Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie

Den Haaptsaz vun der (elementarer) Zuelentheorie seet, datt all natierlech Zuel  ëmmer op eng eendeiteg Weis als Produkt vu Primzuele ka geschriwwe ginn. Dëst Produkt gëtt och nach Primzuelzerleeung vun  genannt.

De Beweis vum Haaptsaz gëtt meeschtens mat vollstänneger Induktioun gefouert an ass dobäi eng Konsequenz aus dem sougenannte Lemma vum Euklid. Dat seet, datt all natierlech Zuel, déi méi grouss wéi 1 ass, vun enger Primzuel gedeelt gëtt. Den Detail vum Beweis:

D'Zuel  ass eng Primzuel an deemno seng eegen eendeiteg Primzuelenzerleeung. Et sief also  eng natierlech Zuel sou, datt fir all natierlech Zuel  eng eendeiteg Primzuelenzerleeung existéiert. Dann ënnersiche mer d'Zuel . Et gëtt genee zwou Méiglechkeeten: Entweeder  ass nees eng Primzuel an domat seng eegen eendeiteg Primzuelenzerleeung, oder et ass eng zesummegesat Zuel an et gëtt nom Euklid deemno eng Primzuel , déi  deelt. Dann ass awer de Quotient  eng vun deenen natierlechen Zuelen, fir déi mir scho wëssen, datt s'eng eendeiteg Primzuelenzerleeung hunn. Domat ass awer och d'Produkt  eendeiteg mat Hëllef vu Primzuelen ausdréckbar.

 Um Spaweck 

Kategorie:Mathematesch Theorèmen