Puasona sadalījums

Puasona sadalījums varbūtību teorijā un statistikā ir diskrēts varbūtību sadalījums. Tas nosaka, kāda ir varbūtība notikt dotam skaitam notikumu kādā laika intervālā ar pieņēmumiem, ka notikumiem piemīt konstanta "vidējā biežuma" vērtība un katrs nākamais notikums ir neatkarīgs no iepriekšējiem notikumiem. Šim sadalījumam var mainīt mērvienības, piemēram, interneta veikals kā mainīgo(x asi) var izmantot minūtes un vidējo vērtību ņemt pirkumu skaitu laika intervālā, bet tikpat labi mainīgais var būt apmeklētāju skaits un vidējās vērtības mērvienības var būt pircēju skaits. Puasona sadalījumu var izmantot arī gadījumos ar vairākām dimensijām, piemēram, gadījumu skaits laukumā vai tilpumā.

Ja ir zināma Puasona sadalījuma sagaidāmā vērtība  un zināms intervāls(laiks, mājaslapas apmeklētāju skaits, u.c.), tad varbūtība notikt  notikumiem šajā intervālā ir: , kur  ir Eilera skaitlis un  ir faktoriāls 

Ar Puasona sadalījumu var modelēt dažādas situācijas, piemēram, interneta veikala pirkumu skaitu, salūzušu produktu skaitu garantijas laikā, radioaktīvo sabrukšanu atomos un citas situācijas. Jāņem vērā, ka sadalījums pieņem nemainīgu sagaidāmo vērtību  un notikumu savstarpējo neatkarību, kas dzīvē nav vienmēr spēkā.

 Izdevums 
No sākuma pieņemsim, ka varbūtība notikumam notikt kādā laika intervālā  ir , kur  ir mazs lielums, notikumi dažādos laika intervālos ir neatkarīgi cits no cita un katrā intervālā var notikt tikai viens notikums. Trešais pieņēmums var šķist patvaļīgs, taču ar tā palīdzību var modelēt Binomiālo sadalījumu, kā arī tāpat, ja  tiek ņemts pietiekami mazs, tad šis izpildās. Šādā gadījumā pēc Binomiālā sadalījuma formulas varbūtība notikt tieši  notikumiem ir 

Tagad pieņemsim  par konstanti, maksimālo gadījumu skaitu kā limitu  un . Šādi var iegūt varbūtību notikt  notikumiem , kad gadījuma lielums  ir sadalīts pēc Puasona sadalījuma. Tagad ir nepieciešams aprēķināt šo robežu:

, ko var pārrakstīt kā četrus reizinātājus citādāk: 

Pēc pārkārtošanas var iegūt, ka pirmais reizinātājs nav atkarīgs no , otrais un trešais kopā tiecas uz 1, ko var iegūt izmantojot, piemēram, Stirlinga aproksimāciju faktoriālim , faktoriāļus var aizvietot:

Ceturtais reizinātājs tiecas uz . Sareizinot visus reizinātājus, iegūst Puasona sadalījumu .

 Atsauces 

Kategorija:Varbūtību teorija
Kategorija:Statistika