Numerus quadratus

Numerus quadratus in mathematica, etiam quadratus perfectus appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.. Integer positiva cui non sunt divisores quadrati perfect praeter 1 sine quadrato appellatur.

 Proprietates 
 De visu 
Numerus n est quadratus solum si n puncta in quadro ordinentur:
12 = 11 = 1222 = 44 = 2232 = 99 = 3242 = 1616 = 4252 = 2525 = 52

 Formulae et res pertinentes 
Formula pro n numero quadrato est n2. Etiam haec aequat summam primorum n numerorum imparum (), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus +).
E.g., 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

n quadratus  ex duobus prioribus calculetur addendo (n − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (n − 2)um quadratum, et addendo 2.
I.e., ().
E.g., 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n, ut monstratur super in picturis.
E.g., 42 aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.
Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g., 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16. 

Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus;  exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.

Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.

 De notis ultimis 
Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:

 Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
 Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
 Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
 Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
 Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar. 
 Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.

Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.

 Pares quadrati et impares 
Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2n)2 = 4n2.

Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.

 Brevis index 
Primi 51 quadrati sunt: 02 = 0

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400

212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900

312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600

412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500

Coniectura Legendre
Numerus triangularis
Quadrilaterale

 Bibliographia 
 Conway, J. H., et R. K. Guy. 1996. The Book of Numbers. Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

 Nexus externi 
http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit
Disce Numeros Quadratos
Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org
Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum

Categoria:Numeri figurati
Categoria:Quadrilateralia