Kvadratinė šaknis iš 2

Kvadratinė šaknis iš 2, žymima , – teigiamas realusis skaičius, kurį padauginus iš savęs gaunamas 2.

Geometriškai kvadratinė šaknis iš 2 yra kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui (vienetinio kvadrato), įstrižainės ilgis, tai išplaukia iš Pitagoro teoremos. Kvadratinė šaknis iš 2 turbūt yra pirmasis žinomas iracionalusis skaičius.

Pirmieji 65 kvadratinės šaknies iš 2 dešimtainiai skaitmenys yra:
 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

Trupmena  yra gera  aproksimacija iki pirmų keturių dešimtainių skaitmenų.

 Iracionalumo įrodymas 
Įrodyti, kad kvadratinė šaknis iš 2 yra iracionalusis skaičius galima prieštaros būdu. Norint tai padaryti yra daroma prielaida, kad √2 yra racionalusis skaičius ir parodoma, kad ši prielaida veda į prieštaravimą. Iš to išplaukia, kad √2 negali būti racionalusis skaičius, todėl jis yra iracionalusis.

 Jeigu √2 yra racionalusis skaičius, tai turi egzistuoti tokia trupmena su skaičiais m ir n, kad lygybė √2 = m/n būtų teisinga.
 Galima teigti, kad m/n yra nesuprastinama trupmena, t. y., m ir n neturi bendrojo daliklio.
 Lygtis √2 = m/n gali būti pertvarkyta į m2 = 2n2. Iš to seka, kad m2 yra lyginis skaičius.
 Atsižvelgiant į tai, kad lyginio skaičiaus kvadratas visada yra lyginis skaičius, o nelyginio - nelyginis, iš (3) žingsnio galima daryti išvadą, kad m taip pat turi būti lyginis skaičius. Vadinasi m galima užrašyti kaip m = 2k, kur k - natūralusis skaičius.
 Sujungus lygtis iš (3) ir (4) gaunama: 2n2 = m2 = (2k)2 = 4k2. Kitaip tariant, n2 = 2k2, kas leidžia teigti, kad skaičius n dalijasi iš 2.
 Jeigu m ir n abu dalijasi iš dviejų, tai 2 yra bendrasis daliklis, o tai prieštarauja prielaidai (2), kad m ir n neturi bendro daliklio. √2 - iracionalusis skaičius.

 Šaltiniai 

Kategorija:Skaičiai