Ptolemaja teorēma

Ptolemaja teorēma ir sakarība ievilktā četrstūrī starp tā malām un diagonālēm. Ptolemajs to izmantoja, lai aprēķinātu hordu garumus dažādiem leņķiem no kā var iegūt, piemēram, sinusa vērtību tabulu. Ja ievilktā četrstūra virsotnes ir secīgi A, B, C, D, tad teorēma apgalvo, ka .

Ar Ptolemaja teorēmu var pierādīt dažādas citas teorēmas, piemēram, Pitagora teorēmu, kosinusu teorēmu, sinusa leņķu summu, sinusa leņķu starpību, kosinusa leņķu summu.

 Pierādījums ar līdzīgiem trijstūriem 

2) Tiek atrasti līdzīgie trijstūri  un .3) Tiek iegūtas līdzīgo trijstūru malu attiecības  un  un tās summējot iegūst meklēto .
Ievilktam četrstūrim ABCD ievilktie leņķi  un  attiecas uz vienu loku , tādēļ tie ir vienādi. Pēc tās pašas argumentācijas ievilktie leņķi  un  attiecas uz loku , tādēļ tie ir vienādi. Var ieviest tādu punktu  uz līnijas , ka izpildās . No tā var secināt, ka  un , tad pielīdzinot un atceroties, ka  iegūst .

Tagad trijstūriem  un  ir divi vienādi leņķi ( un ), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri . Pēc tās pašas argumentācijas trijstūriem  un  ir divi kopīgi leņķi ( un ), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri .

Līdzīgi trijstūri saglabā malu attiecības, tādēļ no līdzīgiem trijstūriem  iegūst  un no līdzīgiem trijstūriem  iegūst . Katrā izteiksmē pareiznot ar saucējiem iegūst:  un . Summējot abas izteiksmes iegūst: , iznesot kopējo reizinātāju: , savukārt , tādēļ ievietojot iegūst  Q.E.D.

Šis pierādījums izpildās tikai, ja četrstūra malas viena otru nešķērso, taču teorēma ir spēkā arī šķērsojošu malu gadījumā.

Kategorija:Ģeometrija