Furjē rinda

Furjē rinda ir periodiskas funkcijas izvirzīšana kā iespējamu bezgalīgi daudzu trigonometrisku funkciju summa. Izvirzot funkciju kā rindu, vairākas problēmas kļūst vieglāk analizējamas, jo trigonometriskas funkcijas ir labāk izprotamas. Piemēram, Žozefs Furjē izmantoja savā vārdā nosaukto rindu, lai atrisinātu siltuma vienādojumu. Ja funkcijas ir gludas (nepieciešamais daudzums atvasinājumu eksistē un tie ir nepārtraukti), tad Furjē rinda vienmēr konverģē uz oriģinālo funkciju. Koeficientus rindai iegūst, atrisinot integrāļus funkcijas reizinājumam ar sinusa un kosinusa funkcijām vai kompleksu eksponentfunkciju.

 Definīcija 
Pastāv vairākas definīcijas, viena no tām ir šāda rinda:Ja funkcijas periods ir  un atbilst , tad izteiksme kļūst par

 kur koeficientus  un  var aprēķināt pēc formulām:Atkarībā no patvaļīgas funkcijas perioda garuma , ja tas atšķiras no , tad koeficients priekšā integrālim, integrāļa robežas un trigonometrisko funkciju argumenti mainās. Jo vairāk summas locekļu tiek ņemti, jo precīzāks būs rezultāts.

Vēl Furjē rindu iespējams definēt ar kompleksu eksponentfunkciju summu.  Koeficienti  ir kompleksi skaitļi un tos nosaka ar integrāli:

 Piemērs 
Dota funkcija:




Furjē rindas koeficientus var aprēķināt pēc formulām:



 koeficienti ir nulle, jo  ir nepāra funkcija, tādēļ simetrisks integrālis ap punktu 0 dod integrāļa vērtību nulle.

Pierakstot pašu Furjē rindu, iegūst:

Šī rinda tiecas uz oriģinālo funkciju visos punktos, izņemot pašos perioda galos.

 Trigonometriskās formulas izvedums 

 Koeficienta  iegūšana 
Pieņemsim, ka periodisku funkciju  ar periodu  var uzrakstīt kā rindu:  , kur  ir konstantes. Koeficientu  var iegūt, integrējot abas puses: , kur , jo funkcija  ir nepāra. Savukārt funkcija , kas ir vienāds ar nulli, jo pie  sinusa funkcija . Līdz ar to 

 Koeficienta  iegūšana 
Izmantojam līdzīgu paņēmienu kā  koeficienta iegūšanā, bet pirms integrēšanas pareizinām abas puses ar funkciju , kur  tāpat kā  ir naturāls skaitlis, tad iegūstam izteiksmi: 

Tad atsevišķi var apskatīt integrāļus:

Izmantojot trigonometriskās sakarības  un 

iespējams aizvietot šos reizinājumus ar summām. Sinusa un kosinusa reizinājums veido nepāra funkciju, tādēļ tās simetrisks integrālis ir nulle. Divu sinusu un kosinusu reizinājumam ir līdzīga argumentācija, kas aptuveni ir:, izmantojot iepriekšējo argumentāciju, ka , tad vienīgais nenulles rezultāts nāk, kad , tad .

Apvienojot šo ar iepriekšējo rezultātu, ka  no oriģinālās rindas iegūst:

, jeb , samainot indeksus  un  vietām iegūst , Q.E.D. Šādi var iegūt arī formulu koeficientam , ja pirms integrēšanas abas puses pareizina ar .

 Atsauces 

Kategorija:Matemātiskā rinda