Metresche Raum

An der Mathematik ass e metresche Raum en Ensembel, op deem eng Distanzfunktioun mat gewëssenen Eegenschaften definéiert ass. Dës Distanzfunktioun nennt ee Metrik. Metresch Raim si Beispiller vun topologesche Raim an erlaben et Konzepter wéi Konvergenz ze definéieren.

Dat einfachste Beispill vun engem metresche Raum ass den dräidimensionalen Euklidesche Raum . D'Distanz tëscht zwee Punkten ass déi üblech Euklidesch Distanz.

 Definitioun 
E metresche Raum ass eng Koppel  vun engem Ensembel  an enger Funktioun , déi follgend Axiomer erfëllt:

 Fir all  gëllt:        an  genee dann, wann . (positiv definit) Fir all  gëllt:       . (symmetresch) Fir all  hu mer d'Inegalitéit:       . (Dräiecksinegalitéit)

 Grondbegrëffer 
Eng Suite  konvergéiert géint , wa fir all  en  existéiert, soudatt fir all  gëllt, dass . Eng Cauchy-Suite ass eng Suite , soudatt et fir all  en  gëtt, soudatt fir all gëllt, dass . E metresche Raum, an deem all Cauchy-Suite konvergéiert, nennt ee vollstänneg. Falls et eng Borne  gëtt, soudatt fir all  gëllt, dass , da seet een dass  bornéiert ass. E Sousensembel  ass och ëmmer e metreschen Ënnerraum mat der nämmlechter Metrik . Falls all oppene Ball an  en net-eidele Schnëtt mat  huet, dann ass  dicht an . E metresche Raum, an deem all Suite eng konvergent Sous-suite huet, nennt ee kompakt.

 Metresch Raim mat extra Struktur 
 Norméiert Vektorraim 
E Vektorraum iwwert  oder  mat enger Norm  definéiert eng Metrik .

 Riemannsch Mannifalten 
Fir e Riemannsche Mannifalt  an eng differenzéierbar Kurv  kann een eng Längt  definéieren. Wann een d'Distanz tëscht zwee Punkten als den Infimum vun de Längte vun alle Kurven tëscht deene Punkten definéiert, da gëtt  zu engem metresche Raum.

 Metresch Moossraim 
Raim, déi eng Metrik an eng Mesure hunn, déi kompatibel matenee sinn.

Kategorie:Geometrie
Kategorie:Mathematesch Analyse
Kategorie:Topologie
Kategorie:Mathematesch Strukturen