네이만-피어슨 정리

통계학에서 네이만-피어슨 정리()는 특정 맥락에서 균등최강검정으로서 가능도비의 존재와 유일성을 기술한다. 이 정리는 1933년 예지 네이만과 이건 피어슨이 발표한 논문에서 소개되었다. 네이만-피어슨 정리는 제2종 오류, 검정력, 귀납적 행위와 같은 개념을 도입한 통계적 검정의 네이만-피어슨 이론의 일부이다.The Fisher, Neyman–Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?: Journal of the American Statistical Association: Vol 88, No 424: The Fisher, Neyman–Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?: Journal of the American Statistical Association: Vol 88, No 424Wald: Chapter II: The Neyman–Pearson Theory of Testing a Statistical Hypothesis: Wald: Chapter II: The Neyman–Pearson Theory of Testing a Statistical HypothesisThe Empire of Chance: The Empire of Chance 이전의 피셔 방식 유의성 검정은 단 하나의 가설만을 가정했다. 대립가설을 도입함으로써 네이만-피어슨 방식의 통계적 검정은 두 가지 유형의 오류를 조사할 수 있게 한다. 귀무가설을 항상 기각하거나 항상 기각하지 못하는 사소한 경우는 거의 관심의 대상이 되지 않지만, 이는 한 종류의 오류를 조정하는 동안 다른 종류의 오류에 대한 통제력을 포기해서는 안 된다는 것을 증명한다. 이에 따라 네이만과 피어슨은 모든  수준 검정 클래스로 관심을 제한하는 동시에, 전통적으로 로 표기되는 제2종 오류를 최소화하는 방향으로 나아갔다. 네이만-피어슨 정리를 포함한 그들의 1933년 기념비적 논문은 미리 지정된 제1종 오류 수준()을 유지하면서 가장 강력한 검정의 존재를 보여주었을 뿐만 아니라, 그러한 검정을 구성하는 방법도 제공했다. 칼린-루빈 정리는 네이만-피어슨 정리를 단조 가능도비를 가진 복합 가설이 포함된 설정으로 확장했다.

 명제 
가설  및 이 있고, 에 대한 확률 밀도 함수(또는 확률 질량 함수)가 인 검정을 고려하자.

기각역 을 가진 임의의 가설 검정과 임의의 에 대하여, 다음 조건 를 만족하면:

 즉, 검정의 크기가 이다(즉, 귀무가설을 잘못 기각할 확률이 이다).
 다음을 만족하는 가 존재한다.

 여기서 는 와 의 경우 모두에서 무시 가능 집합이다: .
 즉, 무시 가능한 부분 집합을 제외하면 엄격한 가능도비 검정을 갖는다.
임의의 에 대해, 수준  검정의 집합을 크기가 최대 인 모든 가설 검정의 집합이라고 하자. 즉, 기각역을 이라 할 때, 이다.

실제로 가능도비는 검정을 구성하는 데 직접적으로 자주 사용된다(가능도비 검정 참고). 그러나 이는 관심이 있을 법한 특정 검정 통계량을 제안하거나 단순화된 검정을 제안하는 데에도 사용될 수 있다. 이를 위해 가능도비의 대수적 조작을 통해 비율의 크기와 관련된 핵심 통계량이 있는지 확인한다(즉, 큰 통계량이 작은 비율에 대응하는지 아니면 큰 비율에 대응하는지 등).

 예시 
이 평균 를 알고 있는  분포로부터의 랜덤 표본이라고 하자. 와 에 대해 검정하고자 한다. 이 정규 분포 데이터 세트에 대한 가능도는 다음과 같다.

이 검정의 핵심 통계량과 그것이 검정 결과에 미치는 영향을 찾기 위해 가능도비를 계산할 수 있다.

이 비율은 오직 을 통해서만 데이터에 의존한다. 그러므로 네이만-피어슨 정리에 의해, 이 데이터에 대한 이러한 유형의 가설의 가장 강력한 검정은 오직 에만 의존하게 된다. 또한 관찰을 통해 만약 이면, 는 의 감소 함수임을 알 수 있다. 따라서 이 충분히 크면 를 기각해야 한다. 기각 임계값은 검정의 크기에 따라 달라진다. 이 예시에서 검정 통계량은 척도화된 카이제곱 분포를 따르는 확률 변수임을 보일 수 있으며, 정확한 임계값을 얻을 수 있다.

 경제학에서의 응용 
네이만-피어슨 정리의 변형은 지가 경제학이라는 전혀 관련 없어 보이는 분야에서 응용을 찾았다. 소비자 이론의 근본적인 문제 중 하나는 가격이 주어졌을 때 소비자의 수요 함수를 계산하는 것이다. 특히 이질적인 토지 자산, 토지에 대한 가격 척도, 토지에 대한 주관적 효용 척도가 주어졌을 때, 소비자의 문제는 자신이 살 수 있는 최선의 토지 구획, 즉 가격이 예산 이내이면서 효용이 가장 큰 토지 구획을 계산하는 것이다. 이 문제는 가장 강력한 통계적 검정을 찾는 문제와 매우 유사한 것으로 밝혀졌으며, 따라서 네이만-피어슨 정리가 사용될 수 있다.

 전기공학에서의 사용 
네이만-피어슨 정리는 전자공학, 즉 레이더 시스템의 설계와 사용, 디지털 통신 시스템, 그리고 신호 처리 시스템에서 매우 유용하다.
레이더 시스템에서 네이만-피어슨 정리는 먼저 미검출률을 원하는 (낮은) 수준으로 설정한 다음, 오경보률을 최소화하거나 그 반대로 하는 데 사용된다.

오경보나 미검출 모두 0을 포함하여 임의로 낮은 비율로 설정할 수 없다. 위의 모든 사항은 신호 처리의 많은 시스템에도 적용된다.

 입자물리학에서의 사용 
네이만-피어슨 정리는 분석 특정 가능도비 구성에 적용되며, 예를 들어 대형 강입자 충돌기(LHC)에서 수집된 양성자-양성자 충돌 데이터 세트에서 명목상의 표준 모형 예측에 대한 새로운 물리학의 신호를 테스트하는 데 사용된다.

 정리의 발견 
보조정리로 이어진 연구는 1927년경 시작되었다. 네이만은 나중에 책의 한 장에서 이에 대해 다음과 같이 썼다.Neyman, J. (1970). A glance at some of my personal experiences in the process of research. In Scientists at Work: Festschrift in honour of Herman Wold. Edited by T. Dalenius, G. Karlsson, S. Malmquist. Almqvist & Wiksell, Stockholm. https://worldcat.org/en/title/195948

네이만은 보조정리의 실제 발견을 다음과 같이 묘사했다. 문단 구분은 삽입되었다.

 같이 보기 
 가설 검정의 오류 지수
 F-검정
 보조정리
 윌크스 정리

 각주 

 E. L. Lehmann, Joseph P. Romano, Testing statistical hypotheses, Springer, 2008, p. 60

 외부 링크 
 Cosma Shalizi gives an intuitive derivation of the Neyman–Pearson Lemma using ideas from economics

분류:보조정리
분류:통계적 검정법
분류:통계학 정리