Symmetria (statistica)

Distributio frequentiarum, quae character quantitativum discretum metiatur, symmetrica in statistica dicitur, cum binis valoribus  omnibus, ubi  littera cardinalitatem distributionis frequentiarum designet, sit eadem distantia a mediana eademque frequentia; vel distributione in classes subdivisa, sit binis eisdem classibus eadem distantia a mediana eademque densitas frequentiae. Vel rite, appellatis  littera mediana et  signo frequentiis absolutis:

Una cum medietatibus atque indicibus varietatis, symmetriae indices ad distributionem empiricam adiuvant describendam: cum medietates valorem demostrant distributionis hanc optime efficturum, indicesque varietatis quam bene effingatur, tum indices symmetriae dicunt intendatne distributio infra medietatem an supra eam.

 Proprietates distributionis symmetricae 
 Medietas arithmetica ac mediana adaequant: . Ad id demonstrandum, primum sit  numerus par; ob definitionem enim scimus , e quo deducitur summam membrorum  nullam: . Quod cum valeat modo mediana medietati arithmeticae aequali, sententia demonstrata est. Si  impar est, sufficit ut edicamus medianam, cardinalitate elementorum impari, medio esse elemento aequalem: , mediumque igitur membrum (quod enim symmetriae definitionis non interest) est nullum: , nec priorem sententiam inficit.
 Summa distantiarum elementorum a medietate arithmetica ad potentiam imparem dignatarum nulla est: . Imparem enim dignata ad potentiam membra  positiva aut negativa manent, et a definitione symmetriae deducitur eandem aequationem etiam ad potentiam imparem dignatam valere: . Cum ante sit demonstratum medietatem arithmeticam medianamque adaequare distributione symmetrica, membrorum igitur summam supradictorum esse nullam, eis id ad potentiam imparem dignatis quoque valet: , e quo thesim supposita in locum medianae medietate arithmetica demonstramus.
 Eadem est distantia a mediana primo quartili ac tertio: .

 Indices asymmetriae 
Patet nisi symmetricae sint, distributiones dici asymmetricas. Quae fere in duo genera dividi possunt:

 Asymmetricarum positivarum graphum ad dextram intendit;
 Asymmetricarum negativarum ipsum ad sinistram.

Quia tamen spectatis solis graphis non oportet edicere proprietatem distributionem habere, potius indices ad asymmetriam mentiendam excogitandi sunt.

Tres fere usitatiores:

Hic index inter  comprehenditur, quod differentia absoluta medietatis a mediana minor est deviatione canonica: . Positivus est asymmetria positiva negativusque negativa.

Huic alteri eadem est proprietas ac supradicta primo. Quamvis varietate distributionis is index modo parum detorqueatur, eius valores numerus realis quilibet esse possunt, quo difficilius magnitudo symmetriae pensatur; et differentiis ad tertiam potentiam dignatis, multo tamen detorquetur abnormibus apud distributionem valoribus adsentibus.

Cum index  distributioni frequentiarum computetur, in valorum  locum debent classium valores centrales aut medietates arithmeticae supponi.

Tertius index, qui ut duo alii positivus est asymmetria positiva negativusque negativa, e quartilibus exstruitur:

Hic index contra priorem non multo avertitur valoribus abnormibus, et inter  comprehenditur; singillatim est unus negativus adaequantibus mediana primoque quartili, unusque positivus adaequantibus mediana tertioque quartili. Nullus est, quod ita symmetriam definivimus, adaequantibus differentiis .

 Curtosis 
Curtosis est proprietas distributionis, videaturne similis distributioni normali an declinet.

Distributio normalis definitur per curvamen istius aequationis:

ubi  punctum est maximo valore,  numero tamen aucto curvamen circum  magis comprimitur.

Haec distributio usitatissima est ad describenda omnia quae passim disperguntur multis rebus, quarum nulla dispergens praestat, reductis igitur ad errorem fortuitum.

Ad curtosim mentiendam, fere semper distributio normalis insumitur  numeris ita delectis ut medietati arithmeticae elementorum eorumque deviationi canonicae sint. Hoc facto potest valorem curtosis distributionis consideratae pensari, pendendo quam hyponormalis aut hypernormalis haec sit. Dicitur distributio hypernormalis cum circum medietatem et in caudis (regionibus extremis valoribus minoribus) frequentiae aut densitates frequentiae distributioni normali superstent, hyponormalis diverso casu.

Itaque definitur index curtosis:

qui zero adiacet distributione simili distributioni normali, positivus est hypernormali, negativusque hyponormali. Distributione enim normali id accidit:

Distributione autem hypernormali frequentiores elementorum magnae differentiae  caudas gravant, quod caudarum elementa longius a medietate absunt, quae si frequentiora sunt, indicem augent.

 Indices varietatis statistici

 Bibliographia 
 Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. Statistica: principi e metodi. Pearson. ISBN 9788891902788. :Categoria:Res statisticae

Categoria:Res statisticae
Categoria:Theoriae