리카티 방정식

수학에서 가장 좁은 의미의 리카티 방정식()은 미지의 함수에 대해 이차적인 모든 1차 상미분 방정식을 말한다. 다시 말해, 다음 형식의 방정식이다.

여기서  및 이다. 만약 이면 이 방정식은 베르누이 미분방정식으로 축소되고, 만약 이면 이 방정식은 1차 선형 상미분 방정식이 된다.

이 방정식은 야코포 리카티(1676~1754)의 이름을 따서 명명되었다.Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus" (Observations regarding differential equations of the second order), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa, 8 : 66-73. Translation of the original Latin into English by Ian Bruce.

더 일반적으로 리카티 방정식이라는 용어는 유사한 이차항을 포함하는 행렬 방정식을 지칭하는 데 사용되며, 이는 연속 시간 및 이산 시간 선형-이차-가우스 제어 모두에서 나타난다. 이들의 정상 상태 (비동적) 버전은 대수적 리카티 방정식이라고 불린다.

 2차 선형 방정식으로의 변환 
비선형 리카티 방정식은 항상 2차 선형 상미분 방정식 (ODE)으로 변환될 수 있다.
만약

이면, 가 0이 아니고 미분 가능한 모든 곳에서, 를 대입하면,

다음 형태의 리카티 방정식을 만족한다.

여기서  이고 이다.

를 대입하면,

는 다음 선형 2차 ODE를 만족한다.

왜냐하면

이므로

따라서

이 선형 2차 방정식의 두 해를 변환식에 대입하면

리카티 방정식의 일반 해에 대한 전역적 지식을 다음 공식으로 얻을 수 있다.

 복소해석학 
복소해석학에서 리카티 방정식은 복소평면에서 다음 형태의 1차 비선형 ODE로 나타난다.

여기서 와 는 에 대한 다항식이고 에 대한 국소 해석 함수이며, 즉 는 복소 유리 함수이다. 이 형태의 방정식 중에서 팽르베 유형인 유일한 방정식은 리카티 방정식이다.

여기서 는 의 (행렬일 수도 있는) 함수이다.

 슈바르치안 방정식에의 적용 
리카티 방정식의 중요한 응용 중 하나는 등각 사상 및 단일 함수 이론에서 나타나는 3차 슈바르치안 미분 방정식이다.

이 경우 ODE는 복소수 영역에 있으며 미분은 복소 변수에 대한 것이다. (슈바르치안 미분 는 뫼비우스 변환에 불변이라는 놀라운 속성을 가지고 있다. 즉, 가 0이 아니면 이다.) 함수 
는 리카티 방정식

를 만족한다. 위에 따르면 이며, 여기서 는 선형 ODE의 해이다.

이므로, 적분하면 어떤 상수 에 대해 을 얻는다. 반면에 선형 ODE의 다른 독립적인 해 는 상수 비제로 Wronskian 를 가지며, 이는 스케일링 후 로 취할 수 있다.
따라서

이므로 슈바르치안 방정식은 라는 해를 가진다.

 구적법을 이용한 해 얻기 
리카티 방정식과 2차 선형 ODE 사이의 대응 관계는 다른 결과도 가져온다. 예를 들어, 2차 ODE의 한 해를 알면, 다른 해는 구적법, 즉 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다는 것이 알려져 있다. 리카티 방정식도 마찬가지이다. 실제로, 특정한 해 를 찾을 수 있다면, 일반 해는 다음과 같이 얻어진다.

를 리카티 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

그리고

이므로 다음이 성립한다.

또는

이는 베르누이 미분방정식이다. 이 베르누이 방정식을 푸는 데 필요한 치환은 다음과 같다.

를 리카티 방정식에 직접 대입하면 선형 방정식

을 얻는다.
리카티 방정식의 해 집합은 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 앞서 언급한 일차 방정식의 일반 해이다.

 같이 보기 
 선형-이차 조절기
 대수적 리카티 방정식
 선형-이차-가우스 제어

 각주 

 더 읽어보기 

 외부 링크 

 Riccati Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Riccati Differential Equation at Mathworld
 MATLAB function for solving continuous-time algebraic Riccati equation.
 SciPy has functions for solving the continuous algebraic Riccati equation and the discrete algebraic Riccati equation.

분류:상미분 방정식