Archimedo kūnas

200x200pxNupjautinis ikosidodekaedras, turintis 120 viršūnių, yra didžiausias Archimedo briaunainis.

Archimedo briaunainiai – labai simetriški pustaisyklingiai iškilieji briaunainiai, sudaryti iš dviejų ar daugiau rūšių taisyklingųjų daugiakampių, kurie susieina identiškose viršūnėse. Jie skiriasi nuo Platono kūnų tuo, kad pastaruosius sudaro išimtinai vienodi ir tarpusavyje lygūs daugiakampiai, susieinantys į vienodas viršūnes, o nuo Džonsono kūnų tuo, kad šių sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas viršūnes.

Sąvoka vienodos viršūnės paprastai reiškia, kad bet kurioms dviem viršūnėms galima pritaikyti izometrinę transformaciją, tinkančią visai figūrai, kad vieną viršūnę sutapdintume su kita. Kartais pasitenkinama reikalavimu, kad sienos susieinančios vienoje viršūnėje būtų izometriškai susijusios su sienomis, kurios susieina kitoje. Šis apibrėžimų skirtumas ypač svarbus, kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedrą: tai unikalus iškilas briaunainis, kurio taisyklingi sienų daugiakampiai vienodu būdu susieina kiekvienoje viršūnėje, bet jis neturi globalios simetrijos, pagal kurią kiekvieną viršūnę būtų galima sutapdinti su kitomis. Remdamasis šiuo faktu, Branko Grünbaumas pasiūlė (2009 m.) terminologiškai skirti šias dvi briaunainių šeimas ir Archimedo briaunainius apibrėžti kaip kiekvienoje viršūnėje turinčius vienodą viršūnės planą (įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedrą), o tolygiuosius briaunainius apibrėžti kaip turinčius simetriškas viršūnes (vadinasi, neapimančius pseudorombinio kuboktaedro).

Prizmės ir antiprizmės, kurių simetrijos grupės yra dvisienės, bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais, nors jos ir atitinka tik ką pateiktą apibrėžimą. Taikant tokį apribojimą, turime tik baigtinę aibę Archimedo kūnų. Visus juos (išskyrus pseudorombinį kuboktaedrą), taikant Vithofo konstrukcijas (Wythoff constructions), galima sukurti iš Platono kūnų, kuriems būdinga tetraedrinė, oktaedrinė ir ikosaedrinė simetrija.

 Pavadinimo kilmė 
Šie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu, kuris aprašė juos savo dabar jau prarastame veikale. Bet šį veikalą cituoja Papus Aleksandriškis, kuris teigia, kad Archimedas nurodė 13 briaunainių.Grünbaum (2009). Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinėjo bei atrado iš naujo. Šias paieškas beveik galutinai užbaigė Johanas KeplerisField J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227, kuris apibrėžė prizmes, antiprizmes ir neiškilius briaunainius vėliau imtus vadinti Keplerio-Puanso biriaunainiais.

Kepleris, tikėtina, atrado ir prailgintą kvadratinį girobikupolą (pseudorombinį kuboktaedrą): bent vieną kartą jis tikrai paminėjo, kad yra 14 Archimedo briaunainių. Deja, jo pateiktuose sąrašuose yra tik 13 tolygių briaunainių, o pirmą aikvaizdų liudijimą apie pseudorombinį kuboktaedrą sutinkame 1905 metais, Dunkano Somervilio (Duncan Sommerville) darbe.Grünbaum (2009).

 Klasifikacija 
Iš viso yra:
13 Archimedo briaunainių (pagal moderniausią apibrėžimą neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro, arba pailgo stačiakampio girobikupolo, kaip jis neretai vadinamas);
15 Archimedo briaunainių, jei dviejų enantiamorfiškų briaunainių veidrodinius atspindžius laikysime skirtingais kūnais.

Lentelės viršūnės plano langelyje įrašytos skaitinės reikšmės rodo, kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina šioje viršūnėje. Pavyzdžiui, viršūnės plano skaitinės reikšmės (4,6,8) reiškia, kad viršūnėje susieina kvadratas, šešiakampis ir aštuoniakampis (daugiakampiai surašomi pagal laikrodžio rodyklę).
 Pavadinimas
(Alternatyvus pavad.)Schläfli
Coxeter Skaidrus Tankus Išklotinė Viršūnės
planas Sienos Briaunos Viršūnės Taškinės
simetr. grupė nupjautinis tetraedras{3,3}
link=link=link=link=link= 50x50px|Truncated tetrahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.6.650x50px 8 4 trikampiai
4 šešiakampiai 18 12 Td kuboktaedras
(rombtetratetraedras)r{4,3} or rr{3,3}
link=link=link=link=link= or link=link=link=link=link= 50px|Cuboctahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.4.3.450x50px 14 8 trikampiai
6 kvadratai 24 12 Oh nupjautinis kubast{4,3}
link=link=link=link=link= 50px|Truncated hexahedron(Animacija) 60x60px 81x81px 3.8.8
50x50px 14 8 trikampiai
6 aštuoniakampiai 36 24 Oh nupjautinis oktaedras
(nupjautinis tetratetraedras)t{3,4} or tr{3,3}
link=link=link=link=link= or link=link=link=link=link= 50px|Truncated octahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 4.6.6
50x50px 14 6 kvadratai
8 šešiakampiai 36 24 Oh rombinis kuboktaedras
(mažasis rombinis kuboktaedras)rr{4,3}
link=link=link=link=link= 50px|Rhombicuboctahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.4.4.4
50x50px 268 trikampiai
18 kvadratų 48 24 Oh nupjautinis kuboktaedras
(didysis rombinis kuboktaedras)tr{4,3}
link=link=link=link=link= 50px|Truncated cuboctahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 4.6.8
50x50px 26 12 kvadratų
8 šešiakampiai
6 aštuoniakampiai 72 48 Oh nusklembtas () kubas
(nusklembtas kuboktaedras)sr{4,3}link=link=link=link=link= 50px|Snub hexahedron (Ccw)<small>(Animacija) 60x60px 60x60px 3.3.3.3.4
50x50px 3832 trikampiai
6 kvadratai 60 24 O ikosidodekaedrasr{5,3}
link=link=link=link=link= 50px|Icosidodecahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.5.3.5
50x50px 32 20 trikampių
12 penkiakampių 60 30 Ih nupjautinis dodekaedrast{5,3}
link=link=link=link=link= 50px|Truncated dodecahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.10.10
50x50px 3220 trikampių
12 dešimtkampių 90 60 Ih nupjautinis ikosaedrast{3,5}
link=link=link=link=link= 50px|Truncated icosahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 5.6.6
50x50px 32 12 penkiakampių
20 šešiakampių 90 60 Ih rombinis ikosidodekaedras
(mažasis rombinis ikosidodekaedras)rr{5,3}
link=link=link=link=link= 50px|Rhombicosidodecahedron(Animacija) 60x60px 60x60px 3.4.5.4
50x50px 62 20 trikampiai
30 kvadratų
12 penkiakampių 120 60 Ih nupjautinis ikosidodekaedras
(didysis rombinis ikosidodekaedras)tr{5,3}
link=link=link=link=link= 50px|Truncated icosidodecahedron(Animacija) 60px 60x60px 4.6.10
56x56px 6230 kvadratų
20 šešiakampių
12 dešimtkampių 180 120 Ih nusklembtas dodekaedras
(nusklembtas ikosidodekaedras)sr{5,3}
link=link=link=link=link= 50px|Snub dodecahedron (Ccw)(Animacija) 60x60px 60x60px 3.3.3.3.5
50x50px 92 80 trikampių
12 penkiakampių 150 60 I
Pagal kai kuriuos pustaisyklingių briaunainių apibrėžimus, į šią šeimą įtraukiamas dar vienas briaunainis, pseudorombinio kuboktaedro, arba dar kitaip vadinamas pailgas stačiakampis girobikupolas.Malkevitch (1988), p. 85

 Savybės 

Archimedo kūnų viršūnių skaičius apskaičiuojamas 720° dalijant iš viršūnės kampo defekto.

Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra izotoksai (turi viebodas briaunas) ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams.

Archimedo kūnų dualai yra vadinami Katalano kūnais. Kartu su bipiramidėmis ir trapecoedrais, jie yra tokie izoedrai, kurie turi taisyklingas viršūnes.

 Chirališkumas 

Nusklembtas () kubas ir nusklembtas dodekaedras yra chirališki, nes jie būna kairinės ir dešininės formos, todėl kūno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindžiu. Kūno savybė turėti kairinę ir dešininę formą vadinama enantiomorfizmu, o patys kūnai gali būti vadinami enantiomorfais. Taigi minėtos dvi figūros (nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras) yra enantiomorfinės, arba tiesiog, enantiomorfai.

 Archimedo kūnų konstravimas 
 Taip pat skaitykite – Tolygusis briaunainis, Konvėjaus briaunainio formulė.
300px|Archimedo kūnus galima konstruoti naudojant Vithofo konstravimo schemos pakopas.

Tarp atskirų Archimedo ir Platono kūnų egzistuoja sąryšiai, kuriuos galima aptikti, taikant bendras jų konstravimo pakopas. Pradžioje nupjauname Platono kūnų viršūnes. Kad būtų išlaikoma simetrija, pjovimo plokštuma turi būti statmena tiesei, jungiančiai viršūnę su briaunainio centru (visos viršūnės nupjaunamos vienodai). Pagal tai, kiek nupjaunama (žr. lentelę žemiau), susidaro įvairūs Platono ir Archimedo kūnai (taip pat, ir kitokie „tarpiniai“ briaunainiai). Pailgėjimas ir kanteliacija () yra tokios operacijos, kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro (visos sienos vienodu atstumu, kad nebūtų pažeista Platono kūno simetrija) ir išgaubiant iš jų iškilus kupolus. Tempimas su pasukimu reiškia, kad sienos dar ir pasukamos, taip prie briaunų besišliejantys stačiakampiai palaipsniui virsta trikampiais. Paskutinė čia taikoma konstravimo pakopa – nupjauti kartu viršūnes ir briaunas. Kai tempimo metu nekeičiami pradiniai sienų matmenys (sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro), tokį tempimą galima laikyti nupjovimu, kai kartu pjaunamos viršūnės ir briaunos, išlaikant tam tikrą proporciją tarp kampo ir briaunų pokyčio.

+ Archimedo kūnų konstravimasSimetrijaTetraedrinė simetrija120pxOktaedrinė simetrija120pxIkosaedrinė simetrija120px Pradinis kūnasOperacijaSimbolis{p, q} Tetraedras{3,3}50px  Kubas{4,3}50px  Oktaedras{3,4}50px  Dodekaedras{5,3}50px  Ikosaedras{3,5}50px Nupjovimas (t)t{p, q} nupjautinis tetraedras50px  nupjautinis kubas50px  nupjautinis oktaedras50px  nupjautinis dodekaedras50px  nupjautinis ikosaedras50px Rektifikavimas (r)KonvėjausŠiems Conway’aus įvestiems angliškiems terminams nepavyksta rasti terminologinių lietuviškų atitikmenų (tikrinta 2015 m.); angliškai žr.: Ambo (a)r{p, q} tetratetraedras50px  kuboktaedras50px  ikosidodekaedras50px Dvigubas nupjovimas (2t)Konvėjaus: Dual kis (dk)2t{p, q} nupjautinis tetraedras50px  nupjautinis oktaedras50px  nupjautinis kubas50px  nupjautinis ikosaedras50px  nupjautinis dodekaedras50px Dvigubas rektifikavimas (2r)Dualas (d)2r{p, q} tetraedras50px oktaedras50px  kubas50px  ikosaedras50px  dodekaedras50px Kanteliacija (rr)Pailgėjimas (e)rr{p, q} rombinis tetratetraedras50px  rombinis kuboktaedras50px rombinis ikosidodekaedras 50px Nusklembimas ir rektifikavimas (sr)Nusklembtas (s)sr{p, q} nusklembtas tetratetraedras50px  nusklembtas kuboktaedras50px  nusklembtas ikosidodekaedras50px Kanteliacija su nupjovimu (tr)Konvėjaus: Bevel (b)tr{p, q} nupjautinis tetratetraedras50px  nupjautinis kuboktaedras50px  nupjautinis ikosidodekaedras50px

Atkreipkite dėmesį į dualumą tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro. O taip pat į tai, kad tetraedrinę simetriją turi tik vienas Archimedo kūnas, iš dalies dėl to, kad tetraedras yra dualus pats sau.

 Išnašos 

 Šaltiniai 

. Reprinted in .

 .
  2 skyrius

Kategorija:Briaunainiai