Vektorius

Vektorius ( - vežėjas, nešėjas) – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis. 

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip – vektoriumi:

čia v yra n skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija – kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v. Kiekvieną koordinačių plokštumos vektorių v galima išreikšti vienetiniais vektoriais i ir j, Jei v = xi + yj, tai skaičiai x ir y vadinami vektoriaus v koordinatėmis.Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 1006 p. ISBN 9955-491-22-1

 Vektorių tipai 
 Lygieji vektoriai - vektoriai, kurių ilgis vienodas, o kryptis sutampa.Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei I dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 7 p. ISBN 5-430-034739-7
 Kolinearūs vektoriai. Du nenuliniai vektoriai vadinami kolineariaisiais, jeigu jie yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 171 p. ISBN 9986-38-010-3 Kolinearūs vektoriai gali būti vienkrypčiai (nukreipti į vieną pusę) arba priešpriešiniai (nukreipti į priešingas puses).
 Komplanarieji vektoriai. Vektoriai, kurie yra lygiagretūs vienai plokštumai arba yra vienoje plokštumoje.Vaidotas Mockus. Matematikos atmintinė moksleiviams. – Šiauliai: V. Mockaus įmonė, 2004. – 148 p. ISBN 9986-9150-7-4
 Nulinis vektorius - vektorius, kurio pabaiga sutampa su jo pradžia.

 Vektoriaus daugyba iš skaliaro 
Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:
 .

 Dviejų vektorių suma 
Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius:
.
Vektorių sudėties savybės:Vaidotas Mockus, Algidė Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso kartojimo medžiaga. – Šiauliai: V.Mockaus įmonė, 2002. – 211 p. ISBN 9955-9379-7-1
  (komutatyvumas arba sudėties perstatomumo dėsnis)
  (asociatyvumas arba sudėties jungiamumo dėsnis)


 Skaliarinė vektorių sandauga 

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

 Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, vektorių a=(3, 5, 6) ir b=(4, 0, 1) skaliarinė sandauga lygi:


 Vektoriaus ilgis 
Vektoriaus v ilgis, arba norma, žymimas ||v||, kartais |v|.

Vektoriaus v ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:
 .

Tai yra Pitagoro teoremos pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai e1, e2, e3 yra statmeni. Tai taip pat yra lygu šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos su savimi:
 .

Pavyzdžiui, vektoriaus a=(3, -2, 4) ilgis:


Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:
 ||cv||=c ||v||.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:
 ||v+w||≤||v||+||w||.

 Kampas tarp vektorių 
Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:
 .

Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.


Kampas tarp dviejų vektorių yra nulinis, kai vektoriai yra vienakrypčiai, o kai priešpriešiai - kampas yra ištiestinis.Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 111 p. ISBN 9955-491-22-1

 Vektorinė vektorių sandauga 
Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a × b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:



kur φ yra kampas tarp a ir b, o  yra vienetinio ilgio vektorius  statmenas ir a ir b. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni b ir a.

Ortogonalių vektorių bazė e1, e2 , e3 vadinama dešinine, jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).a × b vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad a ir b bei a × b tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad a ir b nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama dešinės rankos taisykle.

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1, -2, 2), b=(3, 0, -4). Jų vektorinė sandauga lygi

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome determinanto skaičiavimo taisykles.
Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:


Dedamųjų daugyba:





 Mišri vektorių sandauga 

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:



Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.

 Taip pat skaitykite 
 Vektorių sudėtis
 Tiesinė algebra

 Šaltiniai 

 Nuorodos 

http://www2.el.vgtu.lt/ssa/sA1node1.html 

Kategorija:Vektoriai