Биномна распределба

Биномна распределба B(n, p ), n∈ℕ, p∈(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува n пати Бернулиев опит со веројатност на успех p запишувајќи го бројот k на успеси во n-тите повторувања.

Одлики на биномната распределба B(n,p)
Биномна распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p на Бернулиевиот опит заедно со бројот на повторувања n.
Биномна распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со n+1 елементи: X={0,1,2,...,n}.
Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во n повторувања на Бернулиевиот опит со веројатноста на успех p, k∈X.

Пример: B(5;0,8). 
B(5;0,8) значи биномен опит каде што се повторува n=5 пати Бернулиев опит со p=0,8. Има n+1=5+1=6 исходите, т.е. случајната променлива е X={0,1,2,3,4,5}. Елементот k=0 на Х е исходот каде што во 5-те повторувања на Бернулиевиот опит, немале ниту еден успех, елементот k=1 е каде што имало точно еден успех, ..., а елементот k=5 е каде што во 5-те повторувања на опитот сите биле успешни.

Во табелата се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит). Овие не се исходи на биномниот опит, бидејќи во опитот редоследот не е важен. Тука само гледаме на колку начини можат да се добијат k успеси во n повторувања. На пример, има само еден начин да се добие k=0, односно сите исходи на опитот да се неуспеси 00000.

k012345 000001000011000001110111111111  01000101000101110111   00100100100100111011   00010100010111001110   00001011001001111110    0101010101     0100110110     0011011001     0010111010     0001111100  #15101051

Во последниот ред од табелата e запишан бројот на подредените исходи во таа колона. Гледаме дека тој број го следи т.н. биномен коефициент 

каде што знакот ! значи факториел, т.е. n!=n·(n-1)·(n-2)...·(2)·(1) (види и комбинаторика).

Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиевиот опит е независно од минатите како и од идните повторувања, веројатноста на секој подреден исход со k успеси во n повторувања е
.

Следува дека веројатноста на секоја елемент k на Х e производот на овие два броја, односно

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.


Распределби на биномна распределба
Биномен опит B(n,p) ја има дискретната случајна променлива: X={0,1,...,n}. 
Закон на распределба - PDF на B(n,p)
 PDF на B(n,p)X=kБиномен коефициент Pr(X=k)=f(k)012.........n

Кумулативна распределба - CDF на B(n,p)
Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.
 CDF на B(n,p)x∈ℝ F(x)x<000≤x<1(1-p)n......x≥n1

Мерки на биномен опит
Очекувана вредност E(x)   

Дисперзија σ2   

Примери
Пример (прод.): B(5,0.8) Приказ на распределбите, ...
PDF-от на B(5,0.8)X=kf(k)=Pr(X=k)0 1 · 0,80·0,25=0,00031 5 · 0,81·0,24=0,0064210 · 0,82·0,23=0,0512310 · 0,83·0,22=0,20484 5 · 0,84·0,21=0,40965 1 · 0,85·0,20=0,3277Σ1,0000CDF-от на Б(5,0.8)xF(x)x<000≤x<10,00031≤x<20,00672≤x<30,05793≤x<40,26274≤x<50,6723x≥51200п|center200п|center

Очекувана вредност: E(x)=np=5·0,8=4Дисперзијата е: σ2=np(1-p)=5·0,8·0,2=0,8Стандардното отстапување е: σ ≈ 0,89


Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста во пет стрелања стрелецот да ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5;0,8) и 1-Pr(x<3)=1-0,0579=0,9421=94,2%.

Претставување на биномната распределба со Геогебра
За графички приказ на PDF-от, т.е. законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на биномна распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра. интерактивен

Дефиниции специфични за биномната распределба се:
n=10    (или соодветен лизгач)

p=0,8  (или соодветен лизгач)

N=n+1

list1=Sequence[k-1,k,1,N]    Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]   Ја дефинира list2 со веројатностите. 
Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:
листа1=Низа[k-1,k,1,N]

листа2=Низа[БиноменКоефициент[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]
Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).

Наводи

Поврзано
Бернулиев опит
Дискретна случајна променлива
Опит (теорија на веројатноста)
Веројатност

Надворешни врски
 интерактивен

 интерактивен


 со алгоритми за генерирање на случајни податоци

Категорија:Веројатност
Категорија:Статистика
Категорија:Распределби
Категорија:Математика
Категорија:Прекинати распределби