Topologia algebraica

Topologia algebraica in mathematica est pars topologiae quae modis et instrumentis algebrae utitur.  Notiones magni momenti sunt multiplex, grex fundamentalis, et homologia. Topologia algebraica quantitates invariabiles invenit, quae ad spatium topologicum quodam cohaerent, similes dimensioni in geometria.

 Homotopia 
Homotopia est relatio inter functiones in spatio topologico.  Sit f et g functiones continuae e spatio X in spatio Y:    Sit I intervallum [0, 1].  Tunc f et g homotopicae dicuntur si exstat functio  ubi:

Functio F est homotopia inter f et g;  est quasi familia functionum inter X et Y.

Nunc, si X et Y sunt idem spatium (hoc est, si X = Y), functio continua  dicitur iter;  si , f est iter ab x0 ad x1.  Homotopia itinerum est notio similis homotopiae sed robustior.  Sit  talis functio:

Tunc F est homotopia itinerum inter f et g.Munkres p. 318ff

 Grex fundamentalis 
Grex fundamentalis (vel caterva fundamentalis) spatii topologici X est grex cuius elementa sunt itinera quaedam in X (non autem omnia itinera:  vide infra) et cuius operatio est compositio itinerum.  

Compositio haec est:  Sit f iter in X ab x0 ad x1, et sit g iter ab x1 ad x2.  Tunc:

Nova functio f * g est iter ab x0 ad x2.  Quia  (quod ambo sunt itinera), , quia 

Idemfactor compositionis est iter "constans":    Si f est iter ab x0 ad x1, tunc   Notandum est tantos idemfactores esse quantae sunt puncta in spatio X.

Si autem in mente habemus itinera quae in eodem puncto initium et finem habent, hae itinera sunt grex.

Grex fundamentalis spatii X ad punctum x0 ergo est copia itinerum ab x0 ad x0, sub operationem compositionem antea definitam, cum idemfactore id0.  (Etiam "primus grex homotopicus" nominatur.)

Etiamsi definitio gregis fundamentalis ab electione puncti pendet, omnes hi greges inter se isomorphici sunt.Munkres, p. 326ff

 Multiplices 
Multiplex (vel fortasse manifoldum vel varietas) dimensionis N est spatium Hausdorff ubi omne punctum vicinium habet homeomorphicum copiae inferioris   Multiplex dimensionis N dicitur etiam N-multiplex.  1-multiplexus est flexus et 2-multiplex est superficies.Munkres p. 222 ff.

 Homologia 
Grex fundamentalis est primus grex homotopicus;  sunt alii, qui quasi plures dimensiones praebent.  Similis gregi homotopico est grex homologicus;  spatium topologicum X series habet gregum abelianorum homologicorum.Massey p. 237ff.

 Utilitas topologiae algebraicae 
Demonstratio simplicissima theorematis fundamentalis algebrae topologia algebraica utitur.

 Notae 

Algebra abstracta
Algebra homologica
Torus (mathematica)

 Bibliographia 
 Gowers, Timothy, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. 2008. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
 Massey, W. S. 1967. Algebraic Topology:  An Introduction.  Novi Eboraci et Heidelbergae: Springer Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
 Munkres, James. 1975.Topology: A First Course. Englewood Cliffs Novae Caesareae: Prentice-Hall.  ISBN 0-13-925495-1.

 Nexus externi 

 Cursus scholasticus topologiae algebraicae apud MIT Open Course Ware