Simbolinė logika

Simbolinė logika (arba matematinė logika) – mokslas, nagrinėjantis įrodymus bei samprotavimus, naudojant dirbtinę kalbą natūralių kalbų dviprasmybėms ir loginiams prieštaravimams išvengti. Šis mokslas turi artimas sąsajas su matematika, taip pat informatika ir filosofine logika.
Simbolinė logika yra naudojama dviem skirtingais atvejais:

 Logikos mokslo pritaikymas matematiniuose procesuose.
 Matematikos pritaikymas, tiriant formaliąją logiką.

Simboliai logikoje turi panašius privalumus kaip ir matematikoje. Jais galima lengviau manipuliuoti, taip pat perprasti teiginių struktūras. Simboliai pasitarnauja dirbant su sudėtingais samprotavimais ir tai leidžia daugiau pasiekti pačiai logikai.

 Istorija 
Simbolinės logikos formavimosi istorijos pradžia siekia XIX a. vidurį. 1847 m. buvo išleistas anglų matematiko Džordžo Būlio (George Boole) kūrinys „Mathematical Analysis of Logic“. Jame D. Būlis teigė, jog logika turėtų būti siejama labiau su matematika nei filosofija. Taip pat matematikas sukūrė naują algebrinę kalbą su trimis pagrindinėmis operacijomis: IR, ARBA, NE. Ši kalba vadinama Būlio algebra. Ji buvo papildyta 1854 m. išleistu darbu „The Laws of Thought“.

Simbolinės logikos formavimuisi didžiulės įtakos turėjo ir kito anglų matematiko Augusto De Morgano (Augustus De Morgan) darbai. Pastarasis suformulavo neigimo taisykles, pavadintas De Morgano taisyklėmis.

Žymus vokiečių matematikas, logikas ir filosofas Gotlobas Frėgė (Gottlob Frege) 1879 m. darbe „Beggriffsschrift“ išskyrė „logiką kaip kalbą“ ir suformavo aksiomatinę predikatų logiką, grindžiamą funkcijų, kintamųjų ir kvantorių naudojimu. Nors G. Frėgės darbai nesulaukė dėmesio tarp tuometinių intelektualų, vėliau jie buvo atgaivinti Džiuzepės Peano (Giuseppe Peano) ir Bertrano Raselo (Bertrand Russell), kurie pateikė juos naujoms matematikų ir filosofų kartoms. Pastarasis supaprastino gana sudėtingą G. Fregės simboliką. Iš daugelio B. Raselo nuopelnų simbolinei logikai galime išskirti žymiojo Raselo paradokso ir jo plėtros tipų teoriją. Ji akcentuojama veikale „Principia Mathematica“, kurią B. Raselas parašė kartu su Alfredu Nortu Vaithedu (Alfred North Whitehead). Šį darbą sudarė aksiomų rinkiniai ir samprotavimo taisyklės simbolinėje logikoje, kuriomis galėtų būti įrodomos visos matematikos tiesos. Kitaip tariant, buvo bandoma pastatyti matematiką ant tvirto logikos pagrindo. „Principia Mathematica“ yra laikomas vienu iš įtakingiausių XX amžiaus darbų, su ja yra siejamas naujas matematinės logikos vystymosi etapas.NORGĖLA, Stanislovas. Logika ir dirbtinis intelektas. Vilnius: TEV, 2007, 9 p. ISBN 978-9955-680-55-0.

Nuo 1890 m. iki 1905 m. buvo išleisti trys tomai Ernsto Šrioderio (Ernst Schröder) darbo, pavadinimu „Vorlesungen uber die Algebra der Logik“. Šis kūrinys apibendrino ir pratęsė D. Būlio, A. De Morgano ir Čarlzo Pirso (Charles Pierce) (loginės semiotikos pradininkas, sukūręs teisingumo matricų metodą) darbą ir aiškiai nusako kaip simbolinė logika buvo suvokta XIX amžiuje.

Ankstyvaisiais XX amžiaus dešimtmečiais pagrindiniai studijuojami objektai buvo aibių teorija ir formalioji logika. Didelę įtaką padarė ir atrasti aibių teorijos paradoksai.

1900 m. Deividas Hilbertas (David Hilbert) išleido naujojo amžiaus 23 problemų sąrašą. Bandymas išspręsti šias problemas nurodė kryptį simbolinei logikai XX amžiuje. Kitas D. Hilberto kūrinys „Entscheidungsproblem“, kuriame buvo išdėstytas siekis sukurti algoritmą, norint išsiaiškinti, ar formalizuotas matematinis sakinys yra teisingas ar klaidingas, buvo išleistas 1928 m.

Įtakingi simbolinei logikai buvo XX amžiaus pirmojoje pusėje išleisti austrų-amerikiečių matematiko Kurto Gėdelio darbai. 1931 m., būdamas 25-erių, jis paskelbė dvi nepilnumo teoremas. Pirmoji teigė, jog neprieštaringose formaliose sistemose yra formulių, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti. Antrojoje buvo teigiama, jog neprieštaringumas, pačios formalios sistemos priemonėmis nėra įrodomas.

 Matematinė logika 
Teorinė matematika yra klasė visų formuluotės p implikuoja q teiginių, kur p ir q teiginiai turintys vieną ar daugiau kintamųjų, tokių pačių kaip dviejuose teiginiuose ir nei p nei q neturi jokių konstantų išskyrus logines konstantas. O loginės konstantos yra visos sąvokos apibrėžiamos šiais terminais: implikacija, termino santykis su klase, kurios narys jis yra, sąvoka kaip tokia, santykio sąvoka ir kitos sąvokos, kurios gali būti įtrauktos į bendras anksčiau išvardytų teiginių formas. Be to, matematika vartoja sąvoką, kuri nėra sudėtinė dalis teiginių, kuriuos ji aptaria, būtent – tiesos sąvoka.

Iki visai neseniai matematiniuose principuose buvo susidurta su ypatingu keblumu. Atrodė, kad matematika susideda iš dedukcijos, vis tik visų priimtos dedukcijos tarpusavio pretenzijos buvo didžiąja dalimi visiškai implikuotos egzistuojančiai matematikai. Ne tik aristotelinė silogistikos teorija, bet taip pat moderniosios simbolinės logikos doktrinos buvo arba teoriškai neadekvačios matematiniams samprotavimams, arba bet kuriame taške reikalavo tokių dirbtinių konstatavimo formų, kurios negalėjo būti praktiškai pritaikomos. Šioje vietoje pateikiamas kantiškasis požiūris, kuris pareiškia, kad matematinis samprotavimas nėra griežtai formalus, bet visada naudojasi intuicijomis, i.e. à priori erdvės ir laiko žinojimas. Dėka simbolinės logikos progreso, šią kantiškąją filosofiją dabar galima galutinai ir negrąžinamai atmesti. Dešimties dedukcinių principų pagalba ir dešimties kitų visuotinės logikos prigimties premisų (pvz., implikacija yra santykis), visos matematikos gali būti griežtai ir formaliai išvestos. Visos esybės, kurios pasitaiko matematikoje gali būti apibūdintos tomis sąlygomis, kurios pasitaiko tuose dvidešimtyje premisų. Taigi, matematiką sudaro ne tik aritmetika ir analizė, bet taip pat ir geometrija (euklidiškoji ir ne-euklidiškoji), racionalioji dinamika ir begalinis skaičius dar negimusių ar esančių ankstyvoje stadijoje studijų. Faktas, kad visos matematikos yra simbolinė logika, yra vienas iš didžiausių mūsų amžiaus atradimų.

Pagrindinė doktrina, pagal kurią visos matematikos yra loginiais principais dedukuojamos iš loginių principų, buvo stipriai ginama G. Leibnico (jis primygtinai siūlė, kad aksiomos privalo būti įrodytos ir visa tai išskyrus kelias fundamentaliąsias sąvokas privalo būti apibrėžta). Bet galimai dėl klaidingos logikos (dėl tikėjimo logine Euklido geometrijos būtinybe), jis buvo nuvestas į beviltiškas klaidas pastangose įtikinti detaliu vaizdu, kuris, dabar yra žinoma, buvo teisingas. Tikroji Euklido teorema, neseka iš loginių principų viena; šio fakto suvokimas nuvedė I. Kantą prie jo inovacijų jo pažinimo teorijoje.http://nemokamai.moksliniaidarbai.lt/rasto-darbas/192/imanuelio-kanto-pazinimo-teorija-ir-etinis-mokymas.html  Bet nuo ne-euklidinės geometrijos augimo, paaiškėjo, kad teorinė matematika neturi problemų su klausimu ar Euklido aksiomos ir teiginiai laikosi už konkrečios erdvės ar ne: tai yra klausimas taikomajai matematikai apspręsti, kol kas bet kokie sprendimai yra galimi pagrindžiant eksperimentais ir stebėjimais. Tai, ką teorinė matematika tvirtina, yra paprasčiausiai tai, kad eukleidiškieji teiginiai seka iš eukleidiškųjų aksiomų–i.e. tai teigia implikacija: bet kuri erdvė turi tokias ir tokias ypatybes bei taip pat turi tokias ir kitokias ypatybes. Vadinasi, kaip buvo susitvarkyta su teorine matematika, eukleidiškoji ir ne-eukleidiškoji geometrijos yra vienodai teisingos: kiekvienoje viskas yra nepatvirtintina išskyrus implikacijas. Visi teiginiai iš tikrųjų egzistuoja taip kaip erdvė, kurioje mes gyvename. Jie priklauso eksperimentiniams ar empiriniams mokslams, o ne matematikai.

Matematiniai teiginiai yra apibūdinami ne tik kaip tvirtinantys implikacijas, bet taip pat kaip nepastovūs. Nepastovumo sąvoka yra viena sudėtingiausių logikoje sutinkamų. Visose matematikos teiginiuose yra kintamumų, net ten, kur iš pirmo žvilgsnio jie gali atrodyti nesantys. Elementari aritmetika gali būti apmąstyta kaip išimties forma: 1+1=2 atrodo nei tai yra susiję su nepastovumu, nei tvirtina implikaciją. Bet jei x yra 1 ir y yra 1, ir x skiriasi nuo y, tada x ir y yra 2. Ir šis teiginys kintamumus ir tvirtinimus talpina į implikacijas. Taigi, šie teiginiai gali būti išreikšti tokia forma: bet koks vienetas ir bet koks kitas vienetas yra du vienetai.

Skirtumas tarp kintamųjų ir konstantų yra užtemdytas matematinės vartosenos. Konstanta yra kažkas absoliučiai apibrėžto, be jokių dviprasmybių. Vadinasi, 1, 2, 3, e, π, Sokratas, žmonės, žmonių rasė, praeitis, dabartis, ateitis yra konstantos. Teiginys, implikacijos, klasė ir t. t. taip pat yra konstantos, bet bet koks teiginys, kai kurie teiginiai yra ne konstantos. Šioms frazėms nėra vieno tiksliai apibrėžto objekto. Taigi tai, kas yra vadinama kriterijais yra paprasčiausi kintamieji. Pavyzdžiui, paimkime lygtį ax + by + c = 0, apmąstyta kaip lygybė tiesiai linijai plokštumoje. Čia tariame, kad x ir y yra kintamieji, kol a, b, c yra konstantos. Bet nebent mes turime reikalą su tam tikra linija, tarkime linija iš tam tikro taško Londone į tam tikrą tašką Kembridže, arba a, b, c yra ne apibrėžti numeriai, bet atstovauja bet kokius numerius ir taip pat yra kintamieji. Bet geometrijoje niekas neturi reikalo su tam tikromis specifinėmis linijomis, aptariamos bet kurios linijos. Esmė tame, kad mes renkame kintamųjų poras x, y į klases, kiekvieną klasę apibūdindami kaip tas poras, kurios turi tam tikrą pastovų santykį vienai triadai (a, b, c). Bet iš klasių į klases a, b, c taip pat kinta ir dėl to yra tinkami kintamieji.

Matematikoje įprasta žiūrėti į kintamuosius kaip apribotas tam tikras klases. Pavyzdžiui, teiginys x yra y implikuoja (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 vis tiek išliks vienodas, jei x ir y mes pakeisime į Sokratą ir Platoną: abi hipotezės ir konsekventai šiuo atveju bus klaidingi, bet implikacija toliau bus teisinga. Taigi kiekviename teorinės matematikos teiginyje, kai jis yra visiškai suformuluotas, kintamieji turi absoliučiai neribotą sferą: bet kokia suvokiama esybė gali būti pakeista bet kuriuo iš kintamųjų nesusilpninant teiginių teisingumo.

Matematikos ir logikos ryšys yra nepaprastai glaudus. Faktas, kad matematinės konstantos yra loginės konstantos ir kad visi matematikos premisai yra susiję su šiais, duoda aiškų tvirtinimą, iš kurio filosofai leido sau teigti, kad matematika yra à priori. Nuo tada, kai logika buvo priimta, visa matematika neišvengiamai ja seka. Loginės konstantos pačios iš savęs yra apibūdinamos tik išskaičiavimo, nes jos tokios fundamentalios, kad visos ypatybės, kuriomis jų klasė gali būti apibūdinta, suponuoja kai kuriuos klasės terminus. Bet praktiškai loginių konstantų atradimo metodas yra simbolinės logikos analizė. Matematikos ir logikos skiriamoji savybė yra labai nepagrįsta. Logika susideda iš matematinių premisų, kartu su visais kitais teiginiais, kurie yra išskirtinai susiję su loginėmis konstantomis ir su kintamaisiais. Matematika susideda iš visų koncekventų, kurie tvirtina formalias implikacijas talpinančius kintamuosius, kartu su tokiais premisais turinčiais šias žymes. Taigi kai kurie iš matematinių premisų (e.g. silogizmo principas, jei p implikuoja q ir implikuoja r, tada p implikuoja r) priklausys matematikai, kol kiti, taip kaip implikacija yra santykis, priklausys logikai, bet ne matematikai. Norint tvirtai laikytis vartosenos nuomonės, mes galime identifikuoti matematiką ir logiką ir apibūdinti jas abi kaip teiginių klasę sudarančią tik kintamuosius ir logines konstantas.

 Kompiuterių mokslas 
Visa simbolinė logika dirbant su skaičiais yra sudarytas iš vienetų ir nulių. Ko rezultate Dž. Būlio sugalvotos naujovės matematikoje įnešė naujovių kompiuterių moksle. Šiandien visi kompiuteriai naudoja būliškąją (Boolean) logikos sistemą (Boolean data type), kurioje mikroschemos sudarytos iš tūkstančių mažyčių elektroninių jungiklių išdėstytų į loginius „vartus“ – tris pagrindines AND, OR, NOT sistemas. Jos duoda galimas ir patikimas išvadas bei leidžia kompiuteriams įvykdyti operacijas naudojant dvejetainę skaičiavimo sistemą.

 Teiginių logika 

Teiginių logika analizuoja teiginio teisingumą, priklausomai nuo jo sudedamųjų dalių teisingumo. Ji yra skirstoma į paprastuosius teiginius (sudarytus iš vieno kintamojo) ir sudėtinius teiginius (mažiausiai iš kelių kintamųjų).

 Teisingumo lentelė 

Jeigu svarbu ne sakinio teisingumas, o pati jo prasmė, reikia sudaryti to sakinio teisingumo lentelę – nustatyti, kokios bus jo teisingumo reikšmės esant visoms galimoms elementarių teiginių teisingumo reikšmių kombinacijoms.

 Sudėtiniai teiginiai 
Sudėtiniai teiginiai yra sudaryti mažiausiai iš dviejų narių ir yra skirstomi į neįvykdomus, įvykdomus (atsitiktinius) ir tautologiškus.

Neįvykdomi sudėtiniai teiginiai
Išraiškos, į kurių teisingumo lentelės galutinį rezultatą įeina vien tik k, k, k, k seką turinčios išraiškos yra vadinamos tapačiai klaidingomis, logiškai klaidingomis, prieštaravimais arba neįvykdomomis.

Įvykdomi sudėtiniai teiginiai
Išraiškos į kurių teisingumo lentelės galutinį rezultatą įeina ir k ir t teisingumo reikšmės yra įvykdomos. Ši sąvoka yra svarbi žinių išvedimui.

Tautologiški sudėtiniai teiginiai
Tautologijos prasmė nepriklauso nuo teiginių p ir q prasmių, nuo jų teisingumo ar klaidingumo. Tai, kad ji visais atvejais teisinga išplaukia iš pačios išraiškos struktūros. Tautologijos dar vadinamos tapačiai teisingomis arba bendrareikšmės. Tautologijos simbolį „|=“ įvedė Stivenas Klini. Tautologijos logikoje turi ypatingą reikšmę, nes:
 Jomis remiantis galima vienas logikos išraiškas perdirbti į kitas;
 Jos išreiškia tas išvedimo taisykles, kurios lemia samprotavimo dėsningumą;
 Jos išreiškia logikos (mąstymo) dėsnius.
Tautologijos yra dviejų grupių: ekvivalentiškumo ir implikacijos

 Ekvivalentiškumas 
Jeigu žmogus suvokia kažkokios minties prasmę ir tuo metu jam kyla nauja mintis, turinti tą pačią prasmę, kaip ir pirmoji, tai antroji mintis kyla dėsningai, ir su pirmąja jis bus susieta ekvivalentiškumu. Jis yra sudarytas iš dviejų dalių, sujungtų ekvivalentiškumo jungtimi „↔“ ir abi jo dalys turi tas pačias teisingumo lentelių reikšmes. Ekvivalentiškumo tautologijų ir tapatumo santykio ryšį nusako teorema: Tegu duotos dvi išraiškos p ir p. Išraiška p ↔ p bus tautologija (|= p ↔ p) tada ir tik tada, kai p ≡ p.

Paprastieji ekvivalentiškumo dėsniai

1. Dvigubo neigimo dėsnis – teiginio neigimo neigimas yra ekvivalentus teigimui.
|= ¬ ¬ p ↔
2. Prieštaravimo dėsnis – netiesa, kad teiginys ir jo neigimas drauge gali būti teisingi.
|= ¬(p ∧ ¬p) ↔ t
3. Negalimo trečio dėsnis – teisingas yra arba teiginys, arba jo neigimas, trečiojo galimybės būti negali.
|= (p ∨ ¬p) ↔ t
|= (p ∨ ¬p) ↔ t

Išraiškų pertvarkymo ekvivalentiškumo tautologijos

1. Komutatyvumo dėsniai – (kaip ir algebroje) leidžia konjunkcijos narius sukeisti vietomis.
|= (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
|= (p ∨ q) ↔ (q ∨ p)
2. Asociatyvumo dėsniai – (kaip ir algebroje) leidžia tarpusavy grupuoti vienvardžius konjunkcijos ir disjunkcijos narius.
|= [p∧(q∧r)] ↔ [(p∧q)∧r)]
|= [p∨(q∨r)] ↔ [(p∨q) ∨r)]
3. Distributyvumo dėsniai – reglamentuoja narių įkėlimą į skliaustus ir iškėlimą iš skliaustų esant įvairiavardėms jungtims.
|= [p∧(q∨r)] ↔ [(p∧q)∨(p∧r)]
|= [p∨(q∧r)] ↔ [(p∨q)∧(p∨r)]
4. De Morgano taisyklės (neigimo taisyklės) – reglamentuoja konjunkcijai ir disjunkcijai neigimo įkėlimą į skliaustus.
|= ¬(p∧q)↔(¬p∨¬q)
|= ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q)

Ekvivalentiškumo jungčių sąryšiai nustato kaip jungtis ∧, ∨, →, ↔ pakeisti vienas kitomis.

1. |= (p→q)↔(¬p∨q);
2. |= (p→q)↔¬(p∧¬q);
3. |= (p∨q)↔(¬p→q);
4. |= (p∨q)↔¬(¬p∧¬q);
5. |= (p∧q)↔¬(p→¬q);
6. |= (p∧q)↔¬(¬p∨¬q);
7. |= (p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)].

Ekvivalentiškumo supaprastinimo dėsniai

1. |= (p∧p) ↔p;
2. |= (p∧t) ↔p;
3. |= (p∧k) ↔k;
4. |= (p∨p)↔p;
5. |= (p∨t)↔t;
6. |= (p∨k)↔p;

 Implikacijos tautologijos 
Jeigu žmogus jaučia, kad naujoji mintis yra teisinga tik dėl to, kad teisinga pirmoji, tai šios mintys yra siejamos implikacija „→“. Ji yra sudaryta iš dviejų dalių, kurios visados turi tokius teisingumo lentelių reikšmių atitikmenis, jos negalimas dalykas, kad esant reikšmei t iš kairės pusės, jai atitiktų reikšmė k iš dešinės pusės. Implikacijos tautologijų ir loginio išplaukimo santykio ryšį nusako dedukcijos teorema: Tegu duotos dvi išraiškos: p ir p. Išraiška p → p bus tautologija (|= p → p) tada ir tik tada, kaip p |= p.

Paprastieji implikacijos tautologijos dėsniai

1. Iš klaidingo teiginio išplaukia bet koks teiginys – jei teiginys p teisingas, tai iš jo paneigimo išplaukia bet koks teiginys q.
|= p→(¬p→q)
Šis teiginys labai svarbus, nes parodo absurdiškumą teiginių sistemų, kuriose operuojama kaip teisingais ir teiginiais, ir jų neiginiais. Tokiose sistemose galima įrodyti bet ką ir dėl to įrodymas iš viso praranda prasmę.
2. Prieštaravimo išvedimas – jeigu iš teiginio p išplaukia jo neiginys ¬p, tai teisingas yra jo neiginys ¬p. Paradoksas.
|= (p→¬p)→¬p

Išraiškų pertvarkymo implikacijos tautologijos

1. Simplifikacijos dėsnis – jei teisinga kelių teiginių konjunkcija, tai teisingi ir patys teiginiai.
|= (p∧q) → q
|= (p∧q) → p
2. Adicijos dėsnis – jei klaidingas kažkoks teiginys, tai teisinga ir jo disjunkcija su bet kuriuo kitu teiginiu.
|=p → (p∨q)

Implikacijos tautologijų samprotavimų išvedimo taisyklės

1. Griežtosios alternatyvos teigimas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas tiktai vienas ir iš tikrųjų teisingas yra p, tai q yra klaidingas.
|= [(p∨q)∧p]→¬q
2. Griežtosios alternatyvos neigimas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas tiktai vienas ir iš tikrųjų p yra klaidingas, tai q yra teisingas.
|= [(p∨q)∧¬p]→q
3. Disjunktyvus silogizmas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas arba vienas, arba kitas, arba abu, ir iš tikrųjų p yra klaidingas, tai q yra teisingas.
|= [(p∨q)∧¬p]→q
4. Modus ponens – jei iš p išplaukia q ir p yra teisingas, reiškia teisingas ir q.
|= [(p→q)∧p]→q
5. Modus tollens – jei iš p išplaukia q ir q yra klaidingas, reiškia klaidingas ir p.
|= [(p→q)∧¬q]→¬p
6. Kontrapozicijos dėsnis – jei iš p išplaukia q, tai iš ¬q išplaukia ¬p (ir atvirkščiai, t. y. iš tikrųjų skliaustai ekvivalentiški).
|= (p→q)→(¬q→¬p),
|= (¬q→¬p) → (p→q)
7. Hipotetinis silogizmas – jei iš p išplaukia q ir iš q išplaukia r, tai iš p išplaukia r.
|= [(p→q)∧(q→r)]→(p→r)

 Predikatų logika 
Tai, apie ką yra tvirtinama, vadinama sprendimo subjektu, tai, kas yra tvirtinama, vadinama sprendimo predikatu, o kalbos išraiška, kuria pasakomas sprendimas yra vadinama teiginiu. Predikatų logika užsiiminėja išraiškomis, skirtomis nagrinėti sprendimų predikatus. Jose predikatai yra žymimi prasminiais simboliais, o subjektais gali būti bet kurie objektai, kurie yra užrašomi kaip kintamieji.
Predikatų logikoje naudojami simboliai turi savo pavadinimus:
 a, s, p – individualios (objektinės) konstantės,
 x – individualus (objektinis) kintamasis,
 G – predikatinis simbolis,
 G(x) – prepozicinė (teiginio) funkcija.

Kai teiginio subjektas yra vienas objektas, tai tokios prepozicinės funkcijos yra vadinamos vienviečiais predikatais arba savybėmis. Kai teiginio subjektas yra keli objektai, tai tokios prepozicinės funkcijos yra vadinamos dviviečiais triviečiais, keturviečiais ir t. t. predikatais arba santykiais. Dėl pavadinimų vieningumo teiginys kartais yra vadinamas „nul-viečiu predikatu“.
Logika, kurioje be predikatinių simbolių yra naudojami ir predikatiniai kintamieji yra vadinama antros eilės predikatų logika. Logika, kurioje naudojami tik individualūs kintamieji yra vadinama pirmos eilės predikatų logika.

 Savybių teorija 

 Kategoriniai teiginiai 
Yra žinoma 4 kategorinių teiginių rūšys:
 A – bendras teigimas „Visi S yra P“
 E – bendras neigimas „Visi S nėra P“ („Nė vienas S nėra P“)
 I – dalinis teigimas „Kai kurie S yra P“
 O – dalinis neigimas „Kai kurie S nėra P“

Bendrasis neigimas literatūroje iliustruojamas dviejų formų sakiniais. Pirmoji forma – „Visi S nėra P“ yra priimtinesnė, nes bendrumą kalba tiesiogiai išreiškia žodžiu „visi“ ir tai formalizuojama bendrumo kvantoriumi ∀x. Tuo tarpu, sakinys „Nė vienas S nėra P“, nors taip pat išreiškia bendrumą, tačiau tas bendrumas formalizuojamas egzistencijos kvantoriaus neigimu – ¬∃x, (nė vienas, reiškia neegzistuoja) o egzistencijos kvantorius paprastai naudojamas daliniuose teiginiuose. Tai plačiau bus paaiškinta skyrelyje apie vienų kvantorių keitimo kitais dėsnius.

Savybių teorija nagrinėja tokius kategorinius teiginius, kuriuose sprendinio subjektas S ir sprendinio predikatas P yra vienviečiai predikatai.
Kategoriniai teiginiai simboliškai bus užrašomi taip:
 A – „Visi S yra P“ ∀x (S(x) → P(x))
 E – „Nė vienas S nėra P“ ∀x (S(x) → ¬P(x))
 I – „Kai kurie S yra P“ ∃x (S(x) ∧ P(x))
 O – „Kai kurie S nėra P“ ∃x (S(x) ∧ ¬P(x))

 Savybių teorijos dėsniai 

1. ∀x F(x) ≡ ¬∃x ¬F(x).
Teiginys „Visi x-ai turi savybę F“ tapatus teiginiui „Neegzistuoja x-o, kuris neturėtų savybės F“. Pvz.: „Visi elektronai turi krūvį“ tapatu „Nėra elektrono, kuris neturėtų krūvio“.
2. ¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x).
Teiginys „Ne visi x-ai turi savybę F“ tapatus teiginiui „Egzistuoja x-as, kuris neturi savybės F“. Pvz.: „Ne visi žinduoliai gyvena sausumoje“ tapatu „Egzistuoja žinduolių, kurie negyvena sausumoje“.
3. ∃x F(x) ≡¬∀x ¬F(x).
Teiginys „Egzistuoja x-as, kuris turi savybę F“ tapatus teiginiui „Ne visi x-ai neturi savybės F“. Pvz.: „Pasitaiko dorų žmonių“ tapatu „Ne visi žmonės nedori“.
4. ¬∃x F(x) ≡ ∀x ¬F(x).
Teiginys „Neegzistuoja x-as, kuris turi savybę F“ tapatus teiginiui „Visi x-ai neturi savybės F“. Pvz.: „Šiame kambaryje nėra žmogaus, kuris mokėtų kinų kalbą“ tapatu „Visi žmonės šiame kambaryje nemoka kinų kalbos“.

Teiginių logikos dėsniai savybių teorijoje
Teiginiams, užrašytiems savybių teorijos formalizmu, galioja visi teiginių teorijos dėsniai. Pvz.:
Dvigubo neigimo ∀x [¬ ¬F(x) ≡ F(x)];
Prieštaravimo ∀x ¬[F(x) ∧ ¬F(x)] ≡ t;
Negalimo trečiojo ∀x [F(x) ∨ ¬F(x)] ≡ t;

Išraiškų pertvarkymo dėsniai

1. Egzistavimo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:
|= ∃x [F(x) ∧ G(x)] → [∃x F(x) ∧ ∃x G(x)].
2. Dualumo principas.
Simboliai porose: ∀ ir ∃,
∧ ir ∨, vadinami dualiais.
Išraiškos, kuriose visi simboliai pakeisti jiems dualiais, vadinamos dualiosiomis išraiškomis.
Dualumo principas skelbia: Jeigu išraiška yra logikos dėsnis (tautologija), tai ir jai duali išraiška yra logikos dėsnis.
Dualumo principas leidžia iš vienų logikos dėsnių automatiškai gauti naujus pirmuosiuose esančius simbolius pakeitus dualiais.

Konkretizacijos ir apibendrinimo dėsniai

1. Universalios konkretizacijos taisyklė.
Jeigu x0∈{x}, tai ∀x F(x)→F(x0).
2. Universalaus apibendrinimo taisyklė.
Jeigu x0∈{x}, tai F(x0)→∃x F(x).

 Loginiai santykiai 

 Santykių logikos pagrindai matematikai 
Šią temą pirmasis ėmėsi plėtoti C. S. Peirce. Atidi matematinių samprotavimų analizė parodė, jog santykių tipai verti atskiros temos. Taigi, santykių logika turėtų greičiau atsižvelgti į matematiką nei į klases ar teiginius, ir vienintelė yra galima bet kokia teoriškai teisinga ir tinkama matematinių tiesų išraiška.

Peirce ir Ernstas Šrioderis suprato šios temos svarbą, deja, jų metodai buvo pagrįsti ne D. Peano, o kur kas senesne simboline logika, gauta (su pakeitimais) iš Boole, todėl dauguma programų, kurios turėtų būti įvykdytos yra praktiškai neįmanomos.

Nežiūrint į senosios simbolinės logikos trūkumus, jų metodas pasitarnauja techniškai ta prasme, jog ji iš esmės laiko santykius tarsi porų klases, todėl reikia detaliau paaiškinti tiesiog santykius. Toks požiūris kilęs, greičiausiai nesąmoningai, iš filosofinės klaidos: buvo įprasta manyti, jog santykių teiginiai mažiau svarbūs nei klasių teiginiai (ar predikatų teiginiai, kurie su klasių teiginiais yra nuolat maišomi).

 Nauji primityvūs teiginiai 
Jeigu R yra santykis, mes tai išreikšime kaip xRy; teiginys x turės ryšį R su teiginiu y.

Reiktų primityvaus (nereikalaujančio įrodymo) teiginio parodyti, jog xRy yra teiginys su visomis x ir y reikšmėmis. Turime apsvarstyti sekančias klases: terminų klasę, kuri turi ryšį R su kitu terminu, kuris vadinamas referentų klase atsižvelgiant į R; ir terminų klasę, kur kai kurie terminai turi ryšį su R, kurie vadinami relata klase.
Todėl jei R būtų tėvystė, referentai būtų tėvai, o relatos – vaikai. Taip pat reiktų atsižvelgti į atitinkamas klases, atkreipiant dėmesį į tam tikrus terminus ar klasių terminus.

Toks santykių vaizdas čia veda link to, jog du santykiai gali turėti tą patį plėtinį net nebūdami identiški. Yra pasakyta, kad du santykiai R ir R′ yra lygūs, lygiaverčiai arba turintys ta patį plėtinį, kai xRy reiškia ir yra numanomas xR′ y su visoms x ir y reikšmėms.
Tačiau čia nėra jokios prasmės primityviam teiginiui, kaip buvusių klasių atveju, siekiant išgauti santykį, kuris yra apibrėžtas kai plėtinys apibrėžtas. Galime pakeisti santykį R iki loginės sumos arba santykio klasės produkto, kuris yra lygus R, t. y., kai kurių arba visų santykių teigimas; ir tai yra identiška loginiui sumos arba santykių klasės produktui, kuris lygus R′ , jeigu R′ būtų lygus R.

Čia panaudojamas dviejų klasių tapatumas, kuris priklauso nuo primityvaus teiginio kaip sukurti klasės tapatybę. Nustatyti dviejų santykių tapatybę – procedūra, kuri negalėjo būti pritaikyta klasėms be šio užburto rato.

Primityvus pasiūlymas – kiekvienas santykis turi priešingybę, t. y., kad jei R būtų bet koks santykis, yra santykis R′ , toks kaip xRy yra lygus yR′ x ir atitinka visas x ir y reikšmes. Remiantis Šrioderiu, reikėtų pažymėti, kad R yra priešingas R̆. Didesnis ar mažesnis, prieš ar po, reiškia ar suponuoja, yra tarpusavyje priešingi santykiai. Su kai kuriais santykiais, kaip antai asmens, įvairovės, lygybės, nelygybės, priešingybė yra pats santykio originalas; tokie santykiai vadinami simetriškais. Kai priešingybė yra nesuderinama su pirminiu jos santykiu, tokiais atvejais kaip daugiau ir mažiau, santykis vadinamas asimetrišku; tarpiniais atvejais ne simetrišku.

Svarbiausia iš primityvių teiginių šioje temoje yra tai, kad tarp bet kurių dviejų sąlygų yra ryšys, kuris nesisieja su bet kuriomis kitomis dviem sąlygomis.

Tai yra analogiškas principas, kad bet kokia sąlyga yra vienintelis tam tikros klasės narys. Šioje vietoje beišsiplečiantis santykių vaizdas turi pranašumą, bet pranašumas gali pasirodyti nusveriantis kitus motyvus. Kai santykiai yra laikomi įtemptais gali atrodyti, jog galima pradėti abejoti, ar minėtas principas yra teisingas. Tačiau, bet kokiu atveju, paprastai bus pripažinta, kad bet kurios dvi sąlygos bus teisingos nors tokios būti neturėtų, nes jų vietoje bus panaudotos visiškai kitos dvi sąlygos.

Jei tai būtų patvirtinta, anksčiau minėtas principas būtų palaikytas, remiantis logiško visų santykių produkto, tarpiniu pirmųjų sąlygų principu. Nors ir minėtas principas galėtų būti pakeistas pastaruoju, kuris yra lygus jam: jeigu xRy reiškia x′ Ry′ , kad ir koks būtų R, kol R yra santykis, tuomet x ir x′ , ir y, ir y′ yra atitinkamai identiški. Tačiau šis principas parodo loginę dilemą nuo kurios ligi šiol nepabėgta, įvardinant įvairius apribotus laukus; nebent R yra santykis, xRy nėra teiginys. Net jei tai būtų tiesa ar netiesa, ir taip R, galėtų atrodyti, negali pasiimti visų reikšmių – tik tokias kaip santykiai.

 Santykiniai produktai 
Kitos reikalingos prielaidos yra tokios, jog santykio neigimas yra santykis ir, kad logiškas klasės produktas iš santykių yra santykis. Taip pat santykinis produktas sudarytas iš dviejų santykių turi būti ryšys. Santykinis produktas iš dviejų santykių R ir S yra santykis, kuris yra tarp x ir z, neatsižvelgiant ar yra sąlyga y iš kurios x turi ryšį su R ir kuri turi z ryšį su S.

Taigi, nors ryšys tarp, iš motinos pusės, senelio ir jo anūko yra giminiškas tėvo ir motinos produktas; to pavyzdžiu senelė savo anūkei yra giminiškas jos tėvų produktas.
Santykinis produktas, kaip rodo šie rodikliai, yra bendrai jungiamas ir apskritai nėra paklųstantis pagrindiniam tautologijos principui. Santykinis produktas yra labai didelės svarbos sąvoka. Kadangi jis nepaklūsta tautologijos principui, tai veda prie santykių galių: santykių kvadratas tėvams ir jo vaikui yra ryšys tarp senelio ir anūko ir taip toliau. Peirce ir Schröder svarsto tai kaip jie patys vadina ryšiu tarp dviejų sumų R ir S, kuri yra tarp x ir z tada, kai y yra bet kokia kita sąlyga ir x turi y santykis R arba y turi z santykis S.

Tai sudėtinga sąvoka, kuri išvesta, siekiant išsaugoti sudėties ir daugybos dvilypumą. Šis dvilypumas turi tam tikro techninio žavesio, kai objektas yra laikomas nepriklausoma matematikos šaka, bet kai jis yra aptariamas išimtinai tik atsižvelgiant į matematikos principus, tas dvilypumas pasirodo neturi visiškai jokios filosofinės reikšmės.

 Priskirtų sričių santykiai 
Matematika reikalauja, tiek, kiek žinoma, tik dviejų kitų primityvių teiginių. Pirmas, kad materiali reikšmė yra santykis, o kita, kad ∈ (termino santykis su klase, kuriai jis priklauso) yra ryšys. Dabar galima sukurti matematinę visumą be papildomų prielaidų ar neapibrėžtumų. Kai kurie teiginiai santykių logikoje nusipelno būti paminėti, nes jie yra svarbūs ir gali būti abejonių ar jie yra patikrinti formalių įrodymų. Jei u, v yra bet kurių dviejų klasių, tuomet yra santykis R teiginys, kuris tarp bet kurių dviejų sąvokų x ir y yra lygiavertis teiginiui, kad x priklauso u ir y priklauso v. Jei u yra bet kurios klasės, kuris nėra lygus nuliui, tuomet yra santykis, kuris turi visas sąlygas ir kuris neturi daugiau jokių kitų terminų porų. Jei R yra bet koks santykis ir u yra bet kokia klasė turinti referentą R klasėje, tuomet yra ryšys, kuris turi u referentus savo klasėje ir visa tai yra lygu R visoje toje klasėje; šis ryšys yra tas pats kaip ir R padėtis, bet turi daug griežtesnį domeną. Nuo šio taško pirmyn, objekto kūrimas yra techninis dalykas: ypatingų tipų santykiai yra laikomi matematikos rezultatu ir specialia matematikos šaka.

 D. Peano logika 
Italijos matematikas ir logikas Džiuzepė Peano (Giuseppe Peano, 1858–1932) studijavo Turino universitete ir čia iki pat mirties profesoriavo. D. Peano darbai svarbūs įvairioms matematikos sritims. Jis išvystė simbolinės logikos idėjas, sukūrė naturaliųjų skaičių aksiomatiką, diferencialinių lygčių teorijoje įrodė svarbią teoremą apie sprendinio egzistavimą. D. Peano turėjo ne tik matematinių idėjų. Jis buvo tarptautinės mokslo kalbos Interlingua (Latino sine flexione) kūrėjas ir propaguotojas. Tačiau ši kalba, kaip ir Esperanto, neprigijo.

D. Peano labiausiai žinomas dėl savo pasiekimų vektorių algebroje ir simbolinėje logikoje. Jis perkėlė didžiąją dalį matematikos į griežtą simbolių sistemą, kurioje iš vis nėra žodžių. Dėl savo paprastumo jo ideografinė simbolių kalba buvo plačiai priimta logikos matematikų. Apie 1900 metus D. Peano sukūrė naują simbolių sistemą simbolinei logikai. Ši sistema ypatingai pasitarnavo simbolinei logikai, kadangi buvo praplėstas loginių simbolių asortimentas, padėsiantis pakeisti tokias logines sąvokas kaip „pateikta“, „egzistuoja“, „tik“, „yra“ ir t. t.

G. Peano gerai žinomas ir dėl savo veikalo Formulario Mathematico, kuriame jis suformulavo ne neigiamų sveikųjų skaičių pagrindus trimis neapibrėžtais terminais: 0 (nulis), skaičius ir sekantis po jo. Tai žinoma kaip Peano Aksiomų Sistema. Pagrindai Matematikams. G. Peano sugalvojo postulatų sistemą iš kurios būtų galima gauti visą natūraliųjų skaičių aritmetiką. Baziniai šios sistemos elementai, tai terminai minėti anksčiau (nulis, skaičius ir sekantis po jo). Teorijoje nerasime šių terminų apibūdinimo, bet simbolis „0“ skirtas žymėti nulį savo įprasta prasme, o terminas „skaičius“ reiškia turėti omenyje tik natūraliuosius skaičius: 0, 1, 2, 3… Sekantis po natūraliojo skaičiaus „n“ bus iškart einantis natūralusis skaičius įprasta tvarka ir bus žymimas kaip „n' “.

D. Peano sistemą apima šie penki postulatai:
 P1. Nulis yra skaičius.
 P2. Sekantis po bet kokio skaičiaus bus skaičius.
 P3. Jokie du skaičiai neturės po jų einančio to paties skaičiaus.
 P4. Nulis neseks po jokio skaičiaus.
 P5. Jeigu P yra nuosavybė, tokia kaip: a) 0 turi nuosavybę P ir b) kai tik n turi nuosavybę P, tuomet sekantis po n taip pat turi nuosavybę P, taigi kiekvienas skaičius turi nuosavybę P. Kitaip tariant, jeigu P yra skaičių rinkinys kur 0 yra P elementas ir kur sekantis po n yra P, kai tik n yra P, tada P yra visų neneigiamų skaičių sveikasis skaičius.

Paskutinis postulatas įkūnija matematinės indukcijos principą ir iliustruoja matematinės tiesos vykdymą pagal išlygą. Elementari aritmetikos konstrukcija pradedama nuo įvairių natūraliųjų skaičių apibrėžimų. 1 yra sekantis po nulio arba 0', 2 žymima kaip 1', 3 kaip 2' ir t. t. Remiantis antruoju postulatu, ši seka gali būti begalinė, kadangi, atsižvelgiant į trečiąjį postulatą (santykyje su penktuoju) ji niekada nenukreips į skaičių einantį prieš tai, o žinant ir ketvirtąjį postulatą nenukreips ir į nulį.

Kaip sekantį žingsnį, galime sukurti sudėties apibrėžimą, kuris tikslia forma išreikš idėją, kad kiekvieno natūralaus skaičiaus pridėjimas prie kažkokio duoto skaičiaus gali būti laikomas kaip pakartotinis 1 (vieneto) pridėjimas; sekanti operacija lengvai išreiškiama „sekančio po“ ryšiu. Šis sudėties apibrėžimas atrodo taip:

a) n + o = n
b) n + k'= (n + k) Šio rekursinio apibrėžimo dvi išlygos visiškai nustato bet kokių dviejų sveikųjų skaičių sumą.

Pavyzdžiui, apsvarstykim 3+2 sumą:

Atsižvelgiant į skaičių 1 ir 2 apibrėžimus, turime 3 + 2 = 3 + 1' = 3 + (0')'.

Atsižvelgiant į punką b) 3 + (0')' = (3 + 0')' = ((3 + 0)')'.

O iš punkto a) ir skaičių 4 bei 5 apibrėžimų seka ((3 + 0)')' = (3')' = 4' = 5.

Natūraliųjų skaičių daugyba gali būti apibrėžta sekančiu rekursiniu apibrėžimu, kuris išreiškia mintį, jog dviejų sveikųjų skaičių nk produktas gali būti apsvarstytas kaip suma k terminų, kurių kiekvienas lygus n:

a) n x o = o
b) n x k' = (n x k) + n, pavyzdžiui, jei n=5 ir k'=3 tai:

1. n x k' = 5 x 3 = 15
2. (n x k) + n = 5 x 2 + 5 = 15

Remiantis šiomis sudėties ir daugybos taisyklėmis, atvirkštinės operacijos kaip atimtis ar dalyba taip pat gali būti apibrėžtos. Tačiau čia paaiškėja, jog skirtumas ir dalmuo nėra apibrėžti kiekvienai skaičių porai. Pavyzdžiui, 7–10 ir 7 dalyba iš 10 yra neapibrėžta natūraliųjų skaičių sistemoje. Ši situacija skatina plėsti skaičių sistemą, įvedant neigiamus ir racionaliuosius skaičius.

Neigiami ir racionalieji skaičiai gali būti gauti iš D. Peano pagrindų, suteikiant jiems aiškius apibrėžimus be jokių įvadinių postulatų ir prielaidų. Kiekvienas teigiamas ir neigiamas sveikasis skaičius yra neskaidomas kaip tam tikras tvarkingas natūraliųjų skaičių porų rinkinys, todėl, sveikasis skaičius 2 yra neskaidomas kaip visų natūraliųjų skaičių porų (m, n) rinkinys, kur m = n+2. Sveikasis skaičius -2 yra visų natūraliųjų skaičių porų (m, n''') rinkinys ir n = m+2''. Panašiai ir racionalieji skaičiai yra apibrėžti kaip sveikųjų skaičių porų klasės. Įvairios aritmetinės operacijos gali būti apibrėžtos, atsižvelgiant į šiuos naujo tipo skaičius ir visų šių, operacijas reglamentuojančių aritmetikos įstatymų galiojimas gali būti patvirtintas, naudojantis D. Peano postulatais ir įvairių aritmetinių sąvokų apibrėžimais.

Tačiau ši daug platesnė sistema yra neišbaigta ta prasme, jog ne kiekvienas skaičius joje turi kvadratinę šaknį, ir apskritai, ne kiekviena algebros lygtis, kurios koeficientai yra visi sistemos skaičiai, sistemoje turi sprendinį. Tai siūlo toliau plėsti skaičių sistemą, įtraukiant realiuosius ir sudėtinius skaičius. Šis didžiulis sistemos plėtimas gali būti vykdomas vien tik apibrėžimų dėka, neįtraukiant jokių naujų postulatų. Tai reiškia, jog kiekviena matematinė sąlyga gali būti apibrėžta, naudojantis vien tik D. Peano trimis pagrindais ir kiekvienas matematinis teiginys gali būti išreiškiamas, naudojantis penkiais postulatais, papildytais neprimityvių terminų apibrėžimais. Daugeliu atvejų visa tai gali būti atlikta naudojantis vien tik simbolinės logikos principais.

 Išnašos 

 Nuorodos 
 The Principles of Mathematics
 What Is Symbolic Logic? 
 The Calculus of Relations
 V. Stakėnas. Kreivės, nepanašios į kreives
 Giuseppe Peano 

Kategorija:Matematinė logika