Spatium vectoriale

Spatium vectorialeIsabel Schlangen, Drei Quanten-sl2-Verallgemeinerungen des gefärbten Jonespolynoms in zwei Parametern (dissertatiuncula, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 2012), vi. vel spatio lineare est collectio rerum vectorum appellatarum, quae inter se addi et per numeros scalares dictos multiplicari possunt. Scalares saepius sunt numeri reales, sed etiam sunt spatii vectorialia ubi multiplicatio scalaris numeris complexis, numeris rationalibus, aut quemlibet corpore fit.

Rigorose, copia E (cum operationes + et •) structura spatii vectorialis super corpus commutativum K habet si:

 (E , +) caterva abeliana est.
 • distributivus associativusque est.
  de • elementum neuter est.

 Proprietates quae spatium vectoriale definiunt 
Spatium vectoriale in  est copia , cui definiantur operationes summae  et multiplicatio scalaribus  quae has proprietates satisfaciant:

 , omnibus elementis copiae , quae hic littera  designantur;
 Summa est commutativa: ;
 Est summae oppositum, quod est numerus qui vectori additus zerum producit: ;
 Est summae neutrum, quod est numerus qui vectori additus eum ipsum producit: ;
 Summa est associativa: ;
 Multiplicatio scalaribus est associativa: ;
 Multiplicatio scalaribus est distributiva: .

Elementa spatii vectorialis vectores, summaeque neutrum vector nullus  appellantur.

 Subspatium vectoriale 
Spatiis vectorialibus sunt subcopiae quae similes sunt lineis apud subcopias spatii euclidei. Hae subcopiae sunt subspatia vectorialia, quae subcopiae sunt spatii vectorialis clausae multiplicationi scalaribus summaeque:

Vector nullus versatur in omnibus subspatiis vectorialibus, quia si  est vector in subspatio, etiam est  (zerum est scalar). Et quod unus negativus est scalar quoque, si subspatio vectoriali inest vector, etiam eius oppositus inest.

In secundis, omnia subspatia vectorialia sunt spatia vectorialia, spatiaque vectorialia sunt subspatia vectorialia ipsorum. Etiam copia solius vectoris nullius  est subspatium vectoriale.

 Spatia vectorialia in systematibus aequationum solvendis 
In systema aequationum lineare, si dextrae signi aequationis  instant sola zera, sicque videtur:

Id systema homogeneum dicitur.

Demonstrari potest, si  est copia solutionum systematis linearis homogenei numero  variabilium ignotarum scripti ut ,  esse subspatium vectoriale spatii . Idem si non est homogeneum systema, eius solutiones non sunt subspatium, quod non inest vector nullus.

 Notae 

 Bibliographia 

 Abate, De Fabritiis, 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.

Algebra abstracta
Tensor (mathematica)
Theoria catervarum
Basis (mathematica)

Categoria:Algebra linearis