Unitarioji matrica

Unitarioji matrica – kompleksinė kvadratinė matrica U, kurios kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica U∗ yra jai atvirkštinė.

čia I yra vienetinė matrica. Fizikoje, kvantinėje mechanikoje Ermitinė jungtinė matrica paprasta žymima durklo pavidalo simboliu †. Tuomet ankstesnė lygybė užrašoma

Unitariosios matricos analogas realiųjų skaičių aibėje yra ortogonalioji matrica. Unitariosios matricos svarbios kvantinėje mechanikoje, kadangi nekeičia normos.

Savybės
Baigtinio rango unitarioji matrica :
Bet kokiems dviem kompleksiniams vektoriams  ir , daugyba iš  nekeičia skaliarinės sandaugos; tai yra, .
 yra normalioji matrica (. Skirtingai nuo unitariosios matricos ši sandauga nebūtinai lygi vienetinei matricai)
 yra diagonalizuojama matrica, tai yra  gali būti išskaidyta

čia  yra unitarioji, o  yra diagonalioji ir kartu unitarioji matrica.
 .
 Tikriniai vektoriai visada ortogonalūs.
  gali būti užrašyta U = exp(iH) , kur  žymi matricos eksponentę,  yra menamasis vienetas, o  yra Ermito matrica.
Matricos  eksponentė gali būti parašyta:

Tiek unitariosios matricos stulpeliai, tiek eilutės sudaro ortonormuotą (ortogonalią ir normuotą) bazę.
Matricos tikrinės vertės išsidėsčiusios ant vienetinio apskritimo.

Bet kokiam neneigiamam sveikam skaičiui n, aibė visų n x n unitariųjų matricų daugybos atžvilgiu sudaro grupę, vadinamą unitariąja grupe U(n).

Bet kuri kvadratinė matrica su vienetine Euklidine norma yra dviejų unitarinių matricų vidurkis.

Jei unitariosios matricos  determinantas lygus vienetui, ji vadinama specialiąja unitariąja matrica.

Aibė visų specialiųjų unitariųjų matricų, kurių rangas  daugybos atžvilgiu sudaro specialiąją unitariąją grupę, žymimą . Grupės  ir  vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje ir elementariųjų dalelių fizikoje.

 Šaltiniai 

Kategorija:Matricos