Darbu sumos

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos, naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas, kurio apibrėžimas lengvai išplečiamas iki Rymano-Stieltjeso integralo. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

 Apatinė Darbu suma 


Tegul funkcija  apibrėžta intervale . Šis intervalas suskaidomas tokiu būdu:



Gautų intervalų ilgiai žymimi . Jų iš viso yra . Ilgiausio gabaliuko ilgis žymimas .

Toks intervalo skaidinys vadinamas . Apibrėžiami tokie taškai:



T. y., kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandama mažiausia funkcijos reikšmė.
Sudaroma tokia suma:

 .

Ši suma ir vadinama apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio  funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidomas intervalas .
Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidomas intervalas, t. y. nuo .

 Viršutinė Darbu suma 


Viršutinė Darbu sumą apibrėžiama labai panašiai. Intervalas  skaidomas tokiu pat būdu ir pasirenkami tokie taškai:



T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke.
Analogiškai sudaroma suma

 .

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo . Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

 Darbu sumų savybės 

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

 , t. y., kad ir kaip bebūtų skaidomas intervalas, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
 Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

  – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.
  – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.
Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:


  ir , t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.

 Šaltiniai 

 Nuorodos 
 Darboux Integral

Kategorija:Matematinė analizė