타원에 관한 뉴턴의 정리

수학에서 타원에 관한 뉴턴의 정리(Newton's theorem about ovals)는 매끄러운 볼록 타원(oval)의 할선에 의해 잘려 나가는 면적은 할선의 대수함수가 아니라는 정리이다.

아이작 뉴턴은 이 정리를 뉴턴의 《프린키피아》 1권 6절의 보제(lemma) 28로 서술했으며, 궤도를 따라 이동하는 행성의 위치가 시간의 대수함수가 아님을 보이는 데 사용했다. 뉴턴이 '타원'이라는 용어로 무엇을 의미하는지 정확히 명시하지 않았기 때문에 이 정리의 옳고 그름에 대해 약간의 논란이 있었다. 타원이라는 단어의 해석에 따라 정리가 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있기 때문이다. 만약 "타원"이 단순히 연속적인 폐곡선인 볼록 곡선을 의미한다면, 삼각형이나 호이겐스 레므니스케이트(Huygens lemniscate) y2 = x2 − x4의 엽(lobe) 중 하나와 같은 반례가 존재한다. 반면 은 "타원"이 무한번 미분 가능한 볼록 곡선을 의미한다면 뉴턴의 주장이 옳으며, 그의 논증은 엄밀한 증명의 필수적인 단계들을 갖추고 있다고 지적했다.

는 뉴턴의 정리를 고차원으로 일반화했다.

 서술 
섬네일|제로노의 레므니스케이트 또는 호이겐스 레므니스케이트. 할선에 의해 잘린 면적은 대수적이지만, 이 곡선은 원점에서 매끄럽지 않다.
뉴턴의 원래 서술을 번역하면 다음과 같다.

현대 수학적 언어로 뉴턴은 본질적으로 다음과 같은 정리를 증명했다.

직선 ax + by = c에 의해 잘려 나가는 면적이 a, b, c의 대수함수가 되는 볼록하고 매끄러운(무한번 미분 가능한) 곡선은 존재하지 않는다.

즉, 뉴턴의 서술에서 "타원"은 "볼록하고 매끄러운 곡선"을 의미해야 한다. 모든 점에서의 무한 미분 가능성은 필수적이다. 임의의 양의 정수 n에 대해, 한 점을 제외한 모든 점에서 매끄럽고 나머지 한 점에서는 n번 미분 가능하며 할선에 의해 잘린 면적이 대수적인 대수 곡선들이 존재하기 때문이다.

뉴턴은 유사한 논증을 통해 두 점 사이의 (매끄러운 볼록) 타원의 호의 길이가 그 점들의 대수함수로 주어지지 않음을 관찰했다.

 뉴턴의 증명 
섬네일|left|타원이 원점을 중심으로 하는 원이라면, 뉴턴이 구성한 와선은 아르키메데스 와선이 된다.
뉴턴은 타원 내부의 점 P를 원점으로 잡고, 극좌표에서 P로부터의 거리 r이 각도 0과 θ인 P에서의 두 직선에 의해 잘린 면적인 점 (r, θ)의 와선을 고려했다. 그는 이 와선이 P를 지나는 직선과 무한히 많은 교점을 가지므로 대수적일 수 없음을 관찰했고, 따라서 할선에 의해 잘린 면적은 할선의 대수함수일 수 없다고 결론지었다.

이 증명은 타원과 그에 따른 와선이 매끄러울 것을 요구한다. 그렇지 않으면 와선이 서로 다른 대수 곡선 조각들의 무한한 합집합이 될 수 있기 때문이다. 이것이 매끄럽지 않은 타원에 대한 뉴턴 정리의 다양한 "반례"들에서 일어나는 일이다.

 각주 

. Copyright renewed 1962 and reprinted, .

분류:아이작 뉴턴
분류:평면기하학 정리