Aritmētikas pamatteorēma

Skaitļu teorijā aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka jebkurš naturāls skaitlis n > 1 ir viennozīmīgi izsakāms kā pirmskaitļu reizinājums formā
 kur  ir pirmskaitļi un  ir pozitīvi veseli skaitļi un m ≥ 1.Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorija, 2. lekcija, 11. lpp..
Skatīt nodaļas:
§1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
§2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
§2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.

 Pielietojumi 

Ja zināms, kā dotos skaitļus sadalīt pirmreizinātājos, ir ļoti viegli atrast to lielāko kopīgo dalāmo un mazāko kopīgo dalītāju. Zinot dotā skaitļa n sadalījumu pirmreizinātājos, var viegli aprēķināt arī Eilera funkciju , kas ir RSA šifrēšanas algoritma pamatā.

 Pierādījums 

Pirmais šīs teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklīda "Elementu" septītajā grāmatā (apgalvojumi 30 un 32).David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry , 218. un 219. lpp. Taču pirmais no mūsdienu viedokļa pieņemamais pierādījums ir atrodams Karla Frīdriha Gausa darbā "Disquisitiones Arithmeticae", kas izdots 1801. gadā.
(Mūsdienu izdevums) , 16. Teorēma, 6. lpp.

 Vispārinājumi 

Aritmētikas pamatteorēmu var vispārināt dažādām algebriskām struktūram. Piemēram, tā izpildās daudziem gredzeniem. Šādus gredzenus sauc par faktoriālgredzeniem (angliski — unique factorization domain).Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli. Aritmētikas pamatteorēma triviāli izpildās jebkurā laukā.

 Atsauces 

 Ārējās saites 

 Proof of fundamental theorem of arithmetic , PlanetMath.
 Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic, MathWorld.
 GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic, cut-the-knot.
 Kevin R. Coombes, The Fundamental Theorem of Arithmetic.

Kategorija:Aritmētika
Kategorija:Skaitļu teorija
Kategorija:Elementārā matemātika