에너지 연산자

양자역학에서, 에너지 연산자()는 시간 변화 대칭의 결과로서 시스템의 파동 함수에 작용하여 에너지를 정의하는 연산자이다.

 정의 
에너지 연산자는 다음과 같이 주어진다:Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, 

이 연산자는 시스템의 다양한 배위에 대한 확률 진폭인 파동 함수 에 작용한다.

 응용 
에너지 연산자는 시스템의 전체 에너지에 대응한다. 슈뢰딩거 방정식은 양자 시스템의 느리게 변하는(비상대론적) 파동 함수의 공간 및 시간 의존성을 설명한다. 구속된 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는 이산적이며(각각 하나의 에너지 준위로 특징지어지는 허용된 상태들의 집합), 이는 양자 개념으로 이어진다.

 슈뢰딩거 방정식 
슈뢰딩거 방정식에 에너지 연산자를 사용하면 다음과 같다:

여기서 다음을 얻는다:

여기서 i는 허수 단위, ħ는 환산 플랑크 상수이며, 는 다음과 같이 표현되는 해밀토니언 연산자이다:

이 방정식으로부터 라는 등식을 세울 수 있으며, 여기서 는 에너지의 기댓값이다.

 성질 
에너지의 기댓값은 항상 시스템의 최소 퍼텐셜보다 크거나 같음을 보일 수 있다.

운동 에너지의 기댓값을 계산해 보면 다음과 같다:

따라서 운동 에너지의 기댓값은 항상 비음수이다. 이 결과는 선형성 조건을 이용하여 전체 에너지의 기댓값을 계산하는 데 사용될 수 있으며, 규격화된 파동 함수에 대해 다음과 같이 주어진다:

이로써 증명이 완료된다. 마찬가지로 이 조건은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다.

 상수 에너지 
정의에 따라, 일정한 에너지를 가진 입자의 파동 함수에 대한 부분적인 해를 구성할 수 있다. 파동 함수가 변수 분리 가능하다고 가정하면, 시간 의존성은 로 나타낼 수 있으며 여기서 E는 상수 에너지이다. 전체 식은 다음과 같다:

여기서 은 위치에 의존하는 파동 함수의 부분 해이다. 에너지 연산자를 적용하면 다음과 같다:

이것은 정상 상태로도 알려져 있으며, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 분석하는 데 사용될 수 있다.

여기서 E는 에너지의 고윳값이다.

 클라인-고든 방정식 
상대론적 질량-에너지 관계식:

여기서 E = 총 에너지, p = 입자의 총 3차원 운동량, m = 불변 질량, c = 빛의 속력이다. 이 식으로부터 유사하게 클라인-고든 방정식을 도출할 수 있다.

여기서 는 운동량 연산자이다. 즉 다음과 같다:

 유도 
에너지 연산자는 자유 입자 파동 함수(슈뢰딩거 방정식의 평면파 해)를 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985,  1차원에서 시작하면 파동 함수는 다음과 같다.

의 시간 미분은 다음과 같다.

드브로이 관계식에 의해

다음과 같이 나타낼 수 있다.

방정식을 재정리하면 다음과 같다.

여기서 에너지 인자 E는 스칼라 값으로, 입자가 가진 에너지이자 측정되는 값이다. 편미분은 선형 연산자이므로 이 식은 에너지에 대한 연산자가 된다.

따라서 스칼라 E는 연산자의 고윳값이고, 는 연산자라는 결론을 내릴 수 있다. 이 결과들을 요약하면 다음과 같다.

파수 벡터  방향으로 3차원 공간을 여행하는 평면파에 대해,

시간과 시간 미분을 포함하는 항에 변화가 없으므로 유도 과정은 동일하다. 이 연산자는 선형 연산자이므로 평면파의 어떠한 선형 결합에 대해서도 유효하며, 따라서 파동 함수나 연산자의 성질에 영향을 주지 않고 모든 파동 함수에 작용할 수 있다. 그러므로 이는 모든 파동 함수에 대해 참이어야 한다. 이 결과는 위의 클라인-고든 방정식과 같은 상대론적 양자역학에서도 성립함이 밝혀졌다.

 같이 보기 
 시간 변화 대칭
 플랑크 상수
 슈뢰딩거 방정식
 운동량 연산자
 해밀토니언 (양자역학)
 에너지 보존 법칙
 복소수
 정상 상태

 각주 

분류:편미분 방정식
분류:에너지