다차원 신호 처리

신호 처리에서 다차원 신호 처리()는 다차원 신호와 시스템을 사용하여 수행되는 모든 신호 처리를 다룬다. 다차원 신호 처리는 신호 처리의 하위 집합이지만, 하나 이상의 차원을 사용해야만 적절히 상세화할 수 있는 데이터를 구체적으로 다룬다는 점에서 독특하다. m차원 디지털 신호 처리에서 유용한 데이터는 둘 이상의 차원에서 표본화된다. 이에 대한 예로는 영상 처리와 다중 센서 레이더 탐지가 있다. 이 두 예시 모두 여러 센서를 사용하여 신호를 표본화하고, 이러한 다중 신호의 조작을 기반으로 영상을 형성한다.

다차원(m-D) 처리는 더 많은 자유도로 인해 고속 푸리에 변환과 같은 계산을 처리하기 위해 1차원의 경우와 비교하여 더 복잡한 알고리즘을 필요로 한다.D. Dudgeon and R. Mersereau, Multidimensional Digital Signal Processing, Prentice-Hall, First Edition, pp. 2, 1983. 어떤 경우에는 고려되는 시스템이 분리 가능하다면 m차원 신호 및 시스템을 단일 차원 신호 처리 방법으로 단순화할 수 있다.

일반적으로 다차원 신호 처리는 그 복잡성으로 인해 컴퓨터 모델링과 계산의 사용이 필연적이므로 디지털 신호 처리와 직접적으로 연관된다. 다차원 신호는 표본화, 푸리에 해석학, 필터링과 같이 수행될 수 있는 조작 측면에서 단일 차원 신호와 유사하다. 이러한 조작의 실제 계산량은 차원의 수에 따라 증가한다.

 표본화 

다차원 표본화는 일반적인 1차원 표본화와 다른 분석을 필요로 한다. 단일 차원 표본화는 연속적인 선을 따라 점을 선택하고 이 데이터 스트림의 값을 저장함으로써 실행된다. 다차원 표본화의 경우, m차원 데이터 세트의 표본화 벡터를 기반으로 하는 "패턴"인 격자를 활용하여 데이터를 선택한다.Mersereau, R.; Speake, T., "The processing of periodically sampled multidimensional signals," Acoustics, IEEE Transactions on Speech and Signal Processing, vol.31, no.1, pp.188-194, Feb 1983. 이러한 벡터는 데이터와 응용 분야에 따라 단일 차원 또는 다차원이 될 수 있다.

다차원 표본화는 표본화 정리를 준수해야 한다는 점에서 고전적인 표본화와 유사하다. 이는 에일리어싱의 영향을 받으며, 최종적인 다차원 신호 복원을 위한 고려가 이루어져야 한다.

 푸리에 해석학 

다차원 신호는 사인파 성분으로 표현될 수 있다. 이는 일반적으로 일종의 푸리에 변환으로 수행된다. m차원 푸리에 변환은 신호를 신호 영역 표현에서 신호의 주파수 영역 표현으로 변환한다. 디지털 처리의 경우, 이산 푸리에 변환(DFT)을 사용하여 표본화된 신호 영역 표현을 주파수 영역 표현으로 변환한다.

여기서 X는 다차원 이산 푸리에 변환을 나타내고, x는 표본화된 시간/공간 영역 신호를 나타내며, m은 시스템의 차원 수, n은 표본 인덱스, k는 주파수 표본이다.D. Dudgeon and R. Mersereau, Multidimensional Digital Signal Processing, Prentice-Hall, First Edition, pp. 61,112, 1983.
계산 복잡성은 대개 모든 푸리에 변환을 구현할 때 주요 관심사다. 다차원 신호의 경우 여러 가지 다른 방법으로 복잡성을 줄일 수 있다. 다차원 신호의 변수 간에 독립성이 있다면 계산이 단순화될 수 있다. 일반적으로 고속 푸리에 변환(FFT)은 계산 횟수를 상당한 수준으로 줄여준다. m차원 신호를 위해 이 알고리즘을 구현하는 여러 방법이 있지만, 자주 사용되는 두 가지 변형은 벡터-기수(vector-radix) FFT와 행-열(row-column) FFT다.

 필터링 

섬네일|1000px|center|1차원 프로토타입 함수(오른쪽)와 맥클레런 변환에 의해 정의된 2차원 필터(왼쪽).
필터링은 모든 신호 처리 응용 분야에서 중요한 부분이다. 일반적인 단일 차원 신호 처리 응용과 마찬가지로, 주어진 시스템에 대한 필터 설계에는 다양한 수준의 복잡성이 존재한다. 다차원 시스템은 다양한 응용 분야에서 디지털 필터를 활용한다. 이러한 m차원 필터의 실제 구현은 다차원 다항식이 인수분해 가능한지 여부에 따라 설계상의 문제를 야기할 수 있다. 일반적으로 프로토타입 필터는 단일 차원에서 설계되며, 해당 필터는 매핑 함수를 사용하여 m차원으로 외삽된다. 1차원에서 2차원으로 가는 초기 매핑 함수 중 하나는 맥클레런 변환(McClellan Transform)이었다.Mersereau, R.M.; Mecklenbrauker, W.; Quatieri, T., Jr., "McClellan transformations for two-dimensional digital filtering-Part I: Design," IEEE Transactions on Circuits and Systems,  vol.23, no.7, pp.405-414, Jul 1976. 응용 분야와 매핑 함수에 따라 FIR 및 IIR 필터 모두 m차원으로 변환될 수 있다.

 적용 분야 
 오디오 신호 처리
 영상 처리
 예인 배열 소나
 X선 전산화 단층 촬영

 같이 보기 
 비선형 다차원 신호 처리
 다차원 신호를 위한 고속 알고리즘

 각주 

 외부 링크 


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