Pitagoro teorema

Pitagoro teorema – teorema, kuri teigia, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įžambinės kvadratui:



 kur a ir b yra trikampio statinių ilgiai, o c – įžambinės ilgis. Ši lygtis vadinama Pitagoro lygtimi, o ją tenkinantys sveikieji skaičiai (pavyzdžui, 3, 4, 5) – Pitagoro trejetais. 

Pavyzdžiui, jei a = 8, o b = 6, tai 

Atvirkštinė Pitagoro teorema: jeigu trikampio vienos kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tai tas trikampis yra statusis.

Pitagoro teorema taip pat yra atskiras kosinusų teoremos atvejis, kai kampas yra statusis.

 Istorija 
Iki šiol nesutariama, ar graikų filosofo ir matematiko Pitagoro vardu teorema buvo atrasta vieną kartą, ar daug kartų daugelyje pasaulio vietų, taip pat nėra aiški pirmojo atradimo ir įrodymo data. Mesopotamijos matematikos istorikai priėjo išvados, jog Pitagoro teorema buvo plačiai žinoma Senojo Babilono karalystėje (XX–XVI a. pr. m. e.), tai yra daugiau kaip tūkstantis metų iki Pitagoro gimimo.: p. 36 "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse. ": p. 306 "Although Plimpton 322 is a unique text of its kind, there are several other known texts testifying that the Pythagorean theorem was well known to the mathematicians of the Old Babylonian period. ", p. 406, „To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors’ environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db2-146, somewhere between 2300 and 1825 BC.“ (Db2-146 is an Old Babylonian clay tablet from Eshnunna concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.): p. 109 "Many Old Babylonian mathematical practitioners … knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste ‘algebra’ on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia. " Teoremos istoriją galima suskirstyti į keturias dalis: Pitagoro trejetų, stačiojo trikampio kraštinių santykių, gretimų kampų ryšių žinios ir teoremos įrodymai tam tikroje dedukcinėje sistemoje.

 Mesopotamija 
Yra įrodymų, kad senovės babiloniečiai jau žinojo Pitagoro teoremą daug anksčiau.
1900–1600 m. pr. m. e. babiloniečių lentelėse yra iš esmės aprašyta ta pati teorema.History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics 

Viena iš tokių lentelių yra Plimptono molinės lentelės fragmentas 322, kuriame yra atvaizduota Pitagoro trejetų lentelė. Manoma, kad ši lentelė kilo iš Larsos miesto. Lentelėje yra 4 stulpeliai ir 15 eilučių. Ketvirtasis stulpelis iš kairės pusės numeruoja eilutes nuo 1 iki 15. Pirmasis stulpelis yra pažeistas. Antrojo ir trečiojo stulpelio antraštės atitinkamai yra „Plotis“ ir „Įstrižainė“. Pačioje lentelėje yra pateikti skaičiai, kurie naudojami generuoti Pitagoro trejetus:

 .

Šie skaičiai rodo, kad babiloniečiai žinojo Diofanto trejetų generavimo metodą.

Kita dantiraščio lentelė yra iš Hamurabio dinastijos (1829–1530 m. pr. m. e.), saugoma Britų muziejuje. Lentelėje yra pateiktas geometrinis uždavinys, kuriame reikia apskaičiuoti atstumą, kuriuo reikia pastatyti atramą stulpui. Sprendimas pateiktas šešiasdešimtaine skaičiavimo sistema, pritaikant Pitagoro teoremos formulę, kai žinomas vienas trikampio statinis ir įžambinė. Vis dėlto iš šio šaltinio nėra aišku, ar babiloniečiai žinojo patį teoremos matematinį įrodymą.

Remiantis Jamblichu Pitagoras buvo Babilone dvyliką metų.

 Kinija 
V–III a. pr. m. e. kinai jau žinojo, jog trikampis, kurio kraštinių ilgiai lygūs 3, 4 ir 5 (bet kokiais vienetais), yra statusis.Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. – М.: Восточная литература РАН, 2009. – Т. 5. – С. 939–941. – 1055 с. – ISBN 9785020184299.  Ši teorema yra minima viename iš seniausių kinų matematikos veikalų Zhoubi suanjing. Senovės Kinijos matematinių darbų datavimas yra labai netikslus, o datavimas įvairiuose šaltiniuose labai skiriasi. Zhoubi Suanjing gali siekti 1200 m. pr. m. e., tačiau galutinę formą kūrinys galėjo įgyti kažkada tarp 500 m. pr. m. ir 200 po Kr. Veikale yra astronominių skaičiavimų, taip pat trikampių geometrijos ir šiek tiek apie teorijos apie trupmenas. Kaip ir Babilonijos, Indijos ir Egipto tekstuose, tai yra uždavinių rinkinys su sprendimais. Tarp 246 uždavinių yra trikampio su kraštinėmis 3, 4 ir 5 piešinys (pateiktas dešinėje), iš kurio matosi, jog kinai žinojo teoremą, ją vadina Gougu teorema.

 Indija 
Indijos tekstuose Baudhayana Shulba Sutra, kurie datuojami įvairiai, maždaug nuo VIII iki V a. pr. m. e., yra Pitagoro trejetų sąrašas ir Pitagoro teoremos teiginys, paminėtas atskiru lygiašonio stačiojo trikampio atveju, taip pat ir bendruoju atveju Apastamba Shulba Sutra tekstuose (apie 600 m. pr. m. e.).

Manoma, kad indai žinių sėmėsi iš Mesopotamijos, tačiau taip pat yra manoma ir atvirkščiai, kad Mesopotamija žinių įgijo iš Indijos.

 Įrodymai 
Yra žinomi keli šimtai Pitagoro teoremos įrodymų, todėl ji tikriausiai yra labiausiai patikrinta matematinė teorema. 1927 m. amerikiečių matematiko Elisha Scott Loomis pirmą kartą išlestoje knygoje pateiktas 371 įrodymas. Kai kuriuos iš jų pasiūlė Leonardas Da Vinčis ir JAV prezidentas Džeimsas Garfildas.

 Įrodymas trikampių panašumu 
Vienas iš populiariausių Pitagoro teoremos įrodymų yra įrodymas, kuris remiasi trikampių panašumu, kadangi jis yra beveik tiesiogiai išvedamas iš aksiomų ir nenaudoja figūros ploto koncepcijos.

Šiame įrodyme duodam trikampiui  su stačiuoju kampu  ir kraštinėmis  bei priešingoms kampams  išvedama trikampio aukštinė , gaunami du panašūs statieji trikampiai ir panaudojami trikampių panašumo požymiai:  ir , iš kurių seka

Tada pasinaudojus pagrindine proporcijos savybe, gaunamos šios lygybės

atliekami pertvarkymai ir gaunamas reikalingas rezultatas:


 Įrodymas padalinant kvadratą 
Vienas iš paprastesnių įrodymų yra kvadrato su kraštinėmis  padalinimas dviem būdais. Paveikslėlyje kairysis kvadratas sudarytas iš kvadrato su kraštine , kvadrato su kraštine  ir 4 stačiųjų trikampių. Dešinysis kvadratas sudarytas iš kvadrato su kraštine  ir iš tų pačių 4 stačiųjų trikampių.

Abu didieji kvadratai yra vienodo ploto, kadangi jų kraštinės yra lygios: . Išėmus 4 stačiuosius trikampis iš abiejų kvadratų, likusios figūros turės vienodą plotą. Kairėje pusėje bus kvadratas su kraštine  ir kvadratas su kraštine , kurie sudarys paviršiaus plotą . Dešinėje pusėje likęs kvadratas bus su kraštine , tada jo plotas bus . Pitagoro teorema įrodyta.

Galimas ir trumpesnis šio įrodymo variantas: didžiojo kvadrato su kraštine  plotas lygus dešinėje esančio paveikslėlio vidinio kvadrato ir aplink esančių keturių trikampių plotų sumai:

Iš čia



 Algebriniai įrodymai 
Pitagoro teorema gali būti įrodyta algebriniu būdu panaudojus 4 vienodus trikampius ir išdėstant juos simetriškai aplinkui kvadratą su kraštine c, kaip pavaizduota šone schemoje apačioje. Taip yra sudaromas didesnis kvadratas, kurio kraštinės yra , o plotas . Keturi trikampiai ir kvadrato kraštinė c privalo turėti tą patį plotą kaip ir didysis kvadratas:


iš to seka


Panašus įrodymas naudoja 4 stačiuosius trikampius, su kraštinėmis a, b ir c, juos išrikiuojant taip, kad jie būtų kvadrato su kraštine c viduje, kaip pavaizduota šone schemoje viršuje. Šie trikampiai yra panašūs, o jų plotai lygūs , susidaręs mažasis kvadratas turi kraštinę  ir plotą . Didžiojo kvadrato plotas apskaičiuojamas taip:


Kadangi didysis kvadratas turi kraštinę c ir plotą c2:



 Apibendrinimas 

 Kosinusų teorema 

Stačiajam trikampiu galima pritaikyti kosinusų teoremą:

 ,

čia kampas  yra kampas tarp kraštinių  ir . Skirtingai negu Pitagoro, kosinusų teoremoje atsiranda papildomas dėmuo . Kadangi  kampo kosinusas yra lygus 0, stačiajam trikampiui šis dėmuo praleidžiamas ir tada kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to kartais kosinusų teorema vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.

 Skirtumai neeuklidinėse geometrijose 
Neeuklidinėse geometrijose penktasis Euklido postulatas (lygiagretumo postulatas) negalioja. Tokios geometrijos pavyzdys – sferinė geometrija. Šioje geometrijoje trikampis yra sudaromas iš trijų didžiųjų apskritimų lankų, esančių sferoje, kurios spindulys yra . Jeigu du lankai kertasi stačiuoju kampu, Pitagoro teorema nebetinka, kadangi trikampio vidinių kampų suma tampa didesne už 180°. Pitagoro teoremos formulę pakeičiama:


 Panaudojimas 
Pitagoro teoremą galima pritaikyti visiems daugiakampiams, nes jie gali būti padalinti į trikampius, o šie į stačiuosius trikampius.Rhoad, Milauskas & Whipple. Geometry for Enjoyment and Challenge, 384 p. Tai galioja ir briaunainiams.

 Stačiojo trikampio kraštinių ilgiai 
Iš Pitagoro teoremos žinoma, kad stačiojo trikampio įžambinės ilgis yra lygus kvadratinei šakniai iš kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos:

 .

Vadinasi, naudojantis šia teorema galima apskaičiuoti nežinomos kraštinės ilgį žinant įžambinės ir kitos kraštinės ilgius. Pertvarkant gaunamos lygtys:



Naudojant atvirkštinę Pitagoro teoremą galima patikrinti, ar duotasis trikampis yra statusis. Tai atliekama tikrinant, ar teoremos lygtis galioja nurodyto trikampio kraštinėms, pavyzdžiui:
 Jeigu trikampio kraštinės ,  ir , tada , vadinasi trikampis statusis.
 Jeigu trikampio kraštinės ,  ir , tada , vadinasi trikampis nėra statusis.

 Pitagoro trejetai 

Iš visų lygties  sprendinių , egzistuoja be galo daug tokių ,  ir , kurie yra sveikieji skaičiai. Tokios skaičių grupės vadinamos Pitagoro trejetais. Paprasčiausias toks trejetas yra sudarytas iš skaičių ,  ir . Pitagoro trejetai buvo nuo senovės laikų naudojami sudarant stačiuosius trikampius.

Pitagoro pirminiai trejetai mažesniems nei 100 skaitmenims:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Pitagoro trejetų paieška skatino ir skaičių teorijos raidą. Prancūzų matematikas Pjeras Ferma studijavo Pitagoro trejetus ir suformulavo Didžiąją Fermą teoremą, kuri teigia, jog lygtis  neturi sprendinių, kai . Šią teoremą po daugiau kaip 300 metų įrodė anglų matematikas Endriu Vailesas.

 Euklidinis atstumas 

Pitagoro teoremos formulė yra naudojama apskaičiuoti atstumą tarp dviejų taškų Dekarto koordinačių sistemoje. Turint du taškus  ir  plokštumoje, atstumas tarpų jų lygus:



Formulėje remiamasi faktu, jog koordinačių ašys yra statmenos viena kitai. Formulė taip pat gali būti išplėsta ir didesniam matmenų skaičiui, tokiu atveju naudojama sąvoka Euklidinis atstumas, pavyzdžiui, trijų dimensijų Euklidinėje erdvėje:

 .

 Kompleksiniai skaičiai 
Bet koks kompleksinis skaičius gali būti užrašytas tokia forma:



Kompleksinio skaičiaus modulis yra apibrėžiamas:



Tris dydžius ,  ir  jungia Pitagoro teoremos lygtis:



Skaičiaus modulis  yra visada teigiamas, tačiau  ir  abu gali turėti teigiamas arba neigiamas reikšmes. Geometriškai  yra atstumas nuo pradžios taško iki taško  kompleksinėje plokštumoje.

Atstumas tarp dviejų kompleksinių skaičių  ir  gali būti apskaičiuojamas:



Šis atstumas ir du skaičiai yra susiję per lygtį, kuri yra panaši į Pitagoro teoremos lygtį:



 Trigonometrinis santykis 
Trigonometrijoje vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio centras yra koordinačių sistemos pradžioje, o spindulio ilgis yra 1. Nubrėžus statųjį trikampį šio apskritimo viduje su įžambine, kuri sutampa su apskritimo spinduliu, prie apskritimo centro susidaro kampas α, kurio kosinusas yra abscisė, o sinusas – ordinatė, tada naudojantis Pitagoro teorema galima užrašyti lygybę:

 Šaltiniai 

 Literatūra 



 Nuorodos 


Kategorija:Matematinės teoremos