Lineārs diferenciālvienādojums

Lineārs diferenciālvienādojums ir diferenciālvienādojums formā . To var arī aprakstīt kā lineāru kombināciju ar n-kārtas atvasinājumiem. Šīs lineārās kombinācijas tiek pareizinātas ar funkcijām , kurām nav obligāti jābūt lineārām. Visbeidzot šīs lineārās kombinācijas ir vienādas arī ar patvaļīgu funkciju . Ja , tad tas kļūst par homogēnu diferenciālvienādojumu.

 Lineāri homogēns vienādojums ar konstantiem koeficientiem 
Diferenciālvienādojums ir lineāri homogēns vienādojums ar nemainīgiem koeficientiem, ja tam ir forma: , kur  ir reāli vai kompleksi skaitļi. Tālāk var ieviest lineāra operatora jēdzienu.

 Lineārs diferenciāloperators 
Ieviešot diferenciāloperatoru formā:  (tas ir lineārs, jo izpildās abas linearitātes īpašības, ka  un ).

Izmantojot šo jēdzienu, lineāri nehomogēno vienādojumu var pierkastīt kā:

, un speciālgadījumā  vienādojums kļūst homogēns , kas atbilst lineārā operatora kodolam.

 Atrisinājums lineāri homogēnam vienādojumam ar konstantiem koeficientiem 
Atgriežoties pie lineāri homogēna vienādojuma ar konstantiem koeficientiem: , ir vērtīgi apskatīt eksponentfunkciju , kas ir unikālais atrisinājums diferenciālvienādojumam  un . No šī seko, ka n-tais atvasinājums funkcijai  ir . Meklējot atrisinājumus šādā eksponenciālā formā ļauj atrisināt homogēnus, lineārus diferenciālvienādojumus kaut cik viegli. Tiks meklēti atrisinājumi formā - ievietojot vienādojumā iegūst:

, izdalot abas puses ar  (kas pie reāliem  funkcija  nav nulle) iegūst raksturīgo vienādojumu:

Ja visas saknes ir unikālas, tad iegūst n lineāri neatkarīgus risinājumus, kas nav obligāti reāli, var būt arī kompleksi. Kopā šie atrisinājumi veido risinājumu vektortelpas bāzi, jeb diferenciāloperatora kodolu.

Ja raksturīgajam polinomam saknes nesakrīt, tad rodas pilna atrisinājumu vektoru telpa. Ja kādas saknes sakrīt, tad iegūst papildus lineāri neatkarīgos atrisinājumus un tiem ir forma , kur  ir naturāls skaitlis,  ir risinājuma sakne ar  sakrītošām saknēm un izpildās nosacījums .

 Atrisinājuma piemērs 
Vienādojumam  meklējot atrisinājumus eksponenciālajā formā  un ieveitot diferenciālvienādojumā: . Var izdalīt ar  un iegūt raksturīgo polinomu: . Šim atrisinājumam ir saknes  kur  ir imaginārā vienība. Būt vienādojuma saknēm nozīmē, ka raksturīgo polinomu var pārrakstīt formā . Saknēm, kas neatkārtojas, veidos atrisinājuma bāzi . Saknēm, kuras atkārtojas, ir papildus soļi jāveic, lai iegūtu to veidoto bāzi. Apskatīsim diferenciālvienādojumu, ja būtu tikai šī divkāršā sakne :

, ieviesīsim lineāru diferenciāloperatoru . To ir noderīgi ieviest, jo tagad diferenciālvienādojumu var pārrakstīt formā , apzīmējot , kur  ir jauna funkcija iegūst vienādojumu: , jeb , kam atkal var meklēt ekponenciālo formu , kur šoreiz , tātad . Ievietojot šo funkciju substitūcijas vienādojumā iegūst: , jeb , pareizinot abas puses ar  un pārvēršot kreiso pusi par atvasinājumu iegūst: , integrējot abas pēc  iegūst: , izsakot meklēto funkciju iegūst: . Tātad atrisinājums būs šo atrisinājuma bāžu superpozīcija: . Imaginārās eksponentes var pārveidot un iegūt atrisinājumu: .

 Atsauces 
Kategorija:Diferenciālvienādojumi