Aequatio trigonometrica

Aequatio trigonometrica sive aequatio goniometrica est aequatio, cuius variabile argumentum functionis trigonometricae (velut sinus) in ea apparet, velut . Tales aequationes saepe faciles solutu non sunt, quod nonnumquam cognitio relationum inter functiones trigonometricas ad solutionem necessaria est. Praeterea, propter periodicitatem functionum trigonometricarum aequatio trigonometrica, si unam solutionem certe habet, numerus infinitus aliorum valorum etiam in numero solutionum duci potest.

Aequationes fundamentales

Hae sunt:





Solutiones simplicissimae harum aequationum per functiones inversas functionum trigonometricarum (;  atque ) reperiri possunt.

Exempli gratia:

.

Nunc is angulus, cuius sinus 0,5 aequat, reperiendus est. Una solutionum est . Sed una regularum trigonometricarum dicit sinum cuiusdam anguli x sinum anguli  aequare. Praeterea, sane anguli  et  etiam eundem sinum habent, quod iidem sunt.

Ergo altera solutio in intervallo  est .

Solutiones aequationis sunt igitur aut formae  aut formae .

Aequationes difficiliores solutu

Exemplum primum

Iam scimus angulum x inter  et  vel  et  esse debere, quod tantum his in intervallis sinus cosinusque aequalis signi sunt.

Ad hanc aequationem solvendam, hac relatione uti possumus: . Terminus in aequatione substituitur:

,

ergo ,

ergo ,

ergo 

Nunc angulos reperire possumus: . Horum angulorum autem  et  excludendi sunt, quod in intervallis memoratis siti non sunt.

Ergo solutiones intervalli  sunt  et . Si solutiones e tota copia  venire licet, aut formae generalis  aut  sunt.

Exemplum secundum

Ut iam computatum est, anguli sinum  habentes sunt  et . x igitur est  et  (dimidia angulorum).
Sed non solum ii anguli, sed etiam anguli, qui obtinentur, cum ad angulos computatos valor  additur, hunc valorem sinus habent; quod verae solutiones aequationis dimidia horum angulorum sunt, hic etiam anguli maiores quam  spectandi sunt.

, ergo . Hic angulus dum in intervallo  situs est!

, ergo 

, ergo , sed hic angulus non iam in intervallo situs est, ergo omnes solutiones aequationis repperimus.

Qui sunt . 

 functiones trigonometricae
 sinus
 cosinus
 tangens

Categoria:Trigonometria