Правилен многуаголник

Правилен многуаголник — прост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сите рабови се со иста должина).

Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.

 Правилен двоаголник: „двојна отсечка“
 Рамностран триаголник (3 раба)
 Квадрат (4 раба)
 Правилен петаголник (5 раба)
 Правилен шестаголник  (6 раба)
 Правилен седумаголник (7 раба)  
 Правилен осумаголник  (8 раба)
 Правилен десетаголник (10 раба)
 Правилен дванаесетаголник (12 раба)
Во извесни случаи сите овие полиаголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта претставката правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петаголник.

 Својства 

Секој агол на еден правилен n-аголник има мерка од  (или подеднакво, на ) степени.

Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен n-аголник е  радијани (или  вртења).

Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се сокружни точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.

Правилен n-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на n се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.

За  бројот на дијагонали е , т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.

 Плоштина 
мини|десно|350п|Правилни испакнати и ѕвездести многуаголници со 3 до 12 темиња, означени со нивните Шлефлиеви симболи.
Плоштината на правилен n-аголник е

каде t е должината на работ. Исто така плоштината е полуобиколка помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.

За t=1 имаме

со следниве вредности:
РабовиНазивТочна плоштинаПриближна плоштина3рамностран триаголник0,4334квадрат11,0005правилен петаголник1,7206правилен шестаголник2,5987правилен седумаголник 3,6348правилен осумаголник4,8289правилен деветаголник 6,18210правилен десетаголник7,69411правилен единаесетаголник 9,36612правилен дванаесетаголник11,19613правилен тринаесетаголник 13,18614правилен четиринаесетаголник 15,33515правилен петнаесетаголник 17,64216правилен шеснаесетаголник 20,10917правилен седумнаесетаголник 22,73518правилен осумнаесетаголник 25,52119правилен деветнаесетаголник 28,46520правилен дваесетаголник 31,569100правилен стоаголник 795,5131000правилен илјадааголник 79577,21010000правилен десет илјадааголник 7957746,893

Плоштините се помали од оние кај кружници со иста обиколка, и се (заокружени) еднакви на 0,26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на n до границата π/12).

 Симетрија 
Групата на симетрија на правилен n-аголник е диедарска група Dn (од ред 2n): D2, D3, D4,... Се состои од ротациите во Cn (постои вртежна симетрија на ред n), заедно со рефлективна симетрија во n оските кои минуваат низ центарот. Акоn е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ средишната точка на спротивните рабови. Ако n е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.

 Ѕвездести правилни многуаголници 
Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат ѕвезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петаголникот, но сврзува наизменични вертикали.

Примери
 Пентаграм — {5/2}
 Хептаграм — {7/2}, {7/3}
 Октаграм — {8/3}
 Енеаграм — {9/2}, {9/4}
 Декаграм — {10/3}

 Полиедар 
Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.

 Поврзано 
 Многуаголник
 Рамностран многуаголник

 Надворешни врски 

 Опис на правилни многуаголници со интерактивна анимација 
 Впишување на празилен многуаголник со интерактивна анимација 
 Плоштина на правилен многуаголник Три различни формули, со интерактивна анимација 

Категорија:Видови многуаголници
Категорија:Евклидова геометрија

de:Polygon#Regelmäßige Polygone