Hilberta līkne

Hilberta līkne (zināma arī kā Hilberta telpu piepildošā līkne) ir nepārtraukta fraktāļu plakni piepildoša līkne, kuru pirmoreiz aprakstīja vācu matemātiķis Dāvids Hilberts 1891. gadā.D. Hilbert: Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück. Mathematische Annalen 38 (1891), 459—460.

Tā kā tā ir plakni piepildoša, tās Hausdorfa dimensija (pie robežas ) ir .

Eiklīda attālums  ir , t.i. tas aug eksponenciāli ar .

Vairākdimensiju datubāzēs ir ietikts izmantot Hilberta kārtu z-kārtas līknes vietā tās labāko lokalitātes saglabāšanas īpašību dēļ. Databāzu algoritmi ar Hilberta kārtību tiek pielietoti J. Lawder, P. King: querying multidimensional data indexed using the Hilbert space filling curve. SIGMOD Record, 30(1); 19-24, 2001.  H. Tropf: US patent application 2004/0177065, an improved description of the European patent EP 03003692.5; it includes also an algorithm for calculating Hilbert values in n dimensions.

 Attēlojums Lindemaijera sistēmā 
Lindemaijera sistēmā Hilberta līkni var izteikt kā pārrakstīšanas sistēmu. 

Alfabēts : L, R
Konstantes : F, +, −
Aksioma : L 
Produkciju likumi: 
 L → +RF−LFL−FR+ 
 R → −LF+RFR+FL−

Kur F nozīmē "zīmēt uz priekšu", + nozīmē "pagriezties par 90° pa kreisi" un - - "pagriezties par 90° pa labi" ( bruņurupuču grafika).

 Datorprogramma 

A. R. Butzs A.R. Butz: Alternative algorithm for Hilbert’s space filling curve. IEEE Trans. On Computers, 20:424-42, April 1971. ir izveidojis algoritmu vairākdimensiju Hilberta līknes veidošanai. libHilbert ir C++ bibliotēka, kas izmanto Butza algoritmu vairākām dimensijām.

Šī Java sīklietotne zīmē Hilberta līkni, rekursīvi izsaucot četras metodes:
import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class HilbertCurve extends Applet {
    private SimpleGraphics sg=null;
    private int dist0=512, dist=dist0;

    public void init() {
        dist0 = 512;
        resize ( dist0, dist0 );
        sg = new SimpleGraphics(getGraphics());
    }

    public void paint(Graphics g) {
        int level=4;
        dist=dist0;
        for (int i=level;i>0;i--) dist /= 2;
        sg.goToXY ( dist/2, dist/2 );
        HilbertA(level); // start recursion
    }

    private void HilbertA (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);
        }
    }

    private void HilbertB (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);
        }
    }

    private void HilbertC (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);
        }
    }

    private void HilbertD (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);
        }
    }
}

class SimpleGraphics {
    private Graphics g = null;
    private int x = 0, y = 0;    

    public SimpleGraphics(Graphics g) { this.g = g; }
    public void goToXY(int x, int y) { this.x = x;   this.y = y; }

    public void lineRel(int deltaX, int deltaY) {
        g.drawLine ( x, y, x+deltaX, y+deltaY );
        x += deltaX;    y += deltaY;
    }
}

Vēl viena versija, kas realizē attēlojumu Lindenmaijera sistēmā. Kods rakstīts Tuga Turtle valodā. 
  def f
    walk 10
  end
  def p
    turn 90
  end
  def m
    turn -90
  end
  def l(n)
    return if n==0
    p; r(n-1); f; m; l(n-1); f; l(n-1); m; f; r(n-1); p
  end
  def r(n)
    return if n==0
    m; l(n-1); f; p; r(n-1); f; r(n-1); p; f; l(n-1); m
  end

  l(6)

 Atsauces 

 Skatīt arī 
 Sierpinska līkne
 z-kārtība (līkne)

Kategorija:Fraktāļu līknes