Fermā teorēma par stacionārajiem punktiem

Fermā teorēma ir teorēma matemātiskajā analīzē, kas apgalvo, ka atvasināmas funkcijas lokālajos ekstrēmos tās atvasinājums ir vienāds ar 0. Tā nosaukta par godu franču matemātiķim Pjēram Fermā.

Precīzāka matemātiska definīcija ir šāda — aplūkosim funkciju , kas ir definēta vaļējā intervālā  un pieņem reālas vērtības, un pieņemsim, ka  ir intervāla  iekšējs punkts, kā arī šajā punktā funkcija  pieņem savu lielāko vai mazāko vērtību intervālā . Ja funkcijai  eksistē atvasinājums punktā , tad .

Izmantojot Fermā teorēmu, ir iespējams atrast potenciālos funkcijas ekstrēmus, veicot atvasināšanu — funkcijas ekstrēmos tās atvasinājums ir vienāds ar 0, tas neeksistē, vai arī tas ir aplūkotā intervāla robežpunkts. Jāņem vērā, ka Fermā teorēma dod tikai nepieciešamo, bet ne pietiekamo nosacījumu ekstrēmu esamībai — izliekuma punktos funkcijas atvasinājums pieņem vērtību 0, tomēr šie punkti nav ne maksimumi, ne minimumi.

 Pierādījums 
Pieņemsim, ka  ir lokāls maksimums (pierādījums lokāla minimuma gadījumā ir analoģisks). Tādā gadījumā eksistē punkta  apkārtne, kurā  visiem  šajā apkārtnē. Ja , tad  ir nepozitīvs visiem  šajā apkārtnē. Tas nozīmē, ka

Līdzīgi, ja , tad  ir nenegatīvs un

Tā kā  ir atvasināma funkcija, aplūkotajām robežām ir jābūt vienādām ar . Tas ir iespējams tikai tad, kad abas robežas ir vienādas ar 0, līdz ar to .

 Atsauces 

Kategorija:Matemātiskā analīze