Paralelograms

Paralelograms ir četrstūris, kuram pretējās malas ir pa pāriem paralēlas (vārds "paralelograms" ir cēlies no grieķu "παραλληλ-όγραμμον" jeb "paralēlas taisnes").

 Īpašības  
Paralelogramam piemīt šādas īpašības:
 pretējās malas ir paralēlas un vienāda garuma;
 pretējie leņķi ir vienādi un jebkuru divu secīgu leņķu summa ir 180°;
 paralelograma diagonāļu krustpunkts sadala katru no diagonālēm divās daļās ar vienādu garumu;
 paralelograma smaguma centrs atrodas tā diagonāļu krustpunktā (jebkura taisne, kas iet caur paralelograma diagonāļu krustpunktu, sadala paralelogramu divās daļās ar vienādu laukumu);
 visu četru malu garumu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu garumu kvadrātu summu (paralelograma likums).
 attālumu summa no jebkura punkta  iekšā paralelogramā līdz malām ir neatkarīga no  atrašanās vietas (Viviani teorēmas paplašinājums)

 Laukuma aprēķināšana 
Formula paralelograma laukuma aprēķināšanai
Lai aprēķinātu attēlā redzamā zilā paralelograma laukumu, no taisnstūra laukuma ir jāatņem divu dzelteno trijstūru laukums.

Laukums taisnstūrim, kas satur paralelogramu un abus trijstūrus, ir

Viena dzeltenā trijstūra laukums ir

tāpēc zilā paralelograma laukums ir

Paralelograma laukumu S var aprēķināt pēc šādām formulām:

 Ja B ir paralelograma pamata garums un H ir paralelograma augstums, tad

 Ja divas secīgas paralelograma malas veido leņķi θ un to garumi ir B un C, tad
   kur sin θ ir leņķa θ sinuss.

 Ja divu secīgu paralelograma malu garumi ir B un C (B ≠ C) un tā diagonāles veido leņķi γ, tad
   kur |tg γ| ir leņķa γ tangensa absolūtā vērtība.

 Izmantojot virsotņu koordinātas 
 Ja vektori  un  atbilst divām secīgām paralelograma malām un

ir 2×2 matrica, kas satur vektoru  un  komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukumu var izteikt ar šo vektoru pseidoskalāro reizinājumu jeb matricas M determinantu:

 Ja vektori  un  atrodas n dimensiju telpā un

ir 2×n matrica, kas satur vektoru  un  komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukums ir vienāds ar

kur MT ir matricas M transponētā matrica.

 Ja ,  un  ir trīs paralelograma virsotņu koordinātas, tad tā laukumu var izteikt ar determinantu no 3×3 matricas, kuras pirmās divas kolonnas satur doto vektoru x un y koordinātas, bet visi pēdējās kolonnas elementi ir vienādi ar 1:

 Īpašie gadījumi 
 Rombs — paralelograms, kam visas malas ir vienāda garuma;
 Taisnstūris — paralelograms, kam visi leņķi ir vienādi;
 Kvadrāts — četrstūris, kas vienlaikus ir gan rombs, gan taisnstūris (tā visi leņķi ir vienādi un tāpat arī visas malas).

 Skatīt arī 
 Deltoīds
 Rombs
 Trapece
 Taisnstūris

 Ārējās saites 


 Paralelograms, LIIS.
 Paralelograms  (Flash prezentācija).
 S.Čerņajeva, I.Volodko, Četrstūri (īss teorijas izklāsts), RTU.

Kategorija:Ģeometriskas figūras
Kategorija:Raksti, kas satur pierādījumus