Teuría naïve di cungjuunt

I cungjuunt i è d'una importanza fundamentala in matemàtica; da fatt, da manera furmala, la mécanica da deent da la matemàtica (nümar, relazziú , funziú, evi.) la pöö sa definí in tèrmen da cungjuunt. Plüü da teuríe di cungjuunt i è stade desvilüpade, intra che la teuría naïve di cungjuunt.

 Presentazziú  

La plüü andega da le teuríe di cungjuunt, cjamada teuría naïve di cungjuunt, al è amò druvada al dí d’incöö in resú da la suva relativa simplicitaa. Ul sò nomm al pöö-vess staa impruntaa al líbar da Paul Halmos : Naive Set Theory. A l’è stada desvilüpada a  la fí dal , principalameent par Georg Cantor e Frege, par permett aj matemàtich da laurá cun di cungjuunt infinii cuereent.

La permetteva da tüta manera da fá qual-sa-vöör uperazziú cuj cungjuunt senza vargüna restrizziú , vargot ch’al a menaa a  da le antinomíe, u paradoss lògich, taal ul paradoss da Russell (vidé chí-da-sota).
La teuría assiumàtega di cungjuunt al è stada desvilüpada in risposta, par déterminá precisameent che uperazziú i pudeva vess auturizade e in che cundizziú. Al dí d’incöö, paj cercaduur in matemàtica, « teuría di cungjuunt » al significa üsüalameent teuría assiumàtega di cungjuunt.
Da tüta manera , chesta teuría assée astrata, da le mültiple variante e da pocch d'efett sü la matemàtica urdinària a l’è mia necessària al cumü di murtaj.

Al cuntrari, al è ütil da stüdiá « naïvameent » i cungjuunt, senza ecess da furmaliism, par apreent a  i manipülá, par che i intervegn dabot in töcc i dumini da la matemàtica. Sa pöö d’otra banda dí che ul lenguagg da la teuría di cungjuunt al cunstitüiss un esperanto da la matemàtica. Da plüü, una buna cumprensiú da la teuría naïve al è impurtanta cuma primm aprocc da la teuría assiumàtega.

La teuría naïve di cungjuunt sa la distinguiss da la teuría assiumàtega (a paart ul sò degrée da furmalisazziú) pal fatt che la töö cuma puunt da partenza di elemeent ch’i la rassembla in da le culezziú apelade cungjuunt, cura che la teuría assiumàtega la cunsidera noma di collezziú ch’i satisfà a  un ceert nümar d'assiòom, e da che i elemeent luur istess i è di culezziú.

 Urganizazziú da la teuría 

La teuría naïve di cungjuunt sa la urganiza da la manera sigütaant :

Nuzziú da cungjuunt
 Cungjuunt, elemeent e apartenenza
 Igualtaa da düü cungjuunt
 Para e singletú
 Definizziú d'un cungjuunt in estensiú
 Definizziú d'un cungjuunt in cumprensiú
Sübcungjuunt
 Cungjuunt vöj
 Cungjuunt ünivèersaal
 Inclüsiú. Sübcungjuunt e suracungjuunt
 Inclüsiú larga e inclüsiú stregja. Sübcungjuunt propi
 Cungjuunt da le parte
Uperazziú cuj cungjuunt
 Reüniú
 Intersezziú 
 Diferenza. Cumplement assulüü e relatif
 Diferenza simétrica
Còpie e prudüit cartésià
 Nuzziú da còpia
 Prodüit cartesià da düü cungjuunt. Quadraa cartesià
 n-upel. Prudüit cartesià generaalisé. Putenze cartesiane
 Suma dis·gjuunta da düü cungjuunt
Curespundenze e Relazziú
 Nuzziú da curespundenza
 Prupietaa da le curespundenze. Nuzziú da funziú 
 Relazziú binàrie
 Relazziú ternàrie. Legg da cumposizziú 
Primm aprocc di cardinaj
 Relazziú binàrie d'equiputenza
 Nuzziú da cardinaal

Chiist artícuj i presenta la teuría naïve. Definissemm da prima i cungjuunt da manera infurmala e demm in sequenza vargüne prupietaa. I liamm in cheest artícul veers vargü assiòom i serviss mia a  gjüstifiá cada enunziaa, però plütòost a  sutaligná ul paraleel ch’al pöö vess stabilii intra le teuríe naïve e furmala. Par la significazziú di símbuj lògich druvaa int i enunziaa in nutazziú simbòlica, sa pöö sa referí al artícul Càlcül di predicaa.

 Paradoss da Russell e cunseguenze 

Ul matemàtich Bertrand Russell al pruponn in 1901 da cunsidérá ul cungjuunt di cungjuunt ch’i è mia elemeent da sí istess.

Al síes M cheest cungjuunt. Furmalameent, A al è un elemeent da M si e noma si A al è mia un elemeent da sí-istess.

Femm l'ipòtesi che M al cuntegn sí-istess, otrameent dii che M al è un elemeent da M. Cheest chí al è cuntraditori cun la definizziú da M. Sa n dedüiss che M al cuntegn mia sí-istess. Però in cheest caas, M al è un cungjuunt ch’al è mia elemeent da sí-istess e al gh’aress a  cheest títul da fá paart da M. Inscí nass-al ul paradoss.

Al mustra che la teuría di cungjuunt al sentüü da Cantor a l’è una teuría cuntraditòria.
La ariis dal prublema la vegn da vargot ch’emm acetaa: che qual-sa-vöör prupietaa la pöda vess druvada par custrüí i cungjuunt. Adess, vargüne da cheste prupietaa ( e al è precisameent ul caas íntal paradoss da Russell ) i génera di círcül autureferenziaal instàbil (otrameent dii di "círcül vizziuus") e i gh’aress dunca da vess lassade fö.

La teuría assiumàtega di cungjuunt la posa di restrizziúü aj tiip da cungjuunt da che la custruzziú al è auturizada e la évita inscí i prublema cuma chij dal cungjuunt dij cungjuunt ch’i cunteegn mia sí-istess.

La cuntrapaart da l'éliminazziú di paradoss al è un desvilüpameent fisc plüü difícil.
In particülaar, al è prublemàtich da parlá d'un « cungjuunt da tütt » u, par vess un pocch maanch ambizziuus, d'un « cungjuunt da töcc i cungjuunt ». Da fatt, in l'assiumatisazziú standard da la teuría di cungjuunt, al esiist mia da cungjuunt da töcc i cungjuunt.

Int i dumini da la matemàtica ch’i sembra iga büsögn malgraa tütt d’un « cungjuunt da töcc i cungjuunt » ( cuma la teuría da le catégorie), sa pöö a le völte druvá un cungjuunt üniversaal assée grand par che tüta la matemàtica üsüala la pöda vess custrüida ( vidé l'artícul « sübcungjuunt » ).

Da tüta manera, sa l pöö recurí a  una teuría di cungjuunt auturizaant le [[classa (matemàtica)|classe] ]. In cheste teuríe, al esiist una classa da töcc i cungjuunt, inscí che una classa da töcc i cungjuunt ch’i cuntegn mia sí-istess. Cuma cheste classe i è mia di cungjuunt, i paradoss cuma al da Russell i è evitaa.

Un òolt recurs al cunsiist a  druvá una assiumàtega diferenta da la teuría di cungjuunt, cuma int i nuvej fundameent (New Fundation) da W. V. Quine, ch’i permett da definí un cungjuunt da töcc i cungjuunt, evitaant ul paradoss da Russell d'una otra manera. Ul prubleem al è resulüü d'una òolt manera, però cheest chí al dà rarameent una diferenza finala cun la teuría clàssica.

 Vidée apó 

Àlgebra generala
Teuría di cungjuunt
Teuría assiumàtega di cungjuunt