뤼드베리 원자

섬네일|오른쪽|300px|그림 2: 원자 리튬의 에너지 준위. 첫 번째 이온화 에너지로 수렴하는 궤도 각운동량의 가장 낮은 3개 값에 대한 뤼드베리 계열을 보여준다.

뤼드베리 원자()는 하나 이상의 전자가 매우 높은 주양자수 n을 가진 들뜬 상태의 원자이다. n의 값이 높을수록 전자는 원자핵에서 평균적으로 더 멀리 떨어진다. 뤼드베리 원자는 전기장 및 자기장에 대한 과장된 반응, 긴 붕괴 기간, 그리고 어떤 조건하에서 원자핵 주위 전자의 고전적 궤도와 유사한 전자 파동 함수를 포함한 여러 특이한 성질을 가지고 있다. 핵심부 전자들은 바깥쪽 전자를 원자핵의 전기장으로부터 차폐하여, 멀리서 볼 때 전위가 수소 원자의 전자가 경험하는 것과 동일하게 보이게 한다.

 공식화 
결점에도 불구하고, 원자의 보어 모형은 이러한 특성을 설명하는 데 유용하다. 고전적으로 전하가 +e인 수소 원자핵 주위에서 반지름 r인 원 궤도를 도는 전자는 뉴턴의 제2법칙을 따른다.

여기서 k = 1/(4πε0)이다.

궤도 모멘텀은 ħ 단위로 양자화된다.

.

이 두 식을 결합하면 주양자수 n에 대한 궤도 반지름에 대한 닐스 보어의 표현식이 도출된다.

이제 왜 뤼드베리 원자가 그러한 특이한 성질을 갖는지 분명해진다. 궤도 반지름은 n2에 비례하여 커지며(수소의 n = 137 상태는 원자 반지름이 약 1 μm에 달한다), 기하학적 단면적은 n4에 비례한다. 따라서 뤼드베리 원자는 매우 거대하며, 느슨하게 결합된 원자가 전자를 가지고 있어 충돌이나 외부 장에 의해 쉽게 교란되거나 이온화된다.

뤼드베리 전자의 결합 에너지는 1/r에 비례하므로 1/n2처럼 감소하기 때문에, 에너지 준위 간격은 1/n3처럼 감소하여 첫 번째 이온화 에너지로 수렴하면서 점점 더 조밀하게 배치된 준위들로 이어진다. 이 조밀하게 배치된 뤼드베리 상태들은 흔히 뤼드베리 계열이라 불리는 것을 형성한다. 그림 2는 리튬에서 궤도 각운동량의 가장 낮은 세 값에 대한 에너지 준위의 일부를 보여준다.

 역사 
뤼드베리 계열의 존재는 1885년 요한 발머가 원자 수소의 전이와 관련된 빛의 파장에 대한 단순한 경험적 공식을 발견했을 때 처음 입증되었다. 3년 후, 스웨덴의 물리학자 요한네스 뤼드베리는 뤼드베리 공식으로 알려지게 된 발머 공식의 일반화되고 더 직관적인 버전을 제시했다. 이 공식은 유한한 한계로 수렴하며 점점 더 조밀하게 배치된 이산적인 에너지 준위의 무한 계열이 존재함을 나타냈다.

이 계열은 1913년 닐스 보어가 각운동량의 양자화된 값이 관찰된 이산적 에너지 준위로 이어진다는 수소 원자의 반고전적 모형으로 질적으로 설명되었다. 관찰된 스펙트럼의 완전한 정량적 유도는 베르너 하이젠베르크 등에 의한 양자역학의 발전 이후 1926년 볼프강 파울리에 의해 이루어졌다.

 생성 방법 
수소형 원자의 유일하게 진정한 안정 상태는 n = 1인 바닥 상태이다. 뤼드베리 상태를 연구하려면 바닥 상태의 원자를 큰 n 값을 가진 상태로 들뜨게 하는 신뢰할 수 있는 기술이 필요하다.

 전자 충격 들뜸 
뤼드베리 원자에 대한 많은 초기 실험 연구는 바닥 상태 원자에 입사하는 빠른 전자의 조준된 빔을 사용하는 것에 의존했다. 비탄성 산란 과정은 전자의 운동 에너지를 사용하여 원자의 내부 에너지를 증가시켜 많은 고에너지 뤼드베리 상태를 포함한 광범위한 상태로 들뜨게 할 수 있다.

전자는 초기 운동 에너지의 임의의 양을 유지할 수 있기 때문에, 이 과정은 서로 다른 에너지를 가진 넓은 분포의 모집단을 생성한다.

 전하 교환 들뜸 
초기 뤼드베리 원자 실험의 또 다른 주요 수단은 이온 빔과 다른 종의 중성 원자 집단 사이의 전하 교환에 의존하여 고도로 들뜬 원자 빔을 형성하는 것이었다.

마찬가지로 상호작용의 운동 에너지가 구성 요소들의 최종 내부 에너지에 기여할 수 있으므로, 이 기술은 광범위한 에너지 준위를 채운다.

 광학적 들뜸 
1970년대 가변 파장 색소 레이저의 등장은 들뜬 원자 집단에 대해 훨씬 더 높은 수준의 제어를 가능하게 했다. 광학적 들뜸에서 입사 광자는 표적 원자에 흡수되어 정확한 최종 상태 에너지를 생성한다. 따라서 단일 상태의 단일 에너지 뤼드베리 원자 집단을 생성하는 문제는 레이저 출력 주파수를 정밀하게 제어하는 다소 단순한 문제가 된다.

이러한 형태의 직접적인 광학적 들뜸은 일반적으로 알칼리 금속을 사용한 실험으로 제한되는데, 이는 다른 종의 바닥 상태 결합 에너지가 일반적으로 대부분의 레이저 시스템으로 접근하기에는 너무 높기 때문이다.

원자가 전자 결합 에너지가 큰(큰 첫 번째 이온화 에너지와 동일) 원자의 경우, 뤼드베리 계열의 들뜬 상태는 기존 레이저 시스템으로 접근할 수 없다. 초기 충돌 들뜸이 부족한 에너지를 보충하여 광학적 들뜸이 최종 상태를 선택하는 데 사용될 수 있게 한다. 초기 단계가 광범위한 중간 상태로 들뜨게 하더라도, 광학적 들뜸 과정에 내재된 정밀도는 레이저 광이 특정 상태에 있는 특정 원자 부분집합하고만 상호작용하여 선택된 최종 상태로 들뜨게 함을 의미한다.

 수소 퍼텐셜 

섬네일|오른쪽|그림 3. 수소 원자의 퍼텐셜과 다른 원자의 뤼드베리 상태 퍼텐셜의 비교. 효과를 명확하게 하기 위해 큰 핵심부 편극률이 사용되었다. 검은색 곡선은 수소 원자의 쿨롱 1/r 퍼텐셜이며, 빨간색 점선은 이온 핵심부의 편극으로 인한 1/r4 항을 포함한다.

뤼드베리 상태에 있는 원자는 이온 핵심부에서 멀리 떨어진 큰 궤도에 원자가 전자를 가지고 있다. 그러한 궤도에서 가장 바깥쪽 전자는 원자 번호 Z개의 양성자를 가진 원자핵과 Z-1개의 전자로 채워진 낮은 전자 껍질로 구성된 조밀한 이온 핵심부로부터 거의 수소형 원자와 같은 쿨롱 퍼텐셜 UC를 느낀다. 구대칭 쿨롱 퍼텐셜에 있는 전자의 위치 에너지는 다음과 같다.

바깥쪽 전자가 "보는" 유효 퍼텐셜과 수소 퍼텐셜의 유사성은 뤼드베리 상태의 정의적 특징이며, 왜 전자 파동 함수가 대응원리의 한계에서 고전적 궤도와 유사해지는지를 설명한다. 즉, 전자의 궤도는 태양계 내부 행성의 궤도와 닮았으며, 이는 이제는 구식이 되었지만 시각적으로 유용한 보어 및 러더퍼드 원자 모형에서 보았던 것과 유사하다.

위치 에너지에 추가되는 항목에 의해 특징지어지는 세 가지 주목할 만한 예외가 있다.

 원자가 비슷한 궤도 반지름을 가진 고도로 들뜬 상태에 두 개(또는 그 이상)의 전자를 가질 수 있다. 이 경우 전자-전자 상호작용은 수소 퍼텐셜로부터 상당한 편차를 발생시킨다. 다중 뤼드베리 상태의 원자에 대해 추가 항 Uee는 각각의 고도로 들뜬 전자 쌍의 합을 포함한다.

 원자가 전자가 매우 낮은 각운동량을 가지면(고전적으로는 매우 이심률이 큰 타원 궤도로 해석됨), 이온 핵심부를 편극시킬 만큼 가깝게 지나갈 수 있으며, 이로 인해 퍼텐셜에 1/r4 핵심부 편극 항이 발생한다. 유도된 쌍극자와 그것을 생성하는 전하 사이의 상호작용은 항상 인력이므로 이 기여는 항상 음수이다.

여기서 αd는 쌍극자 편극률이다. 그림 3은 편극 항이 핵 근처에서 퍼텐셜을 어떻게 수정하는지 보여준다.

 바깥쪽 전자가 안쪽 전자 껍질을 투과하면 핵의 전하를 더 많이 "보게" 되어 더 큰 힘을 경험하게 된다. 일반적으로 위치 에너지의 수정은 계산하기 쉽지 않으며 이온 핵심부의 기하학적 지식에 기초해야 한다.

 양자역학적 세부 사항 
섬네일|오른쪽|그림 4. 허용된 모든 궤도 각운동량 값을 가진 n=5에 대한 반고전적 궤도. 검은 점은 원자핵의 위치를 나타낸다.

양자역학적으로 비정상적으로 높은 n을 가진 상태는 원자가 전자가 더 높은 에너지와 더 낮은 결합 에너지를 가진 이전에 채워지지 않았던 원자 궤도로 들뜬 원자를 의미한다. 수소에서 결합 에너지는 다음과 같이 주어진다.

여기서 Ry = 13.6 eV는 뤼드베리 상수이다. 높은 n 값에서의 낮은 결합 에너지는 왜 뤼드베리 상태가 이온화에 취약한지를 설명한다.

수소형 쿨롱 위치 에너지 외에 뤼드베리 상태에 대한 위치 에너지 식의 추가 항들은 결합 에너지 식에 양자 결함(quantum defect) δℓ을 도입할 것을 요구한다.

 전자 파동 함수 
높은 궤도 각운동량을 가진 뤼드베리 상태의 긴 수명은 파동 함수의 중첩 측면에서 설명될 수 있다. 높은 ℓ 상태(높은 각운동량, "원 궤도")에 있는 전자의 파동 함수는 안쪽 전자들의 파동 함수와 거의 겹치지 않으므로 상대적으로 섭동을 받지 않은 상태로 유지된다.

수소형 퍼텐셜을 가진 원자로서의 뤼드베리 원자의 정의에 대한 세 가지 예외는 원자 해밀토니언의 추가 항으로 특징지어지는 대안적인 양자역학적 설명을 갖는다.

 두 번째 전자가 바깥쪽 전자의 상태 no와 에너지가 가까운 ni 상태로 들뜨면, 그 파동 함수는 첫 번째 전자의 것만큼 커진다(이중 뤼드베리 상태). 이는 ni가 no에 접근함에 따라 발생하며 두 전자의 궤도 크기가 연관되는 상태로 이어진다. 이 조건은 때때로 방사상 상관관계(radial correlation)라고 불린다. 원자 해밀토니언에 전자-전자 반발 항이 포함되어야 한다.
 이온 핵심부의 편극은 비등방성 퍼텐셜을 생성하여 두 가장 바깥쪽 전자의 운동 사이에 각상관관계(angular correlation)를 유발한다. 이는 구대칭이 아닌 퍼텐셜로 인한 조석 고정 효과로 생각할 수 있다. 원자 해밀토니언에 핵심부 편극 항이 포함되어야 한다.
 낮은 궤도 각운동량 ℓ을 가진 상태에서 바깥쪽 전자의 파동 함수는 주기적으로 안쪽 전자 껍질 내에 국소화되어 핵의 전체 전하와 상호작용한다. 그림 4는 전자 궤도에서 각운동량 상태에 대한 반고전적 해석을 보여주며, 낮은 ℓ 상태가 핵에 더 가깝게 지나가 잠재적으로 이온 핵심부를 투과함을 보여준다. 원자 해밀토니언에 핵심부 투과 항이 추가되어야 한다.

 외부 장에서 

뤼드베리 원자에서 전자와 이온 핵심부 사이의 큰 분리는 극도로 큰 전기 쌍극자 모멘트 d를 가능하게 한다. 전기장 F에서 전기 쌍극자의 존재와 관련된 에너지가 있으며, 이는 원자 물리학에서 슈타르크 이동(Stark shift)으로 알려져 있다.

국소 전기장 벡터에 대한 쌍극자 모멘트 투영의 부호에 따라 상태는 장의 세기에 따라 에너지가 증가하거나 감소할 수 있다. 뤼드베리 계열에서 인접한 n-준위 사이의 좁은 간격은 상대적으로 완만한 장 세기에서도 상태들이 축퇴에 도달할 수 있음을 의미한다. 상태 간의 결합이 없다고 가정할 때 교차가 발생하는 이론적 장 세기는 잉글리스-텔러 한계에 의해 주어진다.

수소 원자에서 순수한 1/r 쿨롱 퍼텐셜은 인접한 n-매니폴드의 슈타르크 상태들을 결합하지 않으므로 그림 5와 같이 실제 교차가 발생한다. 위치 에너지에 추가 항이 존재하면 결합이 발생하여 그림 6의 리튬에서 보이는 것과 같은 피하 교차로 이어질 수 있다.

 응용 및 추가 연구 
 포획된 뤼드베리 원자의 정밀 측정 
준안정 상태에 있는 원자가 바닥 상태로 방사 붕괴하는 수명은 천체물리학 관측과 표준 모형의 검증을 이해하는 데 중요하다.

 반자성 효과 조사 
뤼드베리 원자의 큰 크기와 낮은 결합 에너지는 높은 자기 감수율 로 이어진다. 반자성 효과는 궤도 면적에 비례하고 면적은 반지름의 제곱에 비례하므로(A ∝ n4), 바닥 상태 원자에서는 감지할 수 없는 효과가 뤼드베리 원자에서는 명확해지며 매우 큰 반자성 이동을 나타낸다.

뤼드베리 원자는 전자기장에 대해 강한 전기 쌍극자 결합을 보이며, 무선 통신을 감지하는 데 사용되어 왔다.

 플라스마에서 
뤼드베리 원자는 전자와 양이온의 재결합으로 인해 플라스마에서 흔히 형성된다. 낮은 에너지 재결합은 상당히 안정적인 뤼드베리 원자를 생성하는 반면, 높은 운동 에너지를 가진 전자와 양이온의 재결합은 종종 자동이온화(autoionising) 뤼드베리 상태를 형성한다. 뤼드베리 원자의 큰 크기와 전기장 및 자기장에 의한 교란 및 이온화 취약성은 플라스마의 특성을 결정하는 중요한 요소이다.

뤼드베리 원자의 응축은 뤼드베리 물질을 형성하며, 주로 수명이 긴 클러스터 형태로 관찰된다. 탈들뜸은 집단 원자가 전자에 의해 응축 시 형성되는 비균질 전자 액체에서의 교환-상관 효과에 의해 뤼드베리 물질에서 상당히 저해되며, 이는 클러스터의 수명을 연장시킨다.

 천체물리학에서 (무선 재결합선) 
뤼드베리 원자는 뜨거운 별에 의한 광이온화와 전자와의 재결합 사이의 동적 평형으로 인해 우주 공간에서 발생한다. 이러한 매우 낮은 밀도에서 재결합은 보통 전자가 매우 높은 n 상태의 원자에 다시 결합한 후 에너지 준위를 거쳐 점차 바닥 상태로 떨어지면서 발생하며, 이로 인해 전자기 스펙트럼 전체에 퍼져 있는 일련의 재결합 스펙트럼선이 생성된다. n이 하나 또는 몇 개 차이 나는 뤼드베리 상태 사이의 매우 작은 에너지 차이는 그러한 상태 간의 전이에서 방출되는 광자가 낮은 주파수와 긴 파장을 가짐을 의미하며, 심지어 라디오파에 이르기도 한다. 이러한 무선 재결합선(RRL)의 첫 번째 발견은 1964년 소련의 전파 천문학자들에 의해 이루어졌으며, H90α로 명명된 이 선은 n = 90 상태에 있는 수소 원자에 의해 방출되었다. 오늘날 우주 공간의 수소, 헬륨, 탄소 뤼드베리 원자는 RRL을 통해 일상적으로 관측되며, 그중 가장 밝은 것은 n+1에서 n으로의 전이에 해당하는 Hnα 선이다. Δn = 2 및 3인 더 약한 선들인 Hnβ 및 Hnγ도 관측된다. 헬륨과 탄소에 해당하는 선들은 Henα, Cnα 등이다. n > 100인 선의 발견은 놀라운 일이었는데, 지구에서 얻을 수 있는 최상의 실험실 진공보다 수만 배나 낮은 성간 공간의 매우 낮은 밀도에서도, 그러한 고도로 들뜬 원자들은 충돌에 의해 빈번하게 파괴되어 선을 관측할 수 없을 것으로 예상되었기 때문이다. 향상된 이론적 분석은 이 효과가 과대평가 되었음을 보여주었지만, 충돌 확장(collisional broadening)이 결과적으로 매우 높은 n에서의 선 검출 가능성을 제한한다. 수소의 기록 파장은 H253α에 대한 λ = 73 cm로 수 마이크론의 원자 지름을 의미하며, 탄소의 경우 C732α에서 유래한 지름 57 마이크론의 원자로부터 λ = 18 m이다.

수소와 헬륨의 RRL은 고도로 전리된 영역(H II 영역 및 온난 전리 매질)에서 생성된다. 탄소는 수소보다 이온화 에너지가 낮기 때문에, 단일 이온화된 탄소 원자와 그에 상응하는 재결합 뤼드베리 상태는 전리 별에서 더 멀리 떨어진, H II 영역 주위에 두꺼운 껍질을 형성하는 이른바 C II 영역에 존재한다. 더 큰 부피는 수소에 비해 낮은 탄소의 풍부함을 부분적으로 상쇄하여 탄소 RRL을 검출 가능하게 만든다.

충돌 확장이 없는 경우 RRL의 파장은 도플러 효과에 의해서만 변하므로, 측정된 파장 는 보통 시선 속도 로 변환된다. 여기서 는 고유 파장이다. 우리 은하의 H II 영역은 지구가 은하 중심을 공전함에 따라 발생하는 지구와의 상대적 운동으로 인해 최대 ±150 km/s의 시선 속도를 가질 수 있다. 이러한 운동은 규칙적이어서 를 사용하여 시선 방향에서 H II 영역의 위치와 은하 내에서의 3D 위치를 추정하는 데 사용될 수 있다. 모든 천체물리학적 뤼드베리 원자는 수소형이므로 H, He, C의 전이 주파수는 각 원소에 대한 전자의 조금씩 다른 환산 질량을 제외하고는 동일한 공식에 의해 주어진다. 이로 인해 헬륨과 탄소 선은 해당 수소 선에 비해 각각 -100 및 -140 km/s의 겉보기 도플러 이동을 갖게 된다.

RRL은 전파 광자가 일반적인 광학 전이 광자를 차단하는 우주진에 의해 흡수되지 않기 때문에 우리 은하의 먼 지역뿐만 아니라 외부 은하의 전리 가스를 탐지하는 데 사용된다. 또한 플라스마의 연속체 제동 복사 방출에 대한 선 강도의 비율을 통해 전리 가스의 온도를 측정하는 데에도 사용된다. H II 영역의 온도는 C, N, O와 같은 더 무거운 원소의 선 방출에 의해 조절되므로, 재결합선은 간접적으로 이들의 풍부함(금속함량)을 측정한다.

RRL은 전파 스펙트럼 전체에 걸쳐 파장 간격이 비교적 좁게 분포되어 있으므로, 주로 다른 스펙트럼선을 표적으로 하는 전파 스펙트럼 관측에서 자주 나타난다. 예를 들어 H166α, H167α, H168α는 중성 수소의 21cm 수소선과 파장이 매우 가깝다. 이를 통해 전파 천문학자들은 동일한 관측 세트에서 성간 물질의 중성 및 전리된 부분을 모두 연구할 수 있다. RRL은 수가 많고 약하기 때문에, 감도를 높이기 위해 여러 인접한 선들의 속도 스펙트럼을 평균화하는 것이 일반적인 관행이다.

천문학과 천체물리학에서 뤼드베리 원자의 다른 다양한 잠재적 응용 분야가 있다.

 강한 상호작용 시스템 
뤼드베리 원자는 큰 크기로 인해 매우 큰 전기 쌍극자 모멘트를 나타낼 수 있다. 섭동 이론을 사용한 계산은 이것이 가까운 두 뤼드베리 원자 사이의 강한 상호작용으로 이어진다는 것을 보여준다. 상대적으로 긴 수명과 결합된 이러한 상호작용의 결맞음 제어는 이들을 양자 컴퓨터를 구현하기 위한 적합한 후보로 만든다. 2010년에 실험적으로 2큐비트 양자 게이트가 달성되었다. 강하게 상호작용하는 뤼드베리 원자는 양자 임계(quantum critical) 거동을 보이기도 하여 그 자체로 연구 가치가 높다.

 현재 연구 방향 
2000년대 이후 뤼드베리 원자 연구는 크게 센싱, 양자광학, 양자 컴퓨팅, 양자 시뮬레이션 및 뤼드베리 물질 상태의 5가지 방향을 포괄한다. 뤼드베리 원자 상태 간의 높은 전기 쌍극자 모멘트는 무선 주파수 및 테라헤르츠파 감지 및 이미징에 사용되며, 개별 마이크로파 광자의 비파괴 측정(non-demolition measurements)도 포함된다. 전자기 유도 투과(Electromagnetically induced transparency)는 개별 광학 광자 수준에서 강한 비선형 거동을 보이는 매질을 제공하기 위해 뤼드베리 상태로 들뜬 두 원자 사이의 강한 상호작용과 결합되어 사용되었다. 뤼드베리 상태 사이의 가변적인 상호작용은 또한 최초의 양자 시뮬레이션 실험을 가능하게 했다.

2018년 10월, 미국 육군 연구소(United States Army Research Laboratory)는 뤼드베리 원자를 이용한 초광대역 원자 무선 수신기 개발 노력을 공개적으로 논의했다.Army researchers make giant leap in quantum sensing, United States Army Research Laboratory, 2018-10-25 2020년 3월, 연구소는 소속 과학자들이 0에서 1012 헤르츠(0.3mm 파장까지의 스펙트럼)에 이르는 거대한 주파수 범위에 걸쳐 진동하는 전기장에 대한 뤼드베리 센서의 감도를 분석했다고 발표했다. 뤼드베리 센서는 전체 스펙트럼에서 신호를 안정적으로 감지할 수 있으며 전기 광학 결정 및 쌍극자 안테나 결합 수동 전자 장치와 같은 기존의 다른 전기장 센서 기술과 비교해도 경쟁력이 있다.Scientists create quantum sensor that covers entire radio frequency spectrum, Phys.org/United States Army Research Laboratory, 2020-03-19

 고전적 시뮬레이션 
섬네일|왼쪽|그림 7. 정전기장에 있는 뤼드베리 원자에 대한 슈타르크-쿨롱 퍼텐셜. 그러한 퍼텐셜 내의 전자는 각운동량을 변화시킬 수 있는 돌림힘을 느낀다.
오른쪽|섬네일|그림 8. x축 방향으로 전기장 E = -3 x 106 V/m가 가해진 수소 원자 내 전자의 궤적. 고전적으로는 모든 각운동량 값이 허용되지만, 그림 4는 양자역학적으로 허용된 값과 관련된 특정 궤도를 보여준다. 애니메이션 참조.

단순한 1/r 퍼텐셜은 닫힌 케플러 타원 궤도를 생성한다. 외부 전기장이 있는 경우 뤼드베리 원자는 매우 큰 전기 쌍극자 모멘트를 가질 수 있어 장에 의한 교란에 극도로 취약해진다. 그림 7은 외부 전기장(원자 물리학에서 슈타르크 장으로 알려짐)의 적용이 퍼텐셜의 기하학적 구조를 어떻게 변화시켜 전자의 거동을 극적으로 변화시키는지를 보여준다. 쿨롱 퍼텐셜은 힘이 항상 위치 벡터와 반평행하기(항상 전자와 핵 사이를 잇는 선을 따라 향하기) 때문에 어떤 돌림힘도 가하지 않는다.

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정전기장을 가하면 전자는 지속적으로 변화하는 돌림힘을 느낀다. 그 결과 궤적은 시간이 지남에 따라 점차적으로 왜곡되어 결국 L = LMAX에서 직선 L = 0을 거쳐 반대 방향의 초기 궤도 L = −LMAX까지 각운동량의 전체 범위를 거치게 된다.

각운동량 진동의 시간 주기(그림 8에서 궤적을 완료하는 데 걸리는 시간)는 양자역학적으로 예측된 파동 함수가 초기 상태로 돌아가는 주기와 거의 정확히 일치하며, 이는 뤼드베리 원자의 고전적 특성을 입증한다.

 같이 보기 
 무거운 뤼드베리 시스템
 초기 양자론
 양자 혼돈
 뤼드베리 분자
 뤼드베리 폴라론

 각주 

분류:원자