준성분

일반위상수학에서, 위상 공간의 점의 준성분()은 이 점을 포함하는 모든 열린닫힌집합들의 교집합이다.

 정의 
위상 공간 의 점 의 준성분 는 를 포함하는 의 모든 열린닫힌집합들의 교집합이다.

 성질 
준성분은 항상 닫힌집합이며, 서로 다른 점의 준성분들은 일치하거나 만나지 않는다. 즉, 준성분들은 위상 공간을 분할한다.

곱공간

의 점 의 준성분은 각 좌표의 준성분의 곱이다.

 연결 성분과의 관계 
위상 공간 의 점 의 준성분은 의 연결 성분을 포함한다.

콤팩트 하우스도르프 공간 또는 국소 연결 공간 의 경우, 준성분은 연결 공간이다. 즉, 준성분과 연결 성분은 일치한다.

국소 연결 공간의 경우, 모든 연결 성분이 열린닫힌집합이므로 자명하다.

이제 콤팩트 하우스도르프 공간  및 에 대하여 가 항상 연결 공간임을 보이자. 이를 위해, 서로소 닫힌집합 가

을 만족시킨다고 가정하자. 모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이므로,

인 서로소 열린집합 가 존재한다. 특히, 이다. 의 정의와 의 콤팩트성에 따라,

인 유한 개의 열린닫힌집합 가 존재한다.

로 적자. 그렇다면

이다. 즉, 는 열린닫힌집합이다. 의 정의에 따라 이며, 따라서 이다. 즉, 는 연결 공간이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:일반위상수학