Algebrinė struktūra

Algebrinė struktūra - aibė, kurioje yra apibrėžta viena arba kelios algebrinės operacijos. Algebrinės struktūros yra žymimos kortežais:

kur  yra aibė,  yra kompozicijos dėsnis, kurio tiksli išraiška yra apibrėžiama kiekvienu konkrečiu atveju.

 Pagrindinės algebrinės struktūros 

 Grupoidas 

Grupoidas - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas vienas uždaras kompozicijos dėsnis. Daugiau jokių sąlygų grupoidui nėra - net asociatyvumo sąlygos.

Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibė su atimties kompozicija

yra grupoidas, nes atimties operacija nėra asociatyvi:
 ,
 .

 Pusgrupė 

Pusgrupė - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas uždaras asociatyvus kompozicijos dėsnis.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė be nulio sudėties atžvilgiu 

yra pusgrupė, nes sudėties operacija yra asociatyvi:
 ,
 ,
ir ši struktūra neturi neutralaus elemento.

 Monoidas 

Monoidas – pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:


Čia  yra neutralus elementas.

 Grupė 

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):


Čia  elementas atvirkštinis .

 Abelio grupė 

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:


Čia  – aibės elementai.

 Žiedas 

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais ().
Pirmojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:


Čia  aibės elementai.

 Kūnas 

Kūnas () tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio () atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus „0 “– pirmojo kompozicijos dėsnio () neutralųjį (vienetinį) elementą.

 Laukas 

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis () yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.

 Išnašos 

Kategorija:Abstrakčioji algebra