Sfēriskā trigonometrija

Sfēriskā trigonometrija ir sfēriskās ģeometrijas apakšnozare, kas pētī kā saistās malas un leņķi sfēriskiem trijstūriem. Parasti tie saistās caur trigonometriskām funkcijām. Uz sfērām īsākais ceļš starp punktiem ir caur lielo riņķi (kas plaknē atbilst taisnei). Sfēriskā trigonometrija parādās astronomijas, ģeodēzijas un navigācijas aprēķinos.

 Teorija 

 Sfēriskie daudzstūri 
Sfērisks daudzstūris ir daudzstūris uz sfēras virsmas. Tā malas ir loki, no lielajiem riņķiem (riņķa līnijas ar tādu pašu diametru, kas sfērai). Daudzstūriem var būt divas vai vairāk malas (divas malas ir daivas veida figūrai). Trīs loki definē sfērisko trijstūri. Daudzstūrus ar vairāk malām definē līdzīgi. Analogi plaknes gadījumam, daudzstūrus ar vairāk par 3 malām var sadalīt sfēriskos trijstūros. Sfēriskā trigonometrija apskata tikai sfēriskos trijstūrus.

 Pieraksts 
Attiecībā uz virsotnēm.
 Gan virsotnes, gan leņķus trijstūrī apzīmē ar lielajiem burtiem .
 Malas trijstūrim apzīmē ar mazajiem burtiem , kur mala  atrodas pret leņķi , mala  atrodas pret leņķi , mala  atrodas pret leņķi . Ja sfēras rādiuss ir 1, tad malas garums sakrīt leņķa garumam.
 Leņķi  (attiecīgi arī  un ) var uzskatīt par leņķi, ko veido plaknes  un , kur  ir sfēras centrs.
 Leņķus pieņem mazākus par  radiāniem. Tādēļ sfēriskiem trijstūriem izpildās nevienādības . Atšķirībā no sfēriskajiem trijstūriem, Eiklīda plaknē esošo trijstūru leņķu summa vienmēr ir  radiāni, jeb .

Attiecībā uz malām.
 Radiānu pierakstā malas garumu mēra kā leņķi, ko tas veido no sfēras centra. Ja sfēras rādiuss ir 1, tad šis radiānu mērījums atbilst loka garumam. Tiek pieņemts, ka sfēriska trijstūra mala ir mazāka par  radiāniem, līdz ar to .
 Ja pētāmā problēma ir uz sfēras ar rādiusu , tad iegūtos garumus jāizdala ar , pirms izmanto vienādojumus, kas aprakstīti vēlāk rakstā. Attiecīgi pēc formulu pielietošanas rezultāts jāreizina ar .

 Sfēriskā kosinusa un sinusa formulas 

 Sfēriskā kosinusu formula 
Galvenais raksts: Sfēriskā kosinusu teorēma

Kosinusa formula ir svarīga identitāte sfēriskajā trigonometrijā: citas identitātes var iegūt no tās, piemēram, sinusa identitāti. Kosinusa formulu var pierakstīt kā:

Šīs identitātes vispārinās arī uz plaknes trigonometriju, kad ņem mazus loku garumus. Uz vienības sfēras, ja ņem , tad var izmantot mazo leņķu tuvinājumus  un .

 Sfēriskā sinusa formula 
Sfēriskā sinusa formula ir: 

No šīs formulas pie bezgalīgi maziem loku garumiem  iegūst plaknes versiju sinusu formulai.

 Piemērs no astronomijas 
Izmantojot sfērisko trigonometriju, var noteikt leņķisko distanci starp divām zvaigznēm, ja ir zināmas to koordinātas kādā koordinātu sistēmā. Piemēram, var aprēķināt leņķisko distanci starp zvaigznēm Vegu un Betelgeizi (ekvatoriālajā koordinātu sistēmā Vegai rektascensija ir  un deklinācija , bet Betelgeizei rektascensija ir  un deklinācija ). 

Tagad var izveidot sfērisku trijstūri , kur  var atvēlēt kā zvaigžņu atrašanās vietas, piemēram, Betelgeizei atbilst  un Vegai atbilst . Līdz ar to tiek meklēts loks starp zvaigznēm  (viena no trijstūra malām). Pārējās divas malas  ir tādas, kuras veido savienojot zvaigznes ar debess ziemeļpolu (kur ). No tā izriet, ka malas  leņķiskā distance ir  un malas  leņķiskā distance ir . Savukārt leņķis  atbilst rektascensiju starpībai:  (leņķis piemeklēts tāds, lai tas būtu pozitīvs un mazāks par ).   

Tagad var izmantot sfērisko kosinusu teorēmu:, ko, izmantojot trigonometriskās sakarības  un , var pārrakstīt kā:   

 un iegūst   

, kas atbilst katalogā piedāvātajai vērtībai.   

 Atsauces 

 Ārējās saites 

Kategorija:Ģeometrija
Kategorija:Neeiklīda ģeometrija