Diferencialinė lygtis

Diferencialinė lygtis – lygtis, kuri sieja nežinomą funkciją, jos išvestines vieno ar keleto nepriklausomų kintamųjų atžvilgiu, ir šiuos nepriklausomus kintamuosius. Diferencialinės lygtys atlieka svarbų vaidmenį inžinerijoje, fizikoje, ekonomikoje ir kitose disciplinose.

Diferencialinė lygtis vadinama paprastąja, jei ieškoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija. Jei diferencialinė lygtis sieja kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, ji vadinama dalinių išvestinių lygtimi.

Diferencialinių lygčių teorija atsirado 17 a. pabaigoje su diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu. Pirmieji diferencialines lygtis nagrinėjo Izaokas Niutonas ir G. V. Leibnicas (jis pirmasis pavartojo diferencialinių lygčių terminą).

 Nomenklatūra 

Diferencialinių lygčių teorija yra gana gerai išvystyta ir metodai tirti joms skiriasi priklausomai nuo lygties tipo.

 Paprastoji diferencialinė lygtis (angliškas trumpinys ODE) yra diferencialinė lygtis, kurioje nežinoma funkcija yra paprastojo nepriklausomojo kintamojo funkcija. 

 Paprastosios diferencialinės lygtys toliau yra klasifikuojamos pagal jų aukščiausios nepriklausomojo kintamojo išvestinės eilę. Svarbiausi atvejai yra pirmo laipsnio ir antro laipsnio diferencialinės lygtys. Pavyzdžiui, Beselio diferencialinė lygtis.

 (kurioje  yra nepriklausomas kintamasis) yra antro laipsnio diferencialinė lygtis.

 Dalinės diferencialinė lygtis (angliškas trumpinys PDE) yra diferencialinė lygtis, kurioje nežinoma funkcija yra sudėtinė nepriklausomų kintamųjų ir lygtyje yra dalinių išvestinių.

Abi paprastosios ir dalinės diferencialinės lygtys plačiai skirstomos į tiesines ir netiesines. Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jeigu nežinoma funkcija ir jos išvestinės yra pirmo laipsnio, o netiesinės - priešingai.

 Modeliavimas diferencialinėmis lygtimis 

Dažnai diferencialinėmis lygtimis ir jų sistemomis aprašomi įvairūs fizikiniai, cheminiai, ekonominiai ir kitokie reiškiniai. Pavyzdžiui, kūnai vėsta pagal Niutono kūnų vėsimo dėsnį

,

kuris reiškia, kad kūno vėsimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas kūno ir aplinkos temperatūrų skirtumui . Šios diferencialinės lygties sprendinys bus funkcija, rodanti, kaip kūno temperatūra keičiasi bėgant laikui:

Konstantos  ir  randamos iš vadinamųjų pradinių sąlygų – kokia buvo kūno temperatūra dviem skirtingomis akimirkomis.

Pastebėtina, kad visada, kai kurio nors dydžio kitimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas to dydžio vertei, to dydžio kitimą bėgant laikui nusakanti funkcija visada bus eksponentinė.

 Žinomos diferencialinės lygtys 
 Fizika ir inžinerija 
 Niutono antrasis dėsnis dinamikoje
 Hamiltono lygtys klasikinėje mechanikoje
 Radioaktyvusis skilimas branduolio fizikoje
 Newtono šalimo dėsnis termodinamikoje
 Banginė lygtis
 Maksvelio lygtys elektromagnetizme
 Šilumos lygtis termodinamikoje
 Laplaso lygtis, kuri apibrėžia harmonines funkcijas
 Puasono lygtis
 Einšteino lauko lygtis bendrojoje reliatyvumo teorijoje
 Šriodingerio lygtis kvantinėje mechanikoje

 Biologija

 Verhulsto lygtis – biologinis populiacijos gausėjimas
 Lotkos–Volteros lygtis – biologinė populiacijų dinamika

 Literatūra 
 Vidmantas Pekarskas, „Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas“. II dalis. Kaunas, Technologija, 2000, ISBN 9986-13-716-0

 Šaltiniai 

 Nuorodos 
 http://e-stud.vgtu.lt/users/files/dest/5003/diferencialines_lygtys.pdf