미앤더

수학에서 미앤더(meander) 또는 폐미앤더(closed meander)는 주어진 선을 여러 번 가로지르는 자기 교차하지 않는 폐곡선을 말하며, 여기서 가로지른다는 것은 한쪽 면에서 다른 쪽 면으로 통과하면서 선과 교차하는 것을 의미한다. 직관적으로 미앤더는 직선 도로가 여러 개의 다리를 통해 강을 건너는 굽이치는 강으로 볼 수 있다. 선과 곡선이 만나는 점을 "다리"라고 부른다.

미앤더

유클리드 평면에 고정된 선 L이 주어졌을 때, n차 미앤더는 평면상의 자기 교차하지 않는 폐곡선으로 선을 2n개 지점에서 가로지른다. 두 미앤더가 서로 동일하다는 것은, 미앤더의 성질을 유지하면서 도로 위의 다리 순서(교차되는 순서)를 변하지 않게 유지한 채 하나의 미앤더를 다른 미앤더로 연속적으로 변형할 수 있음을 의미한다.

예시

1차 단일 미앤더는 선을 두 번 교차한다:
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이 미앤더는 선을 네 번 교차하므로 2차 미앤더이다:
64px
2차 미앤더는 두 가지가 있다. 이미지를 수직으로 뒤집으면 다른 하나를 얻을 수 있다.

3차 미앤더는 8가지의 서로 다른 형태가 있으며, 각각 선을 여섯 번 교차한다. 그중 두 가지는 다음과 같다:
64px 64px

미앤더 수

n차의 서로 다른 미앤더의 개수는 미앤더 수(meandric number) Mn이다. 처음 15개의 미앤더 수는 다음과 같다 .

M1 = 1
M2 = 2
M3 = 8
M4 = 42
M5 = 262
M6 = 1828
M7 = 13820
M8 = 110954
M9 = 933458
M10 = 8152860
M11 = 73424650
M12 = 678390116
M13 = 6405031050
M14 = 61606881612
M15 = 602188541928

미앤더 순열
섬네일|
n차 미앤더 순열(meandric permutation)은 집합 {1, 2, ..., 2n} 위에서 정의되며 다음과 같이 결정된다:
 선의 방향을 왼쪽에서 오른쪽으로 향하게 하고, 미앤더의 각 교점에 1부터 시작하여 정수 라벨을 차례대로 붙인다.
 곡선은 라벨 1이 붙은 교점에서 위쪽 방향을 향한다.
 라벨이 붙은 교차점들을 따라 유향 곡선을 따라가면 고정점이 없는 순환 순열을 얻는다.

오른쪽 도표에서 4차 미앤더 순열은 (1 8 5 4 3 6 7 2)로 주어진다. 이것은 순환 표기법으로 쓰인 순열이며 한 줄 표기법과 구별된다.

π가 미앤더 순열이라면, π2은 두 개의 순환 순열로 구성되는데, 하나는 모든 짝수 기호를 포함하고 다른 하나는 모든 홀수 기호를 포함한다. 원래 순열의 기호가 홀수와 짝수 정수 사이를 번갈아 나타나기 때문에 이러한 성질을 가진 순열을 교대 순열(alternate permutation)이라고 부른다. 그러나 곡선에 자기 교차를 도입하지 않고 그리는 것이 불가능할 수도 있기 때문에 모든 교대 순열이 미앤더 순열인 것은 아니다. 예를 들어, 3차 교대 순열인 (1 4 3 6 5 2)는 미앤더 순열이 아니다.

개미앤더

유클리드 평면에 고정된 선 L이 주어졌을 때, n차 개미앤더(open meander)는 평면상의 자기 교차하지 않는 곡선으로 선을 n개 지점에서 가로지른다. 두 개미앤더가 서로 동일하다는 것은, 개미앤더의 성질을 유지하면서 도로 위의 다리 순서를 변하지 않게 유지한 채 하나를 다른 하나로 연속적으로 변형할 수 있음을 의미한다.

예시

1차 개미앤더는 선을 한 번 교차한다:
파일:OpenMeanderM1.svg

2차 개미앤더는 선을 두 번 교차한다:
Open Meander M2 jaredwf.png

개미앤더 수

n차의 서로 다른 개미앤더의 개수는 개미앤더 수 mn이다. 처음 15개의 개미앤더 수는 다음과 같다 .

m1 = 1
m2 = 1
m3 = 2
m4 = 3
m5 = 8
m6 = 14
m7 = 42
m8 = 81
m9 = 262
m10 = 538
m11 = 1828
m12 = 3926
m13 = 13820
m14 = 30694
m15 = 110954

반미앤더

유클리드 평면에 고정된 방향이 있는 반직선 R이 주어졌을 때, n차 반미앤더(semi-meander)는 평면상의 자기 교차하지 않는 폐곡선으로 반직선을 n개 지점에서 가로지른다. 두 반미앤더가 서로 동일하다는 것은, 반미앤더의 성질을 유지하면서 반직선 위의 다리 순서를 변하지 않게 유지한 채 하나를 다른 하나로 연속적으로 변형할 수 있음을 의미한다.

예시

1차 반미앤더는 반직선을 한 번 교차한다:

2차 반미앤더는 반직선을 두 번 교차한다:
Meander M1 jaredwf.png

반미앤더 수

n차의 서로 다른 반미앤더의 개수는 반미앤더 수 Mn이다(보통 밑줄 대신 윗줄로 표기한다). 처음 15개의 반미앤더 수는 다음과 같다 .

M1 = 1
M2 = 1
M3 = 2
M4 = 4
M5 = 10
M6 = 24
M7 = 66
M8 = 174
M9 = 504
M10 = 1406
M11 = 4210
M12 = 12198
M13 = 37378
M14 = 111278
M15 = 346846

미앤더 수의 성질

미앤더 수에서 개미앤더 수로 가는 단사 함수가 존재한다:
Mn = m2n−1

각 미앤더 수는 반미앤더 수에 의해 범위가 제한될 수 있다:
Mn ≤ Mn ≤ M2n

n > 1인 경우, 미앤더 수는 짝수이다:
Mn ≡ 0 (mod 2)

 외부 링크 
 마이클 라 크루아의 "미앤더의 열거 이론에 대한 접근"


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