Theoremata Gödel de imperfectione

Theoremata Gödeliana de imperfectione sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

 Theorema primum 
 Expositio 
Theorema. Sit theoria , quae est copia sententiae primi ordinis, signatura . Si  est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum  non est copia RE.

Nota bene:
  perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis , aut  aut .
  congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis , ut .

 Demonstratio brevis 
 Numeri Gödel 
Sit signatura primi ordinis ut , quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem  esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in . Ut, exempli gratia, operatio , quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in  utens numerus formulae  calculat ab numeris formularum  et . Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem  formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae  ab formulis in  concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae , dicamus . Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur  nancisci possumus, ut

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae .

Lemma de puncto immobili
Sit theoria  congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam  nanciscamur, ut .

 Demonstratio theorematis 
Sit theoria  congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae , aut  aut . Sit  ut dixi. Sed,
 Si , igitur . Sed est scilicet demonstratio formalis formulae , igitur . Igitur  non est congruens.
 Si , igitur . Ergo est demonstratio formalis formulae , ergo . Ergo  non est congruens.
Ergo nulla theoria  est, quod erat demonstrandum.

 Theorema secundum 
 Expositio 
Theorema. Sit theoria RE , quae axiomata PA continet. Si  se esse congruentem demonstrat, tum  non est congruens.

Nota bene:
  est congruens, si nulla formula  inveniri potest, ut .
 Ergo,  se esse congruentem demonstrat, si , in quo  sententia est ut:

ubi  cuique . Hoc igitur theorema alio modo exponitur:
"Si , tum  non est congruens."

 Bibliographia 
 Theoremata ipsa 
 Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

 De theorematis 
Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
Berto, Francesco. 2008. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
Delessert, André. 2000. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
Deutsch, Michael. 2003. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
Díaz Estévez, Emilio. 1975. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

Entscheidungsproblem
Ignoramus et ignorabimus
Philosophia mathematicae

Categoria:Epistemologia
Categoria:Logica
Categoria:Theoremata mathematica