Stirlinga formula

Stirlinga formula, arī Stirlinga aproksimācija ir funkcija, pēc kuras var tuvināti aprēķināt faktoriāla vērtību. Tā ir noderīga, jo pie lieliem ievades skaitļiem faktoriāla formulā, rezultāts ļoti strauji aug. Šāda aproksimācija noder, piemēram, tuvināti rēķinot permutācijas, kombinācijas, Teilora rindas locekļus, algoritmu sarežģītību, statistiskās fizikas uzdevumus u.c. 

Viens veids, kā noformulēt aproksimāciju: , kur  ir skaitlis, kuram meklē faktoriāli,  ir Eilera skaitlis un  norāda lielā O pierakstu.

 Izvedumi 

 Tuvinājums ar logaritmu 
Ja pieraksta faktoriāla logaritmu un izmantojot tā integrāļa aproksimāciju iegūst:

.

Aptuvenojums ir spēkā, jo:

, kur  norāda apaļošnu uz leju un  norāda apaļošanu uz augšu. Līdz ar to absolūtā kļūda starp summu un integrāli ir , kas atbilst asimptotiskajam Stirlinga aproksimācijas apgalvojumam:

, kur  nozīmē ka abi lielumi ir asimptotiski, jeb ņemot robežu  šo lielumu attiecība tiecas uz 1.

 Tuvinājums ar Puasona sadalījumu 
Lai iegūtu tuvinājumu faktoriālam, var apskatīt Puasona sadalījumu un tā konverģenci uz normālo sadalījumu caur centrālo robežteorēmu. Puasona sadalījums ar lielu parametra  vērtību konverģē uz normālo sadalījumu. Šis parametrs  arī atbilst vidējai vērtībai un dispersijai, to varbūtību sadalījumi aptuveni sakritīs:

. Ievietojot formulā vidējo vērtību , izteiksme tiek vienkāršota:

, izsakot faktoriāli iegūst: , kas arī atbilst Stirlinga formulai.

 Atsauces 

Kategorija:Kombinatorika
Kategorija:Skaitļu teorija