Dependentia (statistica)

Dependentia distributionis frequentiarum duobus characteribus in statistica est proprietas qua valores unius characteris illos alterius inflectunt.

Singillatim dicitur distributio frequentiarum dupla distributio cui inscribuntur frequentiae elementorum binis valoribus duorum characterum, tamquam:
+Valor primus,
secundi characterisValor secundus,
secundi characterisValor tertius,
secundi characterisValor primus,
primi characterisValor secundus,
primi characterisValor tertius,
primi characteris
Tabella haec tabella duplici ingressu vel tabella contingentiae dicitur.

Itaque licet dependentiam mentiri, exempli gratia, ut investigemus mulieribusne stipendium minus persolvatur quam viris ("ergo stipendiine magnitudo a sexu dependat"), vel generane quaedam alumnorum maius examinationibus proficiant alteris, vel quandocumque suspicemur valorem unius characteris ab altero dependere.

 Distributiones duplae 
Distributio dupla fere binis his elementis describitur:

ubi  signum valorem characteris X designat atque  characteris Y. Binis tamen quibusque valoribus adhibere potest frequentia coniuncta , quae numerum elementorum designat valoribus characterum .

Exempli gratia ita potest tabella contingentiae fieri:
+
Hae depingi possunt grapho dispersionis vel graho bullarum, hoc aptiore distributioni frequentiarum. Grapho dispersionis depinguntur omnia elementa singulo puncto coordinatis  (nec indecet duobus punctis esse easdem coordinatas); grapho bullarum depinguntur bini valores  circulo cuius magnitudo frequentiae coniunctae proportionalis est, coordinataeque valoribus aequales sunt.

 Distributio marginalis 
Appellatur distributio marginalis characteris X, distributione frequentiarum dupla, distributio simplex elementorum secundum hoc character. Itaque a tabella duplici ingressu deducitur, valores versuum aut columnarum summando.

Exempli gratia, tabella summi huius subcapituli in distributiones has marginales dissolvitur:
+Frequentiae stipendiorumFrequentia10+15=2520+24=445+4=9
+Frequentiae sexuumFrequentia10+20+5=4515+24+4=43
Praecipue distributio marginalis characteris X littera  designatur, eiusque frequentiae signis  aut .

 Distributio conditionata 
Characteris  distributio conditionata valori  characteris  dicitur distributio secundum character  elementorum cuius valor est  charactere . Itaque e tabella contingentiae educitur versibus aut columnis quibusdam eligendis, fereque  signo designatur.

Exempli gratia, haec sunt distributiones conditionatae stipendiorum ipsius tabellae prioris singulis sexibus:
+Stipendia virorum (distributio conditionata valori )Frequentia10205
+Stipendia mulierum (distributio conditionata valori )Frequentia15244

 Independentia 
Charactera  atque  distributionis frequentiarum duplae statistice independentia dicuntur si subdicta aequatio vera habetur cunctis frequentiis coniunctis:

Potest enim demonstrari tabella contingentiae tres has sententias una veras aut falsas esse (aequivalere):

 ;
 ;
 .

Indipendentia enim quaeque distributio conditionata aequalis est marginali. Nisi una earum sententiarum vera est, omnes igitur tres falsae sunt, haberi dicitur dependentia statistica.

 Tabella independentiae 
Ad dependentiam distributionis duplae mentiendam, fere oportet eius tabellam contingentiae conferre et illam tabellam contingentiae, quae haberetur characteribus duobus ipsis independentibus.

Itaque definimus frequentias tabellae independentiae:

Exempli gratia haec est tabella independentiae ipsius distributionis paragraphi prioris:
+
Ex his frequentiis etiam licet definire contingentias:

Itaque possumus nunc indicem dependentiae characterum definire per medietatem quadraticam ponderatam contingentiarum ad secundam potentiam dignatarum numeris  ponderibus:

Hic index cum tabella contingentiae longius a tabella independentiae differat, magis augetur, nullusque est independentia.

Alter index priori conexus est:

 Normalizatio indicis dependentiae 
Primum dicendum est, indicem supradictum valorem suum maximum attingere cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae.

Singillatim, si plus est valorum characteri X quam characteri Y, dicitur tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X tabella contingentiae cui (si columnae ad character Y pertinent) omni columnae solae frequentiae nullae sint omni versu excepto uno. Exempli gratia:

+

Si numerus valorum duorum characterum adaequat, potest haberi dependentia perfecta characteris X ab Y versaque vice.

Valorem tamen maximum , si , adipiscitur index  cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X, ubi  littera numerum valorum characteris Y designat, atque  valorum characteris X.

Ab hac definitione itaque potest definiri index Cramérianus:

Qui inter  comprehenditur.

 Demonstratio indicis Cramériani valendi 
Primum ad secundam dignemus indicem dependentiae potentiam:

Cum uno sit fractio  minor, scribi potest:

quod scimus . Valet igitur: ; quae duo membra modo adaequant, si , quod sola dependentia perfecta characteris Y a charactere X evenit.

Item a disaequatione supradicta videmus valere , et eisdem computationibus edici potest  membraque adaequare sola dependentia perfecta characteris X a charactere Y.

E quo duobus deducitur:

 Dependentia media 
Notandum est facilius computari ita medietas arithmetica distributionum conditionatarum marginaliumque:

Itaque ab his potest definiri dependentia media. Singillatim character Y dicitur medie dependere a charactere X medietatibus arithmeticis distributionum conditionatarum characteris Y inter se differentibus.

Ad hanc mentiendam, oportet scire medietatem distributionis marginalis esse medietatem ponderatam medietatum distributionum conditionatarum:

Itaque dependentiam mediam sumus mensuri deviantia medietatum conditionatarum:

 Decompositio deviantiae 

Index supradictus invenitur in decompositio deviantiae totalis distributionis marginalis, in deviantiam explicitam ac deviantiam residuam:

Ab hac definiri potest corrationalitas correlationis:

quae inter  comprehenditur.

 Demonstratio decompositionis deviantiae 
Patet:

Medietatesque conditionatas cum addiderimus subtraxerimusque in differentiam illam, id fit:

Et binomio quadrato evoluto sic membrum expanditur:

Ubi postremum membrum nullum. Multiplicatio enim est differentiarum inter elementa medietatesque:

Computationibus peractis videmus:

quod erat demonstrandum.

 Bibliographia 
 Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. Statistica: principi e metodi. Pearson. ISBN 9788891902788.

Categoria:Res statisticae