Caterva (mathematica)

Caterva (aut gruppus aut grex) est structura algebraica abstracta: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum.  Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris corporis.

 Definitio 
Caterva est copia  cum operatione  inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

 Clausitas 
Pro omnia elementa  in caterva,  quoque in caterva est.

 Associativitas 
Pro omnia elementa  in caterva, haec identitas est apta: 

 Elementum Idemfactor 
Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe  scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta: 

 Elementum Inversum 
Pro omnia elementa  in caterva, est alium elementum, , cum ita sit 

 Caterva numerorum 
Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana.  Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est;  0 est idemfactor;  et -a est elementum inversum elementi a.

 Caterva matricum, vel caterva linearis 
Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana.  Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana:  A × B ≠ B × A.

 Caterva symmetrica 
Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt.  Operatio catervae est compositio:  hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a.  Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:

 140px  idemfactor:  omnia puncta manent 140px  r1:  rotatio 90° ad dexteram partem 140px  r2:  rotatio 180° 140px  r3:  rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem 140px  fv: reflexio verticalis 140px  fh: reflexio horizontalis 140px  fd: reflexio in uno diagonale 140px  fc: reflexio in altero diagonale Transformationes quadratae:  elementa caterva dihedralis.

 Notae 

 Bibliographia 
 Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.

 David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.

Categoria:Mathematica
Categoria:Algebra
Categoria:Algebra abstracta