Keturkampis

Keturkampis – geometrinė figūra, sudaryta iš keturių taškų ir keturių nuosekliai juos jungiančių atkarpų. Bet kurie trys iš tų taškų negali būti išsidėstę vienoje tiesėje, o juos jungiančios atkarpos negali kirstis. Tuos keturis taškus vadiname keturkampio viršūnėmis, o juos jungiančias atkarpas – keturkampio kraštinėmis.Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 63 p. ISBN 9986-38-010-3

Keturkampis žymimas keturiomis didžiosiomis raidėmis, savo viršūnių pavadinimais (pavyzdžiui, 1 pav. pavaizduotas keturkampis ABCD).

Keturkampio viršūnės, priklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos gretimomis viršūnėmis, o viršūnės, nepriklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos priešingomis viršūnėmis. Keturkampio kraštinės, išeinančios iš tos pačios viršūnės, vadinamos gretimomis kraštinėmis, o kraštinės, neturinčios bendros viršūnės, vadinamos priešingomis kraštinėmis.

Keturkampis turi keturis vidinius kampus, kurių suma lygi 360°:


Atkarpos, jungiančios priešingas keturkampio viršūnes, vadinamos keturkampio įstrižainėmis. Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines. (1 pav. pavaizduoto keturkampio įstrižainės yra AC ir BD.)

Keturkampio apribota plokštumos dalis vadinama keturkampio vidumi, o kita dalis – keturkampio išore.

Keturkampiai yra skirstomi į iškiliuosius ir neiškiliuosius.
Keturkampiai, kurių abi įstrižainės yra keturkampių viduje, yra iškilieji. Neiškilieji keturkampiai šia savybe nepasižymi.

Geometrijoje dažniau nagrinėjami iškilieji keturkampiai. Pastarieji dar yra skirstomi į lygiagretinius, trapecijas.

 Jei a, b, c ir d yra kraštinės betkokio keturkampio, o  ir  – keturkampio įstrižainės, tai

 čia m yra ilgis tiesės jungiančios keturkampio įžambinių vidurio taškus.

Plotas į apskritimą įbrėžto keturkampio su kraštinėmis a, b, c, d yra lygus (įbrėžti keturkampį galima, kai jo priešingų kampų suma lygi 180 laipsnių):

 čia 

Plotas bet kokio iškilojo keturkampio lygus:

 čia  ir  yra keturkampio įstrižainės, o  yra smailus kampas tarp keturkampio įstrižainių.

 Apibrėžimas 
miniatiūra|dešinėje|2 pav.
Tegul , ,  ir  yra keturi taškai vienoje plokštumoje ir trys iš jų nėra vienoje tiesėje. Jeigu atkarpos , ,  ir  susikerta tik galiniuose taškuose, tai šių atkarpų susikirtimas yra keturkampis, kurį galima apibūdinti taip:

keturkampis  yra atkarpų  sąjunga (žr. 2 pav.).

 Keturkampio elementai 
Keturkampio elementai yra:
 4 viršūnės: kraštinių, sudarančių keturkampį, susikirtimo taškai.
 4 kraštinės: atkarpos, jungiančios gretimas viršūnes.
 2 įstrižainės: atkarpos, kurių galiniai taškai yra dvi negretimos viršūnės.
 4 vidiniai kampai: kampai, kuriuos sudaro dvi gretimos kraštinės.
 centras, kuris yra į keturkampį įbrėžto apskritimo centras.

 Keturkampio savybės 
 Visų keturkampių vidinių kampų suma yra 360 laipsnių.
 Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines.
 Keturkampis yra arba išgaubtas, arba įgaubtas.
 Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta viename taške, bet įgaubto keturkampio įstrižainės – ne.
 Bet kokį keturkampį galima nubrėžti tada, kai žinomi 5 jo elementai (kraštinės arba kampai).

 Įbrėžtinis ir apibrėžtinis apskritimas 
miniatiūra|Į keturkampį  įbrėžtas apskritimas.
Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tada, kai keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios: , kur kraštinė a yra priešais kraštinę c ir kraštinė b yra priešais kraštinę d.

Keturkampį galima apibrėžti apskritimu tada ir tik tada, kai priešingų vidinių kampų suma yra 180°:Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 84 p. ISBN 9986-03-264-4 , kur kampas  yra priešais kampą , o kampas  yra priešais kampą 

 Klasifikacija 
Keturkampiai yra klasifikuojami pagal jų kraštinių lygiagretumą, ilgį ir vidinius kampus:
 trapecija – dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios.
 lygiašonė trapecija – du trapecijos pagrindai yra lygiagretūs, šoninės kraštinės yra vienodo ilgio ir trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs. Tai reiškia, kad įstrižainės yra vienodo ilgio.
 lygiagretainis – priešingosios kraštinės yra lygiagrečios. Iš to seka, kad priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji kampai yra lygūs ir įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas jas dalija pusiau.
 deltoidas – dvi gretimos kraštinės yra vienodo ilgio, kaip ir dvi kitos. Tai reiškia, kad ta priešingų kampų aibė yra lygi, o ta įstrižainė dalija kitą stačiu kampu.
 romboidas – lygiagretainis, kurio gretimos kraštinės yra nevienodo ilgio, o du kampai yra didesni už kitus du.
 stačiakampis – visi keturi kampai yra statieji. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis.
 kvadratas – taisyklingasis keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi vidiniai kampai yra statūs. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta stačiu kampu ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis. Keturkampis yra kvadratas tada ir tik tada, kai jis yra ir rombas, ir stačiakampis.
 įbrėžtinis keturkampis: keturios viršūnės yra apibrėžtiniame apskritime.

 Formulės 

Bendrinio keturkampio matematinės formulėsPlotas250pxĮstrižainės ilgis
(žr. kosinusų teorema)Vidinis kampas
(žr. kosinusų teorema)

 Šaltiniai 

 Nuorodos