Bifona adatas problēma

Tiek dota adata ar garumu , kas tiek mesta uz plakanas virsmas, kurai ir atzīmētas paralēlas taisnes ar konstantu atstarpi starp tām . Kāda ir varbūtība, ka adata šķērsos vienu no šīm taisnēm?

Meklēto varbūtību adatai, kas ir īsāka par atstarpi starp taisnēm , var iegūt no formulas: .

Šo uzdevumu var izmantot, lai ar Montekarlo metodes palīdzību aproksimētu (aprēķinātu ar tuvinājumiem) skaitli π. Šīs konstantes parādīšanās ir skaidrojama ar problēmas rotācijas simetrijas dabu.

 Atrisinājums īsajai adatai 
Lai vienkāršotu analīzi, galdu var uzskatīt par  plakni  koordināti uz kādas no līnijām. Adatu var apskatīt kā masas centru un šauro leņķi, kas veidojas starp adatu un paralēlo taišņu perpendikulu. Var arī novērot, ka, mainot adatas masas centru  virzienā, atbilde nemainās. Ņemot vērā arī to, ka atbilde arī nemainās, ja  koordinātei pieskaita pusi no atstarpes starp taisnēm (koordināte ir cikliska ar periodu ), kā arī simetrijas dēļ pietiek apskatīt leņķa koordināti tikai intervāla . Šie apsvērumi samazina gadījuma lielumu telpu uz .

Lai adata šķērsotu kādu no līnijām, ir jāizpildās diviem nosacījumiem:

 , lai vispār būtu iespēja šķērsot kādu no līnijām;
 , kritiskais leņķis, kad adata tieši pieskaras taisnei;
Lai iegūtu varbūtību abiem šiem nosacījumiem izpildīties, ir jāaprēķina to integrālis:

, kur 

Saucēju var izintegrēt par konstantēm un skaitītāja funkcija  pārmaina integrāli no visas gadījuma lieluma telpas uz mazāku robežu:

, veicot substitūciju  iegūst

, veicot integrāciju pa daļām iegūst: , veicot substitūciju  iegūst 

 Atsauces 

Kategorija:Varbūtību teorija