Scalae longae et breves

Scalae numerationis, sive indices numericos referentiales, tanquam series numericae definiuntur, quas ad efferendos numeros permagnos disponimus. Eiusdem generis duo sunt indices in usu apud scientistas, nominatim scalae longae et scalae breves. Huiusmodi scalae pluraliter referuntur, quia multis in terris adhibentur, adeo linguis ac moribus accommodatae, ut multiplices esse videantur. In scalis brevibus classes numericae formantur per potentias basis milliariae, aliter atque in scalis longis, quarum classes per potentias basis millionariae designantur.

In civitatibus Anglicae linguae scalae breves in usu sunt, dum in terris Europaeis continentalibus scalae longae praeferuntur.Benjamin Greenleaf. Introduction to the National Arithmetic. Bostoniae: Robert S. Davis & Co., 1871; pp. 11-15.

 Numerus    Notatio Indo-Arabica   Scalaebreves   Systema   Scalaelongae    systema   10  0  =   1   unus<center>1000 1 - 1  unus <center>1 000 000  0.0 10  3  =  1000    mille <center>1000 1 + 0  mille <center>1 000 000  0.5 10  6  =  1 000 000    millio <center>1000 1 + 1  millio <center>1 000 000  1.0 10  9  =  1 000 000 000    billio <center>1000 1 + 2  mille milliones (sive milliardum) <center>1 000 000  1.5 1012  =  1 000 000 000 000    trillio <center>1000 1 + 3  billio <center>1 000 000  2.0 1015  =  1 000 000 000 000 000    quadrillio <center>1000 1 + 4  mille billiones (sive billiardum) <center>1 000 000  2.5 1018  =  1 000 000 000 000 000 000    quintillio <center>1000 1 + 5  trillio  <center>1 000 000  3.0

 Scalae longae 

 Billio, Billiardum et plus ultra in scalis longis 
Scalae longae maxima cum subtilitate constituta sunt. Apud numeros milliardo maiores series suffixorum -illio atque –illiardum continuatur. Praefixa e lingua Latina sumpta sunt: bi- (in verbis billio atque billiardum), tri-, quadri-, quinti- (etiam: quinqui-) et cetera. Haec praefixa potentias mathematicas millionis indicant: videlicet, billio est millio quadrato vel 1 000 0002 vel millio bis dignatus; trillio est 1 000 0003 vel millio ter dignatus; quadrillio est 1 000 0004 vel millio quater dignatus; et sic deinceps. Billiardum est mille billiones. Pari modo prosequuntur Trilliardum, Quadrilliardum, et cetera. Hoc schema logarithmicum, quod Nicolaus Chuquet atque Iacobus Peletier du Mans invenerunt, systema tillionicum appellatur.

 Numerus  Nomen numeri  Praefixum  Suffixum  Potentia  103N 1 Unus            -         Millio0 0   = 100   1000 Mille         -         Millio0.5   = 103 1, 000 000 Millio        Mi      -llio    Millio1.0   = 106 1 000, 000 000 Milliardum      Mi      -lliardum  Millio1.5   = 109 1, 000 000, 000 000 Billio        Bi      -llio    Millio2.0   = 1012 1 000, 000 000, 000 000 Billiardum      Bi      -lliardum  Millio2.5   = 1015 1, 000 000, 000 000, 000 000 Trillio       Tri     -llio    Millio3.0   = 1018 1 000, 000 000, 000 000, 000 000 Trilliardum     Tri     -lliardum  Millio3.5   = 1021 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Quadrillio    Quadri  -llio    Millio4.0   = 1024 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Quadrilliardum  Quadri  -lliardum  Millio4.5   = 1027 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Quintillio1  Quinti1  -llio  Millio5.0   = 1030 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Quintilliardum1  Quinti1  -lliardum  Millio5.5   = 1033 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Sextillio  Sexti  -llio  Millio6.0   = 1036 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Sextilliardum  Sexti  -lliardum  Millio6.5   = 1039 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Septillio  Septi  -llio  Millio7.0   = 1042 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Septilliardum  Septi  -lliardum  Millio7.5   = 1045 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Octillio  Octi  -llio  Millio8.0   = 1048 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Octilliardum  Octi  -lliardum  Millio8.5   = 1051 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Nonillio  Noni  -llio  Millio9.0   = 1054 1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Nonilliardum  Noni  -lliardum  Millio9.5   = 1057 1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000 Decillio  Deci  -llio  Millio10.0   = 1060

Nota:
1. Etiam quinquillio atque quinquilliardum in usu sunt.

 Exempla 

 Vigintillio (1020*6 = 10120).
Aequalis est (106)20 (potentiae vicesimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

 Septenquadragintilliardum (107*6+4*60+3=10285), (106*47+3=10285).
  Aequalis est (106)47.5 (potentiae quadragesimae septimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

 Centseptuagintilliardum (101*600+7*60+3=101023)
  Aequalis est (106)170.5 (potentiae centesimae septuagesimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

Infra ala tabula est, praefixa suffixaque illa continens, quae adhibentur in componendis numeris permagnis. Sub unoquoque praefixorum duo numeri sunt: numerus ad laevam ille est, cuius praefixo nominali suffixum -llio addendum est; numerus ad dextram ille est, cuius praefixo nominali suffixum -lliardum addendum est.

Deci-    Undeci-  Duodeci-  Tredeci-  Quattuordeci-  Quindeci-  Sexdeci-  Septendeci-  Octodeci-  Novemdeci-  1060, 1063  1066, 1069  1072, 1075  1078, 1081  1084, 1087  1090, 1093  1096, 1099  10102, 10105  10108, 10111  10114, 10117 Viginti-  Unviginti-  Duoviginti-  Treviginti-  Quattuorviginti-  Quinviginti-  Sexviginti-  Septenviginti-  Octoviginti-  Novemviginti-  10120, 10123  10126, 10129  10132, 10135  10138, 10141  10144, 10147  10150, 10153  10156, 10159  10162, 10165  10168, 10171  10174, 10177 Triginti-  Untriginti-  Duotriginti-  Tretriginti-  Quattuortriginti-  Quintriginti-  Sextriginti-  Septentriginti-  Octotriginti-  Novemtriginti- 10180, 10183  10186, 10189  10192, 10195  10198, 10201  10204, 10207  10210, 10213  10216, 10219  10222, 10225  10228, 10231  10234, 10237 Quadraginti-  Unquadraginti-  Duoquadraginti-  Trequadraginti-  Quattuorquadraginti-  Quinquadraginti-  Sexquadraginti-  Septenquadraginti-  Octoquadraginti-  Novemquadraginti- 10240, 10243  10246, 10249  10252, 10255  10258, 10261  10264, 10267  10270, 10273  10276, 10279  10282, 10285  10288, 10291  10294, 10297 

 Exempla 

 10192: praefixum est Duotriginti-, suffixum est -llio, nomen est ergo Duotrigintillio.
  Aequalis est (106)32 (potentiae trigesimae secundae basis decem ad sextam potentiam evectae).

 1093: praefixum est Quindeci-, suffixum est -lliardum, nomen est ergo Quindecilliardum.
  Aequalis est (106)15.5 (potentiae quintae decimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

 10249 praefixum est Unquadraginti, suffixum est -lliardum, nomen est ergo Unquadragintiliardum,
  Aequalis est (106)41.5 (potentiae quadragesimae sesquiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

 Scalae breves 

 Errores in numeris definiendis et nominandis 

☞ Notandum vero quod quamvis utraeque scalarum conventionaliter firmatae sint, solae scalae longae aptius prosunt orbi scientico-litterario, id est, sub speciebus tum cognitionis cum conscriptionis, minime dissonae sunt ab evidentia mathematica.

Primo, observandum quod duo haec systemata tantummodo illis nominibus differunt, quibus numeri unius eiusdemque magnitudinis appellantur usque ex milleno mille millies multiplicato. Basis namque potentialis utrisque scallarum communis est numerus 10, sive basis denaria, qua utitur in notatione scientifica; ecce quod utraeque scalarum ex uno systemate numerationis denario constituuntur, id est, ex illo quod notis vel signis decem disponitur.

Deinde, nomen milliardi adhuc temporis cum disparibus sensibus adhibitum est: primum, millionem millionum, idemque quod bimillio vel billio, significabat; postea, duobus sumptus est pari tractu significationibus, scl. tum billionem, cum billionis compendium statuerunt; postremo, idem esse quod millia millionum intellexerunt. Sed ex accuratiore analysi infertur quod talis acceptionum diversitas in scalis numericis, propria vi et natura, dispares definitiones usque ex origine sequitur. Quod, nisi esset notatio scientifica, difficultates afferret in acceptando pro apta aliquam scalam ad permagnas quantitates numerice efferendas.

Per transitionem de numeralibus Romanis in Indo-Arabicos, a saeculo XIV ad usque saeculum XVI actam, numeratio scripta non solum in positione notarum, sed etiam in potentiis basis 10 ubique adhiberi incepit. Cum autem mille et millio potentias basis 10 continerent, itidem per seipsos bases potentiales eo tempore facti sunt. Exhinc numeri permagni apud multos auctores potentiis basis 1 000 000 definiti sunt, una cum notionibus de classium 1000 unitatum multiplicatione, atque earumdem distributione in periodis continentibus millionem, qui progressive per se multiplicabatur. E.g. millies mille millena millia apud plerosque auctores idem numerus est ac 10004 (mille ad potentiam quartam dignatum), sive 1012 (decem unitates ad duodecimam potentiam dignatae); idem ergo ac billio vel bimillio, sive 1 000 0002 (millio bis dignatus vel millio ad secundam potentiam evectus). At quidam huius methodi haud periti systemata numerationis nimis confusa adoptaverunt.David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic Numerals. S.l.: Ginn and Company, 1911, p.150.

In saeculis XVI et XVII solus modus potentias denarias efferendi apud mathematicos variabilis fuit. Quilibet enim numerus permagnus multimodis efferri potest. Attamen enuntiationum hac multiplicitate aperitur via ad erraticas interpretationes, maxime in definiendis numeris permagnis. In simplice videlicet transitione de numerorum punctuatione senidigitali in trinidigitalem nonnulla aestimationis errata evenire possunt. Quod, despecta aedequatione nominum basibus adhibitis, interdum accidit; inde fuit quod sic vocatae scalae breves constitutae sunt.

Denique, in saeculo XVIII quidam mathematici Francogallici adhibere inceperunt verba mathematici Chuquet in nominandis numeris secundum seriem potentiarum basis milliariae. In principio consistit huiusmodi systema in Franciae limitibus, neque in alias orbis terrarum partes diffundebatur. Atqui paulo post, in saeculo XVIII, scalae breves translatae sunt in Civitates Foederatas Americae, et abhinc, ob praecellentiam mercatoriam illius nationis, amplius diffusae sunt in multos alios populos.

 Quaestiones de scalarum brevium irrationalitate 
☞ Quid significant, respectu potentiarum basis 1000, praefixa nominalia in scalis brevibus? Omnino nihil. Mementote solam basem millionariam, mathematice elatam numero 10 ad sextam potentiam evecto, apte adhiberi posse ad referendos numeros permagnos, atque omnes illos nequaquam recte nominari in scalis brevibus. Oportet videantur, exemplorum gratia, nonnulli earumdem scalarum numeri eorumque nomina significatione carentia.

Billio in scalis brevibus non est aequalis (106)2 (potentiae secundae basis decem ad sextam potentiam evectae), similiter atque in scalis longis, sed (103)3 (potentia tertia basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid autem praefixum bi- ad exponens 3 attinet? In prioribus scalis, scl. longis, adhibetur basis denaria ad sextam potentiam evecta, et praefixo bi- numerus unus millio millionum, sive millio ad secundam potentiam evectus apte enuntiatur.

Trillio in scalis brevibus nulla subtilitate enuntiari videtur, quia in iisdem scalis signatur expressione (103)4 (potentiam quartam basis decem ad tertiam potentiam dignatae); apte autem signatur in scalis longis, scl. expressione (106)3 (tertiae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), ita ut praefixo tri- trillio apte enuntietur. 

Nonillio in scalis brevibus non est aequalis (106)9 (potentiae nonae basis decem ad sextam potentiam dignatae), item atque in scalis longis, sed (103)30 (potentiae trigesimae basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid praefixum novi- ad exponens 30 attinet? Nihil enimvero exprimit, quia incerta basis in scalis brevibus adhibetur.

Quindecillio non est aequalis (106)15 (quintae decimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed (103)16 (sextae decimae potentiae basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid praefixum quindeci- ad exponens 16 attinet? Ratio non reperitur, qua numerus sic exprimatur.

Septendecilliardum vel mille septendecilliones non sunt aequales (106)17.5 (septimae decimae semiprimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed 103 (basi decem ad tertiam potentiam dignatae) per 1054 (basim decem ad quartam quinquagesimam potentiam dignatam) multiplicatae, id est, aequales sunt 1057 (septimae quinquagesimae potentiae basis decem) vel unus octodecillio. Quid praefixum octodeci- ad exponens 57 attinet? Vero nihil.

Quadragintillio non est aequalis (106)40 (quadragesimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed (103)41 (primae quadragesimae potentiae basis decem ad tertiam potentiam dignatae) vel 10123(centesimae vigesimae quartae potentiae basis decem). Quid praefixum quadraginti- ad exponentia 41 et 123 attinet? Nihil vero de numero apte exprimit.

Quinquadragintilliardum vel mille quinquadragintilliones non sunt aequales (106)45.5 (quadragesimae quintae semiprimae potentiae basis decem ad sextam potentiam dignatae), sed 103 (basi decem ad tertiam potentiam dignatae) per 10138 (basim decem ad centesimam trigesimam octavam potentiam dignatam) multiplicatae, id est, aequales sunt 10141 (centesimae quadragesimae primae potentiae basis decem) vel unus sexquadragintillio. Quid praefixum quinquadraginti- ad exponentia 138 et 141 attinet? Nihil.

Centillio non est aequalis (106)100 (centesimae potentiae basis decem  ad sextam poteniam dignatae), sed 103 (tertiae potentiae basis decem) per 10300 (trecentesimae potentiae basis decem) multiplicatae, sive 10303 (trecentesima tertia potentia basis decem). Quid praefixum centi- ad exponentia 300 et 303 attinet? Etiamsi trecenti-, aut tertrecenti adiungatur, eiusdem nominis significatio haud idonea prosequitur.

Centilliardum vel mille centilliones non sunt aequales (106)100.5 (potentiae centesimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam dignatae), sed 103 (tertiae potentiae basis decem) per 10303 (potentiam trecentesimam tertiam basis decem) multiplicatae, id est, aequales sunt 10306 (potentiae trecentesimae sextae basis decem), vel unus centumuntillio. Quid praefixum centumunt- ad exponens 306 attinet? Nihil.

Scalarum brevium nomenclatura, ut supra conspici potest, non congruit cum etymologica formatione quorumlibet illorum verborum, quibus numeri designantur: admodum vero disparia praefixa ad infinitum in scalis brevis inveniri possunt. Basim numericam mutaverunt, paene omnes magnitudines numericas imminuerunt, neque apte adaequare curaverunt, secundum praefixa numerica, nomina numeris significatis. Omnia videlicet praefixa nominalia permagnorum numerorum, respectu basis 1000 vel 103, in iisdem scalis nihil de numeris reddunt. Sic quidam auctores, quamvis nequaquam opus esset numerandi rationem reformare, id sibi sumpserunt, tumque scalas breves conscripserunt, ita ut praefixa nominalia, perperam tributa nominibus, ad bases dignatas earumque dignationem nihil attinerent. Videntur enim omnes scalae breves esse ex scalis longis admodum inaccurate transcriptae. Patet igitur, ex inadequatione nominum cum numeris significatis, quod scalae breves subtilitate carent, et propter hanc infinitam disparitatem, quae inter nominum praefixa et indices potentiarum conspicitur, nullatenus adhibendae in quolibet officio.

Scalarum brevium assumptio, quamvis practicitatis causa ex officio iubeatur, illorum tamen errorum genus est, cuius extensionem solo usu scalarum longarum metiri possumus. Secundum Franciscus Bacon, praematura atque proterva reductio doctrinarum in artes et methodos, cum fit, plerunque scientia aut parum, aut nihil proficit.Franciscus Bacon. De Augmentis scientiarum, Liber I, V, 4.. ☞ Quod ad concludendum sufficit, instaurationem scalarum brevium errorem fuisse, proculdubio amplissimae extensionis, cuius unicus effectus fuit inter populos non modo permanentem confusionem, sed etiam multas distractones concitare, neque auxit nec perfecit scientiam usque tunc cumulatam, immo vero scientificam congeriem, in eo, quod ad numerandi rationem attinet, detorsit atque imminuit.

 Notae 

Categoria:Numeri