Комплемент

Во теоријата на множества и други гранки на математиката, дефинирани се два вида на комплементи: релативен комплемент и апсолутен комплемент.

 Релативен комплемент 
Ако A и B се множества, тогаш релативниот комплемент на A
во B, познат и како разлика на множества меѓу B и A, е множеството чии елементи припаѓаат на B, но не припаѓаат на A.
250px|center|B minus AРелативниот комплементна A во B

Релативниот комплемент на A во B обично се пишува B − A (исто така и B \ A).

Формално:

Примери:
 {1,2,3} − {2,3,4}   =   {1}
 {2,3,4} − {1,2,3}   =   {4}
 Ако  е е множеството на реални броеви и  е множеството на рационални броеви, тогаш  е множеството на ирационални броеви.

Следните изрази ги покажуваат некои важни особини на релативните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.

PROPOSITION 1: Ако A, B, и C се множества, тогаш важат следните идентитети:
 C − (A ∩B)  =  (C − A) ∪(C − B)
 C − (A ∪B)  =  (C − A) ∩(C − B)
 C − (B − A)  =  (A ∩C) ∪(C − B)
 (B − A) ∩C  =  (B ∩C) − A  =  B ∩(C − A)
 (B − A) ∪C  =  (B ∪C) − (A − C)
 A − A  =  Ø
 Ø − A  =  Ø
 A − Ø  =  A

 Апсолутен комплемент 
250px|center|A complementКомплементот на A во U
Ако е дефинирано универзално множество U, тогаш релативниот комплемент на A во U се нарекува апсолутен комплемент (или едноставно комплемент) на A, и се означува со AC, што значи:

AC  = U − A

На пример, ако универзалното множество е множеството на природни броеви, тогаш комплементот на множеството непарни броеви е множеството парни броеви.

Следниот израз ги покажува некои важни особини на апсолутните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.

Ако A и B се подможества на универзално множество U, тогаш важат следните идентитети:
Де Морганови закони:
 (A ∪ B)C  = AC ∩ BC
 (A ∩ B)C  = AC ∪ BC
Закони за комплемент:
 A ∪ AC  =  U
 A ∩ AC  =  Ø
 ØC  =  U
 UC  =  Ø
 Ако A⊆B, тогаш BC⊆AC
Инволуција или закон за двоен комплемент:
 ACC  =  A.
Релации помеѓу релативен и апсолутен комплемент:
 A − B = A ∩ BC
 (A − B)C = AC ∪ B

Првите два горенаведени закони за комплемент покажуваат дека ако A е непразно подмножество на U, тогаш {A, AC} е партиција на U.

Категорија:Математика