Kāpināšana

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā an, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi an lasa kā "a pakāpē n".

 Pakāpes ar veselu kāpinātāju 
 Pozitīvs kāpinātājs 
Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme an atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:
 Ja n = 2, tad izteiksmi a2 = a·a sauc par lieluma  kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
 Ja n = 3, tad izteiksmi a3 = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

 Negatīvs kāpinātājs 
Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

+ Kāpināšana mazās pakāpēs n an 0 a0 = 1 1 a1 = a 2 a2 = a·a 3 a3 = a·a·a

 Kāpinātāji 0 un 1 
Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 00 ir nenoteiktība).

 Pakāpes ar daļveida kāpinātāju 
Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

 Pakāpju īpašības 
Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

taču kāpināšana nav asociatīva:

 Apgrieztā darbība 
Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

 Kāpināšanas tabula 
n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n102 4816326412825651210243 927812437292187656119 68359 0494 16642561024409616 38465 536262 1441 048 5765 25125625312515 62578 125390 6251 953 1259 765 6256 362161296777646 656279 9361 679 61610 077 69660 466 1767 49343240116 807117 649823 5435 764 80140 353 607282 475 2498 64512409632 768262 1442 097 15216 777 216134 217 7281 073 741 8249 81729656159 049531 4414 782 96943 046 721387 420 4893 486 784 40110100100010 000100 0001 000 00010 000 000100 000 0001 000 000 00010 000 000 000

 Skatīt arī 
 Kvadrātsakne
 Kubsakne
 Logaritms
 Polinoms
 Saknes vilkšana

 Ārējās saites 
 Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
 Exponential , PlanetMath.
 Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
 Introducing 0th power , PlanetMath.
 Exponentiation, answermath.com.
 Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).

Kategorija:Algebra
Kategorija:Elementārās funkcijas