Курт Гедел

Курт Фридрих Гедел (; April 28, 1906 – January 14, 1978), еден од најголемите математички умови во историјата, е роден на  година во Брно, денешна Чешка. Најпознат е по неговите теореми за непотполност, со кои докажува дека во секој формален аксиоматски систем постојат искази кои не можат да се докажат само во рамките на тој систем, што практично значи дека секој формален систем е некомплетен. Со тој доказ ги окончува долгогдишните напори за формализација на математиката, посебно од страна на Хилберт. Едно од неговите најпознати дела „Доследноста на аксиомата за избор и генерализираната хипотеза на континуум, со аксиоматската теорија на множества„ е објавена 1940 во САД, каде што работи на универзитетот во Принстон сè до 
неговата смрт во 1978 година.

Рани години
Детство
Гедел е роден на 28 април 1906, во Брун,Австроунгарија (сега Брно, Чешка) во етнички германско семејство на Рудолф Гедел, менаџер на текстилна фабрика, и Мариан Гедел.Dawson 1997, pp. 3–4 За време на неговиот живот, Гедел останал близок со неговата мајка - нивната комуникација била честа и опсежна. Во периодот кога се родил, мнозинството од граѓаните во градот зборувале германски јазик вклучувајќи ги и неговите родители.Dawson 1997, p. 12 Неговиот татко бил католик, неговата мајка протестантка, а децата биле израснати како протестанти. Предците на Курт Гедел биле често активни во културниот живот на Брно. На пример, неговиот дедо Жозеф Гедел бил познат пејач на тоа време и член на „Асоцијација на пејачи на Брно“(герм. „Brünner Männergesangverein“).Procházka 2008, pp. 30–34.

Гедел автоматски станал државјанин на Чехословачка на возраст од 12 години кога Австроунгарското Царство се распаднало на крајот на Втората светска војна. Според неговиот соученик Клепетар, како и многуте државјани со потекло како неговото, „Гедел секогаш се сметал себеси за Австриец и бегалец во Чехословачка“.Dawson 1997, p. 15. Тој одлучил да стане австриски граѓанин на 23 годишна возраст . Кога Нацистичка Германија ја анексирала Австрија во 1938, Гедел автоматски станал германски граѓанин на возраст од 32 години. По Втората светска војна, на возраст од 42 години, станал американски граѓанин.

Во неговото семејство, младиот Курт бил познат како Herr Warum („господин зошто“) бидејќи имал многу голема љубопитност. Според неговиот брат Рудолф, на шестгодишна или седумгодишна возраст Курт боледувал од ревматска треска, целосно оздравел, но во текот на остатокот од неговиот живот бил убеден дека неговото срце било трајно оштетено. Почнувајќи од четири години, Гедел имал чести периоди на боледување, кои продолжиле за време на целиот негов живот.

Гедел учел во Evangelische Volksschule, лутеранско училиште во тогашен Брун од 1912 до 1916, после што бил запишан во Deutsches Staats-Realgymnasium од 1916 до 1924, завршувајќи со одличен успех по сите предмети, особено математика, јазици и религија. Иако Курт прво ги усовршил јазиците, подоцна станал позаинтересиран за историја и математика. Неговиот интерес за математиката се зголемил во 1920 годиниа кога неговиот постар брат Рудолф (роден 1902 година) заминал за Виена за да студира на медицинскиот факултет на Универзитетот во Виена. Како тинејџер, Курт учел за Габелсберговиот стил на пишување, Теоријата на боите на Гете, критики на Исак Њутн и делата на Имануел Кант.

 Студирање во Виена 
На 18-годишна возраст Гедел му се придружил на својот брат во Виена и почнал да студира на Универзитетот во Виена. Дотогаш, тој веќе ја совладал математиката на универзитетско ниво. Иако во почетокот имал намера да студира теоретска физика, тој исто така посетувал курсеви по математика и филозофија. Во тоа време, тој ги прифатил идеите за математички реализам. Тој го прочитал делото на Кант "Метафизичките основи на природната наука " и учествувал во Виенскиот Круг со Мориц Шлик, Ханс Хан и Рудолф Карнап. Гедел потоа студирал теорија на броеви, но кога учествувал на семинарот одржан од Мориц Шлик, кој ја проучувал книгата "Вовед во математичката филозофија" Бертран Расел, тој се заинтересирал за математичка логика. Според Гедел, математичката логика била "наука пред сите други, која ги содржи идеите и принципите кои ги содржат сите науки".Gleick, J. (2011) The Information: A History, a Theory, a Flood, London, Fourth Estate, p181.

Присуството на предавањето на Давид Хилберт во Болоња за комплетноста и доследноста на математичките системи е можеби тоа што го сменило текот на животот на Гедел. Во 1928 година, Хилберт и Вилхелм Акерман го објавиле делото Grundzüge der theoretischen Logik  ("Принципи на математичката логика"), кое претставува вовед во логиката од прв ред во која бил поставен проблемот на комплетност: "Дали аксиомите на формалниот систем се доволни за да се изведе секоја изјава која е точна во сите модели на системот?"

Ова била темата која Гедел ја избрал за својата докторска работа. Во 1929 година, на 23-годишна возраст, ја завршил докторската дисертација под надзор на Ханс Хан. Во него, тој ја утврдил комплетноста на предикатното сметање на калкулус од прв ред (Геделова теорема на комплетност). Добитник е на докторат во 1930 година. Неговата теза, заедно со дополнителни истражувања, била објавена од Виенската академија на науките.

 Кариера 

 Теорема на нецелосност 
  "Достигнувањето на Курт Гедел во современата логика е единствено и монументално - навистина, тоа е повеќе од споменик, тоа е обележје кое ќе остане видливо далеку во просторот и времето ... Предметот на логиката секако сосема ја промени својата природа и можности со достигнувањето на Гедел ".
- John von Neumann Halmos, P.R. The Legend of von Neumann, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, бр. 4. (април 1973), стр. 382-394

Во 1931 година и додека сè уште е во Виена, Гедел ги објавил неговите теореми на нецелосност во Über formal unentscheidbare Sätze der "Principia Mathematica" und verwandter Systeme(мк. Формално непристапните предлози на „Principia Matematica“ и сродни системи). Во таа статија тој за секој аксиоматски систем докажал дека:
 Ако системот (логички или аксиоматски официјален) е доследен, не може да биде целосен.
 Доследноста на аксиомите не може да се докаже во рамките на Аксиоматски систем.

Овие теореми ставиле крај на обидите кои траеле половина век, почнувајќи од работата на Фреге и кулминирајќи во "Principia Mathematica" и формализмот, за да се најдат аксиоми доволни за целата математика.

Во ретроспектива, основната идеја на теоремата за некомплетност е прилично едноставна. Гедел во суштина изградил формула која тврди дека е непроверлива во даден формален систем. Ако е возможно да биде докажана, таа би била неточна.

Така секогаш ќе има барем една вистинска, но непроверлива изјава.
Тоа е, за секој пресметливо преброива група на аксиоми за аритметика (т.е. група што во принцип може да се отпечати од идеализиран компјутер со неограничени ресурси), постои формула што важи за аритметиката, но која не може да се докаже во рамките на тој систем.
Меѓутоа, за да се направи ова прецизно, на Гедел му било потребно да создаде метод за кодирање искази (како на пример, природните броеви), докази и концепт на докажување. Тоа го извел со создавање на систем како познат како Геделова метрика.

Во својата двострана книга "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932), Годел го отфрлил начинот на вреднување на интуициската логика. Во доказот, тој имплицитно го користел она што подоцна станало познато како Гедел-Думетова интермедијарна логика (или Геделова неопределена логика).

 Средина на 1930-ти: понатамошна работа и посети во САД 

Гедел ја заработил својата хабилитација во Виена во 1932 година, а во 1933 година станал "Privatdozent" (неплатен предавач). Во 1933 година Адолф Хитлер дошол на власт во Германија, а во наредните години се зголемило влијанието на нацистите во Австрија и меѓу математичарите во Виена.

Во јуни 1936 година, Мориц Шлик, чиј семинар го поттикнал интересот на Гедел за логика, бил убиен од еден од неговите поранешни студенти Јохан Нелбок. Ова предизвикало "тешка психичка криза" кај Гедел.. Од стр. 80, во која се цитира Рудолф Гедел, братот на Курт и лекар. Зборовите "тешка психичка криза", и пресудата дека атентаторот на Шлик бил причината за истата, се од цитатот на Рудолф Гедел. Рудолф го знаел Курт во тие години.

Тој развил параноидни симптоми, вклучително и страв дека ќе биде отруен, и поминал неколку месеци во санаториум.Досон 1997, стр. 110-112

Во 1933 година, Гедел првпат патувал во САД, каде што се запознал со Алберт Ајнштајн, кој му станал добар пријател.Hutchinson Encyclopedia (1988), стр. 518 Тој му дал адреса на годишниот состанок на Американското математичко друштво. Во текот на таа година, Гедел ги развивал идеите за пресметковност и рекурзивни функции до тој степен каде што можел да предава за општите рекурзивни функции и концептот на вистината. Сето ова било развиено во теоријата на броеви, со користење на Геделова метрика.

Во 1934 година, Гедел одржал серија предавања во Институт за напредни студии (анг. IAS) во Принстон, Њу Џерси, насловен како "За недвосмислените искази на формалните математички системи". Стивен Клејн, кој штотуку го завршил својот докторат во Принстон, пишувал белешки од овие предавања кои подоцна биле објавени. Гедел го посетил институтот повторно во есента 1935 година. Патувањето и напорната работа го исцрпиле, па затоа следната година земал одмор за да се опорави од депресивната епизода. Тој ѝ се вратил на наставата во 1937 година. Во тоа време работел на доказот за доследност на аксиомата на избор и на континуумската хипотеза. Тој покажал дека овие хипотези не можат да се побијат од заедничкиот систем на аксиоми на теоријата на множествата. Тој се оженил со Адел Нимбурски (1899-1981), koja ja познавал повеќе од 10 години, на 20 септември 1938 година. На нивната врска се спротивставувале неговите родители поради тоа што таа била разведена танчерка, шест години постара од него. Потоа, тој заминал на уште една посета на САД, поминувајќи ја есента 1938 година во Институтот за напредни студии и пролетта 1939 година на Универзитетот Нотр Дам.

 Принстон, Ајнштајн, државјанство на САД 

По анектирањето на 12 март 1938, Австрија станала дел од Нацистичка Германија.
Германија ја укина титулата "Privatdozent", така што Гедел морал да аплицира за друга позиција според новиот поредок. Неговата поранешна асоцијација со еврејските членови на Виенскиот круг, особено со Хан, била користена против него. Универзитетот во Виена ја одбил апликацијата.

Неговата загриженост се интензивирала кога германската војска го категоризирала како погоден за регрутација. Втората светска војна започнала во септември 1939 година.

Пред почетокот на годината, Гедел и неговата сопруга ја напуштиле Виена и отишле во Принстон. За да го избегне атлантскиот премин, Геделсови ја избрале Транс-сибирската железничка линија во Тихиот Океан, отпловиле од Јапонија до Сан Франциско (стигнале на 4 март 1940 година), потоа со воз стигнале до Принстон. Таму Гедел ја прифатил позицијата во Институтот за напредни студии, кој претходно го посетил во текот на 1933-34.

Гедел многу брзо ја продолжил својата математичка работа. Во 1940 година го објавил своето дело "Доследност на аксиомата на избор и општата хипотеза на континуум со аксиомите на теоријата на множествата", која е класика на современа математика.  Во тоа дело тој го претставил конструктивниот универзум, модел на теорија на множествата во кој единствените множества кои постојат се оние кои можат да бидат конструирани од поедноставни множества. Гедел покажал дека и двете аксиомата на избор и генерализираната хипотеза на континуум се вистинити во конструктивниот универзум и затоа мора да бидат доследни со Зермело-Френкеловите аксиоми за теорија на множества. Овој резултат имал значителни последици за математичарите, бидејќи тоа значи дека тие можат да ја преземат аксиомата на избор при докажување на Хан - Банаховата теорија. Пол Коен подоцна конструирал модел на Зермело - Френкеловите аксиоми во кој аксиомата на избор и генерализираната хипотеза на континуум се лажни. Заедно овие докази значат дека аксиомата на избор и генерализираната хипотеза на континуум се независни од Зермело-Френкеловите аксиоми за теоријата на множествата.

Алберт Ајнштајн исто така живеел во Принстон во тоа време. Гедел и Ајнштајн развиле силно пријателство и имале долги прошетки заедно и кон и од Институтот за напредни студии. Темите на нивните разговори биле мистерија за другите членови на Институтот. Економистот Оскар Моргенстерн раскажува дека кон крајот на својот живот Ајнштајн му се доверил дека неговата "работа повеќе не значи многу, дека тој дојде во институтот само ... за да има привилегија да пешачи кон својот дом со Гедел".Goldstein (2005), стр. 33.

Гедел и неговата сопруга, Адел, го поминале летото 1942 година во Блу Хил, Мејн, во Блу Хил Ин на врвот на заливот. За Гедел тоа не било само одмор, туку многу продуктивно лето. Користејќи ја „15“ од Геделовите сè уште необјавени "Arbeitshefte" (работните тетратки), Џон В. Даусон Џуниор претпоставува дека Гедел открил доказ за независноста на аксиомата на изборот од теоријата од конечен тип (интуиционистичка теорија), ослабена форма на теорија на множествата. Блискиот пријател на Гедел, Хао Ванг, ја поддржал оваа претпоставка, истакнувајќи дека тетратките на Гедел го содржат најширокиот третман на проблемот.

На 5 декември 1947 година, Ајнштајн и Моргенстерн го придружувале Гедел при неговото тестирање за американско државјанство, каде што дејствувале како сведоци. Гедел им се доверил дека открил недоследност во Уставот на Соединетите Американски Држави кој би можел да дозволи на САД да стане диктатура. Ајнштајн и Моргенстерн биле загрижени дека непредвидливото однесување на нивниот пријател би можело да ја загрози неговата апликација за државјанство. За среќа, судијата за процесот бил Филип Форман, кој го познавал Ајнштајн и ја водел заклетвата на сослушувањето на Ајнштајн за државјанство. Сè прошло без проблеми додека Форман не го прашал Гедел дали мисли дека диктатурата како нацистичкиот режим може да се случи во САД. Гедел, потоа почна да го објаснува своето откритие шред Форман. Форман разбрал што се случувало, го прекинал Гедел и го пренел сослушувањето кон други прашања и рутински заклучок.Dawson 1997, pp. 179–180. Приказната за сослушувањето на Гедел за државјанство се прераскажува во многу верзии. Записот на Досон е најстариот и внимателно истражен, но е напишан пред повторно откривање на писмениот запис на Моргенштерн. Повеќето други записи се чини дека се засноваат на Досон, без разлика дали се факт или шпекулација.

Гедел станал постојан член на Институтот за напредни студии во Принстон во 1946 година. Во тој период престанал да објавува трудови, и покрај тоа што продолжил да работи. Тој станал редовен професор во Институтот во 1953 година и емеритус професор во 1976 година.

За време на неговите многу години во Институтот, интересите на Гедел се свртиле кон филозофијата и физиката. Во 1949 година тој покажал постоење на решенија кои вклучуваат затворена временска крива и Ајнштајновите равенки за полето во општата теорија за релативност.Gödel, K., "An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation," Rev. Mod. Phys. 21, 447, published July 1, 1949 . He is said to have given this elaboration to Einstein as a present for his 70th birthday.Das Genie & der Wahnsinn, Der Tagesspiegel, January 13, 2008 (in German). Неговите "ротирачки универзуми" овозможуваат патување низ времето и предизвикале Ајнштајн да има сомнежи за неговата сопствена теорија. Неговите решенија се познати како Геделова метрика.

Студирал и се восхитувал на делата на Готфрид Лајбниц, но почнал да верува дека непријателскиот заговор предизвикал некои од делата на Лајбниц да бидат потиснати.John W. Dawson, Jr. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. A K Peters, Ltd., 2005. P. 166. Во помала мера ги анализирал делата на Емануел Кант и Едмунд Хусерл. Во почетокот на 1970-те, меѓу неговите пријатели циркулирал негов елаборат за верзијата на онтолошки доказ на Божјото постоење на Лајбниц . Ова сега е познато како онтолошки доказ на Гедел.

 Надворешни врски 
 Курт Гедел – човекот кој го победи времето  — опширна статија за Гедел и неговите дела на „Акиндин“ 
 Наводи 

Категорија:Германски математичари
Категорија:Логичари
Категорија:Луѓе од Брно
Категорија:Носители на Националниот научен медал
Категорија:Странски членови на Кралското друштво
Категорија:Починати во 1978 година