Krustiskā attiecība

Krustiskā attiecība ir koeficients ģeometrijā, kurš ir piesaistīts četriem kolineāriem punktiem, konkrētāk punktiem, kas atrodas uz projektīvas līnijas. Šo koeficientu mēdz dēvēt arī par divkāršo attiecību un anharmonisko attiecību. Priekš četriem punktiem  uz vienas līnijas, to krustisko attiecību definē kā:

Ja kāds no punktiem ir satekpunkts(punkts bezgalībā, horizontā), tad garumus, kas satur šo punktu, noņem no formulas.

Krustiskā attiecība ir invariants lineāru daļu transformācijām. Tas ir vienīgais projektīvās transformācijas (kolineācijas) invariants četriem kolineāriem punktiem, šis koeficients ir svarīgs projektīvajā ģeometrijā.

 Projektīvā ģeometrija 
Krustiskā attiecība ir projektībās ģeometrijas invariants, tas saglabā savu vērtību pēc projektīvām transformācijām, kas iedarbojas uz projektīvu līniju. Krustiskā attiecība ir nepārprotama, jo nav atkarīga no sākumpunkta un mēroga. Papildus izpildās: ja  ir četras līnijas, kas krustojas punktā , tad jebkura līnija , kas nekrusto punktu  krustosies ar līnijām četros unikālos punktos (ja šī līnija  ir paralēla kādām no  līnijām, tad tās krustosies satekpunktā). Izrādās, ja krustisko attiecību ņem secīgiem punktiem, tad tā nav atkarīga no līnijas .

 Pierādījums 
Ja četras līnijas krustojas punktā , tad jebkurai līnijai , kas krustojas ar līnijām  punktos  eksistē tāds augstums , kas ir perpendikuls taisnei . Iespējams aprēķināt trijstūru laukumus:

Var redzēt, ka , ja izmanto augstumu formulu laukumiem.

Ja izmanto sinusu formulas laukumiem, tad krustiskā attiecība ir vienāda ar  un tā kā šie leņķi nav atkarīgi no patvaļīgās līnijas , tad krustiskā attiecība ir invariants šīm līnijām.

 Atsauces 

Kategorija:Ģeometrija