Klucīšu kraušanas problēma

Klucīšu kraušanas problēma ir statikas uzdevums, kas apskata klucīšu kraušanu tā, lai to kaudzīte veidotu pārkari, vai arī karātos pāri, piemēram, galda malai. Tiek prasīts novietot  identiskus, nestiepjamus, taisnstūrainus klucīšus tā, lai iegūtu maksimālu pārkari.

Ir pieejams apkopots literatūras avots (Paterson et al. (2007)), kas ietver atsauces uz šo uzdevumu mehānikas mācību grāmatās no 19. gadsimta vidus.

 Varianti 

 Viena klucīša platums 
Viena klucīša platuma uzdevumā tikai viens klucītis var atrasties katrā "stāvā". Ideālajā gadījumā maksimālo pārkari var aprēķināt pēc formulas . Tā kā šī apgriezto skaitļu rinda (harmoniskā rinda) diverģē, tad maksimālā pārkare tiecas uz bezgalību. Jāatzīst, nepieciešamais klucīšu skaits, lai pārkare palielinātos par vienu klucīša garumu, ļoti strauji pieaug. Mazākais klucīšu skaits, lai maksimālā pārkare ir vismaz  klucīšu garumi, ir 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, ...

 Vairāku klucīšu platums 
Vairāki klucīši vienā "stāvā" var izmantot citus klucīšus kā pretsvarus. Pat ar trīs klucīšiem ir iespējams iegūt pārkari par veselu klucīti, turpretim viena klucīša platuma variants piedāvā 11/12 klucīša garumu kā pārkari.

 Pierādījums viena klucīša platumam 
Formulu maksimālajai pārkarei  klucīšu gadījumā, kur katra klucīša garums ir  un masa ir  un tikai viens klucītis var atrasties katrā "stāvā", var pierādīt, ja apskata spēka momentus, kuri veidojas, pievienojot vienu klucīti klāt. Bāzes gadījumā (), masas centrs atradīsies tieši uz galda malas un pārkare būs  gara.

Ja klucīšu skaits ir , var uzskatīt, ka virsējo  klucīšu masas centrs atrodas tieši virs galda malas, tad tiek pievienots -tais klucītis kaudzes apakšā ar pārkari  un statiska līdzsvara gadījumā spēku momenti ir līdzsvarā:

No šī var secināt, ka katrs -tais klucītis palielinās pārkari par , jeb priekš  klucīšiem maksimālā pārkare būs, kas arī bija jāpierāda.

 Atsauces 

Kategorija:Statika