Kvadrātfunkcija

Kvadrātfunkcija ir funkcija, kuru apraksta vienādojums , kur a,b,c ∈ R un a≠0.
   "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 21. lpp,   
  Funkcijas grafiks ir parabola.
   "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 616 lpp.,  

 Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi. 

Saknes un diskriminants 

 Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.
   "Elementary and Intermediate Algebra", Ron Larson, 638. lpp,  

  Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas :  
     Ja  , tad vienādojumam ir 2 saknes, 
   Ja  , vienādojumam ir viena sakne, 
   bet, ja  , sakņu nav. 
     "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 29. lpp,   
     "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 582 lpp., " 

 Saknes var aprēķināt pēc formulas
   "Technical Shop Mathematics", Thomas Achatz, John G. Anderson, Kathleen McKenzie, 276. lpp,    
  :  
 Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas
   "Quadratic Equation" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html, Weisstein, Eric W. 
  :

 Krustpunkts ar y asi 
 Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0. 
 Piemēram: 




 Funkcijas  grafiks krusto y asi punktā (0;1) 
<p> Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas 

Parabolas zaru vērsums

 Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa. 
 Ja , zari ir vērsti uz augšu  (piemēram, ), bet ja , zari ir vērsti uz leju  (piemēram, ).
 "Mathematics: quadratic equations.: How solve a quadratic equation.", Marilù Garo, 5. lpp 


Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtība
Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (xv;yv) vai (xo;yo).
 Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:
Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā: 
Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību. 
Ja zari ir vērsti uz augšu, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja zari ir vērsti uz leju, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma.  "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 622 lpp.,  

Paritāte 
Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.
Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra. 


 Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojuma 

Funkcija ir pāra, ja:

Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija  ir pāra funkcija:


Abas puses sakrīt, tātad funkcija  ir pāra funkcija.
Tagad pārbaudīsim vai funkcija  ir pāra funkcija:


Abas puses nesakrīt, tātad funkcija  nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

 Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafika 
Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb , 

Vienādzīmju intervāli

  Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un , tad    un    
  Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un , tad   un    
 Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēm  
 Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva. 
 Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva. 
<p> Piemēram, funkcijai  sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls , ja 

Monotonitāte

Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.
Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā , bet augoša .

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā , bet augoša .

Pārbīdes
Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

 Koeficients Kādu pārbīdi tas veic Attēls a Mainot a koeficientu, mainās zaru vērsums un platums.  Zari ir vērsti uz augšu, ja , bet uz leju, ja .   Jo lielāks a koeficients, jo tuvāk parabolas zari atradīsies pie funkcijas simetrijas ass.  thumb| b B koeficients nosaka pārbīdi pa x asi. Parabola būs pa kreisi no y ass, ja , parabolas virsotne atradīsies uz x ass, ja , parabola būs pa labi no y ass, ja .  thumb| c <p>C koeficients nosaka pārbīdi pa y asi un nosaka y koordinātas krustpunktā ar y asi. Ja , tad parabola tiks virzīta uz augšu pa y asi, ja , tad parabola tiks virzīta uz leju pa x asi,  bet ja  parabola krustos y asi punktā (0;0).  thumb|

 Skatīt arī 
 Kvadrātvienādojums 
 Diskriminants 
 Lineāra funkcija 
 Funkcija

Atsauces

 Ārējās saites 
 Teorija par kvadrātfunkciju
 DZM materiāls par kvadrātfunckiju
 materiāli par kvadrātfunkciju atbilstoši 9. klases standartam
 Funkciju grafiku kalkulators (angļu valodā)

Kategorija:Funkcijas