Основна теорема на анализата

Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.

Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.

 Формулација на теоремата 
Формално, теоремата е зададена на следниов начин:
 Нека  е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција , нека оваа функција е интеграбилна на  и нека функцијата  е примитивна функција за  на . Тогаш важи равенството:



или почесто запишано како:



 Доказ 

Доказот на тврдењето е следниов:

Нека  е фиксен. Бидејќи функцијата  е интеграбилна на интервалот , според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој , постои  такво што за секоја поделба  на интервалот и секој избор на точките  важи:



Нека  е примитивна функција на функцијата  на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки  така што важи:



односно, бидејќи  е примитивна на , може да запишеме:



Тогаш, ако сумираме за , следи:



Од друга страна и точките  се „произволни“, исто како и точките , па и за нив е исполнето неравенството:



Тогаш, конечно, имаме:







од каде следи:

 ,

каде  е една примитивна функција на  на интервалот . Со тоа доказот е завршен.

Категорија:Математика
Категорија:Математичка анализа