Lemma vum Euklid

De Lemma vum Euklid ass e Resultat aus der Zuelentheorie. E seet, datt all natierlech Zuel  vun enger Primzuel gedeelt gëtt.

 Beweis 
De Beweis gëtt mam Prinzip gefouert, datt en Ensembel vun natierlechen Zuelen, deen net eidel ass, ëmmer e klengstent Element enthält. Elo ass eng natierlech Zuel  entweeder eng Primzuel (d. h. mer si fäerdeg mam Beweis, well  jo säin eegenen Deeler ass), oder se ass zesummegesat, d. h. et gtt eng natierlech Zuel , déi  deelt. Faasse mer alleguer déi natierlech Zuelen zesummen, déi dës lescht Bedingung erfëllen, da kréie mer den net eidelen Ensembel

.

Dësen huet also e kléngstent Element, d. h. et gëtt eng natierlech Zuel , déi méi kleng wéi all déi aner Elementer vun  ass. Da muss  eng Primzuel sinn, well wa  zesummegesat wier, da géif jo nees eng natierlech Zuel  existéieren, déi  deelt, an opgrond vun der Transitivitéit vun der Deelbarkeet (cf. Deeler) misst  och  deelen, also en Element vun  sinn. Dat steet awer am Widdersproch dozou, dat  dat klengst Element vun  ass. Dat beweist de Lemma.

Kategorie:Mathematesch Theorèmen
Kategorie:Zuelentheorie