Систем на линеарни равенки

Систем на линеарни равенки — множество на линеарни равенки од типот:



Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите , кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:

Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.

Воопштено, систем со m линеарни равенки и n непознати се запишува на следниов начин:


каде  се непознатите, а броевите  се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:


Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:

каде A е матрица m×n, x е вектор колона со n члена, а b е вектор колона со m члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.

Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:
 системот нема решение (системот е противречен)
 системот има точно едно решение
 системот има бесконечно многу решенија

Систем со облик:

се нарекува хомоген систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата A.

Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност O(n2). Некои од највообичаените специјални случаи се:
 За проблеми од обликот Ax = b, каде A е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
 За проблеми од обликот Ax = b, каде A е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата A се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.

 Литература 
 Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

 Поврзано 
 Гаус-Зајделов метод
 Крамерово правило
 Метод со замена

 Надворешни врски 
   Систем на линеарни равенки и неравенки на мрежното место е-математика
 Онлајн линеарен решавач
 Систем линеарни равенки со калкулатор 
 Системи линеарни диференцијални равенки 
  Решавање линеарни системи 

Категорија:Апстрактна алгебра
Категорија:Алгебра
Категорија:Линеарна алгебра
Категорија:Равенки
Категорија:Математика