Asociativitāte

Matemātikā asociativitāte ir īpašība, kas var piemist binārai operācijai. Asociativitāte ir viena no grupas aksiomām. Intuitīvi asociativitāte nozīmē to, ka izteiksmes vērtība nav atkarīga no tā, kā saliek iekavas. To, cik lielā mērā operācija ir asociatīva, raksturo asociators.

Ja izteiksmē vairākas reizes pēc kārtas parādās viena un tā pati asociatīva binārā operācija (piemēram, saskaitīšana vai reizināšana), tad izteiksmes vērtība nav atkarīga no šo operāciju izpildes secības, tāpēc iekavas parasti neliek. Piemēram,
 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
 (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c.
Taču šāda īpašība nav spēkā, ja izteiksmē ir dažādas asociatīvas binārās operācijas. Piemēram,
 (1 + 2) · 3 ≠ 1 + (2 · 3),
jo kreisā puse ir vienāda ar 3 · 3 = 9, bet labā — ar 1 + 6 = 7.

Asociativitātei līdzīga īpašība ir komutativitāte. Komutativitāte nozīmē to, ka operācijas argumentu secībai nav nozīmes (nevis operāciju izpildes secībai).

 Definīcija 

Bināru operāciju "" kopā S sauc par asociatīvu, ja jebkuriem trijiem kopas S elementiem x, y, z izpildās īpašība (x  y)  z = x  (y  z). Formāli to pieraksta šādi:

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder").

 Piemēri 

 Asociatīvas operācijas 

 Operācija Operācijas īpašība Piemērs Saskaitīšana (a + b) + c = a + (b + c) (5 + 1) + 3 = 6 + 3 = 9,  5 + (1 + 3) = 5 + 4 = 9. Reizināšana (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24,  2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24. Lielākais kopīgais dalītājs LKD(LKD(a, b), c) = LKD(a, LKD(b, c)) LKD(LKD(12, 6), 4) = LKD(6, 4) = 2,  LKD(12, LKD(6, 4)) = LKD(12, 2) = 2. Mazākais kopīgais dalāmais MKD(MKD(a, b), c) = MKD(a, MKD(b, c)) MKD(MKD(2, 6), 5) = MKD(6, 5) = 30,  MKD(2, MKD(6, 5)) = MKD(2, 30) = 30. Matricu reizināšana (A · B) · C = A · (B · C) Funkciju kompozīcija (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) A, B, C — patvaļīgas kopas,  f: A → B, g: B → C, h: C → D — funkcijas starp tām. Punktu saskaitīšana uz eliptiskās līknesTas, ka punktu saskaitīšana uz eliptiskās līknes ir asociatīva, nebūt nav acīmredzami, taču to ir iespējams pierādīt. Skatīt, piemēram,
 Stefan Friedl, An Elementary Proof of the Group Law for Elliptic Cruves . (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C ir punkti uz eliptiskās līknes.

 Neasociatīvas operācijas 

 Operācija Operācijas īpašība Piemērs Atņemšana (a − b) − c ≠ a − (b − c) (4 − 2) − 1 = 2 − 1 = 1,  4 − (2 − 1) = 4 − 1 = 3. Dalīšana (a / b) / c ≠ a / (b / c) (4 / 2) / 2 = 2 / 2 = 1,  4 / (2 / 2) = 4 / 1 = 4. Kāpināšana     Oktonionu reizināšanaOktonionu reizināšanas likumi atrodami šeit:
 John C. Baez, The Octonions , nodaļa 2.1 The Fano plane .
 Oleksandr Pavlyk, Octonions and the Fano Plane Mnemonic, The Wolfram Demonstrations Project. (a · b) · c ≠ a · (b · c) (e1 · e2) · e3 = e4 · e3 = −e6,  e1 · (e2 · e3) = e1 · e5 = e6.

 Skatīt arī 

 Komutativitāte
 Distributivitāte

 Atsauces 

 Ārējās saites 

 Eric W. Weisstein, Associative, MathWorld.
 Associative , PlanetMath.

Kategorija:Abstraktā algebra
Kategorija:Grupu teorija
Kategorija:Binārās operācijas