Rolla teorēma

Rolla teorēma ir teorēma matemātiskajā analīzē, kas apgalvo, ka gadijumā, kad reālas vērtības pieņemoša atvasināma funkcija pieņem vienādas vērtības divos atšķirīgos punktos, eksistē vismaz viens punkts starp tiem, kurā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar 0. Šādus punktus sauc par stacionārajiem punktiem. Teorēma nosaukta par godu franču matemātiķim Mišelam Rollam.

Precīzāka matemātiska definīcija ir šāda — ja funkcija , kas pieņem reālas vērtības, ir nepārtraukta slēgtā intervālā  un atvasināma vaļējā intervālā , kā arī , tad eksistē vismaz viens punkts  intervālā , tāds, ka .

Rolla teorēma ir izmantota, lai pierādītu Lagranža teorēmu, kurai Rolla teorēma ir speciālgadījums.

 Pierādījums 
Tā kā funkcija  ir nepārtraukta intervālā , tai eksistē maksimums un minimums šajā intervālā, apzīmēsim tos ar  un . Aplūkosim divus gadījumus.

 . Tādā gadījumā funkcija  intervālā  ir konstanta funkcija, un tās atvasinājums ir 0 visos intervāla  punktos.
 . Tā kā , funkcijas maksimālā un minimālā vērtība abas vienlaikus nevar atrasties intervāla robežpunktos. Tātad intervālā  eksistē punkts , kas ir vai nu maksimums, vai minimums. No Fermā teorēmas izriet, ka .

 Ārējās saites 
Encyclopedia of Mathematics ieraksts 

Kategorija:Matemātiskā analīze