Iracionāls skaitlis

Matemātikā iracionāls skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls (to nevar izteikt formā m/n, kur m ir vesels skaitlis, bet n — naturāls skaitlis). Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √, 3 − √/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.

Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar  un tā ir racionālo skaitļu kopas  papildinājums reālo skaitļu kopā :

Tā kā  ir nesanumurējama kopa, bet  ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa  ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas  kardinalitāte ir lielāka par kopas  kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas  mērs kopā  ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).

 Iracionalitātes pierādīšana 

Pirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √ un zelta griezums φ.

Pierādījums tam, ka skaitlis √ ir iracionāls
Pieņemsim, ka √ ir racionāls skaitlis jeb eksistē tādi veseli skaitļi m un n ≠ 0, ka √ = m/n. Papildus varam pieņemt, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra — pretējā gadījumā abus skaitļus var izdalīt ar 2. Ja abas vienādojuma √ = m/n puses pareizina ar n un ceļ kvadrātā, tad iegūst 2n2 = m2. No šīs sakarības izriet, ka m ir jābūt pāra skaitlim, teiksim, m = 2p, kur p ir vesels skaitlis. Tātad 2n2 = 4p2 jeb n2 = 2p2. Tas nozīmē, ka n arī ir jābūt pāra skaitlim. Tā ir pretruna, jo mēs pieņēmām, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra.   

 Īpašības 

 Ja iracionālam skaitlim pieskaita vai atņem racionālu skaitli, tad joprojām iegūst iracionālu skaitli. Līdzīgi, ja iracionālu skaitli reizina vai dala ar racionālu skaitli (kas nav 0), tad arī iegūst iracionālu skaitli.
 Divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram, √ + (1 − √) = 1.
 Eksistē divi iracionāli skaitļi, kuru summa un reizinājums ir racionāli skaitļi. Piemēram, 2 + √ un 2 − √.

 Neatrisinātas problēmas 

Par nevienu no šiem skaitļiem joprojām nav zināms, vai tas ir racionāls vai iracionāls:
 π + e un π − e (vispārīgā gadījumā: mπ + ne, kur m un n ir veseli skaitļi, kas atšķiras no nulles),
 2e, πe un π√2, 
 Katalāna konstante G = 0,91596559…,
 Eilera konstante γ = 0,57721566….

 Skatīt arī 

 Racionāls skaitlis

 Atsauces 

 , 45. lpp.
 .

 Ārējās saites 

 Eric W. Weisstein, Irrational Number, MathWorld.

Kategorija:Iracionāli skaitļi
Kategorija:Skaitļu teorija
Kategorija:Raksti, kas satur pierādījumus