Būla algebra

Matemātikā un matemātiskajā loģikā Būla algebra ir algebras apakšnozare, kurā mainīgo vērtības ir patiesumvērtības patiess un nepatiess, ko parasti atzīmē attiecīgi ar 1 un 0. Atšķirībā no elementārās algebras, kur mainīgo vērtības ir skaitļi un galvenās operācijas ir saskaitīšana un reizināšana, Būla algebrā galvenās operācijas ir konjunkcija un, ko apzīmē ar ∧, disjunkcija vai, ko apzīmē ar ∨, un negācija, ko apzīmē ar ¬.

Būla algebru 1854. gadā ieviesa Džordžs Būls savā grāmatā An Investigation of the Laws of Thought.﻿ Saskaņā ar E. V. Hantingtonu, termins "Būla algebra" pirmoreiz tika ieteikts 1913. gadā, kad to lietoja Henrijs Šefers.piezīme 278. lpp.: "* The name Boolean algebra (or Boolean "algebras") for the calculus originated by Boole, extended by Schröder, and perfected by Whitehead seems to have been first suggested by Sheffer, in 1913" quoted from E. V. Huntington January 1933, "NEW SETS OF INDEPENDENT POSTULATES FOR THE ALGEBRA OF LOGIC, WITH SPECIAL REFERENCE TO WHITEHEAD AND RUSSELL'S PRINCIPIA MATHEMATICA", http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-01/S0002-9947-1933-1501684-X/S0002-9947-1933-1501684-X.pdf 

Būla algebrai ir bijusi ārkārtīgi liela nozīme datorzinātnes un digitālās loģikas attīstībā. To izmanto arī kopu teorijā un statistikā.

 Operācijas 
 Pamatoperācijas 

Būla algebras pamatoperācijas ir šādas:
 un (konjunkcija), apzīmēta x∧y (reizēm x AND y vai Kxy), apmierina x∧y = 1, ja x = y = 1 un x∧y = 0 citos gadījumos.
 vai  (disjunkcija), apzīmēta x∨y (reizēm  x OR y vai Axy), apmierina x∨y = 0, ja x = y = 0 un x∨y = 1 citos gadījumos.
 ne (negācija), apzīmēta ¬x (reizēm NOT x, Nx vai !x), apmierina ¬x = 0, ja x = 1 un ¬x = 1, ja x = 0.

Ja patiesības vērtības 0 un 1 interpretē kā veselus skaitļus, šīs darbības var izteikt ar parastajiem aritmētikas darbību operatoriem:
x∧y = xy,
x∨y = x + y - xy,
¬x = 1 - x.

Alternatīvi x∧y, x∨y un ¬x vērtības var izteikt ar patiesumvērtību tabulu palīdzību šādi.

{| border="0" style="border:4px"
|- valign="top"
|
| colspan="5" |
 x y x∧y x∨y 0  0   0  0 1  0   0  1 0  1   0  1 1  1   1  1
|
|
|
 x ¬x 0   1 1   0
|+ 1. attēls.  Patiesumvērtību tabulas
|}

Var pieņemt, ka tikai negācija un viena no divām operācijām ir pamatoperācija, jo šīs vienādības ļauj definēt konjunkciju kā atkarību no negācijas un disjunkcijas un otrādi:
x ∧ y = ¬(¬x ∨ ¬y)
x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y)

 Atsauces 

 Ārējās saites 
 How Stuff Works – Boolean Logic
 Science and Technology - Boolean Algebra  satur sarakstu un pieradījumus ar Būla teorēmām un likumiem.

Kategorija:Būla algebra