접선 벡터

수학에서 접선 벡터()는 주어진 지점에서 곡선 또는 곡면에 접하는 벡터이다. 접선 벡터는 Rn의 곡선 맥락에서 곡선의 미분기하학에 기술되어 있다. 보다 일반적으로, 접선 벡터는 미분 다양체의 접공간의 원소이다. 접선 벡터는 싹으로도 기술될 수 있다. 형식적으로, 점 에서의 접선 벡터는 에서의 싹 집합에 의해 정의된 대수의 선형 미분이다.

 동기 부여 
접선 벡터의 일반적인 정의로 진행하기 전에, 미적분학에서의 사용과 텐서 속성을 논의한다.

 미적분학 
가 매개변수적인 매끄러운 곡선이라고 하자. 접선 벡터는 존재하고 인 경우 로 주어지며, 여기서 매개변수 에 대한 미분을 나타내기 위해 일반적인 점 대신 프라임을 사용했다.J. Stewart (2001) 단위 접선 벡터는 다음과 같이 주어진다.

 예시 
의 곡선

가 주어졌을 때, 에서의 단위 접선 벡터는 다음과 같이 주어진다.

여기서 접선 벡터의 구성 요소는 에 대한 곡선의 각 해당 구성 요소를 미분하여 찾는다.

 반변성 
만약 가 n차원 좌표계  (여기서 일반적인 아래첨자 대신 위첨자를 인덱스로 사용했다)에서  또는

로 매개변수적으로 주어지면, 접선 벡터장 는 다음과 같이 주어진다.

좌표 변환

하에서, -좌표계의 접선 벡터 는 다음과 같이 주어진다.

여기서 아인슈타인 합 규약을 사용했다. 따라서, 매끄러운 곡선의 접선 벡터는 좌표 변환 하에서 1차 반변 텐서로 변환된다.D. Kay (1988)

 정의 
가 미분 가능한 함수이고 가 의 벡터라고 하자. 점 에서  방향의 방향도함수를 다음과 같이 정의한다.

점 에서의 접선 벡터는 다음과 같이 정의될 수 있다.A. Gray (1993)

 속성 
가 미분 가능한 함수이고, 가 에서 의 접선 벡터이며, 이라고 하자. 그러면

 다양체에서의 접선 벡터 
이 미분 다양체이고 이 의 실수값 미분 가능 함수들의 대수라고 하자. 그러면 다양체 내의 점 에서 에 대한 접선 벡터는 선형인 미분 로 주어진다. 즉, 임의의 와 에 대해

미분은 정의상 라이프니츠 성질을 가진다.

 같이 보기 



 각주 

 참고 문헌 
 .
 .
 .

분류:벡터