Uerdnung (Mathematik)

An der Mathé ass eng Uerdnung eng binär Relatioun op engem Ensembel, déi et erlaabt Elementer ze vergläichen. Uerdnunge generaliséieren d'méi kléng oder gläich Bezéiung vun de reellen Zuelen.

 Definitiounen 
Eng partiell Uerdnung ass eng Koppel  aus engem Ensembel  an enger binärer Relatioun  déi reflexiv, antisymmeetresch an transitiv ass, oder méi genee:

 (reflexiv) ,
 (antisymmeetresch)  an  zesummen implizéieren datt ,
 (transitiv)  an  zesummen implizéieren datt .

Eng Relatioun déi just reflexiv an transitiv ass, nennt ee Preuerdnung. Eng symmeetresch Preuerdnung ass eng Equivalenzrelatioun. Eng partiell Uerdnung an där allen zwee Elementer vergläichbar sinn nennt een eng total Uerdnung.

 Virgänger an Nofollger 
Sief  eng partiell Uerdnung op . Fir zwee ënnerschiddlech Elementer , also , mat , nennt een  e Virgänger vun , an  e Nofollger vun . Wann et keen Element dertëscht gëtt, da schwätzt ee vun engem direkte Virgänger, respektiv Nofollger.

 Minimal a maximal Elementer 
Sief  e Sousensembel. En Element  soudatt et keen  gëtt soudatt  nennt een e minimaalt Element. Wa souguer gëllt datt  fir all , dann nennt een  dat klengst Element vun  (wéinst der Antisymmetrie ass et eendeiteg wann et existéiert). Eng ënnescht Born vun  an  ass en Element  soudatt  fir all . Den Infimum vun  ass déi gréisst ënnescht Born (wa s'existéiert). Analog definéiert een e maximaalt Element, dat gréisst Element, eng iewescht Born an de Supremum.

Eng partiell Uerdnung an der allen zwee Elementer en Infimum an e Supremum hunn nennt een en Trelli. An deem Fall huet een zwou algebresch Operatiounen:




Déi Operatioune sinn automatesch assoziativ a kommutativ, a si erfëllen déi sougenannt Absorptiounsgesetzer:




Kategorie:Mathematik