Determinantas

Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas, o apie kalbos dalį - determinatyvas (gramatika)
Kvadratinės matricos determinantas –  algebrinė suma visų galimų sandaugų, gautų parenkant po vieną dauginamąjį iš kiekvienos matricos eilutės taip, kad dauginamieji priklausytų skirtingiems stulpeliams. Determinantai svarbūs integriniame ir diferenciniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto  formulė yra tokia:



kur
  ir  – determinanto žymėjimas.

 Antros eilės determinantas 

2×2 matrica

turi determinantą
 .

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

Surandamas determinantas:

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:


kur


Formulės vadinamos Kramerio formulėmis.
Jei D=0, bet  arba  nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta).
Jei , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

Sistemos determinantas yra

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

Panašiai randamas



 Determinantas 3  3 

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

 Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules 
Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

sprendinius:



kur



Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

 Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą



Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.


 Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu 

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.





Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:


Išspręsime sistemą

matricų metodu.

Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.









 Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu 
Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos  pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

 Iš paskutinės lygties 
 Iš antros lygties surandame 
 Iš pirmos lygties randame 
 Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

 Ketvirtos eilės determinantas 
Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:


Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.

 Šaltiniai 

Kategorija:Matematika