펄스 압축

펄스 압축()은 펄스 길이가 제한될 때 거리 분해능을 높이거나, 송신 신호의 첨두 전력과 대역폭(또는 거리 분해능)이 제한될 때 신호 대 잡음비를 높이기 위해 레이더, 소나 및 에코그래피에서 흔히 사용되는 신호 처리 기술이다. 이는 송신 펄스를 변조한 다음, 수신된 신호를 송신 펄스와 교차상관시킴으로써 달성된다.J. R. Klauder, A. C, Price, S. Darlington and W. J. Albersheim, ‘The Theory and Design of Chirp Radars,” Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).

 단순 펄스 
 신호 설명 
역사적으로 최초이자 가장 단순한 형태의 레이더 또는 소나 신호 모델은 진폭 와 반송파 주파수 를 가진 절단된 정현파 펄스(CW—연속파—펄스라고도 함)이며, 이는 너비 의 구형함수에 의해 절단된다. 펄스는 주기적으로 송신되지만 이 문서의 주요 주제는 아니므로 단일 펄스 만 고려한다. 펄스가 시간 에 시작한다고 가정하면, 복소수 표기법을 사용하여 다음과 같이 신호를 쓸 수 있다.

 거리 분해능 
이러한 신호로 얻을 수 있는 거리 분해능을 결정해 보자. 수신 신호 는 원래 송신된 신호의 감쇠되고 시간 지연된 복사본이다(실제로는 도플러 효과도 영향을 줄 수 있지만 여기서는 중요하지 않다). 또한 허수 및 실수 채널 모두에 잡음이 존재한다. 잡음은 대역 제한적이라고 가정하며, 즉 주파수가  범위에만 있다고 가정한다(이는 일반적으로 수신단의 초기 단계 중 하나로 대역 통과 필터를 사용하는 실제 상황에서 성립한다). 이 잡음을 라고 쓴다. 들어오는 신호를 탐지하기 위해 일반적으로 정합 필터가 사용된다. 이 방법은 정규 분포를 가진 가산 잡음 중에서 알려진 신호를 탐지할 때 최적이다.

다시 말해, 수신 신호와 송신 신호의 교차상관을 계산한다. 이는 들어오는 신호를 송신 신호의 공액 및 시간 반전 버전과 컨볼루션함으로써 수행된다. 이 연산은 소프트웨어 또는 하드웨어로 수행할 수 있다. 이 교차상관을 라고 쓰면 다음과 같다.

반사된 신호가 시간 에 수신기로 돌아오고 인자 만큼 감쇠되었다면 다음과 같다.

송신 신호를 알고 있으므로 다음을 얻는다.

여기서 는 잡음과 송신 신호 간의 상호상관 결과이다. 함수 는 삼각형 함수로, 에서 0의 값을 가지며, 에서 선형적으로 증가하여 최댓값 1에 도달하고, 에서 다시 0에 도달할 때까지 선형적으로 감소한다. 이 단락 끝의 그림은 샘플 신호(빨간색)에 대한 상호상관 형태를 보여준다. 이 경우 지속 시간 초, 단위 진폭, 주파수 헤르츠인 실제 절단된 사인파이다. 두 개의 에코(파란색)가 각각 3초와 5초의 지연과 송신 펄스 진폭의 0.5배 및 0.3배에 해당하는 진폭으로 돌아온다. 이는 예시를 위한 임의의 값이다. 신호가 실수이므로 상호상관은 추가적인  인자로 가중치가 부여된다.

두 펄스가 (거의) 동시에 돌아오면 상호상관은 두 기본 신호의 상호상관의 합과 같다. 한 "삼각형" 포락선을 다른 펄스의 포락선과 구별하기 위해서는, 두 펄스의 도달 시간이 최소한 만큼 떨어져 있어야 두 펄스의 최댓값을 분리할 수 있음이 명확히 보인다. 이 조건이 충족되지 않으면 두 삼각형이 섞여서 분리할 수 없게 된다.

파동이  동안 이동한 거리는 이고(여기서 c는 매질에서의 파동 속도), 이 거리는 왕복 시간에 해당하므로 다음과 같다.

 결과 1 정현파 펄스의 거리 분해능은 이다. 여기서 는 펄스 지속 시간이고, 는 파동의 속도이다.

결론: 분해능을 높이려면 펄스 길이를 줄여야 한다.



+ 예시 (단순 임펄스): 빨간색은 송신 신호(반송파 10헤르츠, 진폭 1, 지속 시간 1초) 및 두 개의 에코(파란색). 정합 필터링 전 정합 필터링 후섬네일|300px|표적이 충분히 떨어져 있으면... 섬네일|300px|...에코를 구별할 수 있다. 섬네일|300px|표적이 너무 가까우면... 섬네일|303|...에코가 서로 섞인다.

 수신 신호의 에너지와 신호 대 잡음비 
수신된 펄스의 순시 전력은 이다. 해당 신호에 투입된 에너지는 다음과 같다.

가 신호와 동일한 대역폭을 갖는다고 가정된 잡음의 표준 편차라면, 수신기의 신호 대 잡음비(SNR)는 다음과 같다.

다른 매개변수가 일정할 때 SNR은 펄스 지속 시간 에 비례한다. 이는 트레이드오프를 발생시킨다. 를 늘리면 SNR은 향상되지만 분해능은 감소하며, 그 반대도 마찬가지다.

 선형 주파수 변조(또는 처핑)에 의한 펄스 압축 

 기본 원리 
분해능을 떨어뜨리지 않으면서 (수신기에서 양호한 SNR을 유지할 수 있도록) 충분히 긴 펄스를 가질 방법은 없을까? 여기서 펄스 압축이 등장한다. 기본 원리는 다음과 같다.
 에너지 예산이 적절하도록 충분히 긴 길이의 신호를 송신한다.
 정합 필터링 후 상호상관된 신호의 너비가 위에서 설명한 표준 정현파 펄스로 얻은 너비보다 작아지도록 이 신호를 설계한다(이 기술의 이름이 펄스 압축인 이유이다).

레이더 또는 소나 응용 분야에서 선형 처프는 펄스 압축을 달성하는 데 가장 전형적으로 사용되는 신호이다. 펄스의 길이가 유한하므로 진폭은 구형함수이다. 송신 신호의 지속 시간이 이고, 에서 시작하며 반송파 를 중심으로 주파수 대역 를 선형적으로 스윕하는 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

위의 처프 정의는 처프 신호의 위상(즉, 복소 지수의 인수)이 다음과 같은 이차식임을 의미한다.

따라서 순시 주파수는 (정의에 의해) 다음과 같다.

이는 에서의 에서 에서의 로 가는 의도된 선형 램프이다.

위상과 주파수의 관계는 종종 반대 방향으로 사용되는데, 원하는 에서 시작하여 주파수 적분을 통해 처프 위상을 작성한다.

이 송신 신호는 일반적으로 표적에 의해 반사되어 다양한 원인으로 인한 감쇠를 겪으므로, 수신 신호는 송신 신호의 시간 지연 및 감쇠된 버전과  대역에서 일정한 전력 스펙트럼 밀도를 갖고 그 외에는 0인 가산 잡음의 합이다.

 송신 신호와 수신 신호 간의 교차상관 
이제 송신 신호와 수신 신호의 상관관계를 계산해 본다. 이를 위해 두 가지 조치를 취한다.

- 첫 번째 조치는 단순화이다. 교차상관을 계산하는 대신 자기상관을 계산하는데, 이는 자기상관 피크가 0에 중심을 둔다고 가정하는 것과 같다. 이는 분해능과 진폭을 바꾸지 않으면서 수학적 계산을 단순화한다.

- 두 번째 조치는 아래에 표시된 것처럼 기준 신호의 진폭을 1이 아닌 로 설정하는 것이다. 상수 는 상관관계를 통해 에너지가 보존되도록 결정된다.

이제 에 대한 의 상관 함수는 다음과 같음을 보일 수 있다.Achim Hein, Processing of SAR Data: Fundamentals, Signal Processing, Interferometry, Springer, 2004, , pages 38 to 44. Very rigorous demonstration of the autocorrelation function of a chirp. The author works with real chirps, hence the factor of  in his book, which is not used here.

여기서 는 기준 신호와 수신된 잡음의 상관관계이다.

 상관 후 신호의 너비 
잡음이 0이라고 가정하면 의 자기상관 함수의 최댓값은 0에서 도달한다. 0 근처에서 이 함수는 여기서 로 정의된 sinc(또는 싱크 함수) 항처럼 동작한다. 해당 싱크 함수의 −3 dB 시간적 너비는 대략 과 같다. 모든 과정은 마치 정합 필터링 후 지속 시간 의 단순 펄스로 도달했을 분해능을 가진 것처럼 일어난다. 의 일반적인 값에 대해 는 보다 작으므로 펄스 압축이라는 이름이 붙었다.

싱크 함수는 성가신 사이드로브를 가질 수 있으므로, 결과를 창 함수(해밍, 한 등)로 필터링하는 것이 일반적인 관행이다. 실제로 이는 기준 처프에 필터를 곱하여 적응 필터링과 동시에 수행될 수 있다. 결과는 최대 진폭이 약간 낮은 신호가 되지만, 더 중요한 사이드로브는 필터링되어 제거된다.

 결과 2 대역폭 에서 펄스의 선형 주파수 변조로 도달할 수 있는 거리 분해능은 다음과 같다.  (여기서 는 파동의 속도).

 정의 비율 를 펄스 압축비라고 한다. 이는 일반적으로 1보다 크다(보통 20에서 30 사이의 값을 갖는다).

+ 예시(처프 펄스): 빨간색은 송신 신호(반송파 10헤르츠, 16헤르츠 변조, 진폭 1, 지속 시간 1초) 및 두 개의 에코(파란색). 섬네일|290px|정합 필터링 전: 에코가 길고 진폭이 낮음 섬네일|290px|정합 필터링 후: 에코가 시간적으로 더 짧아지고 첨두 전력이 더 높아짐

 상관 후 에너지 및 첨두 전력 
기준 신호 가 항 를 사용하여 올바르게 스케일링되면 상관 전후의 에너지를 보존할 수 있다. 상관 전의 첨두(및 평균) 전력은 다음과 같다.

압축 전에는 펄스가 박스 모양이므로 상관 전의 에너지는 다음과 같다.

상관 후의 첨두 전력은 에서 도달한다.

만약 이면 이 첨두 전력은 상관 전 수신 신호의 에너지이며, 이는 예상과 같다.
압축 후 펄스는  함수의 전형적인 너비인 와 같은 너비를 가진 박스로 근사화되므로, 상관 후의 에너지는 다음과 같다.

에너지가 보존된다면:

... 이에 따라 가 되며 상관 후의 첨두 전력은 다음과 같다.

결론적으로, 펄스 압축된 신호의 첨두 전력은 원시 수신 신호 전력의 배이다(템플릿 가 상관을 통해 에너지를 보존하도록 올바르게 스케일링되었다고 가정할 때).

 상관 후 신호 대 잡음 이득 

섬네일|500px|펄스 압축 후 처프 펄스와 더 짧은 CW 펄스 사이의 등가성. 에너지는 파란색 곡선 아래의 면적(시간 도메인)이고, 전력은 빨간색 곡선 아래의 면적(스펙트럼 도메인)이다.

위에서 보았듯이 에너지는 펄스 압축 중에 변하지 않는다. 그러나 이제 에너지는 너비가 약 인 싱크 함수의 주엽에 위치한다. 가 압축 전 신호의 전력이고 가 압축 후 신호의 전력이라면, 에너지 는 보존되므로 다음과 같다.

이는 펄스 압축 후 전력의 증가를 가져온다.

스펙트럼 도메인에서 처프의 전력 스펙트럼은 구간 에서 거의 일정한 스펙트럼 밀도 를 갖고 그 외에는 0이므로, 에너지는 등가적으로 로 표현된다. 이 스펙트럼 밀도는 정합 필터링 후에도 동일하게 유지된다.

이제 지속 시간 이고 입력 전력이 동일한 등가의 정현파(CW) 펄스를 상상해 보면, 이 등가 정현파 펄스는 다음과 같은 에너지를 갖는다.

정합 필터링 후, 등가 정현파 펄스는 원래 너비의 두 배이지만 동일한 첨두 전력을 갖는 삼각형 모양의 신호로 변한다. 에너지는 보존된다. 스펙트럼 도메인은 인 구간 에서 거의 일정한 스펙트럼 밀도 로 근사화된다. 에너지 보존을 통해 다음을 얻는다.

정의에 의해 이므로 가 된다. 이는 처프 펄스의 스펙트럼 밀도와 등가 CW 펄스의 스펙트럼 밀도가 거의 동일하며, 에서의 대역 통과 필터의 밀도와 동일함을 의미한다. 상관의 필터링 효과는 잡음에도 작용하며, 이는 잡음에 대한 기준 대역이 임을 의미하고 이므로 상관 후 두 경우 모두 잡음에 대해 동일한 필터링 효과를 얻는다. 이는 펄스 압축의 순 효과가 등가 CW 펄스와 비교할 때, 신호는 증폭되지만 잡음은 증폭되지 않기 때문에 신호 대 잡음비(SNR)가  인자만큼 향상되었음을 의미한다.

결과적으로:

 결과 3 펄스 압축 후 신호 대 잡음비는 지속 시간 이고 압축 전 처프 변조 신호와 진폭이 동일한 연속파 펄스의 기준 상황과 비교하여 만큼 증폭된 것으로 간주될 수 있다. 여기서 수신 신호와 잡음은 (암시적으로)  대역에서 대역 통과 필터링을 거쳤다. 이 추가 이득은 레이더 방정식에 대입될 수 있다.

+ 예시: 위와 동일한 신호에 대역 통과 필터링을 거친 가산 백색 가우시안 잡음을 추가함(필터링 후 실수의 표준 편차: 0.125). 상관 후 잡음의 전력은 변하지 않는다. 신호 자체는 이론에서 예측한 대로 4배(전력으로는 16배) 증폭된다.섬네일|365px|정합 필터링 전: 신호가 잡음에 숨겨져 있음 섬네일|295px|정합 필터링 후: 에코가 보이게 됨

기술적인 이유로 상관이 실제 수신된 CW 펄스에 대해서는 처프 펄스에서처럼 반드시 수행되는 것은 아니다. 그러나 기저 대역 이동 중에 신호는  대역에서 대역 통과 필터링을 거치며, 이는 상관과 잡음에 대해 동일한 순 효과를 가지므로 전체적인 논리는 동일하게 유지된다(즉, SNR은 주어진 대역폭, 여기서는 신호의 대역폭에서 정의된 잡음에 대해서만 의미가 있다).

이러한 SNR 이득은 마법처럼 보이지만, 전력 스펙트럼 밀도가 신호의 위상을 나타내지 않는다는 점을 기억해야 한다. 실제로는 등가 CW 펄스, 상관 후의 CW 펄스, 원래의 처프 펄스, 상관된 처프 펄스의 위상이 모두 다르며, 이는 모든 경우에서 (거의) 동일한 전력 스펙트럼을 가짐에도 불구하고 신호의 모양(특히 다양한 길이)이 다른 이유를 설명한다. 피크 송신 전력 와 대역폭 가 제한된 경우, 펄스 압축은 동일한 첨두 전력 와 대역폭 를 가진 등가 CW 펄스와 비교하여 더 긴 펄스(즉, 더 많은 에너지)를 송신하고 상관을 통해 펄스를 짬으로써 더 나은 첨두 전력(그러나 동일한 분해능)을 달성한다. 이는 상관 후 원래 신호보다 좁은 피크와 낮은 사이드로브를 갖는 제한된 수의 신호 유형에 대해 가장 잘 작동한다.

 스트레치 처리 
펄스 압축은 양호한 SNR과 미세한 거리 분해능을 동시에 보장할 수 있지만, 파형의 높은 순시 대역폭(가 수백 메가헤르츠 또는 심지어 1 GHz를 초과할 수 있음) 때문에 이러한 시스템에서 디지털 신호 처리를 구현하는 것이 어려울 수 있다.
스트레치 처리(Stretch Processing)는 광대역 처프 파형의 정합 필터링을 위한 기술이며, 상대적으로 짧은 거리 구간에서 매우 미세한 거리 분해능을 추구하는 응용 분야에 적합하다.Richards, Mark A. 2014. Fundamentals of radar signal processing. New York [etc.]: McGraw-Hill Education.
섬네일|center|스트레치 처리
위 그림은 스트레치 처리를 분석하기 위한 시나리오를 보여준다. 중앙 기준점(CRP)은 관심 있는 거리 창의 중간인 에 위치하며, 이는 시간 지연 에 해당한다.

송신 파형이 처프 파형인 경우:

거리 에 있는 표적의 에코는 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 는 산란체의 반사율에 비례한다.
그런 다음 에코에 를 곱하면 에코는 다음과 같이 된다.

여기서 는 공기 중 전자기파의 파장이다.

y(t)에 대해 샘플링과 이산 푸리에 변환을 수행한 후 정현파 주파수 를 구할 수 있다.

차이 거리 는 다음과 같이 얻을 수 있다.

y(t)의 대역폭이 원래 신호 대역폭 보다 작음을 보이기 위해 거리 창의 길이가 라고 가정한다. 표적이 거리 창의 하한에 있으면 에코는 송신 후 초 후에 도착하고, 마찬가지로 표적이 거리 창의 상한에 있으면 에코는 송신 후 초 후에 도착한다.
각 경우의 차이 도착 시간 는 각각 와 이다.

거리 창의 하한과 상한에 있는 표적에 대한 정현파 주파수의 차이를 고려하여 대역폭을 얻을 수 있다.

결과적으로:

 결과 4 스트레치 처리를 통해 수신기 출력의 대역폭은 인 경우 원래 신호 대역폭보다 작아지므로 선형 주파수 변조 레이더 시스템에서 DSP 시스템의 구현이 용이해진다.

스트레치 처리가 거리 분해능을 보존한다는 것을 입증하기 위해, y(t)가 실제로는 펄스 지속 시간 T와 주기 (송신 펄스 열의 주기와 동일함)를 가진 임펄스 열임을 이해해야 한다. 그 결과 y(t)의 푸리에 변환은 실제로는 레일리 분해능 을 갖는 싱크 함수가 된다. 즉, 프로세서는 가 최소한 만큼 떨어진 산란체를 분해할 수 있다.

따라서,

이고,

이는 원래 선형 주파수 변조 파형의 분해능과 동일하다.

 계단식 주파수 파형 
스트레치 처리는 수신된 기저 대역 신호의 대역폭을 줄일 수 있지만, RF 프런트엔드 회로의 모든 아날로그 부품은 여전히 의 순시 대역폭을 지원할 수 있어야 한다. 또한 처프 신호의 주파수 스윕 중에 전자기파의 실효 파장이 변하므로 위상배열 시스템에서는 안테나 가시 방향이 불가피하게 변하게 된다.

계단식 주파수 파형(Stepped-frequency waveforms)은 넓은 순시 대역폭 없이 수신 신호의 미세한 거리 분해능과 SNR을 보존할 수 있는 대안적인 기술이다. 단일 펄스에서 총 대역폭 에 걸쳐 선형적으로 스윕하는 처프 파형과 달리, 계단식 주파수 파형은 각 펄스의 주파수가 이전 펄스보다 만큼 증가하는 임펄스 열을 사용한다. 기저 대역 신호는 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 는 길이 의 직사각형 임펄스이고 M은 단일 펄스 열의 펄스 수이다. 파형의 총 대역폭은 여전히 와 같지만, 펄스 사이의 시간 동안 아날로그 부품을 다음 펄스의 주파수를 지원하도록 재설정할 수 있다. 결과적으로 위에서 언급한 문제를 피할 수 있다.

지연 에 해당하는 표적의 거리를 계산하기 위해 개별 펄스는 단순 펄스 정합 필터를 통해 처리된다.

정합 필터의 출력은 다음과 같다.

여기서

만약 를 에서 샘플링하면 다음을 얻을 수 있다.

여기서 l은 거리 빈 l을 의미한다.
DTFT(여기서 m은 시간 역할)를 수행하면 다음을 얻을 수 있다.

합산의 피크는 일 때 발생한다.

결과적으로 의 DTFT는 거리 빈 지연 에 대한 표적 지연의 척도를 제공한다.

차이 거리는 다음과 같이 얻을 수 있다.

여기서 c는 빛의 속도이다.

계단식 주파수 파형이 거리 분해능을 보존함을 보이기 위해, 가 싱크와 유사한 함수이므로 의 레일리 분해능을 가짐에 유의해야 한다. 결과적으로:

따라서 차이 거리 분해능은 다음과 같다.

이는 원래의 선형 주파수 변조 파형의 분해능과 동일하다.

 위상 코딩에 의한 펄스 압축 

신호를 변조하는 다른 수단이 있다. 위상 변조는 흔히 사용되는 기술로, 이 경우 펄스는  지속 시간의 개 시간 슬롯으로 나뉘며 각 슬롯의 위상은 미리 설정된 규칙에 따라 선택된다. 예를 들어, 일부 시간 슬롯에서는 위상을 변경하지 않고(신호를 그대로 둠) 다른 슬롯에서는 신호의 위상을 만큼 위상차를 두는(신호의 부호를 바꾸는 것과 동일함) 것이 가능하다. 이를 이진 위상 편이 변조라고 한다.  위상 시퀀스를 선택하는 정밀한 방법은 바커 코드로 알려진 기술에 따라 수행될 수 있다.

바커 코드의 장점J.-P. Hardange, P. Lacomme, J.-C. Marchais, Radars aéroportés et spatiaux, Masson, Paris, 1995, , page 104. Available in English:  Air and Spaceborne Radar Systems: an introduction, Institute of Electrical Engineers, 2001, 은 단순성(위에서 언급했듯이  위상차는 단순한 부호 변경임)이지만, 펄스 압축비가 처프의 경우보다 낮고, 도플러 효과로 인한 주파수 변화가 보다 크면 압축이 매우 민감하게 반응한다.

다른 의사 난수 이진 시퀀스들도 자기상관 피크가 매우 좁기 때문에 골드 코드, JPL 코드 또는 카사미 코드와 같이 거의 최적의 펄스 압축 특성을 갖는다. 이러한 시퀀스들은 예를 들어 GNSS 위치 확인에 적합하게 만드는 다른 흥미로운 특성들을 가지고 있다.

두 개 이상의 위상으로 시퀀스를 코딩하는 것도 가능하다(다상 코딩). 선형 처프와 마찬가지로 펄스 압축은 상호상관을 통해 달성된다.

 같이 보기 
 연속파 레이더
 분산 스펙트럼
 처프 압축

 각주 

 추가 읽기 
 Nadav Levanon, and Eli Mozeson. Radar signals. Wiley. com, 2004.
 Hao He, Jian Li, and Petre Stoica. Waveform design for active sensing systems: a computational approach. Cambridge University Press, 2012.
 M. Soltanalian. Signal Design for Active Sensing and Communications. Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology (printed by Elanders Sverige AB), 2014.
 Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
 Fulvio Gini, Antonio De Maio, and Lee Patton, eds. Waveform design and diversity for advanced radar systems. Institution of engineering and technology, 2012.
 John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis, and Muralidhar Rangaswamy. "Phase-coded waveforms and their design." IEEE Signal Processing Magazine, 26.1 (2009): 22-31.
 Ducoff, Michael R., and Byron W. Tietjen. "Pulse compression radar." Radar Handbook (2008): 8-3.

분류:신호 처리