Vejerštraso funkcija

Vejerštraso funkcija matematikoje – pavyzdys realaus argumento funkcijos, tolydinės bet kuriame taške, tačiau nediferencijuojamos.

 Apibrėžimas 

Vejerštraso straipsnyje pateikiama tokio pavidalo išraiška:



kur ,  yra teigiamas nelyginis skaičius, ir


Minimali vertė, tenkinanti šias sąlygas yra . Šią funkciją, kartu su įrodymu, kad ji nediferencijuojama, pateikė Karlas Vejerštrasas 1872 m. liepos 18 d.560 puslapyje 1872 metais Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monthly Reports of the Royal Prussian Academy of Science in Berlin), yra trumpa pastaba, kad liepos 18, „Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten“ (Mr. Vejerštrasas Mokslų akademijoje perskaitė pranešimą apie tolydines funkcijas, neturinčias išvestinės). Tačiau tuo metu, Vejerštraso straipsnis nebuvo atspausdintas Monatsberichte.Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, " (Apie tolydines realaus argumento funkcija neturinčias išvestinės): Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.;See also: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Traktatas apie funkcijų teoriją] (Berlin, Germany: Julius Springer, 1886), page 97.

 Sukūrimo istorija 
1806 m. Andrė Mari AmperasAmpère, A.M. // École Polytechnique, 6 (1806), fasc. 13. suformulavo teiginį, kad bet kuri funkcija turėtų būti diferencijuojama, išskyrus tik tam tikrus ypatingus ar įzoliuotus taškus. XIX amžiaus pirmoje pusėje buvo mėginama Ampero hipotezę įrodyti bet kokioms tolydinėms funkcijoms. 1861 m. Bernardas Rymanas savo paskaitose pateikė tokį funkcijos pavyzdį:
 ;
Nors jos diferencijuojamumas sunkiai analizuojamas, 1870 m. Džonas Dževeris parodė, kad vis tik ta funkcija turi išvestinę kai kuriuose taškuose. 1872 m. Vejerštrasas sukūrė savo nediferencijuojamos funkcijos  versiją kartu su griežtu nediferencijuojamumo įrodymu. 1930 metais dar paprastesnės nediferencijuojamos funkcijos pavyzdį pateikė van der Vardenas:
 ,
kur riestiniai skliausteliai reiškia trupmeninės dalies išskyrimo operaciją.Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474–475.

 Šaltiniai 

 Nuorodos 
 Niekur nediferencijuojama tolydinė funkcija.
 Nemonotoninė tolydinė funkcija.

 Vejerštraso funkcija kompleksinėje plokštumoje  Gražus fraktalas.
 SpringerLink – Journal of Fourier Analysis and Applications, Volume 16, Number 1 Simple Proofs of Nowhere-Differentiability for Weierstrass’s Function and Cases of Slow Growth
 Weierstrass functions: continuous but not differentiable anywhere

Kategorija:Atvaizdžiai