Süperfiis da Riemann

In matemàtica, particülarameent in anàlisi cumplessa, una Süperfiis da Riemann, inscí cjamada dapress Bernhard Riemann, a l'è una varietaa cumplessa a una dimensiú.
Le süperfiis da Riemann i pöö vess pensade cuma versiú defurmade dal plà cumpless: lucalameent, intuurn a cada puunt, i sembra cuma di pezz dal plà cumpless, però la tupulugía glubala la pöö parí assée diferenta. Par esempi, i pöö sembrá cuma una sfera, un torus u un para da fööj tacaa insema.
Ul puunt principaal de le süperfiis da Riemann al è che i sa pöö definí le funziú ulumorfe tra da lure: da plüü, i è cunsiderade ul cunteest natüraal par stüdiá ul cumpurtameent glubaal da cheste funziú, spescjalameent le funziú a plüü valuur cuma la ariis quadrada u ul lugariitm.

Cada süperfiis da Riemann a l'è una varietaa reala analítega a dò dimensiú, però la cuntegn plüü da strütüra, i.e. una strütüra cumplessa, da che a gh'è büsögn par una desambígua definizziú da le funziú ulumorfe. Una varietaa reala
analítega a dò dimensiú la pöö vess trasfurmada int una süperfiis da Riemann, generalmeent int un bell puu da manere mia equivalente, si e noma si la è urientàbila.

Inscí la sfera e ul torus i amett de le strütüre cumplesse, però la banda da Möbius, la buteja da Klein e ul plà prujetiif
no.

I fatt geumétrich sü le süperfiis da Riemann  è inscí bú cuma pussíbil, e, da spess, i pruveet l'intüizziú e la mutivazziú par de le generalizazziú a otre cürve u varietaa. Ul teurema da Riemann-Roch al è un esempi impurtaant da chesta inflüenza.

 Definizziú furmala

Al síes X un spazzi da Hausdorff. Un omeumurfiism da un sübcugjuunt deerf U⊂X a un sübcungjuunt da C 
al è cjamaa una carta. Dò carte f e g da che i dumini sa i interseca i è cumpatíbile se le mape  e 
i è ulumorfe sura i söö dumini. Si A a l'è una culezziú da carte cumpatíbile e cada x in X al è íntal dumini da vargüna f in A, alura a disemm che A al è un atlaant. Cura ca nüü  gjuntemm a  X un atlaant  A, a disemm che  (X, A) a l'è una süperfiis da Riemann. Si l'atlaant al è sotaintendüü , simplismeent a disemm che  X a l'è una süperfiis da Riemann.

Di atlaant difereent i pöö uriginá essenzialameent l'istessa strütüra da süperfiis da Riemann sü X; par evitá chesta ambigütaa, sa dumanda che l'atlaant al síes massimaal, íntal sentüü ch'al síes mia cuntegnüü in vargü òolt atlaant.
Cada atlaant A al è cuntegnüü int un ünegh atlaant massimaal pal Lema da Zorn.

Esempi

Ul plà cumpless C  al è forsi la plüü sémplis süperfiis da Riemann, La mapa identitaa f(z) = z la definiss una carta par C  e {f} al è una atlaant par C.   
Da manera anàluga, cada sübcungjuunt deerf  d'una süperfiis da Riemann al è in tuurn una süperfiis da Riemann.
Al síes S = C ∪ {∞} e: f(z) = z si z al è in S \ {∞}; g(z) = 1 / z cun z in S \ {0} e 1/∞ al è definii 0. Alura f e g i è de le carte cumpatíbile e { f, g } 
al è un atlaant par  S ch'al la fa una süperfiis da Riemann.
Chesta particülara süperfiis da Riemann a l'è cjamada Sfera da Riemann par che la pöö vess interpretada cuma 
ul plà cumpless atuurn la sfera. Al cuntrari dal plà, la sfera a l'è cumpata.

La teuría de le süperfiis da Riemann cumpate la pöö vess mustrada equivalenta a chela de le cürve algebràiche prujetive definide sura i nümar cumpless e mia-singülare. Di esempi impurtaant da süperfiis da Riemann mia cumpate i è furnii da la cuntinuazziú analítica.

 Prupietaa e otre definizziú

Una funziú f : M → N intra dò süperfiis da Riemann a l'è cjamada ulumorfa si, par cada carta g íntal atlaant da M e cada carta h íntal atlaant da 
N, la mapa  a l'è ulumorfa indúe ch'a la síes definida. La cumpusizziú da dò mape ulumorfe a l'è ulumorfa. 

Dò süperfiis da Riemann M e N i è cjamade cunfurmameent equivalente si al esiist una funziú ulumorfa bigetiva da M a N  (Cheest al implica che apó l'inversa la síes ulumorfa). Dò süperfiis da Riemann cunfurmameent equivalente i è sustanzialameent idénteghe.

Cada süperfiis da Riemann simplameent cunessa a l'è cunfurmamaeent equivalenta a vöna de le tré seguente:
C, ul plà cumpless
C ∪ {∞}  la sfera da Riemann
{z ∈ C : |z| < 1} ul diisch ünitaa deerf.
Cheest enuncjaa al è cugnussüü cuma teurema d'ünifurmizazziú da Riemann.

Cada süperfiis da Riemann cunessa la pöö vess girada int una varietaa Riemanniana 2-dimensiunala reala a cürvatüra custanta -1, 0 u 1. La strütüra Riemanniana a l'è ünega a maanch da mültipel da la métrica. Le süperfiis da Riemann a cürvatüra -1 i è cjamade iperbòleghe; ul diisch deerf cun la métrica da Poincaré da cürvatüra custanta -1 al è ul mudell lucaal canònegh. Esempi i è tüte le süperfiis cun genus g>1. I süperfiis da Riemann a cürvatüra 0 i è cjamade parabòleghe;  C  e ul 2-torus i è de le típeghe süperfiis da Riemann parabòleghe. In fí, le süperfiis da Riemann a cürvatüra +1 i è cjamade elítighe: la sfera da Riemann ∪ {∞} a l'è l'ünegh esempi.

Par cada süperfiis da Riemann parabòlega sarada, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich al grupp làtes da raanch 2, e par taant la süperfiis la pöö vess fada sü cuma C/Γ, indúe C al è ul plà cumpless e Γ ul grupp làtes. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa dumini fundamentaal.

Da manera símila, par cada süperfiis da Riemann iperbòlega, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich a un grupp fuchsià e la süperfiis la pöö vess mudelada par un mudell fuchsià H/Γ indúe H  al è ul semiplà süperiuur e Γ ul grupp fuchsià. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa cungjuunt regülaar líbar e al pöö vess mudelaa int un pulígun fundamentaal métrich.

Cura ca una süperfiis iperbòlega a l'è cumpata, alura l'àrea tutala a l'è , indúe g al è ul genus da la süperfiis; l'àrea a l'è utegnüda aplicant ul teurema da Gauss-Bonnet a l'àrea dal puligün fundamentaal.

A emm nutaa íntal preàmbul che tüte le süperfiis da Riemann i è urientàbile cuma varietaa reale. La resú a l'è che, par de le carte cumplesse f e g cun funziú da transizziú h = f(g-1(z)) , a pudemm cunsiderá h  cuma una mapa de le varietaa reale sotastante. Ul sò Jacobià int un puunt z al è gjüüst la mapa lineara dada da la mültiplicazziú par la derivada cumplessa h'(z). 
Da tüta manera, ul detereminaant reaal da la mültiplicazziú par un nümar cumpless  α al è iguaal a  |α|^2, inscí al è pusitiif, vargott ch'al implica che l'atlaant cumpless al è urientaa.

 Funziú 

Cada süperfiis da Riemann mia cumpata a l'amett funziú ulumorfe mia custante (a valuur in ). 
Da fatt a l'è una varietaa da Stein.

Al cuntrari, sü una süperfiis da Riemann cumpata cada funziú ulumorfa a valuur in  al è custanta, grazzia al principi dal màssim, però i esiist sémpar de le funziú mermumorfe mia custante.

 In art and literature 
One of M.C. Escher's works, Print Gallery, is laid out on a cyclically growing grid that has been described as a Riemann surface.
In Aldous Huxley's novel Brave New World, "Riemann Surface Tennis" is a popular game.

Vidée apó

Geumetría algebràica
Geumetría cunfurma
Varietaa da Kähler
Spazzi da Teichmüller
Sfera da Riemann
Teureem sü le süperfiis da Riemann
Teurema da Riemann-Roch
Formula da Riemann-Hurwitz
Teurema da l'aplicazziú da Riemann
Teurema d'ünifurmizazziú da Riemann
Turema di autumurfiism da Hurwitz

Referenze
 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
 Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X