Bāze (lineārā algebra)

Bāze lineārajā algebrā ir mazākā vektoru kopa, ar kuru lineāro kombināciju var iegūt jebkuru citu vektoru apskatītajā telpā. Citiem vārdiem, tā ir tāda vektoru sistēma, ka visi sistēmas vektori ir lineāri neatkarīgi viens no otra (tādēļ tā arī ir mazākā vektoru kopa) un šo vektoru veidotajā telpā jebkuru vektoru var lineāri izteikt ar šiem vektoriem. Dimensiju jēdziens ir tādā veidā saistīts ar bāzi, ka kādas telpas bāzes vektoru skaitu sauc par šīs telpas dimensiju.

 Definīcija 
Par bāzi lineārā telpā  sauc vektoru kopu , ja izpildās nosacījumi:

 Vektori  ir lineāri neatkarīgi
 Jebkuru vektoru  var lineāri izteikt ar , jeb

 Piemērs 
Telpā  jebkuri trīs nekomplanāri vektori (neatrodas vienā plaknē) ir lineāri neatkarīgi, bet jebkuri četri vektori  vienmēr ir lineāri atkarīgi un eksistē tādi reāli skaitļi , ka izpildās . Līdz ar to iegūst, ka

 Telpas  bāze ir jebkuri trīs nekomplanāri vektori
 Telpas  dimensija 

 Unitātes īpašība 
Ja  ir lineāras telpas  bāze, tad jebkuru vektoru  tikai vienā vienīgā veidā var izteikt ar šiem bāzes vektoriem: 

 Pierādījums 
Pieņemsim, ka šo patvaļīgo vektoru var izteikt citādi ar koeficientiem , ka , bet tad būtu jāizpildās vienādojumam , jeb . Tā kā bāzes vektori ir lineāri neatkarīgi, tad vienādība izpildās tikai, ja , tātad vektoru var izteikt vienā vienīgā veidā.

 Vektora koordinātas 
Ja vektors  ir izteikts ar bāzes vektoriem: , tad skaitļus  sauc par vektora  koordinātām šajā bāzē. Šo koeficientu vērtības nevar mainīt vietām un iegūt ekvivalentu rezultātu, secība ir svarīga. Darbības ar vektoriem vienā un tajā pašā bāzē var reducēt uz darbībām ar vektoru koordinātām, balstoties uz īpašībām:

  tad un tikai tad, ja visas koordinātas ir nulle, 
  izpildās tad un tikai tad, ja katra vektora atbilstošās koordinātas sakrīt. Ja  un , tad vienādība izpildās, ja .
 Divu vektoru summa ir tas pats, kas koordinātu summēšana. , jeb 
 Vektoru reizinot ar skaitli, katru koordinātu reizina ar šo skaitli. 

 Atsauces 

Kategorija:Lineārā algebra