베이커-캠벨-하우스도르프 공식

수학에서 베이커-캠벨-하우스도르프 공식()은 리 군의 리 대수에서 (잠재적으로) 비가환인 와 에 대해 다음 방정식을 만족하는 의 값을 제공한다.

이 공식을 기술하는 다양한 방법이 있으나, 궁극적으로는 모두 리 대수적 용어, 즉 와  및 그들의 반복된 교환자들로 이루어진 (반드시 수렴할 필요는 없는) 형식적 급수로 를 표현한다. 이 급수의 처음 몇 항은 다음과 같다.

여기서 ""은 와 의 고차 교환자를 포함하는 항들을 나타낸다. 만약 와 가 리 군 의 리 대수 의 충분히 작은 원소라면, 이 급수는 수렴한다. 한편, 의 단위 원소에 충분히 가까운 모든 원소 는 의 작은 원소 에 대해 로 표현될 수 있다. 따라서 단위 원소 근처에서 로 써지는 의 군 곱셈은 순수하게 리 대수적인 용어로 표현될 수 있다고 말할 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 리 대응의 심오한 결과들을 비교적 간단하게 증명하는 데 사용될 수 있다.

만약 와 가 충분히 작은  행렬이라면, 는 의 로그로 계산될 수 있으며, 여기서 지수 함수와 로그 함수는 멱급수로 계산될 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 핵심은 가 와 의 반복된 교환자들의 급수로 표현될 수 있다는, 전혀 자명하지 않은 주장이다.

이 공식에 대한 현대적인 설명은 로스만과 홀의 저서 등에서 찾을 수 있다.

 역사 
이 공식은 헨리 프레더릭 베이커, 존 에드워드 캠벨, 그리고 펠릭스 하우스도르프의 이름을 따서 명명되었는데, 이들은 공식의 질적인 형태, 즉 해를 표현하는 데 오직 교환자와 교환자의 교환자들만이 무한히 필요하다는 점을 명시했다. 이 형태에 대한 더 이른 언급은 1890년에 프리드리히 슈어에 의해 예견되었으며,F. Schur (1890), "Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen," Mathematische Annalen, 35 (1890), 161–197. online copy 거기서 항들이 재귀적으로 정의된 수렴하는 멱급수가 제시되었다.see, e.g., Shlomo Sternberg, Lie Algebras (2004) Harvard University. (cf p 10.) 이러한 질적인 형태는 리 대응의 비교적 접근하기 쉬운 증명이나 양자장론과 같은 가장 중요한 응용 분야에서 사용되는 것이다. 슈어 이후, 캠벨(1897)에 의해 출판물에 기록되었고;존 에드워드 캠벨, Proceedings of the London Mathematical Society 28 (1897) 381–390; (cf pp386-7 for the eponymous lemma); J. Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 29 (1898) 14–32. 앙리 푸앵카레(1899)앙리 푸앵카레, Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065–1069; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 18 (1899) 220–255. online와 베이커(1902)헨리 프레더릭 베이커, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (Ser 2) 3 (1905) 24–47.에 의해 정교화되었으며; 하우스도르프(1906)에 의해 기하학적으로 체계화되고 야코비 항등식과 연결되었다.펠릭스 하우스도르프, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48. 모든 수치 계수가 포함된 최초의 실제 명시적 공식은 예브게니 딘킨(1947)에 의해 만들어졌다. p. 23 이 공식의 역사는 아킬레스와 본필리올리의 논문 및 본필리올리와 풀치의 저서에 자세히 설명되어 있다.

 명시적 형태 
많은 목적을 위해, 를 와 의 반복된 교환자들로 전개하는 것이 가능하다는 사실만 아는 것으로 충분하며, 정확한 계수는 종종 무관하다. (예를 들어, 홀의 저서 5.2절에 있는 리 군과 리 대수 준동형사상 간의 관계에 대한 논의를 보라. 여기서 정확한 계수는 논증에서 아무런 역할을 하지 않는다.) 매우 직접적인 존재성 증명이 마르틴 아이클러에 의해 제시되었으며, 아래의 "존재성 결과" 섹션도 참조하라.

다른 경우에는 에 대한 상세한 정보가 필요할 수 있으므로, 를 가능한 한 명시적으로 계산하는 것이 바람직하다. 수많은 공식이 존재하며, 이 섹션에서는 두 가지 주요 공식(딘킨의 공식과 푸앵카레의 적분 공식)을 설명한다.

 딘킨 공식 
G를 리 대수 를 가진 리 군이라 하자.

를 리 지수 사상이라 하자.
다음과 같은 일반적인 조합론적 공식이 예브게니 딘킨(1947)에 의해 도입되었다.

여기서 합은 와 의 모든 비음의 정수 값에 대해 수행되며, 다음 표기법이 사용되었다:

단, 로 이해한다.

이 급수는 일반적으로 수렴하지 않는다. 충분히 작은 모든 와 에 대해 수렴하며(제시된 공식이 유효함), 이므로, 이거나  및 인 경우 해당 항은 0이다.A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. .

처음 몇 항은 잘 알려져 있으며, 모든 고차 항은 와 그들의 중첩된 교환자들을 포함한다(따라서 리 대수 안에 있다).

위 목록은 6차 이하의 모든 항(즉, 6개 이하의 와 를 포함하는 항)을 나열한 것이다. 전개의 교차 차수에서 나타나는  (반)대칭성은 로부터 도출된다. 이 공식에 대한 완전한 기초적인 증명은 지수 사상의 미분에 관한 문서에서 찾을 수 있다.

 적분 공식 
에 대한 수많은 다른 표현들이 있으며, 그 중 많은 것들이 물리학 문헌에서 사용된다.; 't Hooft, G & de Wit, B (2007), Appendix D. 대중적인 적분 공식은 다음과 같다.W. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161.  Theorem 5.3

여기서 베르누이 수의 생성 함수가 포함된다.

이 공식은 푸앵카레와 하우스도르프에 의해 활용되었다.다음을 상기하라:

여기서 베르누이 수 B0 = 1, B1 = 1/2, B2 = 1/6,
B4 = −1/30, ... 이다.

 행렬 리 군 예시 
행렬 리 군 의 경우, 리 대수는 단위 원소 I의 접공간이며, 교환자는 단순히 이다. 지수 사상은 행렬의 표준 지수 사상이다.

다음 식에서 Z를 풀 때

와 의 급수 전개를 사용하면 다음과 같은 더 간단한 공식을 얻는다.
 Equation (2) Section 1.3. 체  및  위의 행렬 리 대수의 경우, 수렴 기준은 의 양변에 대해 로그 급수가 수렴한다는 것이다. 이는 힐베르트-슈미트 작용소에서 일 때마다 보장된다. 더 넓은 영역에서 수렴이 일어날 수도 있다.  p. 24 참조.
1차, 2차, 3차, 4차 항은 다음과 같다.





다양한 들에 대한 공식 자체가 베이커-캠벨-하우스도르프 공식인 것은 아니다. 오히려 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 각 를 와 의 반복된 교환자들로 표현하는 여러 방식 중 하나이다. 핵심은 각 를 교환자들의 관점에서 표현할 수 있다는 사실이 결코 자명하지 않다는 점이다. (예를 들어, 독자는 직접 계산을 통해 가 와 의 두 개의 비자명한 3차 교환자, 즉 와 의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 확인할 수 있다.) 각 가 교환자들의 결합으로 표현 가능하다는 일반적인 결과는 아이클러에 의해 우아하고 재귀적인 방식으로 증명되었다.

베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 결과 중 하나는 대각합에 관한 다음과 같은 결과이다.

즉, 인 각 는 교환자들의 선형 결합으로 표현 가능하므로, 그러한 각 항의 대각합은 0이다.

 수렴 문제 
와 가 리 대수 (대각합이 0인  행렬들의 공간)의 다음과 같은 행렬이라고 가정하자.

그러면

이때 를 만족하는 의 행렬 가 존재하지 않음을 보이는 것은 어렵지 않다. Example 3.41 (유사한 예시들을 웨이의 논문에서도 찾을 수 있다.)

이 간단한 예시는 를 와 의 반복된 리 괄호로 표현하는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 다양한 버전들이 수렴이 보장되지 않는 형식적 멱급수를 기술한다는 점을 보여준다. 따라서 (형식적 멱급수가 아닌) 와 를 포함하는 리 대수의 실제 원소로서 를 얻고 싶다면, 와 가 작다고 가정해야 한다. 따라서 리 군에서의 곱셈 연산이 리 대수에 의해 결정된다는 결론은 오직 국소적인 진술일 뿐이다. 실제로 리 대수가 서로 동형이더라도 전역적으로는 동형이 아닌 리 군들이 존재할 수 있으므로, 이 결과는 전역적일 수 없다.

구체적으로, 행렬 리 대수에서 작업하고 가 주어진 행렬 노름일 때, 다음 조건이 만족되면 수렴이 보장된다.

 특수한 경우 
만약 와 가 가환이라면, 즉 이면, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 로 축소된다.

또 다른 경우는 멱영군인 하이젠베르크 군의 경우처럼 가 와  모두와 가환인 경우이다. 이때 공식은 처음 세 항으로 축소된다.

이것은 아래에서 설명하는 바와 같이 양자역학에서 일상적으로 사용되는 퇴화된 경우이며, 때때로 풀림 정리(disentangling theorem)로 알려져 있다. 이 경우 와 에 대한 크기 제한이 없다. 이 결과는 스톤-폰 노이만 정리에 들어가는 "지수화된 교환 관계"의 배경이 된다. 이 항등식에 대한 간단한 증명이 아래에 제시되어 있다.

일반 공식의 또 다른 유용한 형태는 Y에 대한 전개를 강조하고 인접 자기동형사상 표기법 를 사용한다.

이는 위의 적분 공식으로부터 자명하게 도출된다. (하나의 를 포함하는 중첩된 교환자들의 계수는 정규화된 베르누이 수이다.)

이제 교환자가 의 배수라고 가정하자. 즉, 이다. 그러면 모든 반복된 교환자들은 의 배수가 되며, 에 대한 2차 이상의 항은 나타나지 않는다. 따라서 위의  항은 사라지고 다음을 얻는다.

이 경우에도 와 에 대한 크기 제한은 없다. 에 대한 제한은 우변의 표현이 의미를 가짐을 보장한다. (일 때는 로 해석할 수 있다.) 또한 다음과 같은 간단한 " braiding identity"를 얻는다.

이는 인접 확대로 써질 수 있다:

 존재성 결과 

만약 와 가 행렬이라면, 지수 함수와 로그 함수의 멱급수를 사용하여 를 계산할 수 있으며, 와 가 충분히 작으면 급수가 수렴한다. 와 에 대한 총 차수가 고정된 수 와 같은 모든 항을 모아 라고 표현하는 것이 자연스럽다. (처음 몇 개의 에 대한 공식은 위의 "행렬 리 군 예시" 섹션을 참조하라.) 각 가 와 의 반복된 교환자들로 표현 가능하다는 매우 직접적이고 간결한 재귀적 증명이 마르틴 아이클러에 의해 제시되었다.

대안적으로, 다음과 같이 존재성 논증을 제시할 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 만약 와 가  또는 와 같이 표수가 0인 임의의 체 위에서 정의된 어떤 리 대수 의 원소라면,

는 형식적으로 의 원소들의 무한 합으로 써질 수 있음을 의미한다. [이 무한 급수는 수렴할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으므로, 의 실제 원소 를 정의할 필요는 없다.] 많은 응용 분야에서 이 형식적 표현의 존재를 보장받는 것만으로 충분하며, 이 무한 합에 대한 명시적인 표현은 필요하지 않다. 예를 들어, 리 대수의 표현으로부터 리 군의 표현을 구축하는 로런츠 Section 5.7 구성의 경우가 그러하다. 존재성은 다음과 같이 확인할 수 있다.

비가환 변수 와 에 대해 실수 계수를 가진 모든 비가환 형식적 멱급수의 환 를 고려하자. 에서  위에서 와 의 텐서곱으로 가는 환 준동형사상이 존재하며,

이를 여곱(coproduct)이라 부른다. 이는 다음과 같이 정의된다.
 및 
(Δ의 정의는 R-선형성, 승법성 및 무한 가법성을 요구함으로써 S의 다른 원소들로 확장된다.)

그러면 다음 속성들을 확인할 수 있다.
 표준 테일러 급수로 정의된  사상은 상수항이 0인 의 원소 집합과 상수항이 1인 의 원소 집합 사이의 일대일 대응이다. exp의 역함수는 log이다.
 가 군과 같다(grouplike, 즉 )는 것은 s가 원시적(primitive, 즉 )인 것과 필요충분조건이다.
 군과 같은 원소들은 곱셈 하에서 군을 형성한다.
 원시 원소들은 정확히 X와 Y에 의해 생성된 리 대수 원소들의 형식적 무한 합이며, 여기서 리 괄호는 교환자 로 주어진다. (프리드리히스의 정리네이선 제이컵슨, Lie Algebras, John Wiley & Sons, 1966.)

캠벨-베이커-하우스도르프 공식의 존재성은 이제 다음과 같이 볼 수 있다.
원소 X와 Y는 원시적이므로, 와 는 군과 같다. 따라서 그들의 곱  역시 군과 같으며, 그 로그 는 원시적이다. 그러므로 이는 와 에 의해 생성된 리 대수의 원소들의 무한 합으로 써질 수 있다.

와 에 의해 생성된 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 와 에 대한 모든 비가환 다항식의 대수와 동형이다. 모든 보편 포락 대수와 마찬가지로, 이는 여곱 를 가진 자연스러운 호프 대수 구조를 갖는다. 위에서 사용된 환 는 단지 이 호프 대수의 완비화일 뿐이다.

 자센하우스 공식 
이와 관련하여 이중적 응용 분야에서 유용한 조합론적 전개는 다음과 같다.

여기서 의 고차 지수들은 마찬가지로 중첩된 교환자들, 즉 동차 리 다항식이다.
에 있는 이러한 지수 은 위의 BCH 전개를 적용하여 재귀적으로 도출된다.

이것의 따름정리로 스즈키-트로터 분해가 뒤따른다.

 캠벨 항등식 
다음 항등식(Campbell 1897)은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우로 이어진다.
를 행렬 리 군이라 하고 를 그에 대응하는 리 대수라 하자. 고정된 에 대해 로 정의된  위의 선형 연산자를 라 하자. (위에서 본 인접 자기동형사상이다.) 고정된 에 대해 로 주어지는 의 선형 변환을 로 표기하자.

위의 명시적 전개를 생성하는 데 활용되는 표준 조합론적 보조정리는 다음과 같다. Proposition 3.35

이것은 양자역학에서 유니터리 변환을 수행하는 데 일반적으로 사용되는 특히 유용한 공식이다. 반복된 교환자를 다음과 같이 정의하면,

이 공식을 더 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

 항등식의 응용 
가 중심에 있는 경우, 즉 와  모두와 가환인 경우,

따라서 에 대해 다음이 성립한다.

이것의 해는 다음과 같다.

로 두면 위에서 설명한 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우 중 하나를 얻는다.

더 일반적으로, 중심에 있지 않은 에 대해 다음이 성립한다.

이는 다음과 같은 braiding identity로 써질 수 있다.

 무한소의 경우 

위 공식의 특히 유용한 변형은 무한소 형태이다. 이는 일반적으로 다음과 같이 써진다.

이 변형은 좌표와 vielbein을 리 군 위의 메트릭의 풀백으로 쓰는 데 흔히 사용된다.

예를 들어, 어떤 함수 와 리 대수의 기저 에 대해 라고 쓰면, 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있다.

여기서 는 리 대수의 구조 상수이다.

이 급수는 다음과 같이 더 간결하게 (본문 참조) 써질 수 있다.

여기서 무한 급수는 다음과 같다.

여기서 은 행렬 원소가 인 행렬이다.

이 표현의 유용함은 행렬 이 vielbein이라는 사실에서 나온다. 따라서 어떤 다양체 에서 다양체 로 가는 어떤 사상 가 주어졌을 때, 다양체  위의 계량 텐서는 리 군  위의 계량 텐서 의 풀백으로 써질 수 있다.

리 군 위의 계량 텐서 은 카르탄 메트릭, 즉 킬링 형식이다. 이 (의사-)리만 다양체일 때, 메트릭은 (의사-)리만 계량이다.

 양자역학에서의 응용 
베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우는 하이젠베르크 리 대수를 생성하는 힐베르트 공간 연산자 와 가 있는 양자역학, 특히 양자광학에서 유용하다. 구체적으로 양자역학의 위치 및 운동량 연산자(보통 와 로 표기됨)는 정준 교환 관계를 만족한다.

여기서 는 항등 연산자이다. 따라서 와 는 그들의 교환자와 가환이다. 따라서 (와 가 비유계 연산자이고 행렬이 아님에도 불구하고) 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우를 형식적으로 적용하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

이 "지수화된 교환 관계"는 실제로 성립하며 스톤-폰 노이만 정리의 기초를 형성한다.
나아가,  도 성립한다.

관련된 응용으로 소멸 및 생성 연산자 와 가 있다. 그들의 교환자 는 중심에 있으며, 즉 와  모두와 가환이다. 위에서 지적한 바와 같이, 전개는 다음과 같은 반-자명한 퇴화 형태로 붕괴된다.

여기서 는 단순히 복소수이다.

이 예시는 변위 연산자(displacement operator) 를 소멸 및 생성 연산자와 스칼라의 지수 함수들로 분해하는 것을 보여준다.L. Mandel, E. Wolf Optical Coherence and Quantum Optics (Cambridge 1995).

이 퇴화된 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 두 변위 연산자의 곱을 (어떤 위상 인자까지 포함하여) 또 다른 변위 연산자로 나타내며, 결과적인 변위는 두 변위의 합과 같다.

이는 그들이 표현하는 하이젠베르크 군이 멱영군이기 때문이다. 퇴화된 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 양자장론에서도 빈번하게 사용된다. See pp 27-29 for a detailed proof of the above lemma.

 같이 보기 

 행렬 지수 함수
 행렬 로그 함수
 리 곱 공식 (트로터 곱 공식)
 리 대응
 지수 사상의 미분
 마그누스 전개
 스톤-폰 노이만 정리
 골든-톰슨 부등식

 내용주 

 각주 

 참고 문헌 



 L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, 케임브리지 대학교 출판부, New York, 1990, .





 Shlomo Sternberg (2004) Lie Algebras, Orange Grove Books,  free, online
 Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.

 외부 링크 
 C.K. Zachos, Crib Notes on CBH expansions 
 MathWorld page

분류:조합론
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분류:수리물리학