가우스 원 문제

수학에서 가우스 원 문제()는 원점에 중심을 두고 반지름이 인 원 내부에 얼마나 많은 정수 격자 점이 있는지 결정하는 문제이다. 이 점의 수는 원의 넓이로 근사되므로, 실제 문제는 점의 수가 넓이와 어떻게 다른지를 설명하는 오차항을 정확하게 제한하는 것이다. 솔루션에 대한 첫 번째 진전은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌으며, 그의 이름을 따서 명명되었다.

 문제 
원점에 중심을 두고 반지름이 인  평면상의 원을 고려하자. 가우스 원 문제는 이 원 내부에서 과 이 모두 정수인  형태의 점이 몇 개인지를 묻는다. 데카르트 좌표계에서 이 원의 방정식은 로 주어지므로, 이 질문은 다음을 만족하는 정수 쌍 과 이 몇 개인지 묻는 것과 같다.

주어진 에 대한 답을 이라고 할 때, 다음 목록은 0에서 12 사이의 정수 에 대한 의 처음 몇 개의 값과 그 뒤를 이어 가장 가까운 정수로 반올림한  값의 목록을 보여준다.
1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 

 해의 경계와 추측 
은 반지름이 인 원 내부의 넓이인 과 대략 같다. 이는 평균적으로 각 단위정사각형이 하나의 격자 점을 포함하기 때문이다. 따라서 원 안의 실제 격자 점의 수는 원의 넓이인 과 거의 같다. 그러므로 다음과 같이 기대할 수 있다.

여기서 은 절댓값이 상대적으로 작은 어떤 오차항이다. 따라서 에 대한 정확한 상한선을 찾는 것이 이 문제의 형식이 되었다. 이 반드시 정수일 필요는 없다는 점에 유의하라.  다음에는 이 온다. 이러한 지점에서 은 만큼 증가한 후, 다음 증가할 때까지 (의 비율로) 감소한다.

가우스는 다음과 같음을 증명했다.

하디와 독립적으로 란다우는 소문자 o 표기법을 사용하여 다음을 보여줌으로써 하한선을 찾았다.

정확한 경계는 다음과 같을 것으로 추측된다.

라고 쓸 때, 에 대한 현재의 경계는 다음과 같다.

하한선은 1915년 하디와 란다우에 의해, 상한선은 2000년 마틴 헉슬리에 의해 증명되었다.

 정확한 형식 
의 값은 여러 급수로 주어질 수 있다. 바닥 함수를 포함하는 합의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

이는 야코비 삼중곱에서 거의 즉각적으로 도출되는 야코비 두 제곱 정리의 결과이다.

제곱수 합 함수 를 숫자 을 두 제곱수의 합으로 쓰는 방법의 수로 정의하면 훨씬 더 간단한 합이 나타난다. 그러면 다음과 같다.

가장 최근의 진전은 하디가 처음 발견한 다음 항등식에 기초한다.

여기서 은 1차 제1종 베셀 함수를 나타낸다.

 일반화 
원래 문제는 원 내부의 정수 격자 점을 묻지만, 쌍곡선이나 다른 원뿔 곡선을 고려하지 않을 이유가 없다. 실제로 디리클레 약수 문제는 원이 직각 쌍곡선으로 대체된 동등한 문제이다. 마찬가지로 질문을 2차원에서 더 높은 차원으로 확장하여 초구 또는 다른 객체 내의 정수 점을 물을 수 있다. 이러한 문제에 대한 방대한 문헌이 존재한다. 기하학을 무시하고 문제를 단순히 디오판토스 부등식의 대수적 문제로만 간주한다면, 문제에 나타나는 지수를 제곱에서 세제곱 또는 그 이상으로 높일 수 있다.

도트 플래니미터(dot planimeter)는 동일한 원리에 기초하여 도형의 넓이를 추정하는 물리적 장치이다. 투명한 시트에 인쇄된 점들의 정사각형 격자로 구성되며, 도형의 넓이는 도형 내 점의 수와 격자 사각형의 넓이의 곱으로 추정할 수 있다.

 원시 원 문제 
또 다른 일반화는 다음 부등식에 대한 서로소 정수 해 의 개수를 계산하는 것이다.

이 문제는 원래 원 문제에 대한 원시 해를 찾는 것과 관련이 있으므로 원시 원 문제(primitive circle problem)로 알려져 있다. 이는 원점에 서서 에우클레이데스의 과수원을 바라볼 때 거리  이내에 보이는 나무가 몇 그루인지에 대한 질문으로 직관적으로 이해할 수 있다. 이러한 해의 개수를 라고 할 때, 작은 정수 값 에 대한  값은 다음과 같다.
0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … .
일반적인 가우스 원 문제와 동일한 아이디어와 두 정수가 서로소일 확률이 이라는 사실을 사용하면, 다음과 같음을 비교적 간단히 보일 수 있다.

일반적인 원 문제와 마찬가지로 원시 원 문제에서 까다로운 부분은 오차항의 지수를 줄이는 것이다. 현재 리만 가설을 가정할 경우 가장 잘 알려진 지수는 이다. 리만 가설을 가정하지 않을 때 현재 알려진 최상의 상한은 다음과 같다.

여기서 는 양의 상수이다. 특히, 리만 가설을 가정하지 않고서는 어떤 에 대해서도  형태의 오차항 경계는 현재 알려진 바가 없다.

 각주 

 외부 링크 



분류:원 (기하학)
분류:수론적 함수
분류:격자점
분류:수론의 미해결 문제