Sfēriskā kosinusu teorēma

Sfēriskā kosinusu teorēma ir teorēma sfēriskajā trigonometrijā, kas saista malas un leņķus sfēriskiem trijstūriem un kalpo kā analogs no parastai kosinusu teorēmai no plaknes ģeometrijas. To izmanto astronomijā, navigācija, ģeodēzijā, u.c.

Priekš vienības sfēras, var iegūt sfērisku trijstūri, ja savienojo visas trīs virsotnes ar lielajiem riņķiem (tie ir riņķi, kuru diametrs sakrīt ar sfēras diametru). Šī trijstūra virsotnes apzīmē ar  un malas apzīmē ar  (mala  atrodas pretīm virsotnei , mala  pretīm virsotnei  un mala  pretīm virsotnei ). Ar šiem apzīmējumiem sfērisko kosinusa teorēmu var pierakstīt ar trigonometriskām funkcijām kā:

, ko var arī pierakstīt pārējām malām un iegūt:

Lai iegūtu sfēriskā trijstūra leņķi, tos var izteikt no šīs sfēriskā kosinusa teorēmas.

 Piemērs ar Zemes distancēm 
Var izrēķināt attālumu starp vietām uz Zemes, ja ir zināmas sākuma un galamērķa ģeogrāfiskās koordinātes – ģeogrāfiskais garums  un ģeogrāfiskais platums . Piemēram, koodrinātes Starptautiskai lidostai "Rīga" ir ,  un koordinātes Berlīnes Brandenburgas lidostai ir , . Var izveidot tādu sfērisku trijstūri, kur divas virsotnes ir sākuma un galamērķis, bet trešā virsotne ir ģeogrāfiskais ziemeļpols, kur . Šāda konstrukcija ir izdevīga, jo divi punkti un pols var definēt sfērisku trijstūri. Ja tiek meklēta trijstūra leņķiskā distance ir , tad iegūst šādas leņķiskās distances: ,  un trijstūra leņķi pie pola , no kosinusa teorēmas iegūst: 

Pieņemot, ka Zeme ir ideāla lode ar konstantu rādiusu , var iegūt distanci pēc formulas:

, kas apmēram sakrīt ar avotā piedāvātai vērtībai. Nobīdes varētu radīt apaļošans kļūdas un tas, ka Zemes rādiuss ir mainīgs un nedaudz lielāks pie ekvatora nekā pie poliem.

 Izvedums 
Apskatīsim vienības sfēru ar trīs vienības vektoriem , kas no sfēras centra ir vērsti uz katru no trijstūra virsotnēm. Tad, var ieviest tādu dekarta koordinātu sistēmu, ka virsotne  atrodaz uz z-ass, ar koordinātēm . Citu virsotni  pagriezt tā, lai tās y vērība būtu 0. Šīs virsotnes koordinātes var iegūt, ja apskata riņķi xz-plaknē un izmanto faktu, ka uz vienības sfēras lielā riņķa loka garums sakrīt ar šī loka leņķisko garumu. No tā iegūst: . Nedaudz sarežģītāks ir  vektors- tā koordināti nosaka divas rotācijas. Viena no tām ir leņķis , ko vektors  ir pagriezies xy-plaknē (attēlā arī apzīmēts kā leņķis ). Šī rotācija ietekmē x, y koordinātes vektoram. Otra ir loka garums/leņķis  par kuru šis vektors ir pagriezies no z-ass. Šī rotācija ietekmē visas koordinātes, jo tā ietekmē pa kāda rādiusa apli rotē leņķis  xy-plaknē, bet tas arī ietekmē z koordināti. No šiem apsvērumiem var iegūt šī vektora koordinātes: . 
Tagad caur skalāro reizinājumu var iegūt leņķi starp vektoriem  un :

.

Priekš vienības sfēras, centra leņķis  ir tas pats, kas loka garums  un rotācija pa xy-plakni ar leņķi  ir tas pats, kas sfēriskā trijstūra leņķis , līdz ar to iegūst meklēto formu:

 Mazo leņķu tuvinājums 
Pie maziem leņķiem sfēriskā kosinusu teorēma sakrīt ar kosīnusa teorēmu priekš mazām leņķisām distancēm. Izmantojot mazo leņķu tuvinājumus   un , (kas atbilst Teilora rindas pirmajiem locekļiem) iegūst:

, bet pie maziem leņķiskām distancēm , tādēļ šo kvartisko locekli tuvināti var ignorēt un iegūt:

, kas ir kosinusa teorēma plaknes ģeometrijā.

 Atsauces 

Kategorija:Ģeometrija
Kategorija:Neeiklīda ģeometrija