Matrica (matematika)

Matrica – stačiakampė elementų (dažniausiai skaičių) lentelė. Matricas tiria matricų teorija. Matricos naudojamos tiesinių lygčių sistemoms spręsti, taip pat atliekant tiesines transformacijas (pavyzdžiui, kompiuterinėje geometrijoje sukant objektus ar keičiant jų dydį).

 Apibrėžimai ir žymėjimas 

Matricą sudaro eilutės ir stulpeliai. Jeigu matricą sudaro m eilučių ir n stulpelių, ji vadinama [m × n] dydžio (arba [m × n] formato) matrica. i - osios eilutės ir j - otojo stulpelio sankirtoje esantis elementas paprastai žymimas aij. Pavyzdžiui, pirmosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje esantis elementas žymimas a12 (skaitoma "a vienas du", o ne "a dvylika"). Jeigu vienas iš matricos matmenų lygus vienetui, ji vadinama vektoriumi.

Dvi to paties dydžio matricos vadinamos lygiomis, jei jų atitinkami elementai yra lygūs:
A = B, jei aij = bij visiems i ir j.

Pavyzdys:


Matrica A yra 2×4 dydžio; ją sudaro dvi eilutės (m = 2) ir keturi stulpeliai (n = 4).

 Operacijos su matricomis 

 Matricų sudėtis ir atimtis 

Matricas galima tarpusavyje atimti ar sudėti, jeigu jų dydžiai sutampa, t.y jas sudaro vienodas eilučių ir stulpelių skaičius. Rezultate gaunasi tokio pat dydžio matrica, kurios kiekvienas elementas gaunamas atliekant operaciją su atitinkamais sudedamų (atimamų) matricų elementais. Pavyzdžiui, jeigu turime dvi matricas A ir B, kurių dydis [m × n], tuomet jų suma apskaičiuojama sudedant atitinkamus kiekvienos matricos elementus (su sutampančiais indeksais), t.y jei C = A + B, tai  cij = aij + bij.

Atimties pavyzdys:





 Matricų daugyba 

Matricas galima dauginti tarpusavyje, jeigu matricos yra suderintos. Tai reiškia, kad matricą A = (aik), kurios dydis – [m × s], galima dauginti iš tokios matricos B=(bkj), kurios eilučių skaičius sutampa su matricos A stulpelių skaičiumi, t.y matricos B dydis turi būti [s × n]. Sudauginus A ir B matricas, gaunama [m × n] formato matrica C = (cij), t.y 
 .
Kiekvienas matricos C elementas cij yra apskaičiuojamas pagal formulę:
 ,

čia 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n.

Pavyzdys:
Apskaičiuokime matricą C = AB, kai

Pirmiausia turime įsitikinti, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos A dydis yra [2 × 3], o matricos B - [3 × 2], taigi matricos yra suderintos, nes matricos A stulpelių skaičius (3) yra lygus matricos B eilučių skaičiui. Gausime matricą C, kurios dydis yra [2 × 2]. Turime 


Labai svarbi matricų daugybos savybė yra ta, kad bendruoju atveju AB ≠ BA, t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi. Tai reiškia, kad dauginant matricas būtina atsižvelgti į jų tvarką. 

Pavyzdys:
Apskaičiuokime matricą D = BA, kai

Įsitikiname, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos B dydis yra [3 × 2], o matricos A - [2 × 3], taigi matricos yra suderintos, nes matricos B stulpelių skaičius (2) yra lygus matricos A eilučių skaičiui. Gausime matricą D, kurios dydis yra [3 × 3]. Turime


Kaip matome C ≠ D.

Matricos, kurioms galioja lygybė AB = BA vadinamos komutuojančiomis. Pavyzdžiui


 Matricos daugyba iš skaičiaus 
Matricą A galima padauginti iš skaičiaus α. Atliekant šį veiksmą kiekvienas matricos elementas yra dauginamas iš α.

Pavyzdys.


 Operacijų su matricomis savybės 
Matricų sudėčiai bei matricų daugybai galioja šios savybės:
 , t.y matricų sudėtis yra komutatyvi;
 , t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi;
 , t.y matricų sudėtis yra asociatyvi.
Nors matricų daugyba yra nekomutatyvi, jai galioja šie asociatyvumo dėsniai:


Taigi dauginant daugiau negu dvi matricas daugybų tvarka yra nesvarbi. Svarbi yra tik matricų tvarka.

Dėl matricų daugybos nekomutatyvumo galioja šie distributyvumo dėsniai:



Jei turime skaičius α ir β, tai galioja šios savybės:





 Matricų tipai 

 Nulinė matrica – matrica, kurios visi elementai nuliai.
 Vienetinė matrica – matrica, kurios visi elementai pagrindinėje įstrižainėje lygūs 1, o likusieji elementai lygūs 0. Vienetinė matrica žymima E (kartais žymima I).
 Išsigimusi matrica – matrica, kurios determinantas lygus nuliui. Be to, ji neturi sau atvirkštinės.
 Kvadratinė matrica – matrica su vienodu eilučių ir stulpelių skaičiumi. Kvadratinės matricos turi įstrižaines. Įstrižainė, kertanti kvadratinės matricos elementus nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo, vadinama pagrindine, o nuo viršutinio dešiniojo kampo iki apatinio kairiojo – šalutine.
 Transponuota matrica – matrica, kurios eilutės ir stulpeliai sukeisti vietomis. Žymima AT
 Kvadratinės matricos A atvirkštinė matrica – matrica A-1 , tenkinanti lygybes AA-1 = A-1A = E
 Simetrinė matrica – matrica, sutampanti su savo pačios transponuota matrica.
 Trikampė matrica – matrica, kurios visi elementai virš (žemiau) pagrindinės įstrižainės lygūs 0.
 Ermito matrica – matrica, kurios eilutes ir stulpelius sukeitus vietomis, bei atlikus kompleksinį sujungimą visiems elementams gauname tą pačią matricą. Tokios matricos pagrindinės įstrižainės elementai visada yra realūs skaičiai.
 Unitarioji matrica – kvadratinė kompleksinė matrica, kurios atvirkštinė matrica gaunama eilutes ir stulpelius sukeitus vietomis (transponavus), bei atlikus kompleksinį sujungimą visiems jos elementams. Atskiru atveju, kai matricos su šia savybe visi elementai yra realieji skaičiai, ji yra vadinama ortogonaliąja matrica.

 Kitos susijusios sąvokos 
Kvadratinei matricai apibrėžiamas charakteristinis polinomas, kurio šaknys vadinamos matricos tikrinėmis reikšmėmis, taip pat svarbi yra matricos tikrinio vektoriaus sąvoka. Matricos pagrindinės įstrižainės elementų suma yra vadinama matricos pėdsaku, jis yra lygus matricos tikrinių reikšmių sumai.

 Šaltiniai