Извод од производ

<div class="plainlinks messagebox cleanup metadata"></span>Оваа статија подетално се занимава со поимот Извод од производ на функции.  Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално сметање.</div>

При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.

 Како се бара извод од производ на две функции? 
Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:

Нека  и  се реални функции од една променлива, определени на интервалот  и диференцијабилни во точка . Тогаш и нивниот производ  е диференцијабилен во точката  и при тоа важи:

Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот , тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:

 Доказ 

Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите  и  во точката . Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:





Бидејќи по дефиниција: , имаме:










Со тоа доказот е завршен.

 Случај со повеќе од две функции 

Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.

Нека се зададени функции  и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка . Тогаш имаме:

 Извод од производ на три функции во точка :


 Извод од производ на четири функции во точка :




 Поврзано 
 Диференцијално сметање
 Извод од количник
 Интегрално сметање

Категорија:Математика