게이지 이론 중력

게이지 이론 중력(, GTG)은 기하적 대수학의 수학적 언어로 표현된 중력 이론이다. 일반 상대성이론에 익숙한 사람들에게는 테트라드 형식론을 강력히 연상시키지만, 개념적으로는 상당한 차이가 있다. 가장 주목할 만한 점은 GTG의 배경이 평평한 민코프스키 시공간이라는 것이다. 등가원리는 가정되지 않고, 대신 게이지 공변 미분이 최소 결합된다는 사실에서 비롯된다. 일반 상대성이론과 마찬가지로 아인슈타인 방정식과 구조적으로 동일한 방정식은 변분 원리로부터 도출될 수 있다. 스핀 텐서도 아인슈타인-카르탕-시아마-키블 이론과 유사한 방식으로 지지될 수 있다. GTG는 1993년에 발표된 부분적인 결과의 완성을 위해 Lasenby, 도란, Gull이 1998년에 처음 제안했다. 이 이론은 관련 게이지 중력 이론과 같은 미분기하학적 접근 방식을 주로 선택한 물리학계에 널리 채택되지 않았다.

 수학적 기초 
GTG의 기초는 두 가지 원리에서 비롯된다. 첫째, 위치-게이지 불변성은 장의 임의의 국부 변위가 장 방정식의 물리적 내용에 영향을 미치지 않아야 한다고 요구한다. 둘째, 회전-게이지 불변성은 장의 임의의 국부 회전이 장 방정식의 물리적 내용에 영향을 미치지 않아야 한다고 요구한다. 이러한 원리들은 새로운 선형 함수 쌍, 즉 위치-게이지 장과 회전-게이지 장의 도입으로 이어진다. 임의의 함수 f에 의한 변위

는 그 수반에 대한 매핑으로 정의되는 위치-게이지 장을 발생시킨다.

이것은 첫 번째 인수에 대해 선형이고 a는 상수 벡터이다. 비슷하게, 임의의 로터 R에 의한 회전은 회전-게이지 장을 발생시킨다.

두 가지 다른 공변 방향 미분을 정의할 수 있다.

또는 좌표계를 지정하면

여기서 ×는 교환자 곱을 나타낸다.

이 미분들 중 첫 번째는 스피너를 직접 다루는 데 더 적합하고, 두 번째는 관측가능량에 더 적합하다. GTG의 리만 텐서 유사체는 이 미분들의 교환 규칙에서 파생된다.

 장 방정식 
장 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용이 게이지 장의 진화를 지배한다고 가정하여 도출된다. 즉,

두 게이지 장에 대한 작용의 변분 최소화는 다음 장 방정식을 산출한다.

여기서 는 공변 에너지-운동량 텐서이고 는 공변 스핀 텐서이다. 중요하게도, 이 방정식들은 시공간의 진화하는 곡률을 제공하는 것이 아니라 평평한 시공간 내에서 게이지 장의 진화를 제공할 뿐이다.

 일반 상대성이론과의 관계 
일반 상대성이론에 더 익숙한 사람들에게는 테트라드와 유사한 방식으로 위치-게이지 장으로부터 계량 텐서를 정의할 수 있다. 테트라드 형식론에서는 네 개의 벡터 가 도입된다. 그리스어 인덱스 μ는 시공간의 계량 텐서와 곱하고 축약하여 올리거나 내린다. 괄호 안의 라틴어 인덱스 (a)는 네 개의 테트라드 각각에 대한 레이블이며, 별도의 민코프스키 계량 텐서와 곱하고 축약된 것처럼 올리거나 내린다. GTG는 대략적으로 이 인덱스들의 역할을 뒤집는다. 계량은 시공간 대수의 선택에서 암묵적으로 민코프스키로 가정된다. 다른 인덱스 집합에 포함된 정보는 게이지 장의 동작에 의해 흡수된다.

다음과 같은 관계를 만들 수 있다.

곡선 시공간에서 공변 벡터와 반변 벡터에 대해, 여기서 단위 벡터 는 선택된 좌표 기저이다. 이것들은 규칙을 사용하여 계량을 정의할 수 있다.

이 절차를 따르면, GTG의 관측 가능한 예측이 대부분 비소멸 스핀에 대한 아인슈타인-카르탕-시아마-키블 이론과 일치하고 소멸 스핀에 대해서는 일반 상대성이론으로 축소됨을 보여줄 수 있다. 그러나 GTG는 전역 해에 대해 다른 예측을 한다. 예를 들어, 점 질량 연구에서 "뉴턴 게이지"의 선택은 굴스트란드-팡카레 좌표계에서 슈바르츠실트 계량과 유사한 해를 산출한다. 일반 상대성이론은 크러스컬-세케레시 좌표계로 알려진 확장을 허용한다. 반면에 GTG는 그러한 확장을 금지한다.

 각주 

 외부 링크 
 David Hestenes: Spacetime calculus for gravitation theory – an account of the mathematical formalism explicitly directed to GTG

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