로런츠 군의 표현 이론

로런츠 군은 특수 상대성이론의 시공간 대칭성을 나타내는 리 군이다. 이 군은 어떤 힐베르트 공간 위의 행렬, 선형 변환, 또는 유니터리 작용소들의 집합으로 실현될 수 있으며, 다양한 표현을 가진다.시공간 대칭성을 표현하는 방식은 당면한 이론에 따라 여러 형태를 취할 수 있다. 본 주제는 아니지만, "nb"라고 표시된 각주와 응용 절에서 일부 세부 사항이 제공될 것이다. 이 군은 특수 상대성이론과 양자역학이 가장 철저하게 확립된 두 가지 물리 이론이고, "시스템이 양자장론으로 설명될 수 없다는 것이 밝혀진다면 그것은 세상을 놀라게 할 사건이 될 것이다. 만약 양자역학과 상대성 이론의 규칙을 따르지 않는다는 것이 밝혀진다면 그것은 대격변이 될 것이다." 이 두 이론의 결합이 로런츠 군의 무한 차원 유니터리 표현에 대한 연구이기 때문에 중요하다. 이러한 표현들은 주류 물리학에서 역사적 중요성을 가질 뿐만 아니라, 현재의 더 추측적인 이론들과도 연결되어 있다.

표현론의 발전은 역사적으로 주로 엘리 카르탕과 헤르만 바일 덕분에 반단순 군의 보다 일반적인 표현론의 발전을 따랐으나, 로런츠 군은 물리학에서의 중요성 때문에 특별한 주목을 받아왔다. 주목할 만한 기여자는 물리학자 유진 위그너와 수학자 발렌타인 바르그만으로, 그들의 바르그만-위그너 프로그램에 따르면 비균질 로런츠 군의 모든 유니터리 표현을 분류하는 것은 대략적으로 가능한 모든 상대론적 파동 방정식을 분류하는 것과 같다. 로런츠 군의 기약 무한 차원 표현의 분류는 폴 디랙의 이론 물리학 박사 과정 학생이었으나 나중에 수학자로 전향한 하리시찬드라 메로트라1945년에 하리시찬드라는 케임브리지에 있는 디랙을 만나러 왔다. 하리시찬드라는 이론 물리학이 자신이 있어야 할 분야가 아니라고 확신하게 되었다. 그는 로런츠 군에 관한 디랙의 작업에서 증명상의 오류를 발견했다. 디랙은 "나는 증명에는 관심이 없고 자연이 무엇을 하는지에만 관심이 있다"라고 말했다. 하리시찬드라는 나중에 "이 발언은 내가 물리학에서 성공하기 위해 필요한 신비한 육감을 가지고 있지 않다는 나의 커지는 확신을 확인시켜 주었고, 나는 곧 수학으로 옮기기로 결심했다"라고 썼다. 하지만 디랙은 하리시찬드라의 논문 주제로 로런츠 군의 기약 무한 차원 표현의 분류를 제안했다.  참조.에 의해 1947년에 확립되었다. 밀접하게 관련된 연구가 같은 해에 발렌타인 바르그만과 이즈라일 겔판트, 마르크 나이마르크에 의해 독립적으로 발표되었다.

로런츠 군의 리 대수의 유한 차원 표현에 대한 완전한 이론은 반단순 리 대수의 표현론이라는 일반적인 틀을 사용하여 연역된다. 전체 로런츠 군 의 연결 성분 의 유한 차원 표현은 리 대응과 행렬 지수 함수를 사용하여 얻어진다. 의 범피복군(이자 이중 피복인 스핀 군) 의 완전한 유한 차원 표현론이 확보되어 있으며,   및 의 표현에서 함수 공간에 대한 작용의 관점으로 명시적으로 주어진다. 시간 역전과 공간 반전의 표현은 공간 반전 및 시간 역전에서 주어져 전체 로런츠 군에 대한 유한 차원 이론을 완성한다. (m, n) 표현의 일반적인 성질이 개괄된다. 함수 공간에서의 작용이 고려되며, 구면 조화 함수와 리만 P-함수에 대한 작용이 예시로 등장한다. 기약 유니터리 표현의 무한 차원 사례는  주계열과 보충 계열에 대해 실현된다. 마지막으로 에 대한 플랑슈렐 공식이 주어지고, 의 표현이 리 대수에 대해 분류되고 실현된다.

 유한 차원 표현 
일반적인 군의 표현론, 특히 리 군의 표현론은 매우 풍부한 주제이다. 로런츠 군은 표현론의 문맥에서 "다루기 쉬운" 특성들과 "다루기 쉽지 않은" 특성들을 동시에 가지고 있다. 이 군은 단순 군이므로 반단순하지만, 연결되어 있지 않으며 그 성분 중 어느 것도 단일 연결 공간이 아니다. 더욱이 로런츠 군은 콤팩트 공간이 아니다.이러한 사실들은 대부분의 입문 수학 및 물리학 텍스트에서 찾을 수 있다. 예를 들어 , , 를 참조하라.

유한 차원 표현의 경우, 반단순성의 존재는 로런츠 군이 잘 발달된 이론을 사용하여 다른 반단순 군과 동일한 방식으로 다루어질 수 있음을 의미한다. 또한 리 대수가 완전 가약성 성질을 가지고 있기 때문에 모든 표현은 기약표현들로부터 구축된다.모든 표현이 기약 표현의 직합으로 분해될 때 그 군이 완전 가약성 성질을 갖는다고 말한다. 그러나 로런츠 군의 비콤팩트성은 단일 연결성의 결여와 결합되어, 단일 연결 콤팩트 군에 적용되는 단순한 틀 내에서 모든 측면을 다룰 수는 없다. 연결 단순 리 군의 경우, 비콤팩트성은 자명하지 않은 유한 차원 유니터리 표현이 존재하지 않음을 의미한다. 단일 연결성의 결여는 군의 스핀 표현을 발생시킨다. 비연결성은 전체 로런츠 군의 표현에 대해 시간 역전과 공간 방향 반전을 별도로 다루어야 함을 의미한다.

 역사 
로런츠 군의 유한 차원 표현론의 발전은 대부분 일반적인 표현론의 발전을 따랐다. 리 이론은 1873년 소푸스 리와 함께 시작되었다., 1890, 1893. 원전. 1888년까지 단순 리 대수의 분류는 빌헬름 킬링에 의해 본질적으로 완료되었다. 원전. 1913년 단순 리 대수의 표현에 대한 최고 무게 정리가 엘리 카르탕에 의해 완성되었으며, 이것이 여기서 따를 경로이다. 원전. 리하르트 브라우어는 1935~38년 기간 동안 로런츠 리 대수의 스핀 표현이 클리퍼드 대수에 어떻게 매립될 수 있는지를 설명하는 바일-브라우어 행렬의 개발을 주로 담당했다. 원전. 로런츠 군은 물리학에서의 각별한 중요성 때문에 표현론에서 역사적으로 특별한 주목을 받아왔다(아래의 무한 차원 유니터리 표현의 역사 참조). 수학자 헤르만 바일, 원전. 원전. 하리시찬드라 메로트라, 원전. 그리고 물리학자 유진 위그너, 원전. 발렌타인 바르그만 원전.바르그만은 또한 수학자이기도 했다. 그는 프린스턴의 프린스턴 고등연구소에서 알베르트 아인슈타인의 조수로 일했다().은 일반 표현론과 특히 로런츠 군에 상당한 기여를 했다. 원전. 물리학자 폴 디랙은 아마도 1928년 디랙 방정식을 통해 실질적이고 영구적인 중요성을 지닌 실제 응용 분야에서 모든 것을 명백하게 결합한 최초의 인물일 것이다. 원전.디랙은 이미 1928년에 의 주제를 제안했다(위그너의 논문에서 인정된 바와 같이). 그는 또한 ()에서 명시적인 무한 차원 유니터리 표현에 관한 최초의 논문 중 하나를 발표했으며, 기약 무한 차원 표현을 분류하는 하리시찬드라의 박사 논문 주제를 제안했다().

 리 대수 
로런츠 군의 리 대수의 기약 표현은 해당 리 대수를 두 개의 부분 대수의 직적으로 인수분해함으로써 도출할 수 있다. 각 부분 대수는 와 동형이며, 의 기약 표현은 음이 아닌 반정수에 의해 라벨이 지정된다. 결과적으로 로런츠 군의 리 대수의 기약 표현은 음이 아닌 반정수의 순서쌍 에 의해 라벨이 지정된다.

이 섹션에서는 로런츠 군의 리 대수 의 복소화 의 기약 복소 선형 표현을 다룬다. 의 편리한 기저는 회전의 세 가지 생성자 와 부스트의 세 가지 생성자 로 제공된다. 이들은 관례 및 리 대수 기저에서 명시적으로 제공된다.

리 대수는 복소화되고, 기저는 두 아이디얼의 성분으로 변경된다.

 및 의 성분은 각각 리 대수 의 교환 관계를 만족하며, 더욱이 서로 교환 가능하다.

여기서 는 각각  값을 취하는 지수이며, 는 3차원 레비치비타 기호이다. 와 가 각각 와 의 복소 선형 생성을 나타낸다고 하자.

다음과 같은 동형 사상이 존재한다. 다소 신비해 보이는 세 번째 동형 사상은 2장 4절에서 증명된다.

여기서 는 의 복소화이다.

이러한 동형 사상의 유용성은  의 모든 기약 표현과 그에 따른 의 모든 기약 복소 선형 표현이 알려져 있다는 사실에서 비롯된다. 의 기약 복소 선형 표현은 최고 무게 표현 중 하나와 동형이다. 이들은  의 복소 선형 표현에서 명시적으로 주어진다.

 유니터리 요령 

리 대수 는 의 리 대수이다. 이것은 리 대수 를 갖는 콤팩트 부분군 을 포함한다. 후자는 의 콤팩트 실수 형태이다. 따라서 유니터리 요령의 첫 번째 서술에 의해, 의 표현은 의 정칙 표현과 일대일 대응 관계에 있다.

콤팩트성에 의해 페터-바일 정리가 에 적용되며, 따라서 기약 지표의 직교성에 호소할 수 있다. 의 기약 유니터리 표현은 정확히 의 기약 유니터리 표현들의 텐서곱이다.이것은 의 응용이다.

단일 연결성에 호소하여 유니터리 요령의 두 번째 서술이 적용된다. 다음 목록의 대상들은 일대일 대응 관계에 있다.
 의 정칙 표현
 의 매끄러운 표현
 의 실수 선형 표현
 의 복소 선형 표현

표현의 텐서곱은 리 대수 수준에서 다음 중 하나로 나타난다.두 인자가 동일한 리 대수 에서 올 때, 의 표현 텐서곱 은 의 표현으로 생각할 수도 있고 의 표현으로 생각할 수도 있다.

여기서 는 항등 작용소이다. 여기서는 에서 따르는 후자의 해석이 의도된 것이다. 의 최고 무게 표현은 에 대해 로 색인화된다. (실제 최고 무게는 이지만, 여기의 표기법은 에 맞춘 것이다.) 두 개의 그러한 복소 선형 인자의 텐서곱은 의 기약 복소 선형 표현을 형성한다.

마지막으로, 에서 가장 왼쪽의 과 가장 오른쪽의 의 실수 형태의 -선형 표현은복소 리 대수를 복소화할 때, 그것은 복소 차원의 두 배인 실수 차원의 실수 리 대수로 생각해야 한다. 마찬가지로, 여기서의 경우와 같이 실수 형태 또한 실제로 복소수일 수 있다. 이전 단락에서 특징지어진 의 -선형 표현으로부터 얻어진다.

 sl(2, C)의 (μ, ν) 표현 
의 동형 사상을 통해 얻은 의 복소화 의 복소 선형 표현은 의 실수 선형 표현과 일대일 대응 관계에 있다. 따라서 의 모든 실수 선형 기약 표현들의 집합은 쌍 에 의해 색인화된다. 실수 선형  표현의 복소화에 정확히 대응하는 복소 선형 표현은  형태이며, 켤레 선형 표현은 이다. 그 외의 모든 것들은 실수 선형일 뿐이다. 선형성 성질은 의 맨 오른쪽에서 를 그 복소화로 정준 매립하는 것에서 비롯된다.  또는  형태의 표현은 실수 행렬로 주어진다(후자는 기약 표현이 아니다). 명시적으로, 의 실수 선형  표현은 다음과 같다.

여기서 는 의 복소 선형 기약 표현이고 는 그 복소 켤레 표현이다. (수학 문헌의 라벨링은 보통 이지만, 여기서는  리 대수의 라벨링과 일치시키기 위해 반정수를 선택했다.) 여기서 텐서곱은 의 전자의 의미로 해석된다. 이러한 표현들은 아래의 구체적 실현에서 실현된다.

 so(3; 1)의 (m, n) 표현 
에 표시된 동형 사상과  및 를 풀었을 때의 의 복소 선형 기약 표현에 대한 지식을 통해, 의 모든 기약 표현과 제한을 통해 의 기약 표현을 얻는다. 이 방식으로 얻은 의 표현은 대수가 켤레에 대해 닫혀 있지 않기 때문에 실수 선형(복소 또는 켤레 선형이 아님)이지만, 여전히 기약 표현이다. 은 반단순하므로, 그 모든 표현은 기약 표현들의 직합으로 구축될 수 있다.

따라서 로런츠 대수의 유한 차원 기약 표현은 관례적으로 다음과 같이 쓰이는 반정수의 순서쌍  및 로 분류된다.

여기서 는 유한 차원 벡터 공간이다. 이들은 닮음 변환을 제외하고 다음에 의해 유일하게 주어진다.를 군 텐서곱 표현의 리 대수 표현에 관한 과 결합하라.

여기서 은 차원 단위 행렬이고

은  의 기약 표현이며, 스핀 행렬 또는 각운동량 행렬이라고도 한다. 이들은 다음과 같이 명시적으로 주어진다.

여기서 는 크로네커 델타를 나타낸다. 성분별로 보면, , 에 대해 표현은 다음과 같다. 식은 식 5.6.7–8 및 5.6.14–15에서 유도된다.

 일반적인 표현들 
 + 작은 에 대한 기약 표현. 괄호 안은 차원.






  스칼라 (1)
  왼손잡이 바일 스피너 (2)
  자기쌍대 2-형식 (3)
  (4)


  오른손잡이 바일 스피너 (2)
  사차원 벡터 (4)
  (6)
  (8)


  반자기쌍대 2-형식 (3)
  (6)
  대각합이 0인 대칭 텐서 (9)
  (12)


  (4)  (8)  (12)  (16)

이 리 대수의 표현은 물리학에서 사용되는데, 관심 있는 다양한 물리량이 시공간에 정의된 함수 또는 함수들의 집합이며 적절한 차원의 표현 하에서 함께 변환되기 때문이다.

  표현은 1차원 자명한 표현이며 상대론적 스칼라장 이론에 의해 운반된다.
 페르미온 초대칭 생성자는  또는  표현(바일 스피너) 하에서 변환된다.
 입자(질량이 없거나 질량이 있는)의 사차원 운동량은  표현, 즉 사차원 벡터 하에서 변환된다.
 (1,1) 대각합이 0인 대칭 이차 형식 텐서장의 물리적 예는 에너지-운동량 텐서 의 대각합이 0인 부분이다.이것은 장의 표현 방식(공변, 혼합, 반변)에 따라 , , 또는 으로 표현될 수 있다.이것은 뇌터 정리를 사용하여 라그랑지언으로부터 직접 대칭적으로 나오지는 않지만, 벨린판테-로젠펠드 에너지-운동량 텐서로 대칭화될 수 있다.

인 모든 기약 표현에 대해서는 복소수체 위에서 연산하는 것이 필수적이므로, 표현 과 의 직합은 실수체 위에서 선형 작용소를 사용할 수 있게 해주기 때문에 물리학과 특별한 관련이 있다.

 은 바이스피너 표현이다. 아래의 디랙 스피너 및 바일 스피너 및 바이스피너를 참조하라.
 은 라리타-슈윙거 장 표현이다.
 은 가설상의 중력미자의 대칭성일 것이다.이것은 반전성이 대칭성인 경우에 제공된다. 그렇지 않으면 중성미자와 유사하게  및 의 두 가지 풍미가 있을 것이다. 이것은  표현으로부터 얻을 수 있다.
 은 반전성 불변인 2-형식 장(일명 곡률 형식)의 표현이다. 전자기장 텐서가 이 표현 하에서 변환된다.

 군 
이 절의 접근 방식은 근본적인 리 대응에 기초한 정리들에 기반한다. 리 대응은 본질적으로 연결 리 군과 리 대수 사이의 사전이다. 그들 사이의 연결 고리는 리 대수에서 리 군으로 가는 리 지수 사상이며, 로 표기된다.

어떤 벡터 공간 에 대해 가 표현이라면, 의 연결 성분의 표현 는 다음과 같이 정의된다.

이 정의는 결과 표현이 사영적인지 여부와 관계없이 적용된다.

 SO(3, 1)에 대한 지수 사상의 전사성 
실용적인 관점에서 의 첫 번째 식이 군의 모든 원소에 대해 사용될 수 있는지가 중요하다. 이것은 모든 에 대해 성립하지만, 일반적인 경우(예: ) 모든 가 의 치역에 있지는 않다.

그러나 는 전사적이다. 이를 보여주는 한 가지 방법은 동형 사상 를 이용하는 것인데, 후자는 뫼비우스 군이다. 이것은 의 몫군이다(연결된 문서 참조). 몫 사상은 로 표기된다. 사상 는 위로의 사상(onto)이다. 를 항등원에서의 의 미분으로 하여 를 적용하라. 그러면

좌변이 전사적이므로( 와  모두 전사적), 우변도 전사적이며 따라서 는 전사적이다. 마지막으로, 와  사이의 알려진 동형 사상을 사용하여 논리를 한 번 더 적용하면 로런츠 군의 연결 성분에 대해 가 위로의 사상임을 알 수 있다.

 기본군 
로런츠 군은 이중 연결되어 있다. 즉, 은 두 개의 루프 동치류를 원소로 갖는 군이다.

 사영 표현 
이 두 개의 원소를 가지므로, 리 대수의 일부 표현은 사영 표현을 생성할 것이다.수학계와 물리학계 사이에 용어 차이가 있다. 연결된 문서에서 사영 표현이라는 용어는 물리학에서의 의미와 약간 다른데, 물리학에서 사영 표현은 피복군에서 피복되는 군 위로의 피복 사상의 국소 단면(국소 역사상)을 피복군의 적절한 표현과 합성한 것으로 간주된다. 아래에서 설명하듯이 이 작업은 두 가지 방식으로 (국소적으로) 연속적으로 수행될 수 있으므로, 이중 표현(double-valued or two-valued representation)이라는 용어가 자연스럽다. 어떤 표현이 사영 표현인지 알려지면, 식 는 사영 표현을 포함한 모든 군 원소와 모든 표현에 적용된다. 단, 군 원소의 대표자는 군 원소를 표준 표현으로 나타내는 데 사용되는 리 대수의 원소(의 )에 따라 달라진다는 점을 이해해야 한다.

로런츠 군의 경우, 이 반정수일 때  표현은 사영 표현이다. 스피너를 참조하라.

의 사영 표현 에 대해 다음이 성립한다.

이중 연결성 때문에 에서 두 번 가로지르는 임의의 루프는 한 점으로 수축 가능하므로, 그 호모토피 클래스는 상수 사상의 클래스이기 때문이다. 따라서 는 이중 함수(double-valued function)이다.  전체의 연속적인 표현을 얻기 위해 일관되게 부호를 선택하는 것은 불가능하지만, 임의의 점 주변에서는 국소적으로 가능하다.

 범피복군 SL(2, C) 
기저를 다음과 같이 갖는 실수 리 대수로서의 를 고려하자.

여기서 시그마는 파울리 행렬이다. 관계식

으로부터 다음을 얻는다.

이것들은 정확히 에 대한 교환 관계의 3차원 버전 형태이다(아래의 관례 및 리 대수 기저 참조). 따라서 사상 , 를 선형성으로 확장한 것은 동형 사상이다. 는 단일 연결되어 있으므로 의 범피복군이다.

 기하학적 관점 

에서 로 가는 경로를 라 하고, 그 호모토피 클래스를 라 하며, 그러한 모든 호모토피 클래스의 집합을 라고 하자. 다음 집합을 정의한다.

그리고 여기에 다음과 같은 곱셈 연산을 부여한다.

여기서 는 과 의 경로 곱셈이다.

이 곱셈을 통해 는 의 범피복군인 와 동형인 군이 된다. 각 가 두 개의 원소를 가지므로, 위의 구성에 의해 2:1 피복 사상 가 존재한다. 피복군 이론에 따라 의 리 대수  및 는 모두 동형이다. 피복 사상 는 단순히 로 주어진다.

 대수학적 관점 
범피복군의 대수학적 관점을 위해, 가 모든 에르미트  행렬의 집합 에 다음과 같은 연산으로 작용한다고 가정하자.

에 대한 작용은 선형이다. 의 원소는 다음과 같은 형태로 쓰여질 수 있다.

사상 는 로 가는 군 준동형사상이다. 따라서 는 의 4차원 표현이다. 그 핵(kernel)은 특히 단위 행렬을 자기 자신으로 보내야 하므로, 이고 따라서 이다. 그러므로 핵에 있는 에 대해 가 성립하고, 슈어 보조정리에 의해특히 는 파울리 행렬과 교환 가능하며, 따라서  전체와 교환 가능하므로 슈어 보조정리를 적용할 수 있다. 는 단위 행렬의 배수이며, 이므로 여야 한다. 피복군의 이러한 구성은 2부 1장 1절 4항에서 다루어진다. 공간 는 다음을 통해 민코프스키 공간 로 사상된다.

에 대한 의 작용은 행렬식을 보존한다. 위의 동형 사상을 통한 의  상의 유도 표현 는 다음과 같이 주어진다.

다음에 의해 로런츠 내적을 보존한다.

이것은 가 전체 로런츠 군 에 속함을 의미한다. 연결성에 관한 주요 정리에 의해, 가 연결되어 있으므로  하에서의 그 상(image)은 연결되어 있으며, 따라서 에 포함된다.

의 리 사상이 리 대수 동형 사상 임이 증명될 수 있다.핵이 자명함을 의미하는데, 이를 상기하기 위해 리 대수 준동형사상의 핵은 아이디얼이며 따라서 부분 공간이라는 점을 기억하라. 가 이고 와 가 모두 이므로, 핵은 이어야 하며 따라서 }이다. 사상  또한 위로의 사상이다.지수 사상은 의 단위 원소 근방에서 일대일 대응이므로, 합성 사상  (여기서 는 리 대수 동형 사상)는 단위 원소를 포함하는 열린 근방  위로 전사적이다. 그러한 근방은 연결 성분을 생성한다.

따라서 는 단일 연결되어 있으므로 위의 군 와 동형인 의 범피복군이다.

 SL(2, C)에 대한 지수 사상의 비전사성 
350px|섬네일|이 다이어그램은 텍스트에서 논의된 사상들의 네트워크를 보여준다. 여기서 는   및 의 표현을 운반하는 유유한 차원 벡터 공간이다. 는 지수 사상이고, 는 에서  위로의 피복 사상이며, 는 그에 의해 유도된 리 대수 동형 사상이다.

사상 와 두 개의 는 표현이다. 이 그림은 가 사영적일 때는 부분적으로만 참이다.

지수 사상 는 위로의 사상이 아니다. 행렬

은 에 속하지만, 를 만족하는 는 존재하지 않는다. 2.1절 예제 4로부터: 이는 다음과 같이 알 수 있다. 행렬 는 고윳값 을 갖지만 대각화 가능하지 않다. 만약 라면, 의 원소는 대각합이 0이므로 는 어떤 에 대해 인 고윳값 를 갖는다. 그러면 는 대각화 가능하고, 따라서 도 대각화 가능하게 되는데, 이는 모순이다.

일반적으로 가 리 대수 를 갖는 연결 리 군 의 원소라면, 에 의해 다음이 성립한다.

행렬 는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

 SL(2, C) 및 sl(2, C)의 표현과 그 리 대수의 실현 
 및 의 복소 선형 표현은  표현보다 더 간단하게 얻을 수 있다. 이들은 일반적으로 처음부터 작성할 수 있다. 정칙 군 표현(대응하는 리 대수 표현이 복소 선형임을 의미)은 지수 함수를 통해 복소 선형 리 대수 표현과 연결된다. 의 실수 선형 표현은 정확히  표현이다. 이들도 지수 함수를 취할 수 있다.  표현은 복소 선형이며 최고 무게 표현과 (동형)이다. 이들은 일반적으로 하나의 정수만으로 색인화되지만 여기서는 반정수가 사용된다.

편의를 위해 이 절에서는 수학적 관례를 사용한다. 리 대수 원소는  배만큼 차이가 나며, 다른 곳에서 사용되는 물리적 관례와 비교하여 지수 사상에  인자가 없다. 의 기저를 다음과 같이 하자.

이 기저 선택과 표기법은 수학 문헌에서 표준적이다.

 복소 선형 표현 
기약 정칙 차원 표현 는 2변수 동차다항식의 공간  위에서 실현될 수 있으며, 그 원소는 다음과 같다.

의 작용은 다음과 같이 주어진다. 식 2.1.

관련된  작용은 와 위의 정의를 사용하여 의 기저 원소에 대해 다음과 같다.

에 대한 기저를 선택하면, 이 표현들은 행렬 리 대수가 된다.

 실수 선형 표현 
 표현은 에서 차수 의 동차이고 에서 차수 의 동차인  다항식 공간  위에서 실현된다. 표현은 다음과 같이 주어진다. 식 2.4.

를 다시 적용하면 다음을 알 수 있다.

특히 기저 원소들에 대해,

 (m, n) 표현의 성질 
위에서 의 기약 복소 선형 표현  및 의 텐서곱의 (실수 형태 로의 제한으로서) 정의된  표현은 기약이며, 이것들이 유일한 기약 표현이다.
 기약성은 유니터리 요령 및 의 표현 가 기약일 필요충분조건이  (여기서 는 의 기약 표현)라는 사실로부터 따른다. 이는 지표 이론을 사용하여 가장 쉽게 증명된다.
 유일성은 이 의 유일한 기약 표현이라는 사실로부터 따르며, 이는 최고 무게 정리의 결론 중 하나이다.

 차원 
 표현은 차원이다. 이는   및 의 표현에 주어진 것과 같은 임의의 구체적 실현에서 차원을 세는 것으로부터 가장 쉽게 확인된다. 일반적인 리 대수 의 경우 바일 차원 공식이 적용된다.

여기서 는 양의 근의 집합이고, 는 최고 무게, 는 양의 근의 합의 절반이다. 내적 은 바일 군의 작용 하에 불변인 리 대수 의 내적이며, 카르탕 부분 대수  위에서 작용한다. 근(의 원소)은 이 내적을 통해 의 원소와 동일시된다. 의 경우 공식은 로 축소된다. 최고 무게는 이다. 텐서곱을 취하면 결과가 도출된다.

 충실성 
리 군 의 표현 가 충실하지 않다면, 는 자명하지 않은 정규 부분군이다.기초 군론에 관한 텍스트를 참조하라. 세 가지 관련 사례가 있다.
 이 비이산적(non-discrete)이고 아벨 군이다.
 이 비이산적이고 비아벨 군이다.
 이 이산적이다. 이 경우 이며, 여기서 는 의 중심이다.경로 연결 군 의 모든 이산 정규 부분군은 의 중심 에 포함된다.
의 경우, 가 반단순하므로 첫 번째 사례는 제외된다.반단순 리 군은 비이산적인 정규 아벨 부분군을 갖지 않는다. 이것이 반단순성의 정의로 간주될 수 있다. 두 번째 사례(및 첫 번째 사례)는 가 단순하므로 제외된다.단순 군은 비이산 정규 부분군을 갖지 않는다. 세 번째 사례의 경우, 는 몫군 와 동형이다. 그러나 는 의 중심이다. 따라서 의 중심은 자명하며, 이는 세 번째 사례를 배제한다. 결론적으로 유한 차원 벡터 공간 에 대한 모든 표현 과 모든 사영 표현 은 충실한 표현이다.

기본 리 대응을 사용하면 위의 서술과 논리는 (아벨) 자명하지 않은 비이산 정규 부분군이 리 대수의 (1차원) 자명하지 않은 아이디얼로 대체되고 Propositions 3 and 6 paragraph 2.5., 의 중심이 의 중심으로 대체되어 리 대수로 직접 번역된다. 모든 반단순 리 대수의 중심은 자명하며 연습 문제 1, 6장 참조. 은 반단순이자 단순하므로 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는다.

관련된 사실은 의 대응하는 표현이 충실하다면 그 표현은 사영 표현이라는 것이다. 반대로 표현이 사영적이지 않다면 대응하는  표현은 충실하지 않고 이다.

 비유니터리성 
 리 대수 표현은 에르미트가 아니다. 따라서 대응하는 군의 (사영) 표현은 결코 유니터리가 아니다.대조적으로, 바일의 유니터리 요령이라고도 불리지만 위의 유니터리 요령과는 무관한 요령이 있는데, 이는 모든 유한 차원 표현이 유니터리이거나 유니터리로 만들어질 수 있음을 보여준다. 만약 가 콤팩트 리 군 의 유한 차원 표현이고 가  상의 임의의 내적이라면, 로 새로운 내적 를 정의하라. 여기서 는  상의 하르 측도이다. 그러면 는 에 대해 유니터리이다.  참조.

또 다른 결론은 모든 콤팩트 리 군이 완전 가약성 성질을 갖는다는 것인데, 이는 그 모든 유한 차원 표현이 기약 표현의 직합으로 분해됨을 의미한다. 

콤팩트 리 군의 무한 차원 기약 유니터리 표현이 존재하지 않는다는 것도 사실인데, 이는 에서 증명 없이 서술되어 있다. 이는 로런츠 군의 비콤팩트성 때문이다. 실제로, 연결 단순 비콤팩트 리 군은 자명하지 않은 유니터리 유한 차원 표현을 가질 수 없다. 이에 대한 위상수학적 증명이 존재한다. p.4. 가 유한 차원일 때, 비콤팩트 연결 단순 리 군 의 연속 유니터리 표현을 라 하자. 그러면 이며 여기서 는 유니터리 변환들로 구성된 의 콤팩트 부분군이다. 의 핵은 의 정규 부분군이다. 가 단순하므로, 는  전체(이 경우 는 자명함)이거나 자명한 집합(이 경우 는 충실함)이다. 후자의 경우 는 그 상 위로의 미분동형사상이며, Proposition 1.20. 이고 는 리 군이다. 이는 가 콤팩트 군 의 매립된 비콤팩트 리 부분군임을 의미할 것이다. 리 군의 모든 매립된 리 부분군은 닫혀 있으므로  상의 부분공간 위상으로는 이것이 불가능하다. 만약 가 닫혀 있다면 콤팩트할 것이고, Lemma A.17 (c). 콤팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 콤팩트하다. 그러면 가정과 반대로 가 콤팩트하게 된다. Lemma A.17 (a). 만약 가 연속이고 가 콤팩트하면 는 콤팩트하다.비유니터리성은 콜먼-맨듈라 정리 증명의 필수 요소인데, 이는 비상대론적 이론에서와 달리 서로 다른 스핀을 가진 입자들을 연결하는 일반적인 대칭성이 존재할 수 없음을 함의한다.  참조.

로런츠 군의 경우, 이는 정의로부터 직접 확인할 수도 있다. 구성에 사용된 와 의 표현은 에르미트이다. 이는 가 에르미트이지만 는 반에르미트임을 의미한다. 비유니터리성은 양자장론에서 문제가 되지 않는데, 관심 대상들이 로런츠 불변인 양의 확정적 노름을 가질 것을 요구하지 않기 때문이다.

 SO(3)로의 제한 
그러나  표현은 회전 부분군 로 제한될 때 유니터리이지만, 이러한 표현들은 SO(3)의 표현으로서 기약은 아니다. 클렙슈-고르단 분해를 적용하면  표현이 최고 무게(스핀) 의  불변 부분 공간을 가짐을 알 수 있으며, 여기서 가능한 각 최고 무게(스핀)는 정확히 한 번씩 나타난다. 최고 무게(스핀) 의 무게 부분 공간은 차원이다. 예를 들어, (, ) 표현은 각각 차원이 3과 1인 스핀 1 및 스핀 0 부분 공간을 가진다.

각운동량 작용소가 로 주어지므로, 회전 부분 표현의 양자역학적 최고 스핀은 이 될 것이며, 각운동량 더하기의 "통상적인" 규칙과 3-j 기호, 6-j 기호 등의 형식주의가 적용된다.

 스피너 
표현이 스핀을 가지는지 여부를 결정하는 것은 기약 표현의  불변 부분 공간이다. 위의 단락으로부터 이 반정수일 때  표현이 스핀을 가짐을 알 수 있다. 가장 단순한 것은 차원이 인 바일 스피너  및 이다. 그러면 예를 들어  및 는 각각 차원이  및 인 스핀 표현이다. 위의 단락에 따르면 마지막 두 사례에는 스핀  및 인 부분 공간이 모두 존재하므로, 이러한 표현들이  하에서 잘 정의된 거동을 보여야 하는 단일 물리적 입자를 나타낼 가능성은 낮다. 그러나 일반적으로 서로 다른 스핀을 가진 여러  부분 표현을 갖는 표현이 잘 정의된 스핀을 가진 물리적 입자를 나타낼 수 있다는 가능성을 완전히 배제할 수는 없다. 비물리적 성분들을 걸러내고 단일 스핀만을 남기는 적절한 상대론적 파동 방정식이 존재할 수도 있기 때문이다.

기약 표현으로부터 ( 하의) 임의의 에 대한 순수 스핀  표현을 구성하는 작업은 디랙 표현과 스핀이 없는 표현의 텐서곱을 취하고, 적절한 부분 공간을 추출하며, 마지막으로 미분 제약 조건을 가하는 과정을 포함한다. 이는 232페이지에 각주 수준으로 매우 간략하게 요약되어 있다.

 쌍대 표현 
200px|섬네일|오른쪽| 의 근계 .

기약 표현의 쌍대 표현이 원래 표현과 동형인지 조사하기 위해 다음 정리들이 적용된다.
 반단순 리 대수의 기약 표현의 무게 집합은 다중도를 포함하여 원래 표현의 무게 집합의 음수이다.
 두 기약 표현은 동일한 최고 무게를 가질 때만 동형이다.이것은 카르탕의 정리인 최고 무게 정리의 결론 중 하나이다.
 각 반단순 리 대수에 대해, 가 우세 적분 무게(dominant integral weight)이면 가 다시 우세 적분 무게가 되도록 하는 바일 군의 유일한 원소 가 존재한다.
 만약 가 최고 무게 를 갖는 기약 표현이라면, 는 최고 무게 를 갖는다.
여기서 바일 군의 원소들은 근계의 실수 벡터 공간 위에서 행렬 곱셈에 의해 작용하는 직교 변환으로 간주된다. 만약 가 반단순 리 대수의 바일 군의 원소라면 이다. 의 경우 바일 군은 이다. 따라서 각 는 그 쌍대 표현 와 동형이다. 의 근계는 오른쪽 그림과 같다. 근계는 의 두 복사본의 합집합이며, 각 복사본은 매립 벡터 공간의 고유한 차원에 존재한다. 바일 군은 가 모든 근을 훑을 때 에 직교하는 평면에서의 반사인 에 의해 생성된다. 이 정의는 고려 중인 근계의 리 대수가 리 대수인 연결 리 군의 관점에서의 정의와 동일하다. 조사 결과 이므로 이다. 가 리 대수 표현이고 이면 라는 사실을 사용하면, 에 대한 결론은 다음과 같다.

 복소 켤레 표현 
가 리 대수의 표현이라면, 대표 행렬의 각 성분에 복소 켤레를 취한 도 표현이다. 이는 복소 켤레가 덧셈 및 곱셈과 교환 가능하다는 사실로부터 따른다. 일반적으로 의 모든 기약 표현 는 로 유일하게 쓰여질 수 있으며, 여기서

는 정칙(복소 선형)이고 는 반정칙(켤레 선형)이다. 에 대해 가 정칙이므로 는 반정칙이다. 아래 식 에서  및 의 명시적 표현을 직접 조사하면 각각 정칙 및 반정칙임을 알 수 있다. 식 을 더 자세히 조사하면 에 대한  및 를 다음과 같이 식별할 수 있다.

위의 항등식(함수의 점별 덧셈으로 해석됨)을 에 사용하면 다음을 얻는다.

여기서 군 표현에 대한 서술은 로부터 따른다. 따라서 기약 표현 이 실수 행렬 대표자를 갖는 것은 일 때 뿐이다.  형태의 가약 표현도 실수 행렬을 갖는다.

 딸림 표현, 클리퍼드 대수, 디랙 스피너 표현 

일반적인 표현론에서, 가 리 대수 의 표현이라면, 다음으로 주어지는  상의 의 연관 표현(역시 로 표기됨)이 존재한다.

마찬가지로, 군 의 표현 는  상의 의 표현 를 생성하며, 여전히 로 표기되고 다음과 같이 주어진다. Appendix D.3 참조.

만약 와 가  상의 표준 표현이고 작용이 로 제한된다면, 위의 두 표현은 각각 리 대수의 딸림표현과 군의 딸림표현이다. 대응하는 표현(어떤  또는 )은 모든 행렬 리 군에 대해 항상 존재하며, 일반적인 표현론 및 주어진 리 군에 대한 연구에 있어 매우 중요하다.

이를 로런츠 군에 적용하면, 만약 가 사영 표현이라면, 를 사용한 직접 계산을 통해  상의 유도 표현이 위상 인자가 없는 적절한(proper) 표현임을 보여준다.

양자역학에서 이는 어떤 힐베르트 공간 에 작용하는 표현  또는 가 있다면, 대응하는 유도 표현은  상의 선형 작용소 집합에 작용함을 의미한다. 예로서,  상의 사영 스핀  표현의 유도 표현은 비사영 사차원 벡터 (, ) 표현이다.

단순화를 위해 의 "이산적인 부분", 즉 의 기저가 주어졌을 때 무한 차원을 포함할 수 있는 다양한 차원의 상수 행렬 집합만 고려하자. 위의 유도된 사차원 벡터 표현은 디랙 행렬들에 의해 생성되는 4차원 불변 부분 공간을 가진다. (연결된 문서에서는 계량 관례가 다르다.) 대응하는 방식으로, 디랙 행렬에 의해 생성된 복소화가 인 시공간의 클리퍼드 대수  전체는 스칼라 기약 표현(irrep) , 의사스칼라 irrep(역시 이지만 반전성 고윳값 을 가짐, 아래의 다음 절 참조), 이미 언급된 벡터 irrep , 반전성 고윳값 +1( −1이 아님)을 갖는 의사벡터 irrep , 그리고 텐서 irrep 의 직합으로 분해된다. 차원을 합하면 이 된다. 다시 말해,

여기서 관례에 따라 표현은 그 표현 공간과 혼동되어 쓰였다.

  스핀 표현 
 내의 텐서  표현의 6차원 표현 공간은 두 가지 역할을 한다.

여기서 는 디랙 행렬이며, 시그마들(교환자의 반대칭성 때문에 6개만이 0이 아님)은 텐서 표현 공간을 생성한다. 더욱이, 이들은 로런츠 리 대수의 교환 관계를 가지며, Section 5.4.

따라서  내부에 앉아 있는 표현(표현 공간을 생성하는 것에 더하여), 즉  스핀 표현을 구성한다. 세부 사항은 바이스피너 및 디랙 대수를 참조하라.

결론은 에 있는 복소화된 의 모든 원소(즉, 모든 복소  행렬)는 잘 정의된 로런츠 변환 성질을 가진다는 것이다. 또한, 이것은 지수 함수를 취하면 군의 스핀 표현이 되어 에 작용하며, 이를 바이스피너 공간으로 만드는 로런츠 리 대수의 스핀 표현을 가진다.

 가약 표현 
다른 표현들은 기약 표현들로부터 유도될 수 있는데, 예를 들어 기약 표현들의 직합, 텐서곱, 그리고 몫을 취함으로써 얻어지는 것들이다. 표현을 얻는 다른 방법으로는 로런츠 군을 포함하는 더 큰 군(예:  및 푸앵카레 군)의 표현을 제한하는 것이 있다. 이러한 표현들은 일반적으로 기약 표현이 아니다.

로런츠 군과 그 리 대수는 완전 가약성 성질을 가진다. 이는 모든 표현이 기약 표현들의 직합으로 분해됨을 의미한다.

 공간 반전 및 시간 역전 
(사영적일 수 있는)  표현은 로런츠 군의 항등 성분인 (물리 용어로는 고유 직교 로런츠 군)의 표현으로서 기약 표현이다. 만약 이라면, 공간 반전과 시간 역전을 포함하는 전체 의 표현으로 확장될 수 있다. 표현 도 마찬가지로 확장될 수 있다.

 공간 반전 
공간 반전의 경우, 의 에 대한 딸림 작용 가 고려된다. 여기서 는 공간 반전의 표준 대표인 로 다음과 같이 주어진다.

와 의 이러한 성질이  하에서 에는 벡터라는 용어를, 에는 유사벡터 또는 축성 벡터라는 용어를 사용하는 동기가 된다. 유사하게, 가 의 임의의 표현이고 가 그에 연관된 군 표현이라면, 는  에 대해 딸림 작용 을 통해 의 표현에 작용한다. 만약 가 에 포함되어야 한다면, 과의 일관성을 위해 다음이 성립해야 한다.

여기서 와 는 첫 번째 섹션에서 정의된 것과 같다. 이는 와 의 차원이 같을 때, 즉 일 때만 성립할 수 있다. 일 때 은 고유 로런츠 군인 의 기약 표현으로 확장될 수 있다. 반전성 반전 대표자 는  표현의 일반적인 구성과 함께 자동으로 제공되지 않는다. 그것은 별도로 명시되어야 한다. 행렬 (또는 절댓값이 -1인 그 배수)가  표현에서 사용될 수 있다.

반전성이  표현에서 음의 부호( 행렬 )로 포함된다면, 이를 유사스칼라 표현이라고 한다.

 시간 역전 
시간 역전 은 유사하게 에 다음과 같이 작용한다. 식 2.6.5.

에 대한 대표자와 함께 에 대한 대표자를 명시적으로 포함함으로써, 전체 로런츠 군 의 표현을 얻는다. 그러나 물리학, 특히 양자역학에 적용할 때 미묘한 문제가 발생한다. 전체 푸앵카레 군을 고려할 때,  및  외에 네 개의 생성자 가 군을 생성한다. 이들은 평행 이동의 생성자로 해석된다. 시간 성분 는 해밀턴 연산자 이다. 연산자 는 다음 관계를 만족한다. 식 2.6.6 이후 식.

이는 이 전체 푸앵카레 대수로 대체된 위의 관계와 유사하다. 단순히 를 상쇄하면, 결과 는 시간 역전 불변성을 가진 양자 상태의 힐베르트 공간에서 양의 에너지 를 가진 모든 상태 에 대해 음의 에너지 를 가진 상태 가 존재해야 함을 의미한다. 그러한 상태는 존재하지 않는다. 따라서 연산자 는 반교환하여 가 되도록 반선형(antilinear) 및 반유니터리로 선택되며, 힐베르트 공간에 대한 작용 역시 반선형 및 반유니터리가 된다. 이는 복소 켤레와 유니터리 행렬의 곱의 합성으로 표현될 수 있다.스핀 0,  및 1인 경우에 대한 자세한 논의는 을 참조하라. 이는 수학적으로 타당하지만(위그너 정리 참조), 용어상의 매우 엄격한 요구 사항을 따지면 는 표현이 아니다.

공간 반전과 시간 역전에 대해 불변인 QED와 같은 이론을 구축할 때는 디랙 스피너를 사용할 수 있는 반면, 약전자기력과 같이 그렇지 않은 이론은 바일 스피너의 관점에서 공식화되어야 한다. 디랙 표현 은 일반적으로 공간 반전과 시간 역전을 모두 포함하는 것으로 간주된다. 공간 반전이 없으면 이것은 기약 표현이 아니다.

CPT 정리에서  및 와 함께 들어가는 세 번째 이산 대칭인 전하 켤레 대칭 는 로런츠 불변성과 직접적인 관련이 없다.

 함수 공간에서의 작용 
가 유한한 수의 변수 의 함수들의 벡터 공간이라면, 스칼라 함수 에 대한 작용은 다음과 같이 주어진다.

이는 또 다른 함수 를 생성한다. 여기서 는 차원 표현이고, 는 무한 차원일 수 있는 표현이다. 이 구성의 특수한 사례는 가 선형 군  자체에서 정의된 함수의 공간인 경우로, (은 행렬의 차원)에 매립된 차원 다양체로 간주된다. 유한 차원과 무한 차원 모두에 대한 더 많은 예는 6.1절을 참조하라. 이것은 페터-바일 정리와 보렐-바일 정리가 공식화되는 환경이다. 전자는 콤팩트 군 위의 함수를 기약 표현의 지표들로 푸리에 분해하는 것이 존재함을 보여준다. 후자의 정리는 더 명시적인 표현을 제공하며, 유니터리 요령을 사용하여 와 같은 복소 비콤팩트 군의 표현을 생성한다.

다음은 일부 함수 공간에 대한 로런츠 군과 회전 부분군의 작용을 예시한다.

 유클리드 회전 

3차원 유클리드 회전의 부분군 은 힐베르트 공간

위에서 무한 차원 표현을 갖는다. 여기서 은 구면 조화 함수이다. 단위구 상의 임의의 제곱 적분 가능 함수 는 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 은 일반화된 푸리에 계수이다.

로런츠 군 작용은 의 작용으로 제한되며 다음과 같이 표현된다.

여기서 은 회전 생성자의 홀수 차원 대표자로부터 얻어진다.

 뫼비우스 군 

로런츠 군의 항등 성분은 뫼비우스 군 과 동형이다. 이 군은 복소평면 또는 평사 투영을 통한 리만 구의 정각 사상으로 생각할 수 있다. 이러한 방식으로 로런츠 군 자체는 복소평면이나 리만 구에 등각적으로 작용하는 것으로 생각할 수 있다.

평면에서 복소수 로 특징지어지는 뫼비우스 변환은 다음에 따라 평면에 작용한다.

그리고 복소 행렬로 표현될 수 있다.

0이 아닌 복소 스칼라를 곱해도 가 변하지 않기 때문이다. 이들은 의 원소이며 부호를 제외하고 유일하므로( 가 동일한 를 주므로), 이다.

 리만 P-함수 

리만 미분 방정식의 해인 리만 P-함수는 로런츠 군의 작용 하에 자기들끼리 변환되는 함수 집합의 한 예이다. 리만 P-함수는 다음과 같이 표현된다.

여기서 는 복소 상수이다. 우변의 P-함수는 표준 초기하함수를 사용하여 표현될 수 있다. 그 연결은 다음과 같다.

의 좌변 상단 행에 있는 상수 집합 은 가우스 초기하 방정식의 정칙 특이점이다. 특이점  주변의 전개에 대한 그 지수(즉, 결정 방정식의 해)는 두 개의 선형 독립 해에 대응하는 과 이며,{{프로베니우스 방법]]이 두 개의 선형 독립 해를 산출하는 정확한 조건에 대해서는 을 참조하라. 지수가 정수만큼 차이 나지 않는다면 항상 그렇다. 특이점  주변의 전개에 대한 지수는 과 이다. 마찬가지로, 에 대한 지수는 두 해에 대해 와 이다.

따라서 다음과 같다.

여기서 지수들에 대한 조건(때때로 리만 항등식이라 불림)

이 를 정의하기 위해 사용되었다.

의 좌변 첫 번째 상수 집합 는 리만 미분 방정식의 정칙 특이점을 나타낸다. 두 번째 집합 는 두 개의 선형 독립 해 중 하나에 대한 에서의 대응하는 지수이며, 그에 따라 는 두 번째 해에 대한 에서의 지수이다.

먼저 다음과 같이 설정하여 리만 P-함수 집합에 대한 로런츠 군의 작용을 정의한다.

여기서 는

의 성분들이며, 로런츠 변환 에 대한 것이다.

다음을 정의한다.

여기서 는 리만 P-함수이다. 결과 함수는 다시 리만 P-함수이다. 인자의 뫼비우스 변환 효과는 극점을 새로운 위치로 이동시켜 임계점을 변화시키지만, 새로운 함수가 만족하는 미분 방정식의 지수에는 변화가 없다. 새로운 함수는 다음과 같이 표현된다.

여기서

 무한 차원 유니터리 표현 
 역사 
로런츠 군 과 그 이중 피복 는 또한 폴 디랙의 권유로 ,  및 에 의해 독립적으로 연구된 무한 차원 유니터리 표현을 가진다. 이러한 발전의 궤적은 에서 시작되었는데, 그는 고스핀( 디랙 행렬과 비교) 설명에 필요한 행렬 와 를 고안했고, 이는 (  참조)에 의해 정교화되었으며 바르그만-위그너 방정식의 전구체를 제안했다. 에서 그는 텐서의 일반화로서 그 원소를 익스팬서(expansor)라고 부르는 구체적인 무한 차원 표현 공간을 제안했다."이것은 반단순 및 가약 군의 무한 차원 표현 이론의 원천에 가장 가까운 것이다...", , 디랙의 1945년 논문 서문을 인용. 이러한 아이디어들은 하리시찬드라에 의해 통합되었고, 그의 1947년 논문에서 스피너의 무한 차원 일반화인 익스피너(expinor)로 확장되었다.

이러한 군들에 대한 플랑슈렐 공식은 겔판트와 나이마르크에 의해 복잡한 계산을 통해 처음 얻어졌다. 이 처리는 이후 콤팩트 리 군에 대한 헤르만 바일의 적분 공식의  아날로그에 기초하여  및 에 의해 상당히 단순화되었다. 이 접근 방식에 대한 기초적인 설명은  및 에서 찾을 수 있다.

민코프스키 공간에 앉아 있는 3차원 쌍곡공간의 쌍곡면 모델에서의 조화해석학에 필요한 로런츠 군에 대한 구면 함수 이론은 일반 이론보다 상당히 쉽다. 반지름 방향 좌표에서 쌍곡면 상의 라플라스 작용소가  상의 라플라스 작용소와 동등하기 때문에 구면 주계열의 표현만을 포함하며 직접 다룰 수 있다. 이 이론은 , ,  및 사후 출간된 의 텍스트에서 논의된다.

 SL(2, C)의 주계열 
주계열(principal series) 또는 유니터리 주계열은 의 하삼각 부분군 의 1차원 표현으로부터 유도 표현된 유니터리 표현이다. 의 1차원 표현은 0이 아닌 복소수 성분 와 을 갖는 대각 행렬의 표현에 대응하므로, 정수 와 실수  및 에 대해 다음과 같은 형태를 갖는다.

이 표현들은 기약이다. 유일한 중복, 즉 표현들 사이의 동형 사상은 가 로 대체될 때만 발생한다. 정의에 따라 표현들은 리만 구와 동형인  상의 선다발의  단면 상에서 실현된다. 일 때, 이 표현들은 소위 구면 주계열을 구성한다.

주계열의 의 극대 콤팩트 부분군 로의 제한은  식별을 사용하여 의 유도 표현으로 실현될 수도 있다. 여기서 는 인 대각 행렬들로 구성된 의 극대 원환면이다. 이는 1차원 표현 로부터 유도된 표현이며, 와는 독립적이다. 프로베니우스 상호성에 의해, 이들은  상에서 비음의 정수 에 대해 차원이 인 의 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

한 점을 제외한 리만 구와  사이의 동일시를 사용하여, 주계열은 다음 공식에 의해  상에서 직접 정의될 수 있다.

기약성은 다양한 방식으로 확인될 수 있다.

 표현은 이미  상에서 기약이다. 이는 직접 볼 수도 있지만, 프랑수아 브뤼아와 조지 매키에 의한 유도 표현의 기약성에 관한 일반적인 결과의 특수한 사례이기도 하며, 브뤼아 분해 인 바일 군 원소 에 대해 에 의존한다.
 의 리 대수 의 의 기약 부분 공간들의 대수적 직합에 대한 작용을 명시적으로 계산할 수 있으며, 최저 차원 부분 공간이 이 직합을 -모듈로서 생성함을 직접 확인할 수 있다.

 SL(2, C)의 보충 계열 
에 대해, 보충 계열(complementary series)은 내적 Chapter 2. Equation 2.12.

에 대해  위에서 정의되며, 작용은 다음과 같이 주어진다.

보충 계열의 표현은 기약이며 쌍마다 비동형이다. 의 표현으로서, 각각은 의 모든 홀수 차원 기약 표현의 힐베르트 공간 직합과 동형이다. 기약성은 이러한 부분 공간들의 대수적 합에 대한 의 작용을 분석하거나 리 대수를 사용하지 않고 직접 증명할 수 있다.

 SL(2, C)에 대한 플랑슈렐 정리 
의 유일한 기약 유니터리 표현은 주계열, 보충 계열, 그리고 자명한 표현이다.
가 주계열에서는 로 작용하고 나머지에서는 자명하게 작용하므로, 가 짝수이면 로런츠 군의 모든 기약 유니터리 표현을 제공할 것이다.

 상의 의 왼쪽 정칙 표현을 분해하려면 주계열 표현들만 필요하다. 이는 즉시 로런츠 군의 왼쪽 정칙 표현인 부분 표현 과 3차원 쌍곡공간 상의 정칙 표현 에 대한 분해를 제공한다. (전자는 가 짝수인 주계열 표현만을 포함하고 후자는 인 표현만을 포함한다.)

왼쪽 및 오른쪽 정칙 표현 와 는  위에서 다음과 같이 정의된다.

이제 가 의 원소라면, 다음과 같이 정의된 작용소 는

힐베르트-슈미트 작용소이다. 다음과 같이 힐베르트 공간 를 정의한다.

여기서

이고 는  상의 힐베르트-슈미트 작용소들의 힐베르트 공간을 나타낸다.힐베르트 공간 에 대해, 는 와 그 켤레 공간의 힐베르트 공간 텐서곱과 정준적으로 식별될 수 있음을 주목하라. 그러면  위에서 정의된 사상 

는 에서  위로의 유니터리 연산자로 확장된다.

사상 는 다음의 얽힘(intertwining) 성질을 만족한다.

만약 가 에 있다면 유니터리성에 의해 다음이 성립한다.

따라서 가 과 의 합성곱을 나타내고 이면,

마지막 두 표시된 공식은 각각 보통 플랑슈렐 공식과 푸리에 역변환 공식이라고 불린다.

플랑슈렐 공식은 모든 로 확장된다. 자크 디미에와 파울 몰리아뱅의 정리에 의해,  위의 모든 매끄러운 콤팩트 지지 함수는 유사한 함수들의 합성곱의 유한 합이므로, 역변환 공식은 그러한 에 대해 성립한다. 이는 완만한 미분 가능성 조건을 만족하는 훨씬 더 넓은 부류의 함수들로 확장될 수 있다.

 SO(3, 1)의 표현 분류 
기약 무한 차원 표현의 분류 전략은 유한 차원 사례와 유사하게, 그것들이 존재한다고 가정하고 그 성질을 조사하는 것이다. 따라서 먼저 힐베르트 공간  상에서 의 기약 강연속 무한 차원 표현 가 있다고 가정한다. 가 부분군이므로, 는 그것의 표현이기도 하다. 의 각 기약 부분 표현은 유한 차원이며, 가 유니터리라면  표현은 의 기약 유한 차원 유니터리 표현들의 직합으로 분해될 수 있다.

단계는 다음과 같다.
 와 의 공통 고유 벡터의 적절한 기저를 선택한다.
  및 의 행렬 요소를 계산한다.
 리 대수 교환 관계를 강제한다.
 기저의 정규 직교성과 함께 유니터리성을 요구한다.유한 차원성을 요구하면 결과는  표현이 된다.  참조. 둘 다 요구하지 않으면 유한 차원 및 유니터리 표현을 포함하여 모든 기약 표현의 더 넓은 분류를 얻게 된다. 이 접근 방식은 에서 취해졌다.

 1단계 
기저의 적절한 선택 및 라벨링은 다음과 같이 주어진다.

이것이 유한 차원 표현이라면, 는 표현에서 발생하는 의 가장 낮은 고윳값 에 대응하여 과 같을 것이며, 은 가장 높은 고윳값에 대응하여 과 같을 것이다. 무한 차원의 경우 은 이 의미를 유지하지만, 은 그렇지 않다. 단순화를 위해 주어진 가 주어진 표현에서 최대 한 번만 나타난다고 가정하며(유한 차원 표현의 경우가 그러함), 이 가정은 동일한 결과와 함께 (약간 더 복잡한 계산을 통해) 피할 수 있음이 증명될 수 있다.

 2단계 
다음 단계는  리 대수의 기저를 형성하는 연산자  및 의 행렬 요소를 계산하는 것이다.  및 (복소화된 리 대수가 이해됨)의 행렬 요소는 회전 군의 표현론으로부터 알려져 있으며 다음과 같이 주어진다.

여기서 라벨  및 은 표현의 모든 기저 벡터에 대해 동일하므로 생략되었다.

교환 관계 로 인해 삼조 는 벡터 연산자이며, 선택된 기저로 표현된 상태들 사이의 행렬 요소를 계산하는 데 위그너-에카르트 정리가 적용된다.

의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다. 여기서 상첨자 은 정의된 양들이 랭크 인 구면 텐서 연산자의 성분임을 의미하며(인자 를 설명함), 하첨자 은 아래 공식에서 로 지칭된다.

여기서 우변의 첫 번째 인자들은 과 를 결합하여 를 얻기 위한 클렙슈-고르단 계수이다. 두 번째 인자들은 감축 행렬 요소(reduced matrix elements)이다. 이들은  또는 에 의존하지 않지만,  그리고 물론 에 의존한다.사라지지 않는 방정식들의 전체 목록은 을 참조하라.

 3단계 
다음 단계는 리 대수 관계가 성립할 것, 즉 다음을 요구하는 것이다.

이는 일련의 방정식을 산출하며, 그 해는 다음과 같다.

여기서
이다.

 4단계 
대응하는 군 표현의 유니터리성 요구 사항을 부과하면 임의의 복소수  및 에 대한 가능한 값이 제한된다. 군 표현의 유니터리성은 리 대수 대표자가 에르미트여야 함을 의미하므로 다음을 뜻한다.

이는 다음과 같이 번역된다.

이는 다음으로 이어진다.

여기서 는 극형식에서의 의 각도이다. 인 경우 이 따르며 관례에 따라 이 선택된다. 두 가지 가능한 경우가 있다.

  이 경우 , 는 실수이며, 이다. 이것이 주계열이다. 그 원소는 로 표기된다.
  다음이 따른다.  이므로, 에 대해 는 실수이자 양수이며, 이는 로 이어진다. 이것이 보충 계열이다. 그 원소는 로 표기된다.

이는 위의 표현들이 모두 무한 차원 기약 유니터리 표현임을 보여준다.

 명시적 공식 
 관례 및 리 대수 기저 
선택된 계량은 이며, 리 대수 및 지수 사상에 대한 물리학 관례가 사용된다. 이러한 선택은 임의적이지만 한 번 정해지면 고정된다. 리 대수 기저의 한 가지 가능한 선택은 사차원 벡터 표현에서 다음과 같이 주어진다.

리 대수 의 교환 관계는 다음과 같다.

3차원 표기법으로는 다음과 같다.

위의 기저 선택은 이 관계를 만족하지만, 다른 선택도 가능하다. 위에서와 다음에 나오는 기호 의 다중 사용에 유의해야 한다.

예를 들어, 전형적인 부스트와 전형적인 회전은 각각 대칭 및 직교 행렬로 다음과 같이 지수화된다.

 바일 스피너 및 바이스피너 
 및 를 차례로 취하고 일반식 에서

로 설정하고 자명한 관계  및 을 사용하면 다음이 도출된다.

이것들은 왼손잡이 및 오른손잡이 바일 스피너 표현이다. 이들은 (기저 선택과 함께) 2차원 복소 벡터 공간  및 에 행렬 곱셈으로 작용하며, 그 원소  및 을 각각 왼손 및 오른손 바일 스피너라고 부른다.

이 주어졌을 때 표현으로서의 그 직합을 형성하면,

이것은 닮음 변환을 제외하고 의  디랙 스피너 표현이다. 이는 의 4성분 원소인 바이스피너에 행렬 곱셈으로 작용한다. 표현은 클리퍼드 대수를 사용하여 보다 일반적이고 기저 독립적인 방식으로 얻을 수 있다. 바이스피너와 바일 스피너에 대한 이러한 식들은 리 대수 및 표현의 선형성에 의해  전체로 확장된다. 군 표현에 대한 식은 지수 함수를 취함으로써 얻어진다.

 물리 응용 
유한 차원 및 무한 차원 표현의 많은 부분이 이론 물리학에서 중요하다. 표현은 전자기장과 같이 고전 장론에서의 장의 기술과 상대론적 양자역학에서의 입자의 기술, 그리고 양자장론에서의 입자와 양자장 모두의 기술, 그리고 끈 이론 및 그 너머의 다양한 대상의 기술에 등장한다. 표현론은 또한 스핀 개념의 이론적 근거를 제공한다. 이 이론은 시공간의 충분히 작은 영역에서 물리학이 특수 상대론의 물리학이라는 의미에서 일반 상대성이론에도 들어간다.

비균질 로런츠 군인 푸앵카레 군의 기약 무한 차원 유니터리 표현과 함께 유한 차원 기약 비유니터리 표현들이 직접적인 물리적 관련성을 갖는 표현들이다.

로런츠 군의 무한 차원 유니터리 표현은 상대론적 양자역학 및 양자장론의 힐베르트 공간에 작용하는 푸앵카레 군의 기약 무한 차원 유니터리 표현의 제한에 의해 나타난다. 그러나 이들은 단순한 제한 이외의 역할에서도 수학적 관심과 잠재적인 직접적 물리적 관련성을 가지고 있다. 추측적인 이론들이 있었다. 텐서와 스피너는 디랙과 하리시찬드라의 익스팬서와 익스피너에서 각각 무한한 대응물을 가졌으며, 이는 상대론 및 양자역학과 일관되었지만 입증된 물리적 응용 분야를 찾지 못했다. 현대의 추측적 이론들은 아래와 유사한 성분들을 가질 가능성이 있다.

 고전 장론 
전자기장과 중력장만이 자연을 정확하게 기술하는 유일한 고전 장이지만, 다른 유형의 고전 장들도 중요하다. 양자장론(QFT)에 대한 접근 방식 중 제2 양자화라고 불리는 방식에서, 출발점은 하나 이상의 고전 장인데, 예를 들어 디랙 방정식을 푸는 파동 함수는 (제2) 양자화 이전에 고전 장으로 간주된다. 제2 양자화와 그에 연관된 라그랑지언 형식주의가 QFT의 근본적인 측면은 아니지만, 지금까지 표준 모형을 포함한 모든 양자장론이 이 방식으로 접근될 수 있다는 것은 사실이다. 장을 기술하는 방정식은 상대론적으로 불변이어야 하며, 그 해(아래 정의에 따라 상대론적 파동 함수 자격을 갖게 됨)는 로런츠 군의 어떤 표현 하에서 변환되어야 한다.

장 구성 공간(장 구성은 특정 해의 시공간 이력이다. 예를 들어 모든 시간 동안 모든 공간에서의 전자기장은 하나의 장 구성이다)에 대한 로런츠 군의 작용은 푸아송 괄호로 대체된 것을 제외하고는 양자역학의 힐베르트 공간에 대한 작용과 유사하다.

 상대론적 양자역학 
여기서의 목적을 위해 다음과 같은 정의를 내린다. 상대론적 파동 함수는 시공간 상의 개 함수의 집합 로서, 임의의 고유 로런츠 변환  하에서 다음과 같이 변환되는 것이다.

여기서 는 의 차원 행렬 대표자이다.

가장 유용한 상대론적 양자역학 1입자 이론(완전히 일관된 그러한 이론은 존재하지 않음)은 원래 환경에서의 클라인-고든 방정식과 디랙 방정식이다. 이들은 상대론적으로 불변이며 그 해는 로런츠 군 하에서 각각 로런츠 스칼라 및 바이스피너로서 변환된다. 전자기장 또한 이 정의에 따른 상대론적 파동 함수이다.

무한 차원 표현은 산란 분석에 사용될 수 있다.

 양자장론 
양자장론에서 상대론적 불변성에 대한 요구는 여러 방식 중 특히 S-행렬이 반드시 푸앵카레 불변이어야 한다는 점으로 나타난다. 이는 포크 공간에 작용하는 로런츠 군의 하나 이상의 무한 차원 표현이 존재해야 함을 함의한다.자유 다입자 상태가 어떻게 변환되는지는 S-행렬#자유 입자 상태로부터의 공식 (1)을 참조하라. 그러한 표현의 존재를 보장하는 한 가지 방법은 정준 형식주의를 사용하여 시스템을 기술하는 라그랑지언 기술(제시된 요구 사항을 충족하는, 참고 문헌 참조)의 존재이며, 이로부터 로런츠 군 생성자의 실현이 도출될 수 있다.

장 연산자의 변환은 로런츠 군의 유한 차원 표현과 푸앵카레 군의 무한 차원 유니터리 표현이 수행하는 상호 보완적인 역할을 보여주며, 수학과 물리학 사이의 깊은 통일성을 증명한다. 설명을 위해, -성분 장 연산자의 정의를 고려하자. 상대론적 장 연산자는 고유 푸앵카레 변환  하에서 다음에 따라 변환되는 시공간 상의 개 연산자 값 함수의 집합이다.

여기서 는 가 정의된 힐베르트 공간 상에서 를 나타내는 유니터리 연산자이고, 는 로런츠 군의 차원 표현이다. 이 변환 규칙은 양자장론의 두 번째 와이트먼 공리이다.

장 연산자가 특정 질량 과 스핀 (또는 헬리시티)를 가진 단일 입자를 기술하기 위해 거쳐야 하는 미분 제약 조건을 고려하면 다음이 도출된다. 와인버그는 또 다른 고려 사항인 클러스터 분해 정리로부터 생성 및 소멸 연산자의 필요성을 연역한다. 

여기서 는 각각 생성 및 소멸 연산자로 해석된다. 생성 연산자 는 다음에 따라 변환된다.

소멸 연산자도 마찬가지이다. 강조할 점은 장 연산자는 로런츠 군의 유한 차원 비유니터리 표현에 따라 변환되는 반면, 생성 연산자는 입자의 질량과 스핀 에 의해 특징지어지는 푸앵카레 군의 무한 차원 유니터리 표현 하에서 변환된다는 것이다. 이 둘 사이의 연결 고리는 로런츠 변환에 의해 작용받는 지수 와 푸앵카레 변환에 의해 작용받는 지수 를 모두 갖는 계수 함수라고도 불리는 파동 함수이다.

이를 로런츠-푸앵카레 연결이라고 부를 수 있다. 연결을 보이기 위해 식 의 양변에 로런츠 변환을 가하면 예를 들어 에 대해 다음과 같은 결과가 나온다.

여기서 는 의 비유니터리 로런츠 군 대표자이고, 는 푸앵카레 군의 표현으로부터 유도된 와 에 연관된 소위 위그너 회전 의 유니터리 대표자이며, 는 입자의 스핀이다.

생성 및 소멸 연산자의 관점에서의 장 연산자의 정의뿐만 아니라 지정된 질량, 스핀 및 변환되어야 하는  표현을 가진 입자에 대해 장 연산자가 만족하는 미분 방정식,CPT 대칭 하에서 입자가 어떻게 행동해야 하는지에 대한 처방도 요구될 수 있다. 그리고 파동 함수의 그것을 포함한 위의 모든 공식은 양자역학 및 특수 상대론의 틀이 주어지면 군론적 고려만으로 도출될 수 있다.예를 들어, 주어진 로런츠 군의 표현으로부터 시작하여 체계적으로 도출할 수 있는 클라인-고든 방정식, 디랙 방정식, 맥스웰 방정식, 프로카 방정식, 라리타-슈윙거 방정식, 그리고 아인슈타인 방정식의 버전들(자유 장 방정식, 즉 상호작용 항이 없는 버전)이 존재한다. 일반적으로 이들은 총칭하여 바르그만-위그너 방정식의 양자장론 버전이다.,  및 이 저작들에 제시된 참고 문헌들을 참조하라.고스핀 이론()은 어려움에 직면한다는 점을 언급해야 한다. 이에 대해 깊이 있게 논의된 일반적인  장에 관한  및 그 안의 참고 문헌들을 참조하라. 고스핀 입자들은 의심할 여지 없이 존재하지만(예: 원자핵), 알려진 것들은 단지 기본 입자가 아닐 뿐이다.

 추측적인 이론들 
시공간이 보다 더 많은 차원을 가질 수 있는 이론에서는, 적절한 차원의 일반화된 로런츠 군 이 의 자리를 대신한다.그들의 표현론의 일부에 대해서는, 푸앵카레 군의 표현론에 헌신된 을 참조하라. 이러한 표현들은 유도 표현 방법 또는 물리학 용어로 작은 군의 방법에 의해 얻어지는데, 이는 1939년에 위그너에 의해 이러한 종류의 군에 대해 개척되었고 50년대에 조지 매키에 의해 확고한 수학적 토대 위에 놓였다.

로런츠 불변성에 대한 요구는 아마도 끈 이론에서 가장 극적인 효과를 발휘한다. 고전적인 상대론적 끈은 난부-고토 작용을 사용함으로써 라그랑지언 틀 내에서 다루어질 수 있다. 이는 임의의 시공간 차원에서 상대론적으로 불변인 이론을 결과한다. 그러나 판명된 바와 같이, 열린 끈과 닫힌 끈의 보손 끈 이론(가장 단순한 끈 이론)은 시공간의 차원이 26이 아닌 한 로런츠 군이 상태 공간(힐베르트 공간) 상에서 표현되도록 양자화하는 것이 불가능하다. 초끈 이론에 대한 대응하는 결과는 다시 로런츠 불변성을 요구함으로써 연역되는데, 이제는 초대칭과 함께이다. 이러한 이론에서 푸앵카레 대수는 푸앵카레 대수를 확장하는 초대칭 대수인 -등급 리 대수로 대체된다. 그러한 대수의 구조는 상당 부분 로런츠 불변성의 요구에 의해 고정된다. 특히, 그러한 이론에서 가능한 시공간의 유일한 차원은 10이다.

 미해결 문제 
로런츠 군의 표현론의 분류 및 특성화는 1947년에 완료되었다. 바르그만-위그너 프로그램과 관련하여, 무한 차원 유니터리 표현과 연결된 아직 해결되지 않은 순수 수학적 문제들이 남아 있다.

기약 무한 차원 유니터리 표현은 (일반화된) 로런츠 군이 더 높은 시공간 차원에서의 사차원 벡터의 푸앵카레 군의 작은 군으로 나타나기 때문에 추측적인 현대 이론에서 물리적 실재와 간접적인 관련이 있을 수 있다. 대응하는 (일반화된) 푸앵카레 군의 무한 차원 유니터리 표현은 소위 타키온 표현이다. 타키온은 보손 끈의 스펙트럼에 나타나며 진공의 불안정성과 연관되어 있다. 타키온이 자연에서 실현되지 않을 수도 있지만, 끈 이론을 이해하기 위해서는 이러한 표현들을 수학적으로 이해해야 한다. 왜냐하면 타키온 상태는 현실적인 모델을 만들려는 시도에서 초끈 이론에서도 나타나기 때문이다.

한 가지 미해결 문제는 더시터르 공간 의 등거리군 에 대한 바르그만-위그너 프로그램의 완성이다. 이상적으로, 파동 함수의 물리적 성분은 에 매립된 반지름 인 쌍곡면  위에서 실현되고, 무한 차원 유니터리 표현의 대응하는  공변 파동 방정식이 알려져야 할 것이다.

 같이 보기 
 바르그만-위그너 방정식
 디랙 대수
 디랙 행렬
 로런츠 군
 뫼비우스 변환
 푸앵카레 군
 푸앵카레 군의 표현론
 양자역학의 대칭성
 위그너 분류

 내용주 

 각주 

 자유 이용 가능 온라인 참고 문헌 
 제2회 모다브 수리 물리학 여름 학교(벨기에, 2006년 8월)에서 발표된 강의의 확장판.
 SU(2)의 군 원소는 회전 군의 모든 명확한 스핀 표현에 대해 리 대수 생성자의 유한 다항식으로서 폐쇄형으로 표현된다.

 참고 문헌 

 (SO(2,1) 및 SL(2, R)의 표현론; 서문에 기술된 SO(3; 1) 및 SL(2, C)에 대한 두 번째 부분은 발표되지 않음).

 (자유 이용)

 (물리학자를 위한 일반 입문)

 (SL(2,C)에 대한 기초적 처치)



 (물리학자를 위한 상세한 기술)

 (예일 대학교 제임스 K. 휘트모어 수학 강연, 1967년)

, Chapter 9, SL(2, C) 및 더 일반적인 로런츠 군들

; 개정판, Dover Publications, 1950, 
.

분류:양자역학
분류:특수 상대성이론