Komutativitāte

Matemātikā komutativitāte ir īpašība, kas var piemist vairākargumentu funkcijai un binārai operācijai. Intuitīvi komutativitāte nozīmē to, ka funkcijas vai bināras operācijas vērtība nav atkarīga no tās argumentu secības. Ja argumentus drīkst mainīt vietām, tad saka, ka tie komutē. To, cik lielā mērā argumenti komutē, raksturo to komutators.

Operācijas, kas nav komutatīvas, sauc par nekomutatīvām. Nekomutatīvu operāciju argumenti nekomutē (to, cik lielā mērā tie nekomutē, raksturo antikomutators). Viens no nekomutatīvu operāciju veidiem ir antikomutatīvas operācijas jeb operācijas, kas ir "maksimāli nekomutatīvas" (argumentus mainot vietām parādās mīnusa zīme).

Komutativitātei līdzīga īpašība ir asociativitāte. Asociativitāte nozīmē to, ka operāciju izpildes secībai nav nozīmes (nevis operācijas argumentu secībai).

Ja grupas operācija ir komutatīva, tad šādu grupu sauc par komutatīvu jeb Ābela grupu.

 Definīcija 


Bināru operāciju "" kopā S sauc par komutatīvu, ja jebkuriem diviem kopas S elementiem x un y izpildās īpašība x  y = y  x. Formāli to pieraksta šādi:

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder"). Līdzīgi definē komutatīvu divargumentu funkciju:

Šo definīciju var viegli vispārināt n argumentu funkcijai:

kur Sn ir skaitļu no 1 līdz n visu permutāciju kopa.

 Piemēri ikdienā 

 Komutatīvas darbības ikdienā 

 Kurpju uzvilkšana ir komutatīva, jo rezultāts nav atkarīgs no tā, vai vispirms uzvelk labo kurpi un tad kreiso, vai otrādi.
 Monētu iemešana kafijas automātā ir komutatīva, jo nav svarīgi kādā secībā tās tiek iemestas, svarīga ir tikai kopējā summa.

 Nekomutatīvas darbības ikdienā 

 Kurpju un zeķu uzvilkšana nav komutatīvas darbības, jo, vispirms uzvelkot kurpes un tad zeķes, iegūst būtiski atšķirīgu rezultātu, nekā vispirms uzvelkot zeķes un tad kurpes.
 Veļas mazgāšana un žāvēšana nav komutatīvas darbības.

 Piemēri matemātikā 

 Komutatīvas operācijas 

 Operācija Operācijas īpašība Piemērs Saskaitīšana a + b = b + a 2 + 3 = 5,  3 + 2 = 5. Reizināšana a · b = b · a 3 · 5 = 15,  5 · 3 = 15.

 Nekomutatīvas operācijas 

 Operācija Operācijas īpašība Piemērs Atņemšana a − b ≠ b − a 2 − 1 = 1,  1 − 2 = −1. Dalīšana a / b ≠ b / a 3 / 1 = 3,  1 / 3 = 1 / 3. Kāpināšana ab ≠ ba 23 = 8,  32 = 9. Matricureizināšana A · B ≠ B · A Funkciju kompozīcija f ∘ g ≠ g ∘ f f(x) = 2x, g(x) = x + 1,  (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2,  (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1. Kvaternionu reizināšana a · b ≠ b · a i · j = k,  j · i = −k.

 Skatīt arī 

 Komutators
 Antikomutativitāte
 Asociativitāte
 Distributivitāte
 Heizenberga nenoteiktības princips

 Ārējās saites 

 Eric W. Weisstein, Commutative un Commute, MathWorld.
 Commutative  un Examples of non-commutative operations , PlanetMath.

Kategorija:Abstraktā algebra
Kategorija:Grupu teorija
Kategorija:Binārās operācijas