Skalārais reizinājums

Matemātikā skalārais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem vektoriem piekārto skalāru lielumu jeb skaitli, kas raksturo doto vektoru garumu un leņķi starp tiem, un nav atkarīgs no koordinātu sistēmas, kurā vektori uzdoti.

 Definīcija 

Par reālā n-dimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru  un  skalāro reizinājumu sauc tādu reālu skaitli c, ka

kur
 un  ir vektoru  un  garumi un θ ir leņķis starp tiem.

Skalārā reizinājuma darbību apzīmē ar "", piemēram, .

 Aprēķināšanas metodes 

 Pa tiešo 

Trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru  un  skalārais reizinājums ir

 Ar summas palīdzību 

Ja  un  atrodas n-dimensiju Eiklīda telpā, tad to skalāro reizinājumu atrod ar summas palīdzību:

 Ar matricu palīdzību 

Vektoru skalāro reizinājumu var atrast ar matricu reizināšanas palīdzību. Ja vektorus  un  pieraksta kā kolonnas vektorus jeb matricas  un  ar vienu kolonnu un n rindiņām, tad

ir 1 × 1 matrica, kuras vienīgais elements ir vienāds ar . Šeit  apzīmē matricas  transponēto matricu (šajā gadījumā rindas vektoru).

 Pielietojumi 
Ar skalāro reizinājumu var iegūt vektora garumu/moduli: 

Ar skalāro reizinājumu var iegūt leņķi starp vektoriem: 
Ar skalāro reizinājumu var iegūt spēka padarīto darbu: . Ja spēka virziens sakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad leņķis  starp tiem ir nulle un izteiksme vienkāršojas par vektora garumu reizinājumu: . Ja spēka virziens nesakrīt ar pārvietojuma virzienu, tad nepieciešams projecēt spēku pārvietojuma virzienā: . Ja ceļa garumā šis leņķis mainās starp spēku un pārvietojumu, piemēram, pārvietojums spēka vektoru laukā, tad jāizmanto integrālis: .

 Terminoloģija 

Angliski jēdzienu scalar product lieto, lai apzīmētu skalāro reizinājumu reālā Eiklīda telpā. Lai apzīmētu skalārā reizinājuma vispārinājumu prehilberta telpā (piemēram, kompleksā Eiklīda telpā), lieto jēdzienu inner product jeb "iekšējais reizinājums". Latviešu valodā šāds jēdziens nav iegājies, tāpēc jēdzienu "skalārais reizinājums" attiecina gan uz reālām Eiklīda telpām, gan uz prehilberta telpām., liis.lv. Līdzīgi arī vācu valodā jēdzienu Skalarproduct lieto abos gadījumos.

 Atsauces 

Kategorija:Analītiskā ģeometrija
Kategorija:Vektoru analīze
Kategorija:Lineārā algebra
Kategorija:Bilineāras formas
Kategorija:Bināras operācijas
Kategorija:Vektori