Eilera—Lagranža vienādojums

Eilera—Lagranža vienādojums ir rezultāts variāciju rēķinos un klasiskajā mehānikā. Ar to iegūst otrās kārtas parasto diferenciālvienādojumu sistēmu, kuras atrisinājumi ir stacionāri punkti kādam funkcionālim (funkcija, kas par ievadi ņem funkciju un izvadi dod skaitli). Vienādojumus atklāja 1750-tajos gados Leonards Eilers un Žozefs Lagranžs.

Tā kā funkcionālis dod stacionāros punktos tā ekstrēmus, Eilera—Lagranža vienādojumi ir noderīgi optimizācijas problēmās. Ar to tiek meklēta kāda funkcija, kas maksimizē/minimizē funkcionāļa vērtību. Šis rezultāts ir analogs rēķinos, ka funkcijas ekstrēmos tās atvasinājums ir vienāds ar nulli. Piemēram, Lagranža mehānikā, izmantojot mazāko akcīzes principu, ir iespējams iegūt sistēmas trajektoriju. Klasiskajā mehānikā šie vienādojumi ir ekvivalenti Ņūtona likumiem, un šāda pieeja ir labāka par Ņūtona pieeju, kad spēka vektori ir sarežģīti. Vēl viena priekšrocība Eilera—Lagranža vienādojumam ir tāda, ka tas darbojas arī vispārinātās koordinātēs.

 Apgalvojums 
Ļaujam  būt tādam funkcionālim, ka: . Tādā gadījumā jebkurai stacionārai funkcijai priekš šī funkcionāļa izpildīsies Eilera—Lagranža vienādojums: 

Šajā pierakstā ar punktu virs koordinātes  tiek apzīmēts koordinātes atvasinājums pēc laika. Ar vienādojumu sistēmu iegūst, ka ir vairākas vispārinātās koordinātes - tad katrai koordinātei izpildās Eilera—Lagranža vienādojums:

.

 Piemērs 
Apskatīsim daļiņu, kura tiek izsviesta un pārvietojas xy plaknē bez berzes, -y virzienā ir vērsta gravitācija. Tādā gadījumā lagranžiāns pierakstītos kā: .

Ievietojot lagranžiānu pēc x koordinātes Eilera—Lagranža vienādojumā iegūst: , jeb x koordināte mainīsies kā vienmērīgā kustībā vai nemainīsies.

Ievietojot lagranžiānu pēc y koordinātes Eilera——Lagranža vienādojumā iegūst:, jeb y koordinātei būs paraboliska trajektorija. Koeficientus  iegūst no sākumnosacījumiem.

 Atsauces 

Kategorija:Diferenciālvienādojumi