Нормалност (математика)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°. интерактивен } Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.
При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче..
130п130п130п130п130пНормални прави.Нормални прави формираат 4 прави агли.Нормални отсечки.Означување на прав агол (нормалност).

 Означување 
Симбол за нормалност е   . На пример,  значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.
Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно    е еквивалентно со   , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако    и    тогаш    .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со  и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува &perp; или &#x22а5;. За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x. Во уникод има и симболи &#x22BE; (⊾) и &#x221F; (∟).

Во LaTeX, симболот     за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка. 

Нормални прави и наклон
Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.  интерактивен

Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така што a1·a2= -3·1/3 = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).

Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти). 
 Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
.

Нормала на права низ точка во рамнина
Податотека:normala.gifКонструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода! 
Конструкција со шестар и линијар
Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m. интерактивно
Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).  
Означи ја точката со буквата С.
Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки. 
Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

Алгебарска равенка
Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права 

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е 

Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.

Нормала и растојание
Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти. 
Растојание помеѓу точка и права во рамнина
За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D  на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е 
со што равенката на n e

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина
Види паралелни прави

Растојание во 3Д простор
Види аналитичка геометрија

Нормали на крива
Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е 

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е


Нормалност и вектори
Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д простор
 Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е
  ,  
Рамнина зададена во општ облик е

Поставка: Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

Формула: Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e

 Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.
Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

Поставка: Рамнините се нормални ако полупречничките вектори <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

Обопштување
Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.

Наводи

Поврзано
Права (геометрија)
Прав агол
Наклон
Паралелни прави
Ортогоналност
Аналитичка геометрија

Надворешни врски


Категорија:Елементарна геометрија
Категорија:Геометрија
Категорија:Математика
Категорија:Математичко образование