Ingezziú (matemàtega)

Una funziú   
a l'è  cjamada ingetiva u a l’è una ingezziú  si par tütt y íntal cungjuunt da rivada Y al esiist al plüü un elemeent x íntal cungjuunt da definizziú  X taal che f(x) = y. Sa diis apò, in cheest caas, che cada elemeent y da Y al amet al plüü un antecedeent x (par f).

Da manera equivalenta, f al è  cjamada ingetiva si par töcc x e x' in X, f(x) = f(x') al implica x = x'.

Cura che X e Y i è töcc i düü iguaj à la drita reala , alura una funziú  ingetiva la gh'a un graaf ch’al intersega cada drita urizuntala int al plüü un puunt.

 Esempi e cuntra-esempi 

Cunsideremm la funziú   definida par f(x) = 2x + 1.
Chesta funziú a l’è ingetiva, gja che par töcc nümar reaj arbitrari x e y', si 2x + 1 = 2y' + 1, alura 2x = 2y', i.e. x = y'.

D’otra banda, la funziú   definida par g(x) = x2  al è  mia ingetiva, par che (par esempi) g(1) = 1 = g(-1).

D’otra banda, si a definíssum la funziú   par la istessa relazziú  che g, però cul cungjuunt da definizziú  ristrecc al cungjuunt di reaj pusitiif, alura la funziú  h a l'è  ingetiva.
Una esplicazziú a l’è che, par di reaj pusitiif arbitrari, daa x e y', si x2 = y'2, alura |x| = |y'|, inscí x = y'.

 Prupietaa 

 Una funziú   a l'è  ingetiva si e noma si X al è  l'cungjuunt vöj u al esiist una funziú  tala che  al síes iguaal à l'aplicazziú  idéntica sü X.
 Una funziú a l’è bigetiva si e noma si la a l’è cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva.
 Si  a l'è  ingetiva, alura f a l'è  ingetiva.
 Si f e g i è tüte i düü ingetive, alura g o f a l'è  ingetiva.
  a l'è  ingetiva si e noma si, par tüte funziú dade  cura che f o g = f o h, alura g = h. In d'òolt tèrmen, le funziú ingetive i è precisameent i monimurfiism da la categuría di cungjuunt.
  a l'è  ingetiva e A al è  un sübcungjuunt da X, alura f -1(f(A)) = A. Inscí, A al pöö vess retruvaa à partí da l'Image recípruca da f(A).
 Si  a l'è  ingetiva e A e B i è di sübcungjuunt da X, alura f(A n B) = f(A) n f(B).
 Tüta funziú pöö vess descumpunüda cuma h = f o g par una ingezziú  f e una sürgezziú  g cunvenàbile . Chesta descumpusizziú a l’è ünica à maanch d'un isumurfiism, e f la pöö vess cunsiderada cuma la funziú  inclüsiú da l'imàgen da h, h(W) int un sübcungjuunt dal cungjuunt da rivada Y da h.
 Si  a l’è una funziú  ingetiva, alura Y al gh'a almaanch taant d'elemeent che X, al sentüü di cardinaj.
 Si sa l nota  la prupietaa « al esiist una ingezziú  dal cungjuunt  íntal cungjuunt », alura  la verifica i prupietaa d'una relazziú  d'úrden süj cardinaj (sa  pöö mia dí, mia-da-maanch che  a l’è una relazziú , par che l’è definida sü una classa e mia sü un cungjuunt, in virtüü dal Paradoss da Russell). La reflessivitaa e la transitivitaa i è stade tratade al cuurs di esempi precedeent, e l'antissimetría a l'è  l'uget dal Teurema da Cantor-Bernstein.

Vidée apó
 Sürgezziú
 Bigezziú

Categuria:Teuria dei ensèm