7=Низа[Отсечка[Елемент[листа5,k],Елементлиста6,k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)
a=Отсечка[(Елемент[листа1,1]-5,0),(Елемент[листа1,1],0)]  Почетната отсечка. (CDF)
b=Отсечка[(Елемент[листа1, Должина[листа1]],1),(Елемент[листа1, Должина[листа1]]+5,1)]  Крајната отсечка. (CDF)

Наводи

Поврзани теми
Веројатност
Случајна променлива
Непрекината случајна променливa

 Надворешни врски 

 интерактивен

Категорија:Веројатност
Категорија:Статистика
Категорија:Распределби
Категорија:Математика