Алгебра

Алгебра (од арапски ел-џебр, „составување на откршоци“) — еден од поголемите делови од математиката, заедно со теоријата на броеви, геометрија и анализа. Во својата најопшта форма, алгебрата е студија на математички симболи и правила за манипулирање со овие симболи;I. N. Herstein, Topics in Algebra, "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964 тоа е обединувачка нишка на речиси целата математика.I. N. Herstein, Topics in Algebra, "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964 Како таква, таа вклучува сè од решавање на основни равенства до проучувањето на апстрактни теми како групи, прстени и полиња. Поосновните делови од алгебрата се нарекуваат елементарна алгебра; поапстрактните делови се нарекуваат апстрактна алгебра или модерна алгебра. Елементарна алгебра е генерално се смета дека е од суштинско значење за било кое изучување на математиката, било која наука наука, инженерство, а исто така наоѓа примена и во медицината и економијата. Апстрактна алгебра е голема област во напредна математика, изучувана првенствено од страна на професионални математичари.

Елементарна алгебра се разликува од аритметиката во употребата на апстрактните симболи, како што е користењето на букви за броеви кои се или непознати или можат да земат многу вредности. На пример, во   е непозната. Во , симболите  и  се променливи, и симболот  е константа, која ја означува брзината на светлината во вакуум. Алгебра дава методи за решавање равенки и изразување формули кои се многу полесни (за оние кои знаат како да ги користат) од постарите методи на пишување, каде се користеле зборови наместо симболи.

Зборот "алгебра" исто така се користи на одредени специјализирани начини. Посебен вид на математички предмет во апстрактната алгебра е наречен "алгебра", и овој збор се користи, на пример во фрази, линеарна алгебра и алгебарска топологија.

 Потекло на поимот 
Зборот алгебра доаѓа од арапскиот الجبر (al-jabr буквално "повторното обединување на скршени делови") од насловот на книгата Ilm al-jabr wa'l-muḳābala од персискиот математичар и астрономот ел-Хорезми. Зборот влегол во англискиот јазик во текот на XV век, од шпански, италијански или средновековен латински. Зборот алгебра првично бил употребуван во контекст на хируршката процедура за поставување на скршени или дислоцирани коски. Математичкото значење за првпат било запишано во шеснаесеттиот век.

 Различни значења на „алгебра“ 
Зборот "алгебра" има неколку сродни значења во математиката, како еден збор или во сложени термини. 
Како единствен збор, "алгебра" има две значења: може да именува широк дел од математиката или да означува специфична математичка структура, чија прецизна дефиниција зависи од авторот. За втората дефиниција обично структурата има додавање, множење и скаларно множење. Кога некои автори го користат терминот "алгебра", тие прават подмножество од следниве дополнителни претпоставки: асоцијативни, комутативни и сл. Во универзалната алгебра, зборот "алгебра" се однесува на генерализација на горенаведениот концепт, кој овозможува n-ти операции. Обично, кога е дел од сложен термин, повторно постои две толкувања: може да именува дел од алгебрата, како што се линеарна алгебра, елементарна алгебра (правилата за симболична манипулација предавани во основните математички курсеви како дел од основното и средното образование), или апстрактна алгебра (проучување на алгебарските структури); или може да се користи за да означи некоја апстрактна структура, како Лијева алгебра  или асоцијативна алгебра. 

 Алгебрата како гранка на математиката 
Алгебрата почнала со пресметки слични на оние на аритметика, со букви како ознаки за броеви. Ова е овозможило докази за својства кои се вистинити без разлика кои броеви се вклучени. На пример, во квадратната равенка:

 можат да бидат било кои броеви (освен што  не може да биде ) итн. квадратна формула може да се користи за брзо и лесно да се најдат вредностите на непознатата  кои се точните решенија на равенката.

Историски гледано, а и во тековната настава, проучувањето на алгебра започнува со решавање на равенки, како што е квадратната равенка погоре. Тогаш се поставуваат повеќе општи прашања, како што се "дали равенката има решение?", "колку решенија има равенката?", "каква е природата на решенијата?". Овие прашања водат до идеите за форма, структура и симетричност.
Овој начин на размислување овозможил алгебрата да се употребува и во пресметките на небројчени објекти, како што се вектори, матрици, и полиноми. Структурните својства на овие небројчени објекти биле искористени да се дефинираат алгебарски структури , како што се групи, прстени и полиња.

Пред 16 век, математиката е поделена на само две подобласти, аритметика и геометрија. Иако некои методи, кој биле развиени многу порано, може да се сметаат во денешно време како "алгебра", појавата на алгебрата и, наскоро потоа, на калкулус како подобласти на математиката датираат од 16-ти или 17 век. Од втората половина на 19 век, се појавиле многу нови области на математиката, од кои повеќето се употребуваат и аритметика и геометрија, а во речиси сите се употребува алгебра.

Денес, алгебрата е надополнета и вклучува многу гранки на математиката,  како што може да се види од класификацијата на математички области 
каде ниедна од областите од прв ред не се нарекува алгебра. Денес алгебрата во себе ги вклучува областите 08-Општи алгебарски системи, 12- теорија на поле и полиноми, 13 - комутативна алгебра, 15 - линеарна и полилиниеарна алгебра; теорија на матрици, 16 - асоцијативна алгебра, 17 - неасоцијативна алгебра, 18 - теорија на категории; хомолошка алгебра, 19-теорија К и 20- теорија на групи. Алгебрата исто така се користи нашироко во 11 - теорија на броеви и 14 - алгебарска геометрија.

 Историја 

 Почетокот на историјата на "алгебра" 
мини|Страница од  „Зборник на пресметки со дополнување и противположување“ на ел-Хорезми
Корените на алгебрата датираат од времето на античките Вавилонци, , кои развиле напреден систем на аритметика со кој биле во можност да направат пресметки слични на алгоритми. Вавилонците развиеле формули за пресметување решенија за проблемите кои денес обично се решаваат со користење на линеарни равенки, квадратни равенки, и недетерминирани линеарни равенки. Наспроти тоа, повеќето Египќани од овој период, како и грчката и кинеската математика во 1-от милениум П.Н.Е., обично ги решавале таквите равенки со геометриски методи, како што се оние опишани во „Ахмесовиот папирус“, „Евклидовите елементи“, како и „Деветте поглавја за математичката вештина“. Геометријата на Грците, како што е претставена во евклидовите елементи, поставила рамки за  генерализирање на формули кои можат да се употребат во повеќе општи системи за дефинирање и решавање на равенки, иако тоа не се случило додека не била развиена математиката во средновековниот Ислам.

Од времето на Платон, грчката математика била подложна на драстични промени. Грците создале геометриска алгебра, каде што термините биле претставени како страни на геометриски објекти, обично линии, на кои им е назначена буква. "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry." Диофант (3 век од Н.Е.) бил грчки математичар од Александрија и автор на серија на книги наречена Аритметика. Овие текстови се занимаваат со решавање на алгебарски равенки, и за првпат претставуваат равенка која во теоријата на броевите е наречена Диофантова равенка.

Претходните традиции дискутирани погоре имале директно влијание на персискиот ел-Хорезми (околу 780-850 г.). Тој подоцна ја напишал книгата „Зборник на пресметки со дополнување и противположување“, со која се утврдила алгебрата како математичка дисциплина која е независна од геометријата и самата аритметика.

Хеленистичките математичари Херон Александриски и Диофант како и индиските математичари како на пример Брамагупта ги продолжиле традициите на Египет и Вавилон, иако Диофантовата Аритметика и делото на Брамагупта „Исправно поставениот наук на Брама“ (Brāhmasphuṭasiddhānta) се на повисоко ниво. На пример, првото комплетно аритметичко решение (вклучувајќи и нула и негативни броеви) на квадратните равенки бил опишан од страна Brahmagupta во својата книга. Подоцна, персиски и арапски математичари развиле алгебарски методи со многу повисок степен на софистицираност. Иако Диофант и Вавилонците користеле претежно специјални методи за решавање на равенки, придонесот на ел-Хорезми е фундаментален. Тој решил линеарни и квадратни равенки без алгебарска симболика, негативни броеви или нула, така тој морал да разграничи неколку видови на равенки.

Во контекстот каде што алгебрата е идентификувана со теоријата на равенки, грчкиот математичар Диофант традиционално е познат како "татко на алгебрата", но во поново време постои многу дебатата за тоа дали ел-Хорезми, кој ја основал дисциплината al-jabr, ја заслужува таа титула, наместо Диофант. Оние кои го поддржуваат Диофант укажуваат на фактот дека алгебрата која се наоѓа во Al-Jabr е на малку пониско ниво од алгебрата во Аритметика. Оние кои го поддржуваат ел-Хорезми укажуваат на фактот дека тој ги претставил методите на „одземање“ и „балансирање“ (поништувањето на истите износи спротивната страна од равенката) на што al-jabr првично се однесувал како термин, "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation." и дека тој дал исцрпно објаснување на решавање на квадратните равенки, "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions." поддржани од геометриски докази, при тоа третирајќи ја алгебрата како независна дисциплина.Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers". Неговата алгебра ,исто така, повеќе не се занимавала со „решавање на серија на проблеми, туку со излагања кои започнуваат со примитивни услови во кои комбинациите мора да ги претстават сите можни прототипови за равенките, кои од сега па  натаму експлицитно го сочинуваат вистинскиот предмет за истражување". Тој исто така ги проучувал равенките теоретски и "на општ начин, така што проучувањето не е за цел на решавање на некој конкретен проблем, туку се експлицитно употребени за дефинирање на неограничен број на проблеми".

Друг персиски математичар Омар Хајам е заслужен за идентификувањето на темелите на алгебарската геометрија и ги пронашол општото геометриско решение за кубната равенка. Неговата книга Расправа на Демонстрации на Проблемите од Алгебра (1070), во која се утврдуваат принципите на алгебрата, е дел од персиската математика што била пренесена во Европа.Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92 Уште еден персиски математичар, Шарафудин ел-Туси, пронашол алгебарски и бројчени решенија за различни случаи на кубни равенки. Тој исто така го развил концептот на функцијата. Индиските математичари Махавира и Баскара II, персискиот математичар Абу Бакр ел-Караџи, "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered)," и кинескиот математичар Жу Шијие, решиле различни случаи на полиноми од повисок ред со користење на бројчени методи. Во 13 век, решението на кубна равенка од Фибоначи е предвесник на почетокот на реформата во европската алгебра. Како што Исламскиот свет бил во опаѓање, Европскиот свет одел во нагорна линија. Токму во Европа продолжил развојот на алгебрата.

 Историјата на алгебрата 
Работата на Франсоа Виет на нова алгебра на крајот на 16 век, била важен чекор кон современата алгебра. Во 1637, Рене Декарт ја објавил книгата „Геометрија“, каде ја претставил аналитичката геометрија која ја измислил и вовел на модерна алгебарска нотација. Уште еден клучен настан во понатамошниот развој на алгебра било општото алгебарско решение на кубните и квадратните равенки, развиено на средината на 16 век. Идејата за детерминанта била развиена од страна на јапонски математичар Секи Кова во 17 век, проследено независно од Готфрид Лајбниц , десет години подоцна, за целите на решавање на системи за симултани линеарни равенки со користење на матрици. Габриел Крамер, исто така, дал свој придонес во полето на матрици и детерминанти во 18 век. Пермутациите се изучувани од страна на Жозеф-Луј Лагранж во неговото дело од 1770 „Réflexions sur la résolution algébrique des équations“ посветено на решенија на алгебарски равенки, во кои тој ги претставил Лагранжовите резолвенти. Паоло Руфини бил првата личност која ја развила теоријата на пермутација на групи, кој како и неговите претходници, ја развил за решавање на алгебарски равенки.

Апстрактната алгебра била развиена во 19 век, како резултат на потребата за решавање на равенки, првично фокусирајќи се на она што сега се нарекува теорија на Галуа."The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department. Џорџ Пикок е основач на аксиоматското размислување во аритметиката и алгебрата. Орастес Де Морган ја развил релационата алгебра во неговиот „Силабус на предложениот систем на логика“ (анг. „Syllabus of a Proposed System of Logic“). Џозаја Вилард Гибс развил алгебра на вектори во три-димензионален простор, и Артур Кејли развил алгебра на матрици."The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press.

 Области на математиката со зборот "алгебра" во нивното име 
Некои области на математиката кои се под класификација апстрактна алгебра го содржат зборот "алгебра" во нивното име; линеарна алгебра е еден пример. Други пак не содржат „алгебра“ во името: теорија на групи, теорија на прстени, теорија на поле и сл. Во овој дел е прикажан список на некои области на математиката кои го содржат зборот "алгебра" во името.
 Елементарна алгебра, дел од алгебра кои обично се предава во основно курсеви по математика.
 Апстрактна алгебра, во која алгебарските структури , како што се групи, прстени и полиња се аксиоматски дефинирани и истражени.
 Линеарна алгебра, во која специфични својства на линеарни равенки, векторски простори и матрици се изучуваат.
 Булова алгебра, гранка на алгебрата која ја апстрахира пресметката со вистинитосните вредности: лажни и вистински.
 Комутативна алгебра, проучување на комутативни прстени.
 Компјутерска алгебра, спроведувањето на алгебарски методи како алгоритми и компјутерски програми.
 Хомолошка алгебра, проучување на алгебарски структури кои се од суштинско значење за проучување тополошки простори.
 Универзална алгебра, во која се изучуваат особините кои се заеднички за сите алгебарски структури.
 Алгебарска теорија на броеви, во која се изучуваат својствата на броеви од алгебарски точка на гледање.
 Алгебарска геометрија, гранка на геометријата со која се специфицираат криви и површини како решенија на полиномски равенки.
 Алгебарска комбинаториката, во која алгебарски методи се користат за проучување на комбинациски прашања.
 Релациона алгебра: множество од конечни односи кои се ограничени под одредени оператори.
Многу математички структури се нарекуваат алгебра:
 Алгебра на поле или поопшто алгебра на прстени.Многу гранки на алгебрата над поле или на прстен имаат специфично име:
 Асоцијативна алгебра
 Не-асоцијативна алгебра
 Лијева алгебра
 Хопфова алгебра
 С*-алгебра
 Симетрична алгебра
 Надворешнa алгебра (Грасманова алгебра)
 Тензорна алгебра
 Во теоријата на мера,
 Сигма-алгебра
 Алгебра на множества
 Во теорија на категории
 F-алгебра и F ко-алгебра
 Т-алгебра
 Во логиката,
 Алгебра на односи
 Булова алгебра
 Хејтингова алгебра

 Елементарна алгебра 
десно|мини|Алгебарски израз нотација:
  1 – степен (експонент)
  2 – коефициент
  3 – израз
  4 – оператор
  5 – константа
  x y c – променливи/константи
Елементарната алгебра е најосновна форма на алгебра. Таа се предава на учениците кои се претпоставува дека немаат познавање од математиката кое  е надвор од основните принципи на аритметиката. Во самата аритметика, може да се сретнат само броевите и нивните аритметички операции (како на пример,+,−, ×, ÷). Во алгебрата, броевите, често се претставени со симболи наречени променливи (како што е, n, x, y или z). Ова е корисно бидејќи:
 Овозможува општа формулација на аритметички закони (како на пример, a + b = b + a за секое a и b), и со тоа е првиот чекор кон систематско истражување на својствата на системот на реални броеви.
 Тоа им овозможува да се означат "непознати" броеви, формулација на равенки и проучување на тоа како да се решат истите. (На пример, "Најди го x така што 3x + 1 = 10" или "Да се најде x така што ax + b = c". Овој чекор води кон заклучок дека природата на одредените броеви не е тоа што ни дозволува да ја решиме равенката, туку природата на операциите кои се вклучени.)
 Овозможува формулирање на функционални врски. (На пример, "Ако се продадат x билети, тогаш профитот ќе биде 3х − 10 долари, или f(x) = 3x − 10, каде што f е функција, а x е бројот на која функцијата се однесува".)

 Полиноми 
мини|Графикон на полиномска функција на трети степен 3
Полином е израз кој е збирот на конечен број на членови поголеми од нула, секој член се состои од производот на константа и конечен број на променливи кои се степенувани со степени кои се цели броеви. На пример, x2 + 2x − 3 е полином со една променлива - x. Полиномен израз е израз кој може да се препише како полином, со користење на комутативното, асоцијативното и дистрибутивното својство на собирање и множење. На пример, (x − 1)(x + 3) е полиномен израз. Полиномна функција е функција која е дефинирана од страна на полином, или, од страна на полиномен израз.

Две важни и поврзани проблеми во алгебрата се факторизацијата на полиномите (изразување на даден полином како производ на други полиноми кои не можат да се факторизираат понатаму, и пресметката на најголем заеднички делител на полиномите. На пример полиномот од погоре може да се факторира како (x − 1)(x + 3).

 Образование 
Се тврди дека елементарна алгебра треба да се предава на учениците на возраст од единаесет години, иако во поново време е почеста појавата наставата да започне во осмо одделение (≈ 13 год. ±) во САД. Сепак, во некои американски училишта, со алгебра се започнува во деветтото одделение.

 Апстрактна алгебра 
Апстрактната алгебра ги проширила концептите од основната алгебра и аритметичката со повеќе општи концепти. Тука се наведени основните концепти во апстрактна алгебра.

Множества: Наместо само да ги земе предвид различните типови на броеви, апстрактна алгебра се занимава со поопштиот концепт на множества: собирање на сите објекти (наречен елементи) избрани според одлика специфична за множеството. Сите колекции од познати видови на броеви се  множества. Други примери на множества: множество од сите матрици од ред 2 и ранг 2, збир на сите полиноми од втор степен, збир на сите дво-димензионални вектори. Теорија на множествата е гранка на логиката и технички не е гранка на алгебра.

Бинарни операции: Поимот на бинарни операција е безначајна без множествата за кои операцијата е дефинирана. За два елементи а и б во множество S, a ∗ б е уште еден елемент во множеството; оваа состојба се нарекува затворање. Собирањето (+), одземањето (−), множењето (×), и делењето (÷) може да се бинарни операции само кога се дефинирани во различни множества, како што е собирањето и множењето на матрици, вектори, и полиноми.

Неутрален елемент: броевите нула и еден се користат како неутрални елементи на операциите. Нулата е неутрален елемент за собирање, а еден е неутрален елемент за множење.

Инверзни елементи: негативните броеви довеле до концептот на инверзни елементи. За собирање, инверзниот елемент на „а“ се пишува „− а“,  за множење инверзниот елемент од „а“ се пишува „а-1“. Општиот инверзен елемент на-1 го задоволува својството a ∗ a-1 = e и а-1 ∗ a = e, каде e е неутрален елемент.

Асоцијативност: Собирањето на цели броеви има својство кое се нарекува асоцијативност. Тоа е дека групирањето на броеви кои се собираат не влијае на збирот. На пример: . Во принцип, ова може да се примени и за множењето: (а ∗ б) ∗ c = a ∗ (б ∗ c).

Комутативност: собирање и множење на реални броеви се и комутативни. Тоа значи дека редоследот на броевите не влијае на резултатот. На пример: 2 + 3 = 3 + 2. Тоа може да се примени и на а ∗ б=б ∗ а.

Алгебрата како тема во уметноста
 „Табелата на множењето“ - песна на рускиот поет Владимир Казаков од 1969 година.Антологија руске лирике – X-XXI век. Књига III: Средина XX века – поч. XXI века (неомодернизам, неоавангарда, постмодернизам и нова трагања). Београд: Paidea, 2007, стр. 122.
 „Компаративна алгебра“ - песна на македонскиот поет Анте Поповски.Анте Поповски, Дрво што крвави. Скопје: Детска радост, Наша книга, Македонска книга, Култура, Мисла, 1991, стр. 56.

 Белешки 

 Наводи 

 Доналд Р. Хил, Исламски Науки и компјутерско Инженерство (Единбург University Press, 1994).
 Ziauddin Sardar, Џери Ravetz, и Borin Ван Loon, Воведување Математика (Тотем Книги, 1999).
 Џорџ Gheverghese Јосиф, На Врвот на Опашот: Не-Европски Корени на Математиката (Penguin Books, 2000).
 Џон J О ' конор и Едмунд F Робертсон, Историја Теми: Алгебра Индекс. Во MacTutor Историја на Математиката архива (Универзитетот на ендрјус, 2005).
 I. Н. Herstein: поглавја од Алгебра. 0-471-02371-X
 Р. Б. Ј. Т. Allenby: Прстени, Полиња и Групи. 0-340-54440-6
 Л. Ојлер: Елементи од Алгебра, 978-1-899618-73-6


 Надворешни врски 
 Кан Академија: Концептуално видео записи и работел примери
 Кан Академија: Потеклото на Алгебра, бесплатно онлајн микро предавања 
 Algebrarules.com: отворен извор на ресурси за учење на основите на "Алгебра"
 4000 Години од Алгебра, предавање од Робин Вилсон, во Gresham Колеџ, 17 октомври 2007 (достапна за MP3 и MP4 преземање, како и текстуална податотека).
 (англиски)

Категорија:Алгебра
Категорија:Математика