Cuntinuazziun analítica massimala

In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes  la sfera da Riemann; una süperfiis 
da Riemann regülara 
sura un cungjuunt deerf

a l'è un para 

intúe  a l'è una süperfiis da Riemann
(i.e. 
una varietaa cumplessa a una
dimensiun) e 
 a l'è
un biulumurfiism lucaal 
sürgetiif.
Una cuntinuazziun 
analítica regülara
d'un 
elemeent da funziun ulumorfa
la cunsistiss int
una süperfiis 
da Riemann regülar 
sura un cungjuunt
deerf 

taal che  ,
int una 
imersiun ulumorfa 

tala che  
e int una funziun ulumorfa 

tala che .

Un murfiism 
intra dò cuntinuazziun
analítich

e

dal istess 
elemeent

al è una funziun ulumorfa

tala che
.

Un taal murfiism 
al è una funziun 
mia custanta,
ünivocament 
determinada in ,
(e dunca da-par-tütt in ) 
par 
. 
Da plüü,
 e 

in  dunca da-par-tütt in .

L'ünich murfiism 
intra una cuntinuazziun 
analítica e la istessa
al è l'identitaa, la
cumpusizziun da düü morfismes
a l'è apó un murfiism; 
si un murfiism al amett 
una funziun ulumorfa 
cuma inversa, chesta-chí a l'è 
apó un murfiism: 
si al è ul caas, a parlemm
d'un isumurfiism 
da cuntinuazziun
analítich.

Definizziun: 
una cuntinuazziun analítica 
 da l'elemeent 

a l'è massimala si, 
par cada cuntinuazziun

da  
al esiist un murfiism 
.

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca
la cuntinuazziun
analítica 
massimala
a l'è ünica
a maanch
d'isumurfiism.

Teorema: cada elemeent 

da funziun ulumorfa
al gh'a una cuntinuazziun
analítica 
massimala .

Demustrazziun: 
síes 

ul cungjuunt formaa paj [[elemeent 
liàbil]] a
;
, 

e ;
 l'imersiun natürala.

Introdüssemm una relazziun d'equivalenza 
in : 
 e 
 sa i dirà
equivaleent si
 e

in un intuurn
da  in .

Síes  ul
cungjuunt quozzient e

la prujezziun canònica:
una basa par la 
tupulugía da  
a l'è formada paj
. 
Definissemm
,

par 
,

.

Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü,
 al è
un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich
 al è da Hausdorff: 
da fatt, si 

e
, cunsideremm
un intuurn cuness
 da , 
taal che
 e  
i síes definii e 
difereent in .
I síes
 e  
les còpies
disgjuunt da  in  
e da
 in : 
s'al veet che
.
da fatt, si ga i füdess
düü puunt
 e  
taal che 
,
s'aress apó
 int un intuurn 
da ,
dunca in , vargott ch'al è 
una cuntradizziun.

Ul spazzi  al è cuness, 
par che 
par cada
para da puunt

cun

e ,
al esiist
una cadena 

da congjuunt deerf cuness
mia vöj,
taal che, 
par cada , 
, s'al gh'àbies

e .

Dunca ul cungjuunt deerf

al è connex e 
al cuntegn
 e .

Gja che  al è 
un omeumurfiism lucaal 
intra  e 
, 
ul spazzi  al è cuness;
però apó 

al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal 
teurema da Poincaré-Volterra 
(Narasimhan pag.25), 
apó  
al è a basa nümeràbil.

L'atlaant 

al definiss una strütüra cumplessa
, 
par che, par cada
para  
da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da
transizziun 

a l'è l'identitaa  
d'un cungjuunt deerf da
.

Par chesta 
strütüra, i aplicazziun

i è ulumòorf 
par custrüzziun, dunca
 a l'è una 
cuntinuazziun
analítica
da .

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è
massimala:
síes  
una cuntinuazziun
analítica
da :
a pudemm fa sü un 
recuvrimeent deerf
da  par 
di 
taal che, par cada , 

a l'è biulumorfa; 
alura ul para

al è un elemeent da funziun ulumorfa 
liàbil cun
.

Definissem

par 
: 
si ,
 in
,
dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí
una aplicazziun ulumorfa
 tala che
.

Refereenz

narasimhan:
Raghavan Narasimhan,
'Several complex variables'
The university of Chicago Press, Chigago

Categoria:Analisi complessa