Deltaedras

Deltaedras – briaunainis, kurio sienos yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros pavadinimas kilęs iš graikų abėcėlės mažosios raidės delta (Δ), kuri primena lygiakraštį trikampį. Egzistuoja be galo daug deltaedrų, bet tik aštuoni yra iškilieji briaunainiai, turintys 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ir 20 sienų.Freudenthal, 1947  Šie deltaedrai aprašyti žemiau pateikiamoje lentelėje.

 Aštuoni iškilieji deltaedrai 
Iš viso egzistuoja tik aštuoni griežtai iškilūs deltaedrai: trys taisyklingieji briaunainiai ir penki Džonsono kūnai.

 Taisyklingieji deltaedrai  VaizdasPavadinimas  Sienos  Briaunos  Viršūnės  Viršūnės planas  Simetrijos grupė 60px  tetraedras  4  6  4  4 × 33  Td, [3,3] 60px  oktaedras  8  12  6  6 × 34  Oh, [4,3] 60px ikosaedras   20  30  12  12 × 35  Ih, [5,3]Džonsono deltaedrai VaizdasPavadinimas  Sienos  Briaunos  Viršūnės  Viršūnės planas  Simetrijos grupė 60px   trikampė bipiramidė  6  9  5  2 × 333 × 34  D3h, [3,2] 60px  penkiakampė bipiramidė  10  15  7  5 × 342 × 35  D5h, [5,2]  60px nusklembtas disfenoidas  12  18  8  4 × 344 × 35  D2d, [2,2] 60px tetrakaidekadeltaedras   14  21  9  3 × 346 × 35  D3h, [3,2] 60px   hekkaidekadeltaedras  16  24  10  2 × 348 × 35  D4d, [4,2]

Kai kurios šešiasienių deltaedrų viršūnės yra trečio laipsnio, o kai kurios – ketvirto. Kai kurių 10, 12, 14 ir 16 sienų turinčių deltaedrų viršūnės yra ketvirto laipsnio, o kai kurios – penkto. Penki netaisyklingieji deltaedrai yra Džonsono kūnai: iškilūs briaunainiai, kurių sienos yra taisyklingieji daugiakampiai.

Deltaedrai išsaugo savo pavidalą net jei briaunoms leidžiama laisvai suktis apie savo viršūnę taip, kad kampai tarp briaunų gali būti neišsaugoti. Ne visi briaunainiai turi šią savybę: pavyzdžiui, jei atpalaiduotume kai kuriuos kubo kampus, jį galėtume deformuoti į nestačiąją stačiakampę prizmę.

Griežtai iškilas 18 sienų deltaedras negali būti sudarytas.. Nors leidžiant sutrumpinti kai kurias ikosaedro briaunas, galima gauti tam tikrą oktadekaedrą, kurio iškilumas gali būti išsaugotas, jei visos 18 sienų bus įvairiakraščiai trikampiai, arba išsaugant lygiakraščius trikampius, bet tada dvi plokštumoje išsidėsčiusios grupės po tris trikampius.

 Negriežtai iškili deltaedrai 
Galima sudaryti begalinę aibę briaunainių, kurių visos ar kai kurios sienos būtų koplanariniai trikampiai (išsidėstę vienoje plokštumoje), kitaip tariant kurių sienas sudarytų trikampiai klojiniai. Koplanarinių trikampių sienos gali jungtis į rombines, trapecines, šešiakampes ir kitokias lygiakraščių daugiakampių sienasThe Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces Jeigu koplanarinių ttrikampių grupes laikysime viena siena, pavyzdžiui: 20px, 30px, 30px, 40px, 30px, 50px, 60px ir 30px, ..., tokius briaunainius turėtume laikyti negriežtai iškilais deltaedrais.

Lentelėje pateikiama keletas mažesnių pavyzdžių:

+ Koplanariniai deltaedrai Vaizdas  Pavadinimas  Sienos  Briaunos  Viršūnės  Viršūnės planas  Simetrijos grupė60pxPriaugintas oktaedrasPriauginimas1 tetr + 1 okta  10 20px  15  71 × 333  × 343 × 350 × 36C3v, [3] 4 20px 3 30px 1260pxTrikampis trapecoedrasPriauginimas2 tetr + 1 okta 12 20px1882 × 330  × 346 × 350 × 36 C3v, [3] 6 30px1260pxPriauginimas2 tetr + 1 okta 12 20px1882 × 331 × 344 × 351 × 36 C2v, [2] 2 20px2 30px2 30px11760pxTrikampė nupjautinė piramidėPriauginimas3 tetr + 1 okta 14 20px2193 × 330  × 343 × 353 × 36 C3v, [3] 1 20px3 30px1 30px9660pxIštęstas oktaedrasPriauginimas2 tetr + 2 okta 16 20px24100 × 334 × 344 × 352 × 36 D2h, [2,2] 4 20px4 30px12660pxTetraedrasPriauginimas4 tetr + 1 okta 16 20px24104 × 330 × 340 × 356 × 36 Td, [3,3] 4 30px64 60px|60pxPriauginimas3 tetr + 2 okta 18 20px27111 × 332 × 345 × 353 × 36 D2h, [2,2] 2 20px1 30px2 30px2 40px14960pxSutrumpintų briaunųikosaedras 18 20px27110 × 332 × 348 × 351 × 36 C2v, [2] 12 20px2 30px221060pxTrikampė nupjautinė bipiramidėPriauginimas6 tetr + 2 okta 20 20px30120 × 333 × 346 × 353 × 36 D3h, [3,2] 2 20px6 30px15960pxTrikampis kupolasPriauginimas4 tetr + 3 okta 22 20px3313 0 × 333 × 346 × 354 × 36 C3v, [3]3 20px3 30px1 30px1 30px15960pxTrikampė bipiramidėPriauginimas8 tetr + 2 okta24 20px36142 × 333 × 340 × 359 × 36 D3h, [3] 6 30px9560pxŠešiakampė antiprizmė 24 20px36140 × 330 × 3412 × 352 × 36  D6d, [12,2+] 12 20px2 30px241260pxNupjautinis tetraedrasPriauginimas6 tetr + 4 okta 28 20px42160 × 330 × 3412 × 354 × 36  Td, [3,3] 4 20px4 30px181260pxTetrakis kuboktaedrasOktaedrasPriauginimas8 tetr + 6 okta32 20px24180 × 3312 × 340 × 356 × 36  Oh, [4,3] 8 30px126

 Neiškilosios formos 
Egzistuoja begalinė daugybė neiškilųjų deltaedrų.

Keli susikertančių sienų deltaedrai:

 Didysis ikosaedras – Keplerio-Puanso kūnas, sudarytas iš 20 tarpusavyje susikertančių trikampių.
 160px

Kiti dažniau nagrinėjami neiškilieji deltaedrai gaunami iš visų 5 Platono kūnų, kai prie jų sienų priauginamos lygiakraštės piramidės:
120px120px120px120px120px triakis* tetraedras tetrakis* heksaedras triakis* oktaedras(stella octangula) pentakis* dodekaedras triakis* ikosaedras12 trikampių24 trikampiai60 trikampių
* Pastaba: graikų lotynų kalbų hibridai triakis, tetrakis, pentakis reiškia, kad sienoje yra iškilusios atitinkamai 3, 4 ar 5 briaunos, arba „keteros“.

Kai kurie kitokie tetraedro priauginimai:
+ Pavyzdžiai: Priauginti tetraedrai160px160px160px8 trikampiai10 trikampių12 trikampių

Deltaedrai gaunami ne tik priauginant piramides, bet ir atvirkščiu veiksmu – išduobiant sienas piramidėmis: 

160pxIšduobtas dodekaedras160pxA toroidinis deltaedras60 trikampių48 trikampiai

Tarp aukštesnų matavimų figūrų, deltaedrams yra giminingi simpleksiniai politopai, kurių kiekvienas fasetas yra simpleksas.

 Nuorodos 

  (Įrodoma, kad egzistuoja tik 8 iškilieji deltaedrai.)
 O. Rausenberger Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46, 135-142, 1915. 
 H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. 
 H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144, 1989. 
 Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55–57 
 M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992. 
  pp. 35–36

Kategorija:Briaunainiai