Viļņu vienādojums

Viļņu vienādojums apraksta viļņa izplatīšanos laikā un telpā. Tas ir otrās kārtas lineārs parciālais diferenciālvienādojums, kas izklāsta mehāniskos viļņus (piemēram, ūdens viļņi, skaņas viļņi, seismiskie viļņi) vai elektromagnētiskos viļņus (t.sk. redzamo gaismu). Ar to sastopas akustikā, elektromagnētismā un šķidrumu mehānikā. Pastāv vēl cita veida viļņu vienādojums kvantu mehānikā, kas netiks apskatīts šajā rakstā.

 Formula 
Vispārīgajā gadījumā, viļņu vienādojums var būt arī vektoriāls vienādojums. Tomēr, ja mekletā funkcija  apraksta skalāru lauku, tad viļņu vienādojums pierakstās kā:

, kur  ir pozitīva konstante, kas atbilst viļņa izplatīšanās ātrumam,  ir skalārs lauks, piemēram, novirze, vai vispārīgāk kādai vērtībai, kas saglabājas (piemēram, spiediens, blīvums).

Tā kā tas ir diferenciālvienādojums, tam nepieciešami sākumnosacījumi un robežnosacījumi lai aprakstītu fizikālu situāciju.

 Viļņa vienādojums vienā dimensijā 
Vienādojums vienkāršojas, ja to apskata vienā dimensijā:

 Izvedums 
Viļņa vienādojumu vienā dimensijā var iegūt vairākos veidos (stīgas svārstības 2 dimensijās, ar huka likumu, ar elektromagnētisku vilni vakuumā u.c.). Viens veids ir apskatot deformāciju radītos mehāniskos spriegumus:

Apskatām homogēna cilindra nelielu fragmentu: mehāniskais spriegums  uz laukumu spiež vienā galā un otrā galā ir cita sprieguma vērtība, kas pie mazas telpas izmaiņas  ir vienāda ar . Izmantojot otro Ņūtona likumu, iegūst izteiksmi:

, kur  ir novirze  virzienā,  ir stieņa blīvums (idejiski , apskatītā cilindra gabaliņa masa). Noīsinot un iztalot ar  iegūst: . Tālāk, ja pieņem lineāru sakarību starp mehānisko spriegumu un relatīvo pagarinājumu (elastīgas deformācijas), tad ir spēkā vienādojums , kur  ir Junga modulis un  ir relatīvais pagarinājums. Relatīvo paragrinājumus savukārt var pierakstīt kā  un ievietojot lineārajā sakarībā ar mehānisko spriegumu iegūst  un parciāli atvasinot šo pēc  iegūst  . Ievietojot atpakaļ pārveidotajā Ņūtona likumā iegūst:

, jeb , kur  ir viļņa izplatīšanās ātruma kvadrāts.

 Atsauces 

Kategorija:Viļņu fizika