Vektorinė sandauga

Vektorinė sandauga () – dvinarė vektorių operacija. 

Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius , kurio ilgis yra |a||b|sin φ, o kryptis statmena plokštumai α taip, kad, žiūrint iš vektoriaus  galo, vektorius a sukamas kampu φ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriumi b.

 Apibrėžimas 
Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:
  ir , t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
 Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y ;
 Vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima  arba c = [a, b].


Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus a kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus b kryptimi, nykštys rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveiksliuką).

 Vektorinės sandaugos apskaičiavimas 

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu  ir  , tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą 

 Savybės 
Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:
 Antikomutatyvumas, t.y ;
 Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y 
 Distributyvumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y 
 Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra kolinearūs, t.y  kai a || b
 Tenkina Jacobi tapatybę, t.y 

 Taikymai 

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:


Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės ha, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternijonų daugyba.

 Šaltiniai 

Kategorija:Vektoriai