Делумна корелација

Делумната  корелација („парцијална корелација“) го покажува степенот на праволиниското слагање на варијации на зависната променлива и едната независна променлива, при што влијанието на другата независна променлива е исклучено.Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје

 Формална дефиниција 
Формално, делумната корелација помеѓу Х и Y за дадена група на n контролни променливи Z={Z1,Z2,…Zn}, запишано ρXY•Z, е корелација помеѓу резидуалите RX и RY кои произлегуваат од линеарната регресија од X со Z и од Y со Z,соодветно. Всушност, корелацијата од прв ред (кога n=1) е ништо друго туку разлика помеѓу корелација и производот од преносливите корелации поделени со производот од коефициентите на отуѓување на преносливите корелации.Коефициентот на отуѓување, и неговата врска со заедничката варијанса преку корелацијата се достапни во Гилфорд(1973, стр.344-345).

 Пресметка 
 Со користење на линеарна регресија 
Едноставен начин да се пресмета делумната корелација за одредени податоци е да се решат проблемите со две поврзани линеарни регресии, да се најдат резидуалите, и да се пресмета корелација помеѓу нив.Ако запишеме xi, yi и zi примероци од одредени заеднички веројатности претставени преку X, Y и Z, решавањето на проблемот со линеарната регресија се сведува на пронаоѓање на n-димензиони вектори 



со тоа што N ќе биде бројот на примероци на  скаларниот производ помеѓу векторите v и w. Имајте на ум дека во некои имплементации регресијата вклучува константни термини така што матрицата ќе има дополнителна колона од нив. 
Тогаш резидуалите се:

И примерокот за делумна корелација е

Со користење на рекурзивна формула:
Може да биде пресметковно  скапо  да се решат проблемите со линеарна регресија. Всушност,n-тиот дел од делумната корелација(со |Z| = n) може лесно да се пресмета од третиот (n - 1) дел на делумната корелација. Нултиот дел од делумната корелација ρXY•Ø  е дефиниран да биде  редовен коефициент на корелација ρXY.
Таа го зафаќа ,за секој :

Наивно спроведување на оваа пресметка, како рекурзивен алгоритам  дава време за експоненцијална комплексност. Како и да е, оваа пресметка  има проблеми со преклопување, како што се користење на динамично програмирање или едноставно  кеширање на резултатите  од  рекурзивните повици на приносите на комплексноста.
Имајте на ум во случај кога Z е една променлива, ова се сведува на:

 Со користење на матрична инверзија 
Во  , друг пристап којшто овозможува сите делумни корелации да бидат пресметани помеѓу  било кои две променливи Xi и Xj во збир од V од кардиналните n, со оглед на сите останати  ,ако корелационата матрица (или алтернативната коваријансна матрица) Ω = (ωij),каде што ωij = ρXiXj,е инверзна. Ако го дефинираме P = Ω−1, ќе добиеме:

 Интерпретација 
 Геометриска 
Нека три променливи X, Y, Z (каде x e независна променлива, y e зависна променлива, и z e контролната или екстра променлива) бидат избрани од заедничка дистрибутивна веројатност преку n променливи V.Понатаму нека, vi, 1 ≤ i ≤ N биде N , n-димензионални примероци преземени од заедничката дистрибутивна веројатност преку V.Потоа ги вклучуваме N-димензионалните вектори x(формиранo од страна на последователните вредности на X преку примероците), y( формиранo преку вредностите на Y) и z(формирано преку вредностите на Z). Може да се согледа дека резидуалите RX кои произлегуваат од линеарната регресија на X користејќи го Z, ако биде разгледуван како N-димензионален вектор , којшто има нула скаларен производ со векторот z генериран од Z.
Истото се однесува на резидуалите RY генерирајќи го векторот . Посакуваната делумна корелација е косинусна функција од аголот φ помеѓу проекциите rX и rY од x и y, соодветно, кон хипер рамнината и нормално кон z.

 Како условен тест на независност 
Со претпоставката дека сите вклучени променливи се многуваријантни Гаусивни, делумната корелација ρXY•Z е нула ако и само ако X e условно независна од Y за даденo Z. Ова својство не се користи за во општ случај. За да се тестира дали примерокот за делумна корелација   исчезнува ја користиме Фишеровата Z-трансформација за делумна корелација:

Нулта хипотеза е    , и е тестирана наспроти двостраната алтернативна хипотеза . Ја одбиваме нулта хипотеза H0 со ниво на значајност α ако:

Каде што Φ(•) е кумулативно дистрибутивна функција на Гаусовата распределба со средна вредност нула и стандардно отстапување еден, и N како големина на примерокот.Забележете дека оваа  Z-трансформација е приближна и дека вистинската распределба на коефициент на корелација кај примерокот(делумен)  не е јасна. Сепак точниот t-тест е заснован врз основа на комбинација од коефициентот на делумната регресија, делумниот коефициент на корелација и делумните разлики кои се на располагање. Распределбата на примерокот со делумна корелација бил опишан од страна на Фишер.

 Полуделумна корелација (дел корелација) 
Полуделумната корелација е слична на статистика на делумната корелација. Двете мерки на варијанса по одредени фактори се контролирани за, но за да се пресмета полуделумната корелација има трета променлива константа или за X или за Y, додека за делумната корелација има трета променлива и за двете. Полуделумната корелација мери единствена и заедничка варијанса додека делумната корелација мери единствена варијанса. Полуделумната корелација може да се гледа како попрактична и релевантна, бидејќи таа е прилагодена со (т.е во однос на) вкупниот варијабилитет на зависната променлива. Спротивно на тоа, таа е помалку теоретски корисна, бидејќи таа е помалку прецизна за уникатниот придонес  на независната променлива. Иако тоа може да изгледа парадоксално,  полуделумната корелација од X со Y е секогаш помала или еднаква на делумната корелација од X со Y.

 Употреба во анализа на временските низи 
Во анализата на временските низи, функцијата на делумната автокорелација (понекогаш функција на делумната корелација) на временски редови е дефинирана,за заостанат h, како 

 Наводи 

Категорија:Математичка статистика
Категорија:Анализа на временски редови