Viviani teorēma

Viviani teorēma ir sakarība vienādmalu trijstūrī starp patvaļīgu punktu un trijstūra malu augstumiem pret šo punktu. Tā apgalvo, ka jebkur trijstūra iekšpusē novietojot punktu , mazo trijstūru augstumu summa būs vienāda ar lielā trijstūra augstumu .

 Pierādījums 
Teorēmu var pierādīt izmantojot faktu, ka pie jebkura punkta  lielā trijstūra laukums nemainās un pielīdzinot divas lielā laukuma formulas.

Trijustūris sastāv no virsotnēm  un malas garums ir . Atliekot punktu  un savienojot to ar virsotnēm, rodas jauni trijstūri . Šiem jaunajiem trijstūriem var novilkt augstumus .

Lielajam trijstūrim laukumu var izteikt ar pamatu un augstumu: , kur  - trijstūra pamats,  - trijstūra augstums, savukārt to pašu laukumu var pierakstīt kā mazo trijstūru summu: . Pielīdzinot izteiksmes: , jeb noīsinot: .

 Teorēmas paplašinājums 
Teorēmas apgrieztais apgalvojums arī ir patiess: ja trijstūrī mazo augstumu summa ir neatkarīga no punkta , tad trijstūris ir vienādmalu.

Paralelogramā šī īpašība arī izpildās- jebkurā punktā paralelograma iekšpusē attālumu summa starp punktu  un paralelograma malām būs konstanta. Bez šī arī apgrieztais apgalvojums ir patiess: ja četrstūrī attālumu summa starp punktu  un paralelograma malām ir konstanta, četrstūris ir paralelograms.

Regulārā daudzstūrī ar izpildās šī īpašība  — attālumu summa no punkta  līdz visām malām būs neatkarīga no  atrašanās vietas un skaitliski vienāda ar n reiz apotēma , kur n ir stūru skaits un apotēma ir ievilktā riņķa rādiuss.

 Atsauces 

Kategorija:Ģeometrija