Topologie

D'Topologie (gr. τόπος, 'Plaz', and λόγος, 'Léier') ass e Gebitt vun der Mathematik, dat sech mat Eegenschafte vu geometreschen Objeten befaasst, déi ënner kontinuéierlechen Deformatiounen onverännert bleiwen.

De Begrëff Topologie gouf fir d'éischt ëm 1840 vum Johann Benedict Listing gebraucht.

 Grondbegrëffer 
 Topologesche Raum 
En topologesche Raum ass duerch en Tupel  definéiert, wou  e belibegen net eidelen Ensembel ass an  en Ensembel vu Sousensemble vun  mat gewëssenen Eegenschaften. D'Elementer vun  nennt een oppe Sousensemble vun  a se musse follgend Axiomer erfëllen:
 Den eidelen Ensembel an  selwer sinn oppen.
 D'Unioun vu belibeg villen oppenen Ensemblen ass oppen.
 De Schnëtt vun endlech villen oppenen Ensemblen ass oppen.

D'Komplement  vun engem oppenen Ensembel  ass en zouenen Ensembel. En Ensembel deen opp an zou ass nennt een zoppen.

Wann  e belibege Sousensembel ass, dann nennt een d'Clôture  vun  dee klengsten zouenen Ensembel, deen  enthält, an dat Bannescht  vun  dee gréissten oppenen Ensembel, deen an  enthalen ass. D'Differenz  vun deenen zwee nennt een de Bord vun . Dat Baussecht vun  ass d'Komplement vun der Clôture, also .

 Kontinuéierlech Funktiounen 
Eng Funkioun  tëscht topologesche Raim  an  ass kontinuéierlech, wann d'Urbild  vun all oppenem Ensembel  an  en oppenen Ensembel an  ass. Wann  bijektiv ass an den Inverse  och kontinuéierlech ass, dann nennt een  en Homeomorphismus, an  an  sinn dann homeomorph.

 Konvergenz 
An engem topologesche Raum kann ee Konvergenz definéieren. Eng Suite  an engem topologesche Raum  konvergéiert géint eng Limitt , wann et fir all oppenen Ensembel , deen  enthält, eng Zuel  gëtt, soudatt fir all  gëllt, dass . A Wierder seet een, dass fir all Ëmgebung  vun  d'Suite iergendwann an  läit.

 Metresch Raim 
All metresche Raum huet eng induzéiert Topologie, där hir oppen Ensemblen Unioune vun oppene Bäll sinn. Eng Topologie, déi vun iergendenger Metrik induzéiert gëtt, nennt ee metresch Topologie. D'Konvergenz am Sënn vun der Metrik ass dann equivalent zur Konvergenz am Sënn vun der induzéierter Topologie.

 Mannifalten 
Topologesch Raim kënnen enorm pathologesch sinn, z. B. dem Alexander seng behaarte Sphär. Par conter hu Mannifalten, wéi z. B. d'Sphär, den Torus oder d'Klein-Fläsch, vill méi agreabel Eegenschaften.

 Deelgebitter 
 Allgemeng Topologie 
An der allgemenger Topologie ginn topologesch Raim a kontinuéierlech Funktiounen ënnersicht. Wichtegt Konzepter si Limitten a Konvergenzen.

 Differentialtopologie 
An der Differentialtopologie geet et ëm topologesch Eegenschafte vu Mannifalten an hiren Abettungen.

 Algebresch Topologie 
An der algebrescher Topologie definéiert een algebresch Invariante vun topologesche Raim, z. B. d'Fundamentalgrupp. Domat kann ee weisen, datt zwéi Raim net homeomorph sinn.

 Um Spaweck