Lema da Zalcman

Grazzia al lema dal spazzi métrich, sa pöö dá una pröva fisc sémplis dal segueent lema d'anàlisi cumplessa, devüü al matemàtich Israelian Zalcman:

Si una fameja 

da funziun merumòorf sül diisch ünitaa

a l'è mia nurmala sü vargün intuurn da 
, alura al esiist 
di sequeenz
,
,

e una funziun merumorfa mia custanta

sü  
taal che

ünifurmameent
sü cada cungjuunt cumpatt da ; da plüü, la derivada sférica

a l'è limitada sür .

Demustrazziun
Grazzia a la mia nurmalitaa al puunt, i sa pöö truvá di sequeenz  
in  e 

taal che .
Sa pöö süponn, senza nöss a la generalitaa, che

al síes cuntegnüü int un sübcungjuunt saraa  
 da .

Par cada , aplichemm ul lema dal spazzi métrich
a  cun la métrica euclidea, 
, 

e ;
s'uteegn  taal che:
{\tt (i)} ,
{\tt (ii)} e 
{\tt (iii)} .

Punemm adess
 e .
%
Cada  al è ben definii sü
 par che:
{\tt (i)}
 e
{\tt (ii)} 
.
La fameja  
a l'è nurmala par che, grazzia a 3,

sü : grazzia al teurema d'Ascoli-Arzelà, sa pöö trá fö da
 una sübsequenza
ünifurmameent cunvergeent sü cada cumpatt da , veers una funziun merumorfa
límit 
tala che , vargott ch'al pröva che  a l'è mia custanta; 
finalameent, par ulumurfía,  
par cada .

Refereenz
F.Berteloot, J.Duval
it Une démonstration directe de la densité des cycles répulsifs dans l'ensemble de Julia
Basel, Birkhäuser Prog. Math. 188, 221-222
(2000)

Categoria:Analisi complessa