레비 비행

레비 비행()은 스텝 길이의 안정 분포를 갖는 무작위 행보이다. 즉, 두터운 꼬리 분포를 가진 확률 분포이다. 1차원보다 높은 차원의 공간에서 이루어지는 행보로 정의될 때, 스텝들은 등방성 무작위 방향으로 이루어진다. 후대의 연구자들은 "레비 비행"이라는 용어를 연속 공간이 아닌 이산 격자에서 발생하는 무작위 행보의 경우에도 확장하여 사용하고 있다.

"레비 비행"이라는 용어는 폴 피에르 레비의 이름을 따서 브누아 망델브로가 만들었다. 망델브로는 스텝 크기 분포의 특정 정의에 이 용어를 사용했다. 그는 스텝 크기 분포가 코시 분포일 때 코시 비행()이라는 용어를 사용했고, 분포가 정규 분포일 때 레일리 비행()이라는 용어를 사용했다 (이는 두터운 꼬리 확률 분포의 예가 아니다).

망델브로가 "레비 비행"이라는 용어를 사용한 특정 경우는 스텝 크기 U의 분포에 대한 생존 함수가 다음과 같이 정의된다.

여기서 D는 프랙탈 차원과 관련된 매개변수이며, 분포는 파레토 분포의 특정 경우이다.

 속성 
레비 비행은 정의상 마르코프 확률 과정이다. 멱법칙 조건을 만족하는 일반적인 스텝 크기 분포의 경우, 많은 수의 스텝 이후 무작위 행보의 원점으로부터의 거리는 일반화된 중심 극한 정리로 인해 안정 분포에 가까워지며, 이를 통해 많은 과정을 레비 비행으로 모델링할 수 있다.

레비 비행을 겪는 입자의 확률 밀도는 일반적으로 브라운 운동을 모델링하는 데 사용되는 일반화된 포커르-플랑크 방정식을 사용하여 모델링할 수 있다. 이 방정식은 분수계 미적분학의 사용을 요구한다. 대칭 확률 분포를 갖는 점프 길이의 경우, 방정식은 리츠 분수 미분을 사용하여 간단한 형태로 표현된다. 1차원에서 방정식은 다음과 같다.

여기서 γ는 확산 상수와 유사한 상수이고, α는 안정성 매개변수이며, f(x,t)는 퍼텐셜이다. 리츠 미분은 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있다.

이는 여러 차원으로 쉽게 확장될 수 있다.

레비 비행의 또 다른 중요한 속성은 α = 2인 경우(즉, 브라운 운동)를 제외한 모든 경우에서 분산이 발산한다는 것이다. 일반적으로, α ≤ θ이면 분포의 θ 차수 모멘트가 발산한다. 또한,



스텝 길이의 지수적 스케일링은 레비 비행에 척도 불변 특성을 부여하며, 군집을 보이는 데이터를 모델링하는 데 사용된다.

섬네일|left|256px|그림 1. 2차원에서 레비 비행의 1000 단계 예시. 움직임의 원점은 [0,0]에 있고, 각 방향은 균일하게 분포하며, 스텝 크기는 α = 1 및 β = 0인 레비 (즉, 안정 분포) 분포에 따라 분포한다 (이는 코시 분포이다). 그림 2에 나타난 브라운 운동에 비해 위치의 큰 점프가 있음을 주목하라.

섬네일|right|256px|그림 2. 2차원에서 브라운 운동 유형의 레비 비행에 대한 1000 단계 근사 예시. 움직임의 원점은 [0, 0]에 있고, 각 방향은 균일하게 분포하며, 스텝 크기는 α = 2 및 β = 0인 레비 (즉, 안정 분포) 분포에 따라 분포한다 (즉, 정규 분포이다).

 응용 
레비 비행의 정의는 혼돈 이론과 관련된 수학에서 비롯되었으며, 무작위 또는 유사 무작위 자연 현상에 대한 확률적 측정 및 시뮬레이션에 유용하다. 예로는 지진 데이터 분석, 금융 수학, 암호학, 신호 분석뿐만 아니라 천문학, 생물학, 물리학의 많은 응용 분야가 있다.

고기후 기록에서 관찰된 기후 상태 간의 점프는 레비 비행 또는 알파 안정 과정으로 설명될 수 있다는 것이 밝혀졌다.P. D. Ditlevsen, "Observation of alpha-stable noise and a bistable climate potential in an ice-core record", Geophys. Res. Lett 26, 1441–1444, 1999.
또 다른 응용은 레비 비행 먹이 찾기 가설이다. 상어와 다른 해양 포식자들이 먹이를 찾을 수 없을 때, 그들은 소용돌이치는 가스 분자에서 볼 수 있는 무작위 운동인 브라운 운동을 버리고 레비 비행을 한다. 레비 비행은 난류 유체에서 발견되는 긴 궤적과 짧고 무작위적인 움직임의 조합이다. 연구자들은 미흑점상어, 황다랑어, 청새치, 황새치를 포함한 대서양과 태평양의 14개 해양 포식자 종의 55마리 데이터 로거 태그 동물의 5,700일 동안 기록된 1,200만 건 이상의 움직임을 분석했다. 이 데이터는 브라운 운동이 혼합된 레비 비행이 동물의 사냥 패턴을 설명할 수 있음을 보여주었다. 새와 다른 동물들 (인간 포함)은 (예를 들어 먹이를 찾을 때) 레비 비행을 사용하여 모델링된 경로를 따른다. 레비 비행 패턴을 사용하는 동물의 한 예는 딱정벌레인 Pterostichus melanarius이다. 딱정벌레가 배고프고 먹이가 부족할 때, 그들은 다른 P. melanarius 개체가 방문했던 곳에서는 먹이를 찾지 않는다. 이러한 행동은 민달팽이와 같이 한 번에 완전히 소비되지 않을 수 있는 널리 분산된 먹이에 최적이다.

또한, 생물학적 비행은 최적의 레비 워크에 수렴하기 위해 규모를 넘어 성장하는 복합 상관 무작위 워크와 같은 다른 모델에 의해서도 모방될 수 있다. 복합 브라운 워크는 이론적으로 최적의 레비 워크에 미세 조정될 수 있지만, 대부분의 지형 유형에서 레비 탐색만큼 효율적이지 않다. 이는 다중 스케일 정규 확산 패턴보다 레비 워크 특성에 대한 선택 압력이 더 높을 가능성을 시사한다.

더 나아가, 레비 워크가 고에너지 입자물리학에서도 나타난다는 것이 밝혀졌다. 관측 결과에 따르면 고에너지 중이온 충돌에서 레비 과정이 발생한다.=5.02$ TeV |journal=Physical Review C |volume=109 |issue=2 |article-number=024914 |doi=10.1103/PhysRevC.109.024914 |doi-access=free}}=200$ GeV $\text{Au}+\text{Au}$ collisions |journal=Physical Review C |volume=110 |issue=6 |article-number=064909 |doi=10.1103/PhysRevC.110.064909 |doi-access=free}} 여기서, 고에너지 중이온 충돌 후의 강입자 산란 및 붕괴는 멱법칙 꼬리를 가진 공간적 입자 생성(쿼크-글루온 플라스마로부터의 강입자 얼어붙음) 분포로 이어진다.

네트워크의 효율적인 라우팅은 특정 알파 값을 가진 레비 비행 길이 분포를 갖는 링크를 통해 수행될 수 있다.

 같이 보기 
 이상 확산
 두터운 꼬리 분포
 두터운 꼬리 분포
 레비 확률 과정
 레비 알파 안정 분포
 레비 비행 먹이 찾기 가설

 내용주 

 각주 

 추가 자료 

 외부 링크 
 A comparison of the paintings of Jackson Pollock to a Lévy flight model

분류:프랙탈
분류:마르코프 과정