Derivativum

Derivativum est quantitas mathematica quae cuiusdam functionis  variationem indicat prope locum  amplitudinemque huius variationis: si  prope  crescit, derivativum positivum est, negativum si imminutur. Cum derivativum ab  definiatur, ipse functio est quae  dicitur (voce 'f prima') et a functione  derivatur
ut clivum lineae tangentis curvae  loco  det: si  magna est, functio  valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit (cf. imaginem).

Theorema fundamentale calculi dicit derivativum et integrale processus inversos esse.

 Facile exemplum cum indico variationis 
Derivativum  amplitudinem incrementi aut decrementi functionis  indicat. Exempli gratia, crescit numerus incolarum Guianae magis a 1960 ad 1965 quam a 2010 ad 2015 (cf. imaginem). Ad hoc metiendum, incrementum numerare incolarum per annum opportet: cum sint fere 570 millia incolarum anno 1960 et 650 anno 1965, incrementum his quinque annis 80 millia est, hoc est  millia per annum. Derivativum igitur a variatione definitur inter duas quantitates in ratione spatii ad aliam ex altera: haec prima approximatio derivativi index variationis dicitur. Si functio  ad quemque annum numerum incolarum Guianae hoc anno destinat (ut e. g.  millia), index variationis inter duos annos  et  est

sive cum exemplo supra  millia novorum incolarum per annum.

Calculus infinitesimalis
Hoc tamen modo approximatio est derivativi, quod valor medius incrementi in intervallo quodam est nec amplitudo fluxionis functionis loco definito. Ad hoc emendandum spatium inter  et  minui opportet, ut index variationis propius derivativum loco  sit. Hoc minimum nec nullum spatium  dicitur. Inde  fit , et index variationis fit igitur

quod derivativum  magis magisque appropinquat cum  minor minorque fiat. Hic processus mathematicus limes nominatur, quo aestimetur quaedam quantitas (hic derivativum ) cum altera ex qua pendet (hic ) certum numerum appropinquet (hic 0) quamvis numquam ad eum perveniat.

Talis limes autem interdum definiri non potest (si infinitatem appropinquat aut secundum methodum computationis mutatur &c.) Inde functio quae derivativum habet, i.e. cui hic limes loco  definitur, functio differentiabilis nominatur. Omnis functio differentiabilis est continua, sed sunt functiones continuae non differentiabiles.

In calculi infinitesimalis lingua, hoc saepe abbreviatur in 
 ubi  differentialis operator dicitur.

Cum hac methodo, est e. g. derivativum functionis 

 quod  tam parvum est ut omitti possit.

Loco , clivum lineae tangentis functionis  igitur  est.

Fluxiones
Derivativum, cum variabilis  functio sit temporis , fluxio secundum Newtonum appellatur, quia  commutationis (aut variationis aut fluctuationis) celeritatem dat cuisdam quantitatis . Scripsit quidem Newtonus:
Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinite considero, quo distinguam ab aliis quantitatibus quae in aequationibus quibuscunque pro determinatis et cognitis habendae sunt ac initialibus literis a, b, c, &c. designatur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates quibus singulae a motu generante fluunt et augentur (quos possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis l, m, n, et r. Nempe pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatam x, y, et z ponam m, n, et r respective. His praemissis e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositorum problematum solutionem exhibiturus.Isaacus Newtonus, De methodis serierum et fluxionum (1671).

Newtonus, ut fluxiones denotaret, punctis super variabilem usus est, ita:
,
.

Contentio et historia
Postquam fere simul Newtonus methodum fluxionum et Leibnitius methodum differentialium seu infinitesimalium comminiscerunt, magna contentio coepit inter se super quaestionem, qui primus calculum reperiat. Newtonus quidem corde habuit intellegere quomodo quantitates physicae et earum celeritates et accelerationes compututentur ut leges motus ab experimentis inducantur; Leibnitius autem corde lineae tangentis computationem et metaphysicam motus explicationem.

Notio autem numeri infinitesimalis et fluxionis late problematica a mathematicis habetur. Et non fuit ante saeculum duodevicensimum cum vera calculi infinitesimalis fundamenta in notione limitum agnoscerentur.

Formulae utiles
Cum constante quantitate  et functionibus differentiabilibus  et :
  (constans quantitas)quia 
  (multiplicatio functionis cum constante quantitate)quia 
  (additio functionum)quia 
  (multiplicatio functionum)quia 
  (compositio functionum)quia  cum  ( 0 appropinquat)
  (potentia quantitatis  cum constante exponente)

Exempli gratia sit :
 propter legem multiplicationis
 propter legem additionis
 propter legem potentiae et legem constantis quantitatis

Aequatio differentialis est aequatio in qua est derivativum functionis cuiusdam; solutio talis aequationis est vel functio ipsa vel approximatio valorum. Cum exemplo , si , solutio est functio exponentialis: .

 Notae 

Bibliographia

 Alii libri 

Categoria:Calculus