Matematica

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Matematica es la siensa cual studia la motifes en la strutures de cosas astrata e la relatas entre los. La parola es derivada de μάθημα (mathema, "cosa aprendeda") en elinica.

Matematica es esensal en multe campos, incluinte siensas natural, injenia, medica, finansia e siensas sosial. Matematica aplicada ia gida a multe disiplinas matematical nova, como statistica e la teoria de jua. Matematicistes es ance envolveda en matematica pur, sin ave un aplica en mente.

 Etimolojia 
La parola matematica veni de la elinica μάθημα (máthēma), cual en elinica antica sinifia "lo cual es aprendeda" (e ance "studia" e "siensa", e en elinica moderna sola "leson"). La parola per "matematica" ia ave un sinifia plu streta e tecnical sinifiante "studia matematical" an en la eda clasica. Sua ajetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), sinifiante "pertinente a aprende" o "studiosa", cual ia sinifia plu tarda ance "matematical". Plu, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), o ars mathematica en latina, ia sinifia "arte matematical".

Simil, un de la du scolas de pensa en pitagorisme ia es conoseda como la mathēmatikoi (μαθηματικοί) – cual en acel tempo ia sinifia "aprendores" plu ca "matematicistes" en un sensa moderna.

En latina la terma matematica ia sinifia plu comun "astrolojia" (o a alga veses, "astronomia") plu ca "matematica"; la sinifia ia cambia gradal a sua sinifia moderna entre 1500 e 1800. Esta ia causa alga maltraduis; per esemplo, la averti par San Augustino ce cristianes ta garda se contra la mathematici ia vole dise "astrolojistes" ma es traduida como matematicistes a veses.

En lingua franca nova, la parola es singular, an si en alga linguas de fonte lo es plural. Esta aveni en franses (mathématiques), catalan (matemàtiques) e espaniol (matemáticas, an si ance la singular es usada, xef en America Latina). En portugues (matemática) e italian (matematica), la terma es singular.

 Defini 
Matematica no ave un defini jeneral asetada. Aristotele ia defini matematica como "la siensa de cuantia" e esta defini ia domina asta la sentenio 18. En la sentenio 19, cuando la studia de matematica ia deveni plu rigorosa e ia comensa relata a temas astrata como la teoria de colies, matematicistes e filosofistes ia comensa proposa definis nova variosa. Tre tipos de defini oji dominante es nomida lojiciste, intuiste e formaliste, e cada refleta un scola de pensa filosofial diferente. Cada ave nonperfetas, nun es intera asetada, e no reconsilia pare posible.

Un defini temprana de matematica relatada con lojica ia es "la siensa cual ariva a concluis nesesada", par Benjamin Peirce en 1870. En la Principia Mathematica, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead ia avansa la program filosofial conoseda como lojicisme, e ia atenta demostra ce tota consetas, declaras e prinsipes matematical pote es definida e demostrada intera con lojica de simboles. Un defini lojiciste de matematica es "Tota matematica es lojica simbolin", par Russell.

Definis intuiste, developada de la filosofia de la matematiciste L.E.J. Brouwer, identia matematica con alga fenomenos mental. Un esemplo de un defini intuiste es "Matematica es un ativia mental cual ave la inere de esecuta construis pos lunlotra". Un cualia strana de intuisme es ce lo rejeta alga ideas matematical considerada como valida par otra definis. Spesial, an si otra filosofias de matematica permete ojetos sur cual on pote demostra ce los esiste an si los no pote es construida, intuisme permete sola ojetos matematical cual pote es construida. Intuistes rejeta ance la lege de no posible tre (un caso cual obliga los a rejeta demostras par contradise como metodo viable de demostra).

Definis formaliste identia matematica con sua simboles e regulas de opera. Haskell Curry ia defini matematica como "la siensa de sistemes formal". Un sistem formal es un colie de simboles e alga regulas sur como on combina la simboles per formi formulas. En sistemes formal, la parola axiom ave un sinifia diferente de sua sinifia comun de "un vera cual es autoevidente" e lo es usada per refere a un combina de simboles cual es incluida en un sistem formal donada sin debe es derivada usante la regulas de la sistem.

Multe matematicistes ave no interesa sur la defini de matematica o considera ce lo es nondefinable. On ave no acorda sur esce matematica es un arte o un siensa. Algas dise ce "matematica es lo cual matematicistes fa".

 Matematica como siensa 
La matematiciste deutx Carl Friedrich Gauss ia refere a matematica como "la rea de la siensas". Plu resente, Marcus du Sautoy ia nomi matematica "la rea de siensa... la forsa gidante xef pos descovres siensal". En la Liber Regina Scientiarum orijinal, como ance en la tradui deutx Königin der Wissenschaften, la parola cual coresponde a siensa sinifia un "campo de conose". La spesiali de la sinifia de "siensa" como siensas natural segue la asende de siensa baconian, cual ia contrasta "siensas natural" a scolastica, la metodo aristotelan de demanda sur prinsipes prima. La rol de esperimenta empirical e oserva de la mundo esterna es iniorable en matematica, spesial cuando lo es comparada con siensas natural como biolojia, cimica o fisica. Albert Einstein ia dise ce "cuanto la leges de matematica refere a realis, los no es serta; e cuanto los es serta, los no refere a realia".

Alga filosofistes moderna considera ce matematica no es un siensa. La filosofiste Karl Popper ia oserva ce "la plu teorias matematical es, como los de fisica e biolojia, ipotesal-deduinte: donce matematica pur es plu prosima a siensas natural de cual la ipoteses es divinas, ca lo pare an resente".

Matematica ave multe en comun con otra campos de siensas fisical, spesial la esplora de resultas de suposas. Ance intui e esperimenta ave un rol en la formula de divinas en matematica e otra siensas. Matematica esperimental continua crese en importa en matematica, e computa e simili ave un rol cresente en siensa e matematica.

La opinas de matematicistes sur esta tema es variosa. Multe matematicistes crede ce nomi sua area un siensa es desasentua la importa de la lado estetical e sua istoria en la sete artes libral tradisional; otras crede ce iniora sua lia con siensas es oblida ce la interfas entre matematica e sua aplicas en siensa e injenia ia gida a multe developas en matematica. Un forma de esta difere de puntos de vista pare es la debate filosofial sur esce matematica es creada (como un arte) o descovreda (como un siensa). Lo es comun ce on vide universias divideda en sesiones cual inclui un divide de siensa e matematica, indicante ce esta campos es relatada ma no coaveni. En pratica, matematicistes es grupida con siensistes en niveles jeneral, ma en otra niveles plu definida, los es separada. Esta es un de la multe temas considerada en la filosofia de matematica.

 Istoria 
On pote vide la evolui de matematica como un serie de astratas sempre cresente, o como un crese de un tema. La astrata prima, cual es compartida con multe animales, ia es probable la numeros: la comprende ce un colie de du pomas e un colie de du oranias ave un cualia comun, pd la cuantia de sua membros.


Como evidentida par la marcas trovada sur osos, en ajunta a reconose como on conta ojetos fisical, cisa poplas preistorial ia reconose ance como conta cuantias astrata como tempo (dias, saisones, anios).


Atestas de matematica plu complicada no ia apare asta sirca 3000 aec, cuando la babilonianes e ejiptianes ia comensa usa aritmetica, aljebra e jeometria per imposta e otra calculas finansial, per construi e per astronomia. La testos matematical la plu resente de Mesopotamia e Ejipte es de 2000-1800 aec. Multe testos plu temprana nota truples e donce, per dedui, la teorem de Pitagoras pare es la developa matematical la plu antica e estendeda pos aritmetica e jeometria fundal. Lo es en aritmetica babilonian do aritmetica fundal (soma, sutrae, multipli e divide) apare prima en rejistras arceolojial. La babilonianes ia ave un sistem de valua local, e ia usa un sistem numeral de base 50 cual nos usa ancora oji per mesura angulos e tempo.


Comensante en la sentenio 6 aec con la pitagoranes, la elinicas antica ia comensa un studia sistemosa de matematica como sujeto propria con matematica elinica. Sirca 300 aec, Euclide ia introdui la metodo axiomal ancora usada en matematica oji, cual es composada de defini, axiom, teorem e demostra. Sua libro de aprende Elementos es regardada como la libro de aprende la plu susedosa de sempre. On considera Arcimede como la matematiciste la plu grande de Anticia. El ia developa formulas per calcula la area surfasal e volum de solidas de jira, e ia usa la metodo de consuma per calcula la area su la arco de un parabola par soma un serie infinita, de un forma no multe diferente de calcula moderna. Otra atenis notable de matematica elinica es la sesioni cono (Apolonio de Perga, sentenio 3 aec), trigonometria (Hiparco de Nicea, sentenio 2 aec) e la comensa de aljebra (Diofanto, sentenio 3 ec).

197px|left|thumb|Un paje de la obra Aljebra par al-Kwarismi.

La sistem numeral indu-arabi e la regulas per la usa de sua operas, usada en la mundo intera oji, ia evolui en la milenio prima ec en India e lo ia es transmeteda a la mundo ueste par la matematica muslim. Otra developas notable de matematica indu inclui la defini e prosimi moderna de sinus e cosinus, e un forma temprana de series infinita.

En la eda orosa de islam, spesial en la sentenios 9 e 10, matematica ia vide multe inovas importante, construinte sur matematica elinica. La ateni la plu notable de matematica muslim ia es la developa de aljebra. Otra susedes notable de la periodo muslim es la avansas en trigonometria sfera e la ajunta de la punto desimal a la sistem numeral arabi. Multe matematicistes notable de esta periodo ia es persian, como Al-Kwarismi, Omar Khayyam e Sharaf al-Din al-Tusi.

En la eda moderna, matematica ia comensa developa a un ritmo aselerada en Europa ueste. La developa de calcula par Newton e Leibniz en la sentenio 17 ia revolui matematica. Leonhard Euler ia es la matematiciste la plu notable de la sentenio 18, contribuinte con multe descovres de teoremes. Cisa la matematiciste la plu importante de la sentenio 19 ia es la deutx Carl Friedrich Gauss, ci ia contribui a campos como aljebra, analise, jeometria diferensial, teoria de matrises, teoria de numeros e statistica. En la sentenio 20 temprana, Kurt Gödel ia cambia matematica cuando el ia publici sua teoremes noncompleta, cual mostra en parte ce cualce sistem axiomal coerente (si lo es sufisinte potiosa per descrive aritmetica) conteni proposas vera cual no pote es demostrada.

Matematica ia estende de alora, e un interata multe frutosa ia esiste entre matematica e siensa, cual ia benefica ambos. On ave an oji descovres matematical. Seguente Mikhail B. Sevryuk, en un publica en Bulletin of the American Mathematical Society de janero 2006, "la cuantia de monografias e libros incluida en la base de datos Mathematical Reviews de 1940 (la anio prima en cual lo ia es publicida) es oji plu ca 1,9 milion, e plu ca 70 000 articles es ajuntada en cada anio. La majoria de obras ajuntada inclui teoremes nova e sua demostras.

 Inspira, matematica pur e aplicada e estetica 
Matematica apare per multe problemes diversa. Prima lo ia es trovada en comersia, mesura de tera, arciteta e, plu tarda, astronomia; oji tota siensas sujesta problemes studiada par matematicistes, e multe problemes apare con matematica mesma. Per esemplo, la fisiciste Richard Feynman ia inventa la formula de mecanica cuantal par integrales de curso usante un combina de razona matematical e comprende fisical, e la teoria de cordetas de oji (un teoria ancora esente developada, cual atenta uni la cuatro forsas fundal de natur) continua inspira matematicas nova.

Alga matematica es importante sola per la area cual ia inspira lo, e lo es aplicada per solve plu problemes en acel area. Ma frecuente, matematica inspirada par un area es usosa en multe otras, e uni a la colie de consetas matematical. Un distingui es frecuente fada entre matematica pur e matematica aplicada. An tal, temas de matematica pur frecuente ave aplicas, per esemplo la teoria de numeros en criptografia. Esta fato notable, ce an la matematica "la plu pur" frecuente ave aplicas pratica, es cual Eugene Wigner ia nomi "la efetosia nonrazonable de matematica". Como en multe areas de studia, la esplode de conose en la eda siensal ia gida a spesiali: on ave sentos de areas spesialida en matematica e un Mathematics Subject Classification resente ave 46 pajes. Areas diversa de matematica aplicada ia uni con tradisiones relatada estra matematica e ia deveni disiplinas autonom, incluinte statistica, rexerca de operas e informatica.

Los ci ave un tende matematical trova comun un aspeta estetical en matematica. Multe matematicistes parla sur la sofistica de matematica, sua estetica esensal e sua belia interna. Simplia e jeneralia es valuada. On ave belia en un demostra simple e bela, como en la demostra de Euclide ce on ave numeros primal nonfinita, e un metodo numeral sofisticada cual aselera calcula, como la transformi rapida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology ia espresa la crede ce esta consideras estetical sufisi per justi la studia de matematica pur. El ia identia consetas como sinifia, nonespetablia, nonevitablia e economia como fatores cual contribui a estetica matematical. Rexerca matematical xerca frecuente cualias importante de un ojeto matematical. La premio es un teorem espresada como un distingui de la ojeto par esta cualias. Esemplos de razonas matematical spesial consisa e revelante ia es publicida en Proof from THE BOOK.

La popularia de matematica recreal es un otra sinia de la plaser cual multe trova en solve problemes matematical. E en la otra estrema sosial, filosofistes continua trova problemes en filosofia de matematica, como la natur de demostra matematical.

 Simboli, lingua e rigor 
Plu de la simboli matematical usada oji no ia es inventada asta la sentenio 16. Ante esta, matematica ia es scriveda con parolas, limitante descovre matematical. Euler (1707-1783) ia es el ci ia introdui multe de la simbolis oji usada. Simbolis moderna fa ce matematica es plu simple per espertas, ma comensores trova comun ce lo descoraji los. Seguente Barbara Oakley, on pote atribui esta a la fato ce ideas matematical es plu astrata e sifrida ca los de lingua natural. Diferente de linguas natural, en cual persones pote frecuente egali un parola (como cavalo) con un ojeto fisical a cual lo coresponde, simboles matematical es astrata e ave no analoja fisical. Simboles matematical es plu sifrida ca parolas normal, cual sinifia ce un simbol pote sifri operas e ideas variosa.

Linguaje matematical pote es difisil per comprende per comensores car an termas comun, como o o sola, ave un sinifia plu esata ca los ave en la vive dial, e otra termas como abrida o campo refere a ideas matematical spesifada, no covreda par sinifias nonprofesal. Linguaje matematical inclui ance multe termas tecnical como integrable cual ave no sinifia esta matematica. On ave un causa per simboli spesial e vocabulo tecnical: matematica nesesa plu esatia ca la parla dial. Matematicistes refere a esta esatia e lojica como rigor.

Demostra matematical es fundal un caso de rigor. Matematicistes vole ce sua teoremes segue de axiomes par razona sistemosa. Esta es per evita "teoremes" erosa, fundida sur intuis capas de era, de cual multe casos ia aveni en la istoria en la sujeto. La nivel de rigor esijeda en matematica ia varia longo la tempo: la elinicas ia espera razonas detaliosa, ma en la tempo de Isaac Newton la metodos usada ia es min sever. Problemes inerente en la definis usada par Newton ia gida a la reemerji de analise atendente e demostra formal en la sentenio 19. Malcomprende la rigor es un causa de alga malconsetas en matematica. Oji, matematicistes continua discute entre se sur demostras fada par computador. Car multe difisil es serti computas grande, tal probas pote es noncoreta si la program usada es tal. A la otra lado, aidadores de demostra permete serti tota detalias cual no pote es donada par un demostra scriveda par mano, e furni sertia de coretia de demostras grande como la teorem de Feit-Thompson.

 Temas xef 
On va atenta esplica la temas xef de la investiga matematical, desiniante un curso per un prosimi progresiste de la problemes, la razonas e la disputas teorial.

 Aritmetica 

La problemes prima cual prosimi a la matematica es los cual pote es solveda con aritmetica fundal: la calculas fada con la cuatro operas pote relata a la maneja de finansia, evaluas de cuantias jeometrial o mecanical, calculas relatada a la ojetos e a la tecnicas cual on pote trova en la vive dial.

La plu fasiles de esta calculas pote es fada con la numeros natural, ma rapida la problemes de calculo esije sabe trata la numeros relativa e razonal.

 Aljebra 

La problemes aritmetical la plu simple es solveda par formulas cual furni resultas coerente. Per dise: la areas de un retangulo con lados longa  e  e sua multipli . Problemes plu complicada nesesa la usa de egalis. Pd: par la teorem de Pitagora, si un triangulo reta ave un lado plu corta de longia  e , la plu longa (ipotenusa) ave como longia la numero positiva  cual solve la egali:

.

La egalis la plu simple es la egalis linial, car los representa la demandas jeometrial la plu simple e car on pote solve los con prosedes normida.

En la formulas e en la egalis, on debe usa parametres con valuas nondeterminada: tal on pote dispone strumentos plu jeneral, cual permete consegue economia de pensa evidente. Pd: en un triangulo retangulo con cateto de longia  e , la longia de la ipotenusa es la numero positiva  longo la formula .

Per evalua plu bon la formulas e per resolve multe tipos de egalis, on nesesa developa un calculo de leteras cual permete reimajina los. La regulas de esta calculo leteral constitui la aljebra fundal.

 Jeometria 

La studia de jeometria plana e spasial pertine orijinal a primas: la punto, la linia, la plana. Combinante esta elementos en la plana o en la spasio on oteni otra ojetos como partes, angulos, angulos solida, poligones e poliedros.

Punto, linia, plana e spasio ave dimensiones en ordina 0, 1, 2 e 3. Tra la calcula vetoral on defini e studia spasios en dimensiones plu alta (ance (infinita. La analojas "curva" de esta spasios "plana" es la curva e la surfases, de dimensiones en ordina 1 e 2.

Un spasio curva en dimension acaso es nomida un varia diferensiable.

A interna de esta spasio on pote frecuente defini puntos e linias (nomida jeodesia), ma la jeometria cual segue lo no pote sasia la axiom de Euclide: tal jeometria es nomida jeometria euclidal. Un esemplo es la surfas de la Tera, cual conteni triangulos de cual cada ave tre angulos reta.

 Analise 

La analise conserna xef la calculo, introduinte la idea fundal de la limita, e a pos de derivada e integral. Con esta strumentos on analise la conduis de la funsionas, cual ave frecuente no descrive clar ma es solves de un egalia diferensial, resultante per esemplo de un problem fisical.

 Campos de matematica 
Matematica pote es divideda en la studia de cuantia, strutur, spasio e cambia (pd: aritmetica, aljebra, jeometria e analise). En ajunta a esta consernas xef, on ave ance campos dedicada a esplora lias de matematica con otra campos: con lojica, con matematica aplicada e plu resente con la studia sever de nonsertia. An si alga areas pote pare nonrelatada, la program de Laglands ia trova lias entre areas cual a ante ia pare nonliada, como la grupo de Galois, la surfas de Riemann e la teoria de numeros.

 Fundi e filosofia 
Per clari la funda de matematica, la campos de lojica matematical e teoria de colies ia es developada. La lojica matematical inclui la studia matematical de lojica e la aplica de lojica formal a otra areas de matematica; teoria de colies es la campo de matematica cual studia colies o colies de ojetos. La teoria de categorias, studiante un forma astrata con strutures matematical e relatas entre los, es ancora developante. La frase "crise de funda" descrive la xerca de un funda sever per la matematica cual ia aveni entre 1900 e 1930. Alga desacorda sur la funda de matematica continua oji. La crise de funda ia es stimulada per controversas diversa en acel epoca, incluinte la controversa sur la teoria de colies de Cantor e la controversa de Brouwer-Hilbert.

La informatica teorial inclui la teoria de computablia, la teoria de complicadia computal e la teoria de informa. La teoria de computablia esamina la limitas de modeles teorial diversa de la computador, incluinte la model plu conoseda – la macina de Turing. La teoria de complicadia es la studia de manejablia per computador; alga problemes, an si teorial solvable per un computador, es tan cara en relata con la tempo o spasio ce solve los va resta probable cuasi nonrealable, an con la avansa rapida de aparatos de computador. Un problem famosa es la problem "P = NP?", un de la Problemes de la Milenio. A fini, la teoria de informa relata a la cuantia de datos cual pote es retenida en un media donada, e on studia consetas como compresa e entropia.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
||| 128px || 96px || 96px
|-
|Lojica matematical || Teoria de colies || Teoria de categorias || Teoria de computa
|}

 Matematica pur 

 Cuantia 

La studia de cuantia comensa con numeros, prima con la numeros natural e interos, e operas aritmetical con los, cual es descriveda en aritmetica. La proprias la plu fundal de interos es studiada en la teoria de numeros, de cual resultas bon conoseda veni, como la Teorem Ultima de Fermat. La divina de la interos primal e la divina de Goldbach es du problemes nonsolveda en la teoria de numeros.

En cuando la sistem numeral ia es plu developada, la interos ia es reconoseda como un suclase de la numeros razonal ("fratos"). Estas, a sua ves, es contenida entre la numeros real, cual es usada per representa cuantias continuante. La numeros real es jeneralida en numeros composada. Estas es la pasos prima de un ierarcia de numeros cual inclui la cuaterniones e otoniones. La considera de la numeros natural gida ance a la numeros transfinita, cual formali la conseta de "nonfinitia". Longo la teorem fundal de aljebra, tota la solves de egalis en un nonconoseda con constantes composada es numeros composada, sin relata a la grado. Un otra campo de studia es la grandia de grupos, cual es descriveda con la numeros cardinal. Estas inclui la numeros alef, cual permete compara sinifiosa la grandia de grupos infinita grande.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| ||  ||  ||  || 
|-
|Numeros natural|| Interos || Numeros razonal || Numeros real || Numeros composada
|}

 Strutur 
Multe ojetos matematical, como la grupos de numeros e funsionas esibi un strutur interna, resultante de la operas o relatas cual es definida en la grupo. Alora matematica studia proprias de esta grupos cual pote es espresada en relata con acel strutur; per esemplo la teoria de numeros studia la proprias de la grupo de interos cual pote es espresada en relata con operas aritmetical. En ajunta, lo aveni frecuente ce tal grupos struturida diferente (o strutures) esibi proprias simil, cual dona la posible, per un paso plu de astratia, de afirma axiomes per un clase de strutures, e studia alora la clase intera de strutures sasiante esta axiomes. Tal on pote studia grupos e otra sistemes astrata; junta esta studias (per strutures definida per operas aljebral) constitui la domina de aljebra astrata.

Par sua jeneralia grande, aljebra astrata pote frecuente es aplicada a problemes parente nonrelatada; per esemplo un numero de problemes antica consernante la compas (e construis par regla e compas) ia es final solveda usante la teoria de Galois, cual envolve la teorias de corpo e de grupo. Un otra esemplo de un teoria aljebral es aljebra linial cual es la studia jeneral de spasios vetoral, de cual la elementos nomida vetores ave cuantia e dirije, e pote es usada per modeli (relatas entre) puntos en spasio. Esta es un esemplo de la fenomeno ce areas nonrelatada orijinal de jeometria ave interlias forte en matematica moderna. Combinatoria studia metodos per conta la numero de ojetos cual ajusta en un strutur donada.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
| || 96px || 96px || 96px || 96px || 96px
|-
|Combinatoria || Teoria de numeros || Teoria de grupos || Teoria de grafes || Teoria de ordinas || Aljebra
|}

 Spasio 
La studia de spasio nase con jeometria – spesial, la jeometria euclidal, cual combina spasio e numeros, e ensirca la teorem famosa de Pitagora. Trigonometria es la campo de matematica cual studia la relatas entre la lados e angulos de triangulos e la funsionas trigonometrial. La studia moderna de spasio jenerali esta ideas per inclui jeometria estradimensional, jeometrial noneuclidal (cual ave un rol sentral en relativia jeneral e topolojia. Cuantia e spasio ave un rol en jeometria analisal, jeometria diferensial e jeometria aljebral.

La jeometria convesa e separada ia es developada per solve problemes en la teoria de numeros e analise funsional, ma es oji segueda per sua aplica en masimi e informatica. En jeometria diferensial on trova la consetas de faxos de fibres e calculo en varias, spesial la calculo vetoral e calcula tensoral. En jeometria aljebral on trova la descrive de ojetos jeometrial como colie de solves de egalis polinomial, combinante la consetas de cuantia e spasio, e ance la studia de grupos topolojial, cual combina strutur e spasio. Grupos de Lie es usada per studia spasio, strutur e cambia. Topolojia en tota sua ramos es la campo de matematica cual ia crese plu en la sentenio 20; lo inclui topolojia jeneral, topolojia de teoria de conjuntas, topolojia aljebral e topolojia diferensial. Spesial, esemplos de topolojia moderna es la teoria de mesurablia, la teoria axiomal de conjuntas, la teoria de omotopia e la teoria de Morse.

Topolojia inclui ance la ipotese de Poincaré, aora solveda, e la campos ancora nonsolveda de la ipotese de Hodge. Otra resultas en jeometria e topolojia, incluinte la teorem de cuatro colores e la ipotese de Kepler, ia es demostrada sola con la aida de computadores.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|96px || 96px || 96px || 96px || 96px || 70px
|-
|Jeometria || Trigonometria || Jeometria diferensial || Topolojia || Jeometria fratal || Teoria de mesuras
|}

 Cambia 
La descrive de cambia es un tema comun en la siensa natural, e calculo ia es developada como un strumento potiosa per investiga lo. Funsionas ia apare asi, como un conseta sentral descrivente un cuantia cambiante. La studia atendente de la numeros real e funsionas de un variable real es conoseda como analise real, e analise composada es la campo corespondente per la numeros composada. Analise funsional foca a la spasios tipal de dimensiones infinita de funsionas. Un de la multe aplicas de analise funsional es mecanica cuantal. Multe problemes ia gida natural a relatas entre un cuantia e sua taso de cambia, e esta es studiada como egalis diferensial. Multe fenomenos en natur pote es descriveda per sistemes dinamical; en la teoria de caos estas es la formas en cual multe de esta sistemes esibi nonpredisable an tal un condui nonacaso.

96px  96px  96px  96px  96px  96pxCalculo  Calculo vetoral Egalis diferensial  Sistemes dinamical  Teoria de caos  Analise composada

 Matematica aplicada 
Matematica aplicada studia metodos matematical cual es usada en siensa, comersia, injenia e industria. Tal, "matematica aplicada" es un siensa matematical con sabes spesialida. La terma "matematica aplicada" descrive ance la spesiali profesal en cual matematicistes labora con problemes pratical, como un profesa focada a la "formula, studia e usa de modeles matematical" en siensa, injenia e otras campos de pratica matematical.

En la pasada, aplicas pratical ia motiva la developa de teorias matematical, cual ia deveni plu tarda la tema de studia en matematica pur, do matematica es xef developada per sua propre benefica. Tal, la ativia de matematica aplicada es interliada con rexerca en matematica pur.

 Statistica e otra siensas de deside 
Matematica aplicada misca partal se con la disiplina de statistica, de cual sua teoria es matematical formulada, spesial con la teoria de probablia. Statisticistes (laborante como parte de projetas de rexerca) "crea datos cual es lojical" con eleje acaso e con esperimentes acasida.Rao, C.R. (1997) Statistics and Truth: Putting Chance to Work, World Scientific. ISBN 981-02-3111-3

La desinia de un sample statistical o esperimenta spesifa la analise de la datos (ante dispone la datos). Cuando on reconsidera datos de esperimentas e samples o cuando on analise datos de studias oservante, la statisticiste "dona lojica a la datos" usante la arte de modeli e la teoria de dedui – con eleje e estima de model; la modeles estimada e predises resultante debe es esaminada sur datos nova.

Teoria statistical studia la problemes de desides, como minimi la risca de perde espetada de un ata statistical, usante un prosede per estima la parametres, probante ipoteses e elejente la plu bon. En esta campos tradisional de statistica matematical un problem de deside statistical es formulada per minimi un funsiona ojetal, perde o custa espetada, su constrinjes spesifada: per dise, la desinia de un supravide envolve tipal la minimi de custa de estima de un promedia de un cuantia con un grado spesifada de sertia. Par causa de sua usa de masimi, la teoria matematical de statistica comparti consernas con otra siensas de deside, como rexerca de funsionas, teoria de controla e economia matematical.

96px  96px  96px  96px  96px  96px  96pxFisica matematical  Dinamica de fluentes  Analise numeral  Masimi  Teoria de probablia  Statistica  Criptografia96px  96px  96px  96px  96px  96pxFinansia matematical  Teoria de jua  Biolojia matematical  Cimica matematical Economia matematical  Teoria de controla

 Ensenia 
Ensenia de matematica pote desinia la aprende de ideas matematical fundal como un funda per rexerca (ensenia superior de matematica). Longo la edas e la locas, la eleje de materias enseniada e la metodos de ensenia cambia (matematica moderna, metodo de Moore, educa clasica...). En alga paises, la eleje de programes scolal en educa publica es fada par instituidas ofisial.

Cédric Villani, en un confere de TED, nota un difisil importante cual no va es solveda sola par ensenia matematica: la prosede mesma de un descovre matematical no es matematica. George Pólya ia indica a contra en la dui prima de la sentenio 20 alga tecnicas cual permete solve problemes esistente, en sua libro How to solve it.

En la mesma eda, alga obras ia proposa oteni la tecnicas de solve par multe eserses per solve con sua coreti detaliada.

 Pratica 
 Ativia de rexerca 
Rexerca matematical no es limitada a proba teoremes. Un de la metodos la plu bon de rexerca matematical es uni campos cual es  apriori distante par foca a fenomenos analoja. Identia de fenomenos analoja pote gida a vole ajusta la resultas de un campo de matematica a otra, a reformula la elementos de demostra en termas corespondente... En alga casos, identia de ojetos apriori diferente es un nesesa: la lingua de categorias permete fa esta tipo de cosas.

Un otra metodo de rexerca es fronti esemplos e casos spesifada. Esta fronti pote permete refusa la proprias sur cual on ia pensa o ia espera ce los esta vera (divinas). Lo permete serti la proprias o gida sua formali.

 Relata con otra siensas 
Matematica ave relatas con otra siensas en un sinifia longa de la terma. La analise de donadas (interprete grafica, donadas statistical...) nesesa competes matematical variosa. Ma utiles avansada de matematica interveni en la modeli.

Tota la siensas nomida dur, estra matematica, tende a un comprende de la mundo real. Esta comprende aveni par institui un model, atendente alga parametres regardada como causas de un fenomeno. Esta model constitui un ojeto matematical, de cual sua studia permete un comprende plu bon de la fenomeno studiada, cisa un predise cualial o cuantial sur sua evolui futur.

La modeli usa capasias fundal liada a analises e probablia, ma ance la metodos aljebral o jeometrial es usosa.

 Fisica 
Matematica ia nase volente comprende la ambiente: jeometria ia nase de modeli formas idealida, e aritmetica de la nesesas de maneja cuantias. Astronomia e jeometria ia es confusada de tempo longa ante aora. Entre matematica e fisica, pos cuando on ia distingui los, on ia garda lias streta. En la istoria contempora de esta du siensas, matematica e fisica ia influe lunlotra. Fisica moderna usa multe matematica, fante un modeli sistemosa de la resultas de sua esperimentas:
 Esta modeli pote usa utiles matematical ja developada. Tal la usa de mesuras en jeometria diferensial es un util esensal sur cual, notable, la relativia jeneral reposa, developada par la matematiciste Minkowski e a pos par la fisiciste Einstein. Esta usa aplica ance a otra teorias pos Isaac Newton.
 Esta modeli coraji la matematicistes a interesa sur esta o acel strutur matematical par la nesesas de la fisica.
 Esta modeli esije a veses utiles matematical ancora no developada e abri perspetivas matematical nova. Tal Newton ia developa la calcula diferensial per pote scrive la lejes clasica de move; Joseph Fourier ia descovre la series cual porta sua nom (fundida sur la teoria de Fourier) cuando el ia es interesada sur la difusa de caldia en la corpo. Plu resente, on nota la problemes de cuanti jeometrial, de integrales de Feynman, de polinomios de Donaldson, etc.

Un campo de rexerca spesifada, fisica matematical, tende developa la metodos matematical usada par fisica.

La lia streta entre matematica e fisica es refletada en ensenia superior de matematica. La ensenia de fisica demanda lesones de matematica per fisicistes; e lo no es rara ce la cursos de matematica en universias inclui un inisia a fisica.

An tal, Albert Einstein es un de la primas en relativi la domina de matematica, recordante ce fisica usa formas diferente longo sua nesesas, e no sola un. Sua teoria de relativia jeneral usa per esemplo un jeometria noneuclidal formalida par Minkowski. El ia dise: "Cuando lo es liada con realia, la jeometria euclidal no es esata. Cuando lo es esata, lo no relata con realia" (Confere de Berlin de 1921, la jeometria es la esperia).

 Vide ance 
 Istoria de matematica
 Fundi de matematica
 Aritmetica
 Analise matematical
 Matematica pur
 Matematica aplicada

 Referes 

 Lias esterna 
 Libros sur matematica sin custa

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