Vector (mathematica)

Vector[chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2020/05/fword_late2.pdf Deutsch - Latein – Fachwörterbuch der Mathematik. 5910 Begriffe. Steffen Polster, 2020] (-oris, m) appellatur collectio in  dimensiones redacta quae  elementa continet. In geometria Euclideana vectores aequant structuras magnitudinem et directionem habentes, quae velut punctum quoddam in aliud vehuntur, de quo verbo etiam nomen "vector" ducitur.  Vectores igitur saepe notis sagittiformibus describuntur, quia sagittae quoque directionem ac longitudinem habent. Vectores latissime variis in disciplinis adhibentur, imprimis in artibus mathematicis et in physicis, necnon in aliis sicut oeconomicis, chemicis, informaticis, ceterisque.Vide Neri p. viii

 Fundamenta mathematica 

 Gravitas vectorum 

 Problema 
Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum . Ad multa problemata geometriae solvenda figurae geometricae in systemate coordinatorum collocantur.

Exempli gratia, trianguli ABC (, , ) altitudo puncti C, , sine ulla computatione cognoscitur: .

At multa problemata eius modi sine vectoribus non tam simpliciter solvuntur. Exempli gratia: si altitudo puncti Z trianguli XYZ (, , ) computanda est, hoc sine vectoribus vix peragi potest. Nam problema poscit, ut punctum P in directione  per X et Y situm ita quaeratur, ut directio  per Z et P cum  angulum rectum circumcludat. Sed nullis vectoribus adhibitis nihil nisi aequationes functionum directionum  et  graphia habitantes computari possunt ac per computationem generalem punctum P, quod directionem quaesitam dat, reperiri potest.

Haec autem quaestio usu vectorum multo facilius peragitur. Quae quaestio simul unum ex iis exemplis praebet quae introductionem usumque vectorum laudant. Est etiam categoria geometriae quae tota in usu vectorum versatur: geometria analytica.

 Definitio exacta 

Vector exacte definitur, ut sit copia omnium sagittarum (superficiei planae aut spatii) parallelarum, quibus eadem longitudo directioque sunt. Plerumque vector uno elemento suae sagittarum copiae datur quod sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.

Vector ergo non solam sagittam, sed copiam infinitam sagittarum designat. Saepe autem duo vocabula permiscentur: repraesentans vectoris pro ipso vectore habetur. Vectoris repraesentans (= sagitta) et ipse vector ita inter se differunt, ut sagittae suos quosque locos certos obtineant, cum vectores omnes locos suarum sagittarum (globaliter) designent.

 Coordinata vectorum 

In mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est), aut pluribus (si spatium plures dimensiones habet): iis quae capienda sunt, si via a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, ei sagittae quae a puncto  ad  fert coordinata sunt . Haec quoque coordinata eius vectoris sunt quem haec sagitta
repraesentat.

Vectores et puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine  ad hoc punctum patentem habet et vector positionis  puncti nominatur.

Puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae semper hac formula matricis computari possunt:

 (regula "hasta de apice subtrahenda est").

 Operationes vectorum 

Regula "hasta de apice subtrahenda est" iam quandam operationem vectorum, id est subtractionem, continet, sed talis operatio primo definienda est. Cum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita sit, operationes ad multa problemata solvenda usurpari possunt.

 Additio vectorum 

Additio duorum vectorum tertium vectorem dat atque ita definitur: Hasta sagittae repraesentantis cuiusdam vectoris summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab ima hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) perducit, repraesentans summae duorum vectorum est.

In genere summa vectorum  ac  computari potest hac formula:

 Subtractio vectorum 

Subtractio per additionem definiri potest: Subtractio  additionem vectoris  (vectoris adversi vectoris ) ad vectorem  significat. Ergo differentia duorum vectorum est:

 Multiplicatio scalaris vectorum 

Vectoribus duae species multiplicationis sunt:  multiplicatio scalaris (vel productum interius) atque multiplicatio transversa (vel multiplicatio in forma crucis).

Scalaris multiplicatio duorum vectorum  sic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris  atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris  in repraesentantem vectoris  computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans  habet, aut signo negativo (-), si proiectio directionis diversae est, ornatur. Hic numerus productum scalare vectorum  et  nominatur. Computari potest etiam formula:

 = . 

Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalare eorum 0 est.

 Multiplicatio transversa vectorum 

Altera multiplicatio vectorum multiplicatio tranversa nominatur (vel multiplicatio "in forma crucis"). Quae tantum vectoribus spatialibus definitur.

Quod ad operationes iam dictas pertinet (id est, additio, subtractio, multiplicatio scalaris duorum vectorum), eae pariter cum vectoribus spatialibus definitae sunt. Exempli gratia additio duorum vectorum spatialium ita fit:

.

Multiplicatio transversa vectorum spatialium  productum dat vectorem tertium, cui haec proprietates sunt:

1.) Repraesentans vectoris  et cum repraesentante vectoris  et cum repraesentante  angulum rectum circumcludit.

2.) Longitudo repraesentantis producti transversi aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum tenditur.

3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus hac regula reperiri potest: Vectores ,  et  easdem directiones habent atque primus, secundus, tertius digitus manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu tenduntur ("regula manus dexterae").

Productum transversum ita computatur:

.

 Aliquae problemata, quae vectoribus solvi possunt 

 Quomodo punctum dimidii lineae reperiri possit 

Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:

Sagitta  a puncto A usque ad B patet. Si solum dimidium sagittae capitur atque ad sagittam positionis puncti A additur, hoc sagittam positionis puncti dimidii quaesiti H dat:

,

ergo  (regula "de apice hastam"),

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo 

Vector positionis puncti H dimidium summae vectorum positionum punctorum A et B aequat.

Exempli gratia, si  et , , ergo .

 Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogrammum 

Si cuiusdam parallelogrammi puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.

Exempli gratia, puncta ,  et  rectanguli cognita sunt punctumque D reperiendum est. Quod , coordinata ita computantur:

,

ergo ,

ergo ,

ergo 

Quartum punctum igitur coordinata  habet.

 Centrum gravitatis trianguli 

Centrum gravitatis computatur per formulam , si triangulo anguli in punctis A, B et C sunt.

Triangulum punctorum ,  et  igitur centrum gravitatis  habet.

 Vectores in physica 

Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut vires. Omnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.

Velocitas, exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente moveri potest, sed etiam in directionem certam.

 Vires 
In physica vis significat productum massae et accelerationis, quae in motione cuiusdam rei hac vi effectae observantur.

Exempli gratia, si res aequaliter accelerata movetur (acceleratio ) et huic rei massa  est, vis effecta fortitudinem  habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quam vis habet, exprimitur. 

Si duae aut complures vires eodem tempore rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.

Exempli gratia, si res massam  habens atque in puncto  sita a viribus  et  movetur, vis, quae vero rem movet, est . Si nunc unitas longitudinis vectorum  significat, fortitudines virium sunt: ,  et . Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.

 Labor 

Si res massae  in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, , aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, ), quia hoc modo res in directionem contrariam trahetur!

Labor qui administratur ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. In physica terminus "laboris" sic definitur, ut productum scalaris cum factoribus spatio  (ibi spatium vectore exprimitur!) atque vi  aequet:

Hac in formula  longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris  in spatium  est, atque  longitudinem repraesentantis  designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest; hic casus est, si  directionem contrariam atque  habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).

 Notae 

 Algebra linearis
 Geometria analytica
 Spatium vectoriale
 Vector Laplace–Runge–Lenz
 Parallelogrammum virium
 Productum interius
 Scalar (physica)

 Bibliographia 
 Ferrante Neri, Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering.  Helvetia:  Springer, 2016.
 C. E. Weatherburn, Elementary Vector Analysis, with Applications to Geometry and Physics. Londini:  G. Bell & sons, 1935.

Categoria:Algebra linearis