Bernulli skaitlis

Bernulli skaitļi ir racionālu skaitļu virkne, kuri parādās matemātiskajā analīzē. Tie parādās Teilora rindās tangensa un hiperboliskā tangensa funkcijām, Faulhābera formulā pirmajiem n naturālajiem skaitļiem, kas kāpināti m-tajā pakāpē, kā arī atsevišķās vērtībās Rīmaņa zeta funkcijā.

Pastāv divi pierakstu veidi  un , kas atšķiras tikai vērtībai n = 1 , kur  un . Citiem nepāra skaitļiem Bernulli skaitļi ir nulle. Pāra skaitļiem  ir negatīvs, ja n dalās ar 4 un pozitīvs citos gadījumos.

 Pakāpju summa 
Bernulli skaitļi sākotnēji parādījās Jākoba Bernulli pēcnāves publikācijā 1713. gadā, kā arī neatkarīgi parādījās Seki Kovas pēcnāves publikācijā 1712. gadā. Bernulli pētīja summas kāpinātiem naturāliem skaitļiem (summas skaitļu kvadrātiem, kubiem, u.t.t.). Definējam .

Pirmās vērtības:

Šīs summas Bernulli pārformulēja, ievērojot to saistību ar kombinācijām. No summas izvelkot koeficientu  un no koeficientiem izvelkot noteiktas kombinācijas iegūst konstantus skaitļus, kurus dēvē par Bernulli skaitļiem. Pirmie Bernulli skaitļi virknē: 

Vispārīgi šo summu var pierakstīt kā 

 Definīcijas 
Bernulli skaitļus var ieviest dažādos veidos:

 Rekursīvi
 Funkcija
 Ģenerējošā funkcija
 Integrālis

 Rekursija 
Bernulli skaitļiem izpildās formulas:

kur  un  ir Kronekera delta. Izsakot  iegūst rekusīvās formulas:

 Funkcija 

 Atsauces 

 Ārējās saites 

Kategorija:Skaitļu teorija