Eilera formula

Eilera formula, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim  izpildās:

, kur  ir Eilera skaitlis,  ir imaginārā vienība un ,  ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss. Formula ir arī spēkā, ja  ir komplekss skaitlis.

Kad , Eilera formula ir vienāda ar , ko dēvē arī par Eilera identitāti

 Kompleksas pakāpes definīcijas 

 Diferenciālvienādojums 
Pakāpes funkcija , kur  ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

 un

 Teilora rinda 
Priekš kompleksiem mainīgajiem  izpildās Teilora rinda:

.

 Robeža 
Priekš kompleksiem mainīgajiem  izpildās robeža:

Robežās definīcijas izmantotie  ir pozitīvie veselie skaitļi.

 Pierādījumi 
Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

 Izmantojot atvasināšanau 
Apskatīsim funkciju  jeb , kur  ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc  ar reizināšanas kārtulu iegūst:

, iznesot pirms iekavām  iegūst . Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad  ir nulle, jeb  ir konstanta funkcija. Tā kā , tad pie jebkuras vērtības  izpildās , jeb .

 Izmantojot Teilora rindu 
Izmantojot imaginārās vienības  pakāpju īpašības:

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem :

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz  un  funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

 Saistība ar trigonometriju 
Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot  vai :

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:

 Atsauces 

Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Kompleksie skaitļi