Numer cardinal

In lenguistega, i numer intreg naturai zer, vun, duu, tri, e via insì, i se ciama dei ajetiv numerai cardinai.

In matematega, un numer cardinal a l'è una estension de qesta nozion per cuntar i insema, là compres i insema infinids.

 Definizion 

 Cas dei insema finids 

Per un insema finid, ol so cardinal a l'è ol so numer d'elements (zer, pe'l insema vœi) : 


Voilà d'oltr esempi, relativ a le fonzion e relazion.

I sies E e F duu insema finids, E de cardinal p e F de cardinal n. Allora :

Le corespondenze de E in F i forma un insema, notad abitualament « Cor( E, F ) ». Ol numer de qeste corespondenze a l'è :

le fonzion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Fnt( E, F) ». Ol numer de qeste fonzion a l'è :

le aplicazion de E in F i forma un subinsema del precedent, q’al pœl vesser notad « Apl( E, F) ». Ol numer de qeste aplicazion a l’è :

Qesta propietaa la spiega perqè Apl( E, F ) a l'è notad plu de spess «  ».

le injezion (matematega) de E in F i forma un subinsema del precedent, notad abitualament « Ing( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE > cardF. Se cardE = cardF , ol numer de qeste injezion a l’è :

le surjezion de E in F i forma un subinsema del insema de le aplicazion, notad abitualament « Surj ( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE < cardF. Se cardE = cardF finid, ol numer de qeste surjezion a l’è :

le bijezion de E in F i forma un subinsema dei duu insema precedents, notad abitualament « Big( E, F) ». Qest insema a l'è vœi se cardE ≠ cardF. Se cardE = cardF = n, ol numer de qeste bijezion a l’è :
.

 Cas dei insema infinids 
Se dix qe duu insema infinids i g'ha i stess cardinai se la esist una bijezion de vun su l'oltr. Se dix anc'pó qe i è equipotents. Se mostra qe l'esist nissuna bijezion intra un insema  e l'insema de le soe part  e donca qe esist diferente taie de insema infinids. Qists infinids diferents i è representads dei numer cardinai transfinids : ol cardinal d'un insema E a l'è allora definid come ol plu picin numer ordinal equipotent a E. De manera plu formala, se al definiss un cardinal come un ordinal qe l'è equipotent a nissun dei sœ elements.

Ind la teoria assiomatega dei insema de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'esistenza d'un ordinal equipotent a un insema qualsavœl a l'è miga segurada. In qests cas, a l'è judexios se limitad ai insema per i quai un tal ordinal al esist. Per contra, se se jonta l'assioma de la cernida a ZF, qe la da la teoria ZFS, se pœ mostrar qe cada insema a l'è equipotent a un cardinal. 

I cardinai infinids i è representads per mez de la letera ebraega alef . Ol cardinal infinid plu picin a l'è . A l'è ol cardinal de l'insema  dei intreg naturai. Ol cardinal imediatament superior a l'è , etc... D'una manera jenerala, un cardinal qualsevœl le se scriv  indove  a l'è un ordinal.

Se al esist una injezion d'un insema  ind un insema , se scriv. Se l'esist una injezion de  in  però miga de bijezion, se scriv. 

Esempi : 

indove se nota  ol cadinal de l'insema dei fonzion de  in , equipotent a . Qest cardinal a l'è igual a qell de , notad de l’istessa manera , dei cardinai del continov.

De tuta manera, e qest qí al someia miga intuitiv a tuta prima :
 (cf. insema cuntabel)

 Ol cardinal de l'insema dei fonzion continove de  in  a l'è igual a , cardinal de .

 Ol cardinal de l'insema dei fonzion de  a l'è .

 Propietaa 



 . Se  a l'è infinid e se  al designa l'insema de le part finide de , allora

 se i insema i è finids,

 se  a l'è infinid e  miga vœi, allora

 se  a l'è contegnud in  infinid e se, allora

 se  a l'è infinid e se, allora  indove  al designa l'insema dei fonzion de  in 

 se  a l’è una fonzion de  in , allora

 se  a l'è infinid, allora

 I cardinai inacessibei 
In qest paragraf, se considera la possibilitaa de rivar a un ordinal o a un cardinal dait a partir de ordinai plu picinits. Se dix qe un ordinal  a l'è cofinal cont un ordinal  inferior a  se al esist una aplicazion streintament cressenta  de  in  tal qe  al sies ol limit de  a'l teorema qe vegn :

Per esempi,  a l'è cofinal cont nissun ordinal plu picin, jà qe un ordinal inferior a  a l'è un intreg  e qe una aplicazion streintament cressenta definida su  a l'è limitada. Se dix qe  a l'è regolar.

Per contra,  a l'è cofinal cont  pe'l mez de l'aplicazion . Se dix qe  a l'è singolar.

Se se nota  ol plu picin ordinal cont  qe l'è cofinal, se g'ha  e .

Se pœ classar allora i cardinai come quei qe vegn :
I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal  sucessor d'un ordinal .
I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal  limit, e qe i è singolar. Qists duu jener de cardinai i è qualifegads d'acessíbel, perqè concepibei a partir de cardinai plu picits qe miga lor.
I cardinai de la forma , indexizad per un ordinal  limit, e qe i è regolar. Qest jener de cardinal a l'è qualifegad de flebilment inacessibel perqè i pœ miga vesser concepids a partir de cardinai plu picits. Intra qists daree, i se disting i cardinai fortament inacessibei q’i verifega de plu . L'esistenza de qei cardinai qì la se pœ dedur dei assioma de la teoria dei insema ZFS.

L'ipotesi del continov
A hem enonziad qe . Adess  a l'è ol plu picin cardinal streintament superior a . Se g'ha donca  e l'ipotesi del contínov la pon la quistion de saver se . Se mostra qe qesta propietaa a l’è indecidibel in ZFS. 
Plu jeneralment, l'ipotesi jeneralizada del continov l'enonzia qe, per cada ordinal , se g'ha . 

Se se met come assioma l'ipotesi jeneralizada del continov allora :
l'assioma de la cernida a l'è demostrabel.
A g’è equivalenza intra i nozion de cardinai flebilment inacessibei e fortament inacessibei.

Notèm  l'insema dei fonzion de  in . Allora :
 si 
 si 
 si 

Vardé anc'pó
 Àljebra jenerala
 Corespondenza e relazion
 Numer ordinal
 Teoria assiomatega dei insema
 Teorema de Cantor

Categoria:Teuria dei ensèm
Categoria:Numer