Teurema da Menelao

Ul Teurema da Menelao l'è un teurema da Gieumetria elemantar ch'al trata di triangul.

 Declarazziú 
Dai un triangul ABC e tri pünt D, E e F chi stan in sö i rett BC, AC e AB rispetivament, D, E ed F'' a hin in fila se e domà se:



In questa equazziun, , , etc., i rapresentan i lünghez di segment cunt ul segn. Par esempi, la frazziun  la g'haa segn pusitif domà quand che la reta par ,  e  la taja ul segment .

Sa tegn anca cuunt dul urientament di segment:



 Demustrazziú 
Sa veet che la aprt a sinistra du l'equazziun la g'haa segn negatif se tucc e tri i raport a hin negatif, cas in cui la reta  la taja no ul triangul, o un raport l'è negatif e gli altar dü pusitif, cas in cui la reta  la taja ul triangul in dü pünt (sa veda ul assioma da Pasch).

Sa disegnan i perpendicular da ,  e  in sö , le ciami rispetivament , e . Mó par similitüdin da triangul, sa veet che:



Ciuè:



L'ültima uguaglianza la sa tröva semplificando i frazziuni dentar al modul.

Per l'oltar vers du l'implicazziun:

sian  e  in sö rispetivament i rett  e , inscì che l'equazziun la vada ben. Sia  ul pünt duè che i rett  e  sa tajan. Alura per quel ca sè demustrà in precedenza anca  e  i van ben in du l'equazziun. Sa cunfruntan:



Ma l'è mia pussibil che püssee d'un pünt al poo spezzà un segment in dü cunt un cert raport, sicchè sa cunclüd che:



Categuria:Matematega