Masas centrs

Masas centrs jeb inerces centrs ir tāds punkts, kam pieliekot ārējo spēku, tas kustas tā, it kā visa objekta masa būtu koncentrēta šajā materiālajā punktā. Masas centrs sakrīt ar smaguma centru, ja objekts atrodas viendabīgā gravitācijas laukā. Masas centrs var atrasties kā objekta iekšienē, tā arī ārpus tā.

 Masas centrs materiāliem punktiem 
Masas centru materiāliem punktiem var aprēķināt pēc formulas:

, kur  ir masas centra koordināte,  ir masa i-tajam punktam un  ir koordināte i-tajam punktam. Piemēram, planētas un zvaigznes savstarpējo rotāciju vai pavadoņa un planētas savstarpējo rotāciju var apskatīt ar masas centra palīdzību.

Ja nepieciešams atrast masas centru 3 dimensiju objektam, var aprēķināt masas centru katrai dimensijai atsevišķi.

 Piemērs 

 Atrast sistēmas Zeme-Mēness masas centru.

Zemes masa ir 5,97 * 10^24 kg, Mēness masa ir 7,35 * 10 ^22 kg, attālums starp Zemi un Mēnesi ir 3,84 * 10^5 km. Pieņemot Zemi par atskaites punktu un ievietojot formulā, iegūst:

Tā kā Zemes rādiuss ir ~ 6370 km, tad sistēma Zeme-Mēness griežas ap baricentru, kas ir Zemes iekšienē.

 Masas centrs nepārtrauktam ķermenim 
Masas centru nepārtrauktam 1 dimensijas ķermenim var aprēķināt pēc integrāļa:, kur  ir masu summa,  ir ķermeņa masa kāda koordinātā .

 Piemērs 

 Dots horizontāls lauks, jāaprēķina darbu kas jāveic, lai izceltu pussfēras formas bedres zemi līdz zemes līmenim, ja bedres rādiuss ir , zemes blīvums ir  un brīvās krišanas paātrinājums ir .

Vispirms var novērot, ka, ja tiek atrasts šīs pussfēras masas centrs , tad iespējams aprēķināt nepieciešamo darbu ar formulu , kur  ir darbs,  ir visa masa un  ir augstums līdz zemes virsmai.

Visas zemes masa pussfēras bedrei ir .

Integrāli var pārrakstīt kā , kur  ir tilpuma gabals. Izsakot  un  var ievietot atpakaļ integrālī ar robežām , : . Ievietojot pussfēras tilpuma formulu iegūst: .

Ievietojot darba formulā .

 Masas centrs pēc simetrijām 
Ja visam objektam ir vienāds blīvums, tad, atrodot jebkādu simetrijas asi, masas centrs atradīsies uz šīs ass. Atrodot divas šādas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs.

 Skatīt arī 

 Svērtais vidējais
 Klucīšu kraušanas problēma

 Atsauces 

Kategorija:Klasiskā mehānika