합성곱 정리

수학에서 합성곱 정리()는 적절한 조건 하에 두 함수(또는 신호)의 합성곱에 대한 푸리에 변환이 각 함수의 푸리에 변환의 곱과 같다는 정리이다. 더 일반적으로, 한 영역(예: 시간 영역)에서의 합성곱은 다른 영역(예: 주파수 영역)에서의 점별 곱셈과 같다. 합성곱 정리의 다른 버전들은 다양한 푸리에 관련 변환에 적용될 수 있다.

 연속 변수의 함수 
푸리에 변환 와 를 갖는 두 함수 와 를 고려하자:

여기서 는 푸리에 변환 연산자를 나타낸다. 변환은 다른 방식으로 정규화될 수도 있으며, 이 경우 아래의 합성곱 정리에서 상수 스케일링 인자(일반적으로  또는 )가 나타날 것이다. 와 의 합성곱은 다음과 같이 정의된다:

이 문맥에서 별표는 일반적인 곱셈이 아닌 합성곱을 의미한다. 때때로 텐서곱 기호 가 대신 사용되기도 한다.

합성곱 정리는 다음과 같다:

역 푸리에 변환 을 적용하면 다음과 같은 따름정리가 도출된다:

이 정리는 일반적으로 다차원 함수에도 적용된다.

푸리에 변환 를 갖는 Lp-공간 의 함수 를 고려하자:

여기서 는 의 내적을 나타낸다:      그리고   

와 의 합성곱은 다음과 같이 정의된다:

또한:

따라서 푸비니 정리에 의해 이 성립하므로, 그 푸리에 변환 은 다음 적분식으로 정의된다:

임을 주목하라.  따라서 위의 논증에 의해 푸비니 정리를 다시 적용(즉, 적분 순서 변경)할 수 있다:

이 정리는 라플라스 변환, 양측 라플라스 변환에도 성립하며, 적절히 수정될 경우 멜린 변환 및 하틀리 변환에 대해서도 성립한다(멜린 반전 정리 참조). 또한 국소 컴팩트 아벨 군 위에서 정의된 추상 조화 분석의 푸리에 변환으로 확장될 수 있다.

 주기적 합성곱 (푸리에 급수 계수) 

주기적 합으로 표현될 수 있는 -주기 함수 와 를 고려하자:

   및   

실제로는 성분 와 의 0이 아닌 부분이 종종 지속 시간 로 제한되지만, 정리에서 이를 요구하지는 않는다.

푸리에 급수 계수는 다음과 같다:

여기서 는 푸리에 급수 적분을 나타낸다.

 곱  또한 -주기적이며, 그 푸리에 급수 계수는 와  수열의 이산 합성곱에 의해 주어진다:

 합성곱:

또한 -주기적이며, 이를 주기적 합성곱이라 한다.

해당하는 합성곱 정리는 다음과 같다:

 이산 변수의 함수 (수열) 

식 1과 유사한 유도를 통해, 두 연속 함수의 표본과 같은 수열에 대해서도 유사한 정리가 존재한다. 여기서 는 이산시간 푸리에 변환(DTFT) 연산자를 나타낸다. 변환 와 를 갖는 두 수열 과 을 고려하자:

와 의 합성곱은 다음과 같이 정의된다:

이산 수열에 대한 합성곱 정리는 다음과 같다:

 주기적 합성곱 
위에서 정의된 와 는 주기가 1인 주기 함수이다. -주기 수열 과 을 고려하자:

   및   

이러한 함수들은 와 를  간격으로 샘플링하고 개의 표본에 대해 역 이산 푸리에 변환(DFT)을 수행한 결과로 나타난다. 이산 합성곱:

또한 -주기적이며, 이를 주기적 합성곱이라 한다.  연산자를 -길이 DFT로 재정의하면, 해당하는 정리는 다음과 같다:

그러므로:

적절한 조건 하에서, 이 -길이 수열은 왜곡이 없는  합성곱의 세그먼트를 포함할 수 있다. 그러나  또는  수열의 0이 아닌 부분이 과 같거나 길면 약간의 왜곡이 불가피하다. 이는  수열이 무한히 긴 이산 힐베르트 변환 임펄스 응답의 DTFT를 직접 샘플링하여 얻어지는 경우이다.

0이 아닌 지속 시간이 보다 작거나 같은 와  수열의 경우, 최종적인 단순화는 다음과 같다:

이 형태는 컴퓨터를 통해 수치적 합성곱을 효율적으로 구현하는 데 자주 사용된다.

부분적인 역으로, 합성곱을 곱으로 바꾸는 모든 선형 변환은 (계수의 순열을 제외하고) DFT임이 증명되었다.

시간 영역에서의 유도는 다음과 같이 진행된다:

주파수 영역에서의 유도는 DTFT에서 주기적 데이터를 다루는 내용으로부터 따르며, 이는 DTFT가 다음과 같이 작성될 수 있음을 나타낸다:

따라서 와의 곱은 이산 주파수 함수로 축소된다:

여기서 과 의 동등성은 DTFT의 샘플링으로부터 따른다. 그러므로 (5a)와 (5b)의 동등성은 다음을 요구한다:

또한 (5b)의 역 DTFT를 다음과 같이 확인할 수 있다:

역 푸리에 변환에 대한 합성곱 정리
역 푸리에 변환에 대해서도 합성곱 정리가 존재한다:

여기서 ""은 아다마르 곱을 나타내고, ""는 두 행렬 사이의 합성곱을 나타낸다.

따라서 다음과 같다:

완화된 분포에 대한 합성곱 정리

합성곱 정리는 완화된 분포(tempered distribution)로 확장된다. 여기서 는 임의의 완화된 분포이다:

그러나 합성곱과 곱셈의 존재를 보장하기 위해 는 와 를 향해 "급격히 감소"해야 한다. 동등하게, 만약 가 매끄럽고 "천천히 증가하는" 일반 함수라면 곱셈과 합성곱의 존재가 보장된다.

특히 디랙 델타와 같이 컴팩트 지지(compactly supported)를 갖는 모든 완화된 분포는 "급격히 감소"한다. 동등하게, 상수 함수 과 같은 대역 제한 함수는 매끄럽고 "천천히 증가하는" 일반 함수이다. 예를 들어, 가 디랙 빗(Dirac comb)인 경우 두 식 모두 푸아송 합 공식을 산출하며, 더 나아가 가 디랙 델타인 경우 은 상수 1이 되어 이 식들은 디랙 빗 항등식을 산출한다.

 같이 보기 
 확률 변수의 모멘트 생성 함수

내용주

 각주 

 더 읽어보기 

 외부 링크 
신호 처리에서 합성곱 정리의 활용에 대한 시각적 표현은 다음을 참조.

 존스 홉킨스 대학교의 자바 기반 시뮬레이션: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

분류:푸리에 해석학 정리