Teurema da Cauchy

Ul Teurema d'esistenza e ünicitaa d'EDU, i.e., da equazziú diferenziale urdinàrie, al stabiliss che:

Al síes  un spazzi da Banach, e al síes  una aplicazziú tala che

par vargü  (sa l diis che f al è una funziú Lipschitz da custanta  L).  Alura par  qual-sa-vöör al esiist una funziú ünica

diferenziàbila, tala che sa l cumpiss

Da plüü, sa la gh’a dependenza cuntínua da la sulüzziú par rapòort a la cundizziú inizziala e sa i pöö utegní stimazziú sura la regülaritaa da la sulüzziú.

Demustrazziú: Esistenza.  L'equazziú che al cuventa resòolf al è equivaleent a

Daa un  (che sa fixarà plüü endavant), sa l intrudüiss ul spazzi

Sa i pröva le prupietaa seguente:

 al è un spazzi da Banach cun la norma

Par  tütt  la funziú

la parteegn a .

Cura ca , pal teurema dal puunt fiss da Banach, l'aplicazziú  a l’è cuntrativa e l’amett un puunt fiss, che al è una sulüzziú.

Ünicitaa.  I síes  e  dò sulüzziuns.  Puneent

al s’uteegn, a partí da la representazziú integrala da le sulüzziú, 

e vargott implica che 

Regülaritaa. 

...

Dependenza cuntínua da le cundizziú inizzials. 

...

Categoria:Teureem
Categoria:Analisi matematega