BIBO 안정성

신호 처리, 특히 제어이론에서 유계 입력, 유계 출력(bounded-input, bounded-output, BIBO) 안정성은 입력을 받는 신호 및 제어 시스템에 대한 안정성의 한 형태이다. 시스템이 BIBO 안정적이라면, 시스템에 대한 모든 유계 입력에 대해 출력 또한 유계가 된다.

신호의 크기가 를 넘지 않게 하는 유한한 값 가 존재한다면 그 신호는 유계이며, 즉 다음과 같다.
 이산 시간 신호의 경우: 
 연속 시간 신호의 경우: 

 선형 시불변 시스템의 시간 영역 조건 
 연속 시간 필요충분조건 
연속 시간 선형 시불변 (LTI) 시스템에서 BIBO 안정성을 위한 조건은 임펄스 응답 가 절대 적분 가능해야 한다는 것이다. 즉, 그 L1 노름이 존재해야 한다.



 이산 시간 충분조건 
이산 시간 LTI 시스템에서 BIBO 안정성을 위한 조건은 임펄스 응답이 절대 합산 가능해야 한다는 것이다. 즉, 그  노름이 존재해야 한다.

 충분성 증명 
임펄스 응답 을 갖는 이산 시간 LTI 시스템이 주어졌을 때, 입력 과 출력 의 관계는 다음과 같다.

여기서 는 합성곱을 나타낸다. 합성곱의 정의에 따라 다음과 같이 이어진다.

를 의 최댓값, 즉 -노름이라고 하자.

 (삼각 부등식에 의해)



만약 이 절대 합산 가능하다면,  이며 다음과 같다.

따라서 이 절대 합산 가능하고 이 유계라면, 이므로  또한 유계가 된다.

연속 시간의 경우에 대한 증명도 동일한 논리를 따른다.

 선형 시불변 시스템의 주파수 영역 조건 
 연속 시간 신호 

유리 함수이자 연속 시간 시스템에서 안정성을 위한 조건은 라플라스 변환의 수렴 영역(ROC)이 허수축을 포함해야 한다는 것이다. 시스템이 인과적일 때, ROC는 "가장 큰 극점", 즉 시스템의 모든 극점 중 실수부가 가장 큰 극점의 실수부를 종좌표로 하는 수직선의 오른쪽 열린 영역이다. ROC를 정의하는 가장 큰 극점의 실수부를 수렴 좌표라고 한다. 따라서 BIBO 안정성을 위해서는 시스템의 모든 극점이 s-평면의 엄격한 좌반평면에 있어야 한다.

이 안정성 조건은 위의 시간 영역 조건으로부터 다음과 같이 유도될 수 있다.

여기서  이고 이다.

그러므로 수렴 영역은 반드시 허수축을 포함해야 한다.

 이산 시간 신호 

유리 함수이자 이산 시간 시스템에서 안정성을 위한 조건은 Z변환의 수렴 영역(ROC)이 단위원을 포함해야 한다는 것이다. 시스템이 인과적일 때, ROC는 크기가 가장 큰 극점의 크기를 반지름으로 하는 원 외부의 열린 영역이다. 따라서 BIBO 안정성을 위해서는 시스템의 모든 극점이 z-평면의 단위원 내부에 있어야 한다.

이 안정성 조건은 연속 시간 유도와 유사한 방식으로 유도될 수 있다.

여기서  이고 이다.

그러므로 수렴 영역은 반드시 단위원을 포함해야 한다.

 같이 보기 
 LTI 시스템 이론
 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터
 무한 임펄스 응답 (IIR) 필터
 나이퀴스트 선도
 루스-후르비츠 안정성 판별법
 보드 선도
 위상 여유
 근궤적법
 입력 상태 안정성

 추가 읽기 

 Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, 
 John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, 
 D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, 
 Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
 Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577


 각주 

분류:디지털 신호 처리
분류:신호 처리
분류:안정성 이론