Бет-број

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква  (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква  (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа .

 Определба 
Бет-броевите се утврдуваат вака:

нека

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви . Со P(A) го означуваме партитивното множество на A, т.е. множеството на сите подмножества на A. Потоа задаваме

што е кардиналноста на партитивното множество на A ако  е кардиналноста на A.

Така зададено,

се кардиналностите на

па вториот бет-број  е еднаков на  (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број  е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија  има кардиналност .

 Поврзаност со алеф-броевите 
Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу  и , следи дека 

Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме 

за сите ординали .

Хипотезата за континуумот е еднаква на

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е., 

за сите ординали .

 Поединечни кардинали 
 Бет-нула 
Бидејќи ова по дефиниција е  (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност  се следниве:

 природните броеви N
 рационалните броеви Q
 алгебарските броеви
 пресметливите броеви и пресметливите множества
 множеството на конечни множества на цели броеви

 Бет-еден 

Кардиналност  имаат следниве множества:

трансцендентните броеви
ирационалните броеви
реалните броеви R
комплексните броеви C
Евклидов простор Rn
партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции N → Z, честопати означени како ZN)
множеството на низи од реални броеви, RN
множеството на сите непрекинати функции од R до R
мноежството од конечни подмножества на реални бреови

 Бет-два 
 се нарекува и 2c (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност  се:

 Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
 Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
 Множеството на сите функции од R до R (RR)
 Множеството на сите функции од Rm до Rn
 Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
 Стоун-Чеховите компактификации на R, Q и N

 Бет-омега 
 (pronounced beth omega) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

Воопштување
Понекогаш се користи поопштиот симбол  за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

 ако λ е лимесен ординал.

Значи, 

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

 Поврзано 
 Алеф-број

Наводи
 T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995, стр. 5.

Категорија:Кардинални броеви
Категорија:Бесконечност