Ојлерова формула

Во математиката, едно од основните и најважни равенства во теоријата на комплексите броеви и комплексната анализа. Со неа е изразена зависноста помеѓу експоненцијалната и тригонометриските функции.

Равенството е едноставно и го има следниот облик:



каде  е основата на природниот логаритам, а  имагинарната единица. Равенството е наречено според Леонард Ојлер, швајцарски математичар.

 Доказ 
Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:







Сега имаме:



Бидејќи:

Следствено:




со што ја покажавме точноста на равенството.

 Важност 
Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:



Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме . Тогаш се добива следново:

 , односно, конечно:



Последново равенство се нарекува равенство на Ојлер и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува девет основни концепти на математиката: три операции: собирање, множење, степенување; пет основни константи: единицата, нулата, односот на периметарот и пречникот на кружницата - , основата на природниот логаритам - , имагинарната единица -  и една основна релација: еднаквост .

 Интересно 

 Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?
 Ова равенство било докажано за првпат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котс (Roger Cotes) во алтернативен облик:

Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.

Категорија:Математика
Категорија:Математичка анализа
Категорија:Тригонометрија