Antecedent (matematica)

In matematica, daa düü insema minga vöj E, F e una aplicaziun , se 'l ciama antecedent (cun f) d'un element y de F tücc i element x de E tal che .

Un antecedent a l'è, dunca, per definiziun, un element de l'imagin recipruca .

Esempi
Sien la funziun  e y un real.
Si y > 0, y l'amet düü antecedent, che hin  e 
Si y = 0, y l'amet dumà un antecedent, che l'è 0
Si y < 0, y l'amet nissün antecedent

Sien E un insema minga vöj, e una aplicaziun , induve  el designa el insema dai part de E. Se 'l definiss  : Y a l'è una part de E, cugnussüü anca cume un element del insema .
Quest element l'amet nissün antecedent per f. In efet, süpusem che un tal antecedent  l'esista. Se gh'ha dunca .
Düü cas hin pussibil :
, vargot che 'l vör dì (per definiziun de Y) che , o 
, vargot che 'l vör dì (par definiziun de Y) che , o 

In di düü cas, se riva a una cuntradiziun , vargot che 'l pröva par l'assürd che Y el gh'ha minga d'antecedent (cf. l'argument de la diagunala de Cantor).

Imagin d'un insema per una aplicaziun 

Sien una aplicaziun  e A un sübinsema da E. Se la ciama 'imagin  de A per f el insema di element y de F che ameten almanch un antecedent partegnind a A ; se la nota :
.

In particular, l'imagin de E par f, ciamada imagin de f, a l'è 'l insema di element y da F che ameten almanch un antecedent :
.

Ingeziun, sürgeziun, bigeziun

La sia un'aplicaziun .
Se dis che f a l’è ingetiva, o che a l'è una ingeziun, se tüt element de F a l'amet al pü un antecedent.
Sa dis che f a l'è sürgetiva, o che a l'è una sürgeziun, se tüt element de F a l'amet almanch un antecedent, i.e. si
.
Sa dis che f l'è bigetiva, o che l'è una bigeziun, si tüt element de F a l'amet un antecedent e dumà vün, i.e. se f l'è cuntempuraneament ingetiva e sürgetiva.
In 'stu caas, se pò definì l'aplicaziun , induve x a l'è l'ünica antecedent da ‘‘y’’ par f. A l'è anca una bigeziun, ciamada recipruca de f.

(l'esempi vidüü pü in alt el mustra che l'esist vargüna aplicaziun sürgetiva ).

Videe anca
 Ingeziun
 Sürgeziun
 Bigeziun

Categoria:Teoria di insema