Делител

Делител на еден цел број , наречен и фактор на , е цел број кој го дели  без да има остаток.

Објаснување
Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако  тогаш  е деленик,  е делител, а  е количник.
Општо земено, за сите ненуларни цели броеви  и ,  го дели , што се пишува:

ако постои цел број  така што . Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, n и −n се нарекуваат тривијални делители на n. Делителот на n кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.

Примери
7 е делител на 42 бидејќи , па така велиме дека . Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Множеството од сите позитивни делители на 60, , делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:

центар|250п

Други поимувања и факти

Постојат извесни елементарни правила: 
 Ако  и , тогаш . Ова е транзитивна релација.
 Ако  и , тогаш  или .
 Ако  и , тогаш НЕ е секогаш точно дека  (на пр.  и  но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога  и , тогаш  е точно, како и .Така имаме и 

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодно место U+2223 во TeX се пишува како \mid: . Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX \nmid: . Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако , а НЗД, тогаш . Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако  е прост број и  тогаш  или  (или обете).

Еден позитивен делител на  што е различен од  се нарекува вистински делител или аликвотен дел на . Бројот кој не може рамномерно да го подели , туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на .

Еден цел број  чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на  е производ од прости делители на  дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на  е мултипликативна функција , што значи кога два броја  и  се односно прости, тогаш . На пример, ; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја  и  имаат заеднички делител, тогаш  може да не е точно. Збирот на позитивните делити на  е друга мултипликативна функција  (на пр. ). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на  е дадена со

тогаш бројот на позитивни делители на  изнесува

и секој од делителите го има обликот

каде  за секој 

Може да се види дека за секој природен број  важи неравенството .

Можеме и да покажеме

дека

Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број n има очекуван
околу  очекувани делители.

Деливост на броевите
Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви  во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група .

 Поврзано 
 Аритметичка функција
 Евклидов алгоритам
 Дропка

Наводи

Литература
 Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (III изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; дел B.
 Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, NY, 1944.

 Надворешни врски 
 Делител  - Математика за сите 

Категорија:Аритметика
Категорија:Делење