Vektoru lauks

Vektoru lauks ir funkcija, kas kāda telpas apgabala katram punktam piekārto vektoru . Vektora lauka vektorfunkciju kādā telpas punktā  pieraksta kā . Vektoru lauka piemēri ir ātruma un paātrinājuma lauki tekošā šķidrumā vai gāzē, gravitācijas spēka lauks, elektrostatiskā lauka intensitātes lauks u.c.

Katra punkta  atbilstošo vektoru  var projicēt uz koordinātu asīm un vektoru lauku pierakstīt ar tā komponentēm: . Šādi vektorlauks tiek definēts ar trim skalārām funkcijām P, Q, R.

 Vektoru lauka operācijas 

 Līnijas integrālis 
Līnijas integrāli definē kā:

, kur  ir līnijas parametrizācija ar robežām  un . Fizikā var izmantot līnijas integrāļus, lai aprēķinātu spēka vektoru lauka padarīto darbu: .

 Vektoru lauka plūsma 
Vektoru lauka plūsmu  caur virsmu  definē kā:

, kur  ir vienības normāles vektors kādā virsmas punktā. Ja šis vienības normāles vektors tiek projicēts uz koordinātēm x, y, z, tad plūsmu var definēt kā pirmā veida virsmas integrāli: , bet tā kā , tad tas ir arī otrā veida virsmas integrālis: . 

Viena no ģeometriskajām interpretācijām vektoru lauka plūsmai ir tāda — tā raksturo caur virsmu  krustojošo vektoru skaitu, kas ir pozitīvs, ja vairāk vektoru vērsti koordinātu pozitīvajā virzienā nekā negatīvajā virzienā. Ja vektoru lauks ir ātruma lauks, tad plūsma norāda izplūdušo tilpumu pozitīvo koordinātu virzienā. Piemēram, Venturi caurulē dažādos caurules posmos ir dažāds šķērsgriezums un šķidruma ātrums, bet konstanta plūsma.

 Diverģence 
Diverģenci vektorlaukam definē kā plūsmu noslēgtai virsmai:

, no šīs definīcijas var iegūt diverģenci vienā punktā: , ko var vispārināt arī vairāk dimensijām. Diverģences rezultātā tiek iegūts skalārs lielums. Interpretācija diverģencei ir tāda, ka tas ir mērs cik ļoti mazs tilpums ap kādu punktu  ir kā avots vai noplūde.

 Vektora lauka cirkulācija 
Par vektoru lauka cirkulāciju pa noslēgtu kontūru  sauc līnijintegrāli:

. Tā pat kā līnijas integrālim, ja vektoru lauks ir spēka lauks, tad līnijas integrāli var interpretēt kā padarīto darbu: . Taču, pastāv arī hidromehāniskā interpretācija.

Pieņemam, ka šķidrums rotē ap Oz asi ar leņķisko ātrumu , tad šī radītais ātruma lauks būs , kur  un šis ātruma lauks ir 

Ja izvēlas apli ar centru uz Oz ass kā kontūru, tad pēc cirkulācijas aprēķināšanas iegūst . Dalot ar riņķa laukumu, iegūst cirkulācijas blīvumu . Principā, vektora lauka rotoru kādā punktā var interpretēt pa komponentēm kā cirkulācijas blīvumu, kad ņem kontūru ar laukumu, kas tiecas uz nulli un komponente ir orientēta laukuma normāles virzienā.

 Rotors trīs dimensijās 
Rotors ir operācija, kas kā ievadi ņem vektoru un kā izvadi dod vektoru. Galvenokārt rotors ir definēts tikai trīs dimensijās un to definē kā:

, kur vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar determinanta palīdzību. Interpretācija rotoram ir kāda punkta impulsa momenta blīvums.

 Vektorlīnijas 
Pieņemsim, ka vektoru lauks laikā nemainās, tādā gadījumā līniju, kuras katrā punktā pieskares vektora virziens sakrīt ar vektora lauka virzienu šajā punktā, sauc par vektorlīniju.  Ja līniju var parametriski pierakstīt kā , tad tās pieskares vektors ir . No šo vektoru paralelitātes iziet, ka to komponenšu garumi atšķiras par konstantes reizinājumu un iegūst izteiksmes:  jeb .  Atrisinot šos diferenciālvienādojumus, iegūst vienādojumus ar diviem parametriem, kuri norāda trajektoriju saimes. Sākuma nosacījumi nosaka,  pa kuru integrāllīniju pārvietotos, piemēram, daļiņa plūsmā.

 Atsauces 

Kategorija:Vektorlauka teorija