Квадратна равенка

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:


мини|десно|200п|Графикони на реалните квадратни функции ax2 + bx + c. Секој коефициент варира посебно
Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

 Решавање на квадратната равенка 

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:


Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:



Согласно формулата за бином на квадрат:



на левата страна на равенката додаваме и одземаме :







од каде се добива:



Ја коренуваме равенката и конечно се добива:





 Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата 
Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:



кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

 ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
 ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
 ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

 Факторизација на квадратната равенка 
Ако е зададена квадратната равенка:



која има решенија условно означени со x1 и x2, тогаш равенката може да ја запишеме како:



Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

 Виетови формули 
За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:





кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

 Равенки кои се сведуваат на квадратни 
Равенките од облик:



може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:



со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:



која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:



и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

 Примери 
 Да се реши равенката: 
Според формулата имаме:







Значи решенија на равенката се: x1=1 и x2=-3

 Да се реши равенката: 
Имаме:







Добиените решенија се комплексно конјугирани.

 Да се реши равенката: 
Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:



и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:



За решенијата на оваа равенка имаме:







Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:


тогаш:



Така се добиваат четири решенија, и тоа:





Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:









 Поврзано 
 Линеарна равенка
 Кубна равенка
 Равенка од четврти степен
 Квадратна функција
 Парабола

Категорија:Полиноми
Категорија:Елементарна алгебра
Категорија:Равенки