Arithmetica modularis

Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.

Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notationedenotamus.

 Proprietates 
Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:


 Si , erit 
 Si  et , erit 
 Si  et , erit 
 Si  et , erit 
 Si , erit (ubi  )

At si , poterunt a et b esse incongrui.

 Si autem  et k ad m est primus, erit .

Si , poterunt et esse incongrui secundum modulum m.

 Si autem  (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem  (theorema Euleri).

 Exemplum 
Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus , quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.

Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:

+ Additio secundum modulum 6 + 0  1   2   3   4   5   0 0  1   2   3   4  5   1 1   2   3   4  5   0 2 2   3   4  5   0  1 3 3   4   5   0  1  2 4 4   5   0  1  2  3 5 5   0  1  2  3  4

Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:

+ Multiplicatio secundum modulum 6 + 0  1   2   3   4   5   0 0  0   0   0   0  0   1 0   1   2   3  4   5 2 0   2   4  0  2  4 3 0   3  0   3  0  3 4 0   4   2  0  4  2 5 0   5  4  3  2  1

Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.

 Nexus externi 

 De arithmetica modulari apud Wolfram MathWorld

 Bibliographia 
Gauss, Carolus Fridericus. 1801.  Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.

Categoria:Arithmetica
Categoria:Theoria numerorum