Varbūtību blīvuma funkcija

Varbūtību blīvuma funkcija, arī blīvuma funkcija varbūtību teorijā ir funkcija, kuras laukumu zem līknes intervālā  var interpretēt kā varbūtību, ka gadījuma lielums nāks no šī  intervāla. Tā ir nepārtrauktā versija varbūtību masas funkcijai. Varbūtības blīvums ir varbūtība uz garuma vienību, — sekas šim, iespējams, šķiet paradoksiālas, ka absolūti precīza mērījuma varbūtība ir nulle, taču tas ir robežas gadījums, kad intervāla garums tiecas uz nulli, nenulles intervālam ir nenulles varbūtība. Arī varētu šķist paradoksiāli, ka varbūtību blīvuma funkcija var būt lielāka par 1 (robežas gadījumā pat bezgalība vienā punktā un nulle citos, kā Dīraka delta funkcijā), tomēr blīvuma funkcija prasa tikai lai integrālis pa visām iespējamajām vērtībām ir 1, nevis varbūtību blīvums ir 1.

 Īpašība 
Ja ir dota nenegatīva, reāla funkcija  ar īpašību:



tad funkciju  sauc par varbūtības blīvuma funkciju.

 Blīvuma funkcijas interpretācijas 
Varbūtību blīvuma funkciju var interpretēt kā sagaidāmo vērtību atrašanās vietai . Ja pamaina , ka izpildās , kur  ir pilnā masa kādam ķermenim, tad  atbilst masas centra koordinātei. Ja varbūtību blīvuma funkciju interpretē kā masas sadalījumu, tad inerces momentu iegūst no integrāļa 

 Blīvuma funkcija saskaitītiem gadījuma lielumiem 
Galvenais raksts: Konvolūcija
Pieņemsim, ka tiek meklēta blīvuma funkcija divu gadījuma lieluma summai . Šajā gadījumā blīvuma funkciju iegūst kā šo funkciju konvolūciju: 

 Piemērs 
Gadījuma lielumi saskaitās, piemēram, saistītās sistemātiskās kļūdās. Varētu ņemt mērījumus ar svariem, kuru sistemātiskā kļūda ir ± 0,5 grams. Tā kā papildus informācijas nav, kļūda varētu būt + 0,2 g vai — 0,5 g, abi ir vienādi iespējami. Šāds sadalījums ir vienmērīgs sadalījums un varētu uzdot jautājumu- kāds ir gadījuma kļūdas sadalījums diviem vienmērīgiem sadalījumiem? (kas atbilstu kļūdai, kad masas saskaita).

Atbilde ir šo blīvuma funkciju konvolūcija. Abi sadalījumi ir kastes veida funkcija un šoreiz var arī kvalitatīvi izspriest kā izskatīsies to konvolūcija, bez integrāļa rēķināšanas. Atsevišķi funkcijas  ir kastveida un to formula ir . Tā kā konvolūciju var intepretēt kā laukumu abu integrāļa funkciju reizinājumam, pārklāto reģionu reizinājums būs , bet nepārklātajos reģionos to reizinājums būs nulle. Attiecīgi var izspriest, ka šis integrālis atbilst taisnstūru laukumiem, kas ir lineāri atkarīgi no malas garuma  un mainot  šī konvolūcijas funkcija  mainīsies lineāri no . Šie varbūtību blīvumi sāks pārklāties, kad , precīzi pārklājās pie , kad  un beigs pārklāties, kad . No šiem spriedumiem var iegūt trijstūra grafiku, kas parādīts animācijā: 

 Atsauces 

Kategorija:Varbūtību teorija
Kategorija:Statistika