Integrale

: “ completum invenire”. cuiusdam functionis est una ex his duabus notionibus mathematicis:
 functio quae est derivativum functionis datae (integrale indefinitum);
 numerus qui totum effectum functionis in certo intervallo describit (integrale definitum). Exemplum est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et limites intervalli.
Theorema fundamentale calculi relationem inter has duas notiones indicat. Methodus integrale alicuius functionis inveniendi integratio vel calculus integralis (seu calculus summatorius (ſummatorius)Zedler, vol. 5, p. 115) appellatur.

Integrale indefinitum
Sit  functio in .  est integrale functionis  si .
Ex hac definitione sequitur etiam , designante  quemcumque numerum realem, integrale functionis  esse. Quia  est quantitas constans, hoc est , hic terminus nihil addit integrali.

Exempli gratia, si , tum .

Integrale definitum
Integrale definitum  est quasi summa collationum functionis  in omnibus punctis intervalli .
Geometrice, integrale est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et lineas  et , si functio  est positiva in hoc intervallo. Si autem est negativa, ea magnitudo quoque negativa esse intellegitur.
Ad integrale definitum computandum, numerum infinitum functionis collationum infinitesimalium (hoc est omnibus numeris positivis inferior) addere opportet, quod per limitem definitur. 

Exemplum hoc illustrabit. In adumbratione vides . Possumus magnitudinem aestimare si parva rectangula facimus, eisdem latitudinibus, altitudinibus autem , valores functionis in sinistris aut dextris lateribus intervallorum.

Talia rectangula in adumbratione reperiuntur. Sunt quinque rectangula, colore flavi, quorum latitudo est 1/5, et altitudines sunt √ 1/5, √ 2/5, √ 3/5, √ 4/5, et √ 1. Magnitudines rectangulorum igitur sunt (1/5) x √ 1/5, (1/5) x √ 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.74974.

Sunt etiam duodecim rectangula, colore viridi, quorum latitudo est 1/12 et altitudines sunt √ 0, √ 1/12, et cetera. Si magnitudines horum rectangulorum addimus, habemus (fere) 0.62029.

Integrale (per definitionem) est limes magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit  copia numerorum inter  et , sicut . Deinde summatio Riemanni est

et integrale est limes huius summationis dum  ad infinitatem it (aut, dum semper plures rectanguli sunt).Spivak, cap. 13;  Hardy, sectio 240;  haec non est definitio accuratissima.  Bernardus Riemann hanc definitionem invenit.

Saepe autem facilius est integrale alio modo computare. Theorema fundamentale calculi enim dicit:

, si 
Ita integrale definitum computari potest si integrale indefinitum cognoscitur.

Usus
 In physica, velocitas est derivativum loci, et acceleratio est derivativum velocitatis. Ergo, quia secundum Leges motus Newtoni acceleratio et vis, quae est quasi fundementum mechanicae, aequabiles sunt, locus alicuius rei ex viribus bis integrando computari potest.
 Massa alicuius rei est integrale densitatis eius.
 In theoria probabilitatum probabilitas variabilis continui ex densitate probabilistica integrando computatur.
 Quadratura parabolae calculo integralis computari potest.

 Notae 

 Bibliographia 
 D. Bougainville 1764 Calculi infinitesimalis pars II., seu calculus integralis 
 M. Hirsch 1823 Integral tables or collection of integral formulas 
Leonhardus Eulerus 1827 Institutionum calculi integralis. Petropoli: impensis Academiae Imperialis Scientiarum. Volumen Primum Volumen Secundum Volumen Tertium Volumen Quartum
 Ferdinandus Minding 1849 Sammlung von Integraltafeln
 Davidus Bierens de Haan 1867 "Nouvelles Tables d'Intégrales définies." Leiden: P. Engels Volumen Primum Volumen Secudum
 Hardy, G. H. 1952 A Course of Pure Mathematics. Editio 10a. Cantabrigiae.
 Spivak, Michael. 1994 Calculus. Editio 3a. Houstoniae: Publish or Perish.

Categoria:Analysis
Categoria:Calculus
Categoria:Mathematica