Paviršinis integralas

Paviršinis integralas – funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

 Pirmojo tipo paviršinis integralas 
Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei 
Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:

 Apskaičiuosime integralą  kur S dalis paraboloido  atpjauto plokštuma 
 Paviršius S, aprašomas lygtimi  projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu  (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai ). Todėl sritis D yra skritulys  Šiame skritulyje funkcijos    netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule  gauname

 Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates   randame

 Antrojo tipo paviršinis integralas 

 Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

 Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

 Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

 Pavyzdžiai 

 Apskaičiuosime integralą  kur S – viršutinė dalis paviršiaus  atkirsta plokštumomis  
 Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis  Pagal formulę  randame

 Apskaičiuosime integralą  kur S viršutinė dalis plokštumos  atkirsta plokštumomis   ir gulinti pirmajame oktante.
 Pagal apibrėžimą,

Čia  ir  – projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o  nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje ). Pagal formules  ir  atitinkamai randame

Todėl

 Apskaičiuosime integralą  pagal viršutinę pusę pusiasferės  
 Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi






Todėl pagal formulę  turime:

kur D – skritulys  plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime:

 Apskaičiuosime integralą  pagal viršutine pusę dalies plokštumos gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma 
Pagal nustatymą

  nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.


 Todėl,


 Šaltiniai 

Kategorija:Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas