Relativitas generalis

Relativitas generalis, seu theoria relativitatis generalis, est theoria physica de vi gravitatis ab Alberto Einstein anno 1915 edita. Quae theoria theoriam relativitatis specialis Einsteinianam et theoriam gravitatis Newtonianam coniungit, adamussim considerando corporis motum e perspectiva ubi corporis acceleratio gravitatis causa est effectus flexionis spatio-temporalis.

Einstein, novam theoriam petens, in Principium Aequivalentiae et in geometria differentialis de superficiebus curvis maxime confisus est. Aequatio Einsteniana, quae curvaturam spatio-temporalem ad tensorem  energiae-motusque attribuit, patefacit clarissimum constantem  cosmologicum , qui sicut vacui energia interpretari potest.

Quamquam theoriae cum multis observationibus terrestialibus congruit, physici periti multum sollicitati sunt ob problemata de valore , deque possibili incongruentia cum observationibus subtilibus expansionis mundi universi, deque incongruentia cum theoria quantica.

 De limitibus theoriae Newtonianae 

 Quid Newtonus de sua lege sentiret 
Anno 1687, Isaacus Newtonus in libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica legem mathematicam de gravitatis vi inter corpora deduxit veram, omnia gyra planetarum circum solem adamussim explanans. Lex quam Newtonus deduxit ab legibus Keplerianis fuit:Raymond A. Serway et John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 6a ed. (Brooks/Cole, 2004). ISBN 0-534-40842-7.

ubi 

  est vis attractus in corpus 1 ob corpus 2,
 G est constans gravitatis quod valet vere ac 6.67 × 10-11 Nm²/kg²,
 m1 et m2 sunt massae corporum,
 r est intervallum inter media corpora, et
  est directio ad corpus 1 a corpore 2.

Newtonus autem ipse hanc legem credidit imperfectam, quod, secundum eam, vires gravitationales sine ulla mora per spatium translatae sunt.Scholium Generale: Philosophia Naturalis Principia Mathematica, Secunda Editio, anno 1713 

 De quanto precessio Mercurii a theoria discrepet 
Saecula duo haec theoria Newtoniana classica summa ratio fuit, usque ad annum 1859 cum astronomi patefecerunt discrepantiam inter precessionem perihelii Mercurii observatam et precessionem aequationibus Newtonianis computatam.Urbain Le Verrier "Theorie du Mouvement de Mercure" (195 pages, 17.6 MB) Discrepabant, ut tabula infera monstrat, solo circiter 43 arcus secundis rotationis in quoque saeculo. Anna M. Nobili & Clifford M. Will, The real value of Mercury's perihelion advance, Nature 320, 39 (1986); situs interretialis.

+ Causae precessionis perihelii Mercurii observatae a Tellure. Quantitas precessionis praecenta (arcus sec./saec.)  Causa   5025.6  Motus coordinatarum ob precessionem Telluris 531.4  Impulsus gravitationales aliorum planetarum 0.0254  Protuberantia in figura Solis 42.98±0.04  Relativitas generalis    Precessio Universa    Praecenta aut Observata 5600.0±0.2  Praecenta 5599.7±0.1  Observata

Nemo poterat suspicari discrepantiam tam parvulam esse indicium novae theoriae eam Newtonianam surrogaturae!

 De incongruentia cum principio relativitatis 
Nova relativitatis specialis theoria, ab Alberto Einstein anno 1905 prolata, multa experimenta explicavit, sed contraria erat theoriae gravitatis Newtonianae. Secundum relativitatis specialis principia:A. Einstein, The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field, Princeton: Princeton University Press, 1922
 Omnes vires infra lucis celeritatem movendae sunt, sed secundum theoriam Newtonianam vires gravitationales trans distantias inter corpora fiunt sine mora, quae res Newtonum ipsum multum sollicitabat; 
 Corporis massa a celeritate sua dependet, sed haec dependentia efficit ut magnitudo gravitatis, celeritate tantum mutans, principium relativitatis plene violet.
Quam ob rem Einstein novam theoriam gravitatis mox petiturus erat. Nova theoria relativitatis generalis ambo problemata solvit: omnes vires gravitationales celeritate lucis movent et magnitudo gravitatis tantum corporis celeritate mutat, ut principium relativitatis conservetur. Nova theoria quoque adamussim precessionis perihelii Mercurii discrepantiam explanavit.

 Principia relativitatis generalis 
 Principium aequivalentiae 
Einstein, novam theoriam petens, maxime confisus est in Principium Aequivalentiae, quae ad systemata coordinatorum spectat, in forma: 
 Physicae leges in gravitatis campo esse identicas legibus in systemate coordinatorum accelerato, 

quam postea Einstein dicit fuisse felicissimam cogitationem suae vitae.

Percepit Einstein quod, secundum hoc principium, cum lucis traiectoria est curva in rucheta accelerata, tam curva necesse est prope corpus massivum. Et, quod in rucheta omnes effectus ob accelerationem per coordinatorum transformationes dantur, possumus expectare omnes effectus prope corpus massivum ob gravitatem per coordinatorum mutationes dari.

Secundum principium relativitatis, non possumus per experimenta localia nostrum motum constantem detegere. Item, secundum principium aequivalentiae, non possumus distinguere inter motum constantem et motum libere cadendi. Ideo, quod libere cadendi status quodam transformationum coordinatorum effectu correspondet, necesse est quod omnes leges physicas sint covariantes sub coordinatorum transformationibus, id est ut legum forma sit immutabilis sub coordinatorum tranformationibus.

 De tensore metrico gravitate absente 
upright=1.5|thumb|Secundum theoriam relativitatis generalis, materia ipsa natura flectit spatium et tempus, unde est vis gravitatis. Difficilis est animo fictu flexio dimensionum trium, difficilior quattuor, ergo haec imago modo monstrat flexionem duarum.

Einstein, ad theoriam relativitatis generalis conficiendam, usus est theoria geometriae differentialis Bernardi Riemann et Caroli Gauss de superficiebus curvis. 

Hac in theoria per tensorem  metricum habemus intervallum differentiale quadratum

inter duo puncta  et . Habemus quoque contextu spatio-temporali gravitate absente  et 
.

Cum tensor  partes seu componentes habet quae a positione temporeque dependent, id est si , hoc significat spatium quattuor dimensionum, id est trium directionum ac temporis, deformatum est, sicut in figura supera videri potest.

 De tensore metrico prope corpus massivum irrotans 
Aequationes Einstenianas circum massivum corpus (massa M) irrotans sequentem solutionem habent, quae a Schwarzschild anno 1916 patefacta est,K. Schwarzschild, "Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik, 189 (1916); K. Schwarzschild, "Uber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technikm 424 (1916).

,

unde  est elementus anguli solidi infinitesimalis  et coordinatis polaribus .


Secundum hanc solutionem corpus quodlibet cuius radius est minor quam radius Schwarzschildianus 

in foramen nigrum transformatur.Anglice: black hole"On Massive Neutron Cores", J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, Physical Review 55, 374 (1939). Intra regionem radii Schwarzschildiani, tam curvum est continuum spatiotemporale, ut ne lux quidem ex interiore parte exire possit (haec est ratio nominis atri) et omnia quae in foramen nigrum cadant semper in eo loco perseverabunt.

 De motu geodaetico 
Secundum principium aequivalentiae, omnes leges physicae fundamentales oportet sic scribere, ut eae sub tranformationes coordinatorum immutabiles sint. Nobis non oportet leges fundamentales derivativo ordinario scribere, exempli gratia, quia, ob directiones cardinales mutantes, hic derivativus sub coordinatorum transformationes mutat.A. Einstein, The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field, Princeton: Princeton University Press, 1922 Ne leges mutentur, idoneus ad leges scribendas est derivativus covarians  vectoris  cuiusdam in superficie quadam, qui definitur ac
,
ubi quantitates Christofelae

describunt quo modo directiones cardinales mutant.

Cursus geodaeticus, in physica relativistica, dicitur ille cursus quem particula libere cadens sequitur. Est etiam cursum secundum superficiem quod inter duo puncta intervallum minimum accumulat. Quia principium aequivalentiae dicit liberi cadendi statum esse motui gravitate absente indistinguibilem, speramus 4-velocitas  sit constans secundum cursum et acceleratio covarians . Aequivalenter, supponiendo in definitione derivativi covariantis supera, obtinemus

,

quae formula dat corporis accelerationem, etiam integrando cursum geodaeticum, ob curvaturam spatio-temporalem.

 De curvatura spatio-temporali 
In geometria differentiali, curvatura spatio-temporalis per tensores derivatos a tensore  metrico quantificatur. Habemus igitur tensorem Riemannianum<ref name = "baez">[http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/ ``The Meaning of Einstein’s Equation], John C. Baez and Emory F. Bunn†, (2006).</ref> 

,


tensorem Riccianum

,

et curvaturam scalarem

.

Tensor Riemannianus fundamentalis dat quanto vector  quidam mutat vel torquetur postquam is circum rectangulum infinitesimale  transportatur, ut vector novus 
.
Idem tensor dat accelerationem  corporis 1 relativam positioni corporis 2 in statu libere cadendi

ubi  denotat 4-velocitas corporis i et  positionem corporis 2 corpori 1 relativam.

Ex hac accelerationis formula, significationem tensoris Ricciani respectu theoriae relativitatis possumus extrahere. Ad propositum, imaginamus multas particulas statu libere cadendi vel quiescentes, cuius velocitates  tempore  sunt identicae, in sphaera voluminis  infinitesimalis quadam circum corpus 1 sitas. Summando super omnibus positionibus  in sphaera et omnibus directionibus , obtinemus

ubi ultimo passo adsumimus particulas quiescentes esse, i.e. .  Possumus igitur intepretare tensorem Riccianum ut voluminis fluxionem, curvaturae spatio-temporalis causa, quae in casu particularum quiescentum formam simplissimam adsumit.

 De tensore energiae motusque 
In physica relativistica tensor energiae motusque  sic definitur ut 4-motus fluxio per aream A in directionem  correspondat

Hac definitione habemus

ubi
  est densitas energiae,
  est  densitas motus, et
  est pressio mechanica in directionem i,
  est contentio virium in superficie i in directionem k.

Pro liquore ideali inviscido qui calorem non conducit, possumus scribere
.

ut gravitate paene absente
,
et celeritate paene zeri
, 
habeamus

 Lex gravitatis Einsteiniana 

Secundum theoriam Einsteinianam, massa (sive energia), tensore  energiae motusque data, curvaturam spatio-temporalem efficit. Aequatio Einsteniana 
,
igitur curvaturam spatio-temporalem ad tensorem   attribuit, unde  est tensor Riccianus,  curvatura scalaris, et  clarissimus constans cosmologicus, qui sicut vacui energia interpretari potest. 

Ad hanc aequationem, Einstein modo per multa conata pervenit. Sine constante , Einstein mox repperit concentrationemErnestus Gotthold Struve D., Paradoxum chymicum sine igne, Ienae, 1715, apud Ernestum Claudium Bailliar, p. 55.  Libri Googles  massae energiaeque in mundo universo esse tam parvam, ut secundum suam aequationem continuum spatio-temporale assidue expanderet. Haec expansio autem ei apparuit tam absurda, ut in prima editione suae theoriae Einstein constantem  proprosuerit magnitudinem tantum habere ut expansionem adusque consistat. Et postea, cum Edwinus Hubble ex stellarum observationibus legem deduxit,A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae, E. Hubble, Proceedings of the National Academy of Sciences 15 (1929). quae continuum universum sic expandere sicut  dicit, Einstein funditus constantem reliquit, eam maximum erratum suae vitae dicens.G. Gamow, My World Line—An Informal Autobiography, Viking Press, New York (1970), p. 44. I thank Lawrence Krauss for this reference.; Vide etiam: https://web.archive.org/web/20071203030652/http://www.physicstoday.org/vol-58/iss-11/p31.html

Hodie observationes astronomicae monstrant  non posse excedere 10-46 km-2.Christopher S. Kochanek (August 1996). ""Is There a Cosmological Constant?"". The Astrophysical Journal 466 (2): 638-659.

 De interpretatione legis Einsteinianae 
Lex Einsteinana, 16 aequationes differentiales gradus secundi in se continens, est instricatissima legi Newtonianae composita. Quid lex significat?

Memoramus, cum particulae quiescentes quaedam tempore  volumen  complent, aequationem Riccianam

eorum voluminis fluxionem dare curvaturae causa. Aequationem Einsteinianam per  multiplicando, et , , et  supponendo, statim obtinemus
.
Aequationem igitur Einteinianam possumus rescribere

unde, supponendo etiam  et  et adsumendo omnem energiae densitatem  esse ob materiae densitatem , habemus
,
ultimo passo quoque adsumendo condicionem , quae fere semper tenet.

Lex Einsteiniana igitur possumus sic dicere: cum manus particularum quiescentum incipit libere cadere, eius volumen incipit decrescere secundum productum voluminis initialis et summae densitatis energiae in centro atque pressionum directiones x, y, et z versus.

 Quomodo legem Newtonianam ex Einsteiniana derivare 
Quod lex Einsteinana haud modo apparet legi Newtonianae similis, nobis oportet etiam investigare quomodo legem Newtoniana e lege Einsteiniana derivare. 

Ex aequatione, quae volumen perditum propter massam terrestrem  dat,
,
possumus aequationem Newtonianam continuo potiri, quia, quoniam  adsumimus, bis integrando obtinemus, post tempus ,
.

Etiam, quoniam distantia  radium terrestrem  excedens volumen  complectitur, simul habemus
,
ut, quoniam , comparando obtinamus 
, 
eam quae erat demonstanda: formulam accelerationis Newtonianam.

 Status theoriae hodie respectu observationibus 

 Quid stellae pulsantes patefaciant 

 Quid galaxiae patefaciant 

 Quid expansio mundi universi patefaciat 

 Ad theoriam gravitatis quanticam 
Quamvis theoria relativitatis generalis accurate phaenomena ad gravitatis vim pertinentia describit, physici relativitatem generalem cum mechanica quantica coniungere maxime volunt, quia notum est circa longitudinem Planckianam effectus quanticos ob gravitatis vim non ignorandos esse. Theoria chordarum est nostri theoria temporis quae has duas claras theorias optime coniungat, sed non plane confecta est, atque nondum experimentorum confirmationem habet. In hac descriptione vis gravitatis ex particularum minimarum gravitonorum permutationibus nascitur, quemadmodum theoria camporum quanticorum corporum attractiones describere solet, e.g., attractio electrica corporum onus electricum habentium in se mutuo ex photonorum permutationibus fiat.

Quamquam ab experimentis multis constantem cosmologicam esse minimam comprobatur, theoria camporum quanticorum illam esse permagnam praevidet, plus quam  magnitudinis ab experimentis mensuratae. Nunquam aliqua theoria tam longe ab experimentis veritatibus absit et usque ad hodie hoc constantis cosmologicae problema non solutum est. Hoc autem problema supersymmetria minuit (discrepantia est circa  post supersymmetriae fracturam), sed id non solvit.

 Hodiernus theoriae status 
Relativitas generalis facta est mirifice prosperum gravitationis cosmologiaeque exemplar, quod hactenus omne observationis experimentique examen certum probavit; nihilominus, sunt clarae indicationes theoriae imperfectae.Cf. ; . Quaestiones gravitatis quanti et realitatis singularitatum spatiotemporis apertae manent.Vide sectionem Relativitas generalis#Gravitas quanti supra.  Abhinc annos plusquam nonaginta divulgata, relativitas generalis exstat fertilissimus investigationis campus.A good starting point for a snapshot of present-day research in relativity is the electronic review journal Living Reviews in Relativity.

 Albertus Einstein
 E=mc²
 Fragor Maximus
 Gravitas (physica)
 Foramen nigrum
 Iter transtemporale
 Relativitas specialis
 Singularitas nuda
 Spatium Calabi-Yau
 Theoria Chordarum

 Notae 

 Bibliographia 
 Carroll, Sean M. 2004. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3. http://spacetimeandgeometry.net/.
 Dirac, P. A. M. 1975. General Theory of Relativity. Princeton: Princeton University Press.
 Einstein, Albert, H. A. Lorentz, H. Weyl, et H. Minkowski. 1952. The Principle of Relativity. A W. Perrett et G. G. Jeffery conversus. Toronti: Dover Publications.
 Einstein, Albert. 1922. The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field. Princeton: Princeton University Press.
 Grøn, Øyvind, et Sigbjørn Hervik. 2007. Einstein's General Theory of Relativity. Novi Eboraci: Springer. ISBN 978-0-387-69199-2.
 Landau, Lev D., et Evgeny F. Lifshitz. 1980. The Classical Theory of Fields. 4a ed. Londini: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
 Misner, Charles W., Kip S. Thorne, Kip. S., et John A. Wheeler. 1973. Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
 Praecepta de relativitate generali comparata a Ioanne Baez, Ph.D., professore physicae.
 Stephani, Hans. 1990. General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.
 Wald, Robert M. 1984. General Relativity. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.
 Weinberg, Steven. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Novi Eboraci: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.

Libri populares
 Geroch, Robert. 1981. General Relativity from A to B. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-28864-1.
 Lieber, Lillian. 2008. The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension. Philadelphia: Paul Dry Books, Inc. ISBN 978-1-58988-044-3.
 Wald, Robert M. 1992. Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87029-4.

Libri pro scholis scripti
 Callahan, James J. 2000. The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity. Novi Eboraci: Springer, ISBN 0-387-98641-3.
 Taylor, Edwin F., et John Archibald Wheeler. 2000. Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison Wesley. ISBN 0-201-38423-X.

Libri pro collegiis et universitatibus scripti 
 Cheng, Ta-Pei. 2005. Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction. Oxoniae et Novi Eboraci: Oxford University Press. ISBN 0-19-852957-0.
 Gron, O., et S. Hervik. 2007. Einstein's General theory of Relativity. Springer. ISBN 978-0-387-69199-2.
 Hartle, James B. 2003. Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8662-9.
 Hughston, L. P., et K. P. Tod. 1991. Introduction to General Relativity. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33943-X.
 d'Inverno, Ray. 1992. Introducing Einstein's Relativity. Oxoniae: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3.
 Schutz, B. F. 2009. A First Course in General Relativity.'' Ed. 2a. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88705-2.

Categoria:Physica
Categoria:Theoria gravitationis