Katalano kūnas

Matematikoje Katalano kūnas – atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (Eugène Catalan).

Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos nėra taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra izoedrai.

Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.

Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.

Dviem Katalano kūnams būdingas chirališkumas: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra enantiomorfų pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.
nr.Archimedo kūnaiKatalano kūnai1Nupjautinis tetraedras„Triakis“ tetraedras2Nupjautinis kubas„Triakis“ oktaedras3Nupjautinis kuboktaedras„Disdyakis“ dodekaedras4Nupjautinis oktaedras„Tetrakis“ heksaedras5Nupjautinis dodekaedras„Triakis“ ikosaedras6Nupjautinis ikosidodekaedras „Disdyakis“ triakontaedras7Nupjautinis ikosaedras„Pentakis“ dodekaedras8KuboktaedrasRombinis ddodekaedras9IkosidodekaedrasRombinis triakontaedras10Rombinis kuboktaedrasDeltoidinis ikositetraedras11Rombinis ikosidodekaedrasDeltoidinis heksakontaedras12Nusklembtas kubasPenkiakampis ikositetraedras13Nusklembtas dodekaedrasPenkiakampis heksakontaedras

„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, tri – „trys“ ir lotynų acis „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (tetra), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.

 Simetrija 
Katalano kūnus, kaip ir jiems dualius Archimedo kūnus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases: tetraedrines, oktaedrines, ikosaedrines simetrijos kūnus. Kiekvienoje simetrijos klasėje yra po šešis kūnus, o kadangi tetraedrinės simetrijos grupės kūnams būdinga simetrija pačiam sau, čia yra tik trys kūnai, du iš kurių dubliuoja oktaedrinės simetrijos kūnai. Taigi 6+6+3-2=13.
+ Tetraedrinė simetrijaArchimedo kūnai60px60px60pxKatalano kūnai60px60px60px+ Oktaedrinė simetrijaArchimedo kūnai60px60px60px60px60px60pxKatalano kūnai60px60px60px60px60px60px
+ Ikosaedrinė simetrijaArchimedo kūnai60px60px60px60px60px60pxKatalano kūnai60px60px60px60px60px60px

 Sąrašas 
 Pavadinimas
(Dvigubas)
Konvėjaus žymėjimas Vaizdas Ortogonalinis
karkasas Sienos
daugiakampis Sienos Briaunos Viršūnės Simetrija „Triakis“ tetraedras
(nupjautinis tetraedras)
„kT“ 60x60px|„Triakis“ tetraedras67x67px|„Triakis“ tetraedras 75x75px61x61px61x61px Lygiašonis
40x40px
V3.6.6  12  18  8  Td Rombinis dodekaedras
(kuboktaedras)
„jC“ 60x60px|Rombinis dodekaedras60x60px|Rombinis dodekaedras 81x81px 62x62px60x60px Rombas
40x40px
V3.4.3.4  12  24  14  Oh „Triakis“ oktaedras
(nupjautinis kubas)
„kO“ 60x60px|„Triakis“ oktaedras66x66px|„Triakis“ oktaedras 85x85px60x60px61x61px Lygiašonis
40x40px
V3.8.8  24  36  14  Oh „Tetrakis“ heksaedras
(nupjautinis oktaedras)
„kC“ 60x60px|„Tetrakis“ heksaedras60x60px|„Tetrakis“ heksaedras 61x61px60x60px61x61px Lygiašonis
40x40px
V4.6.6  24  36  14  Oh Deltoidinis ikositetraedras
(rombinis kuboktaedras)
„oC“ 60x60px|Deltoidinis ikositetraedras60x60px|Deltoidinis ikositetraedras 60x60px67x67px60x60px Aitvaras
40x40px
V3.4.4.4  24  48  26  Oh „Disdyakis“ dodekaedras
(nupjautinis kuboktaedras)
„mC“ 60x60px|„Disdyakis“ dodekaedras63x63px|„Disdyakis“ dodekaedras 60x60px60x60px60x60px Įvairiakraštis
40x40px
V4.6.8  48  72  26  Oh Penkiakampis ikositetraedras
(nusklembtas kubas)
„gC“ 60x60px|Penkiakampis ikositetraedras60x60px|Penkiakampis ikositetraedras (Ccw) 64x64px60x60px60x60px  Penkiakampis
40x40px
V3.3.3.3.4  24  60  38  O Rombinis triakontaedras
(ikosidodekaedras)
„jD“ 60x60px|Rombinis triakontaedras66x66px|Rombinis triakontaedras 68x68px67x67px61x61px Rombas
40x40px
V3.5.3.5  30  60  32  Ih „Triakis“ ikosaedras
(nupjautinis dodekaedras)
„kI“ 60x60px|„Triakis“ ikosaedras62x62px|„Triakis“ ikosaedras60px60px60px Lygiašonis
40x40px
V3.10.10  60  90  32  Ih „Pentakis“ dodekaedras
(nupjautinis ikosaedras)
„kD“ 60x60px|Pentakis dodecahedron60x60px|Pentakis dodecahedron 60x60px60x60px62x62px Lygiašonis
40x40px
V5.6.6  60  90  32  Ih Deltoidinis heksakontaedras
(rombinis ikosidodekaedras)
„oD“ 60x60px|Deltoidinis heksakontaedras60x60px|Deltoidinis heksakontaedras 60x60px60x60px60x60px Aitvaras
40x40px
V3.4.5.4  60  120  62  Ih „Disdyakis“ triakontaedras
(nupjautinis ikosidodekaedras)
„mD“ 60x60px|„Disdyakis“ triakontaedras63x63px|„Disdyakis“ triakontaedras 60x60px60x60px60x60px Įvairiakraštis
40x40px
V4.6.10  120  180  62  Ih Penkiakampis heksakontaedras
(nusklembtas dodekaedras)
„gD“ 60x60px|Penkiakampis heksakontaedras61x61px|Penkiakampis heksakontaedras (Ccw) 60x60px60x60px60x60px  Penkiakampis
40x40px
V3.3.3.3.5  60  150  92  I

 Šaltiniai 
 Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
 Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
 Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

 Nuorodos 
 Weisstein, Eric W., „Catalan Solids“, MathWorld.
 Weisstein, Eric W., „Isohedron“, MathWorld.
 Olshevsky, George, Catalan at Glossary for Hyperspace.
 Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra
 Interactive Catalan Solid  in Java

Kategorija:Briaunainiai