등방성 좌표

로렌츠 다양체 이론에서 구형 대칭 시공간은 일련의 내포된 둥근 구들을 허용한다. 이 내포된 구들의 계열에 적합한 몇 가지 다른 유형의 좌표 차트가 있는데, 가장 잘 알려진 것은 슈바르츠실트 좌표 차트이지만, 등방성 차트()도 종종 유용하게 사용된다.

등방성 차트의 정의적 특징은 그 방사형 좌표(슈바르츠실트 차트의 방사형 좌표와는 다름)가 광추가 둥글게 보이도록 정의된다는 것이다. 이는 (국소적으로 평평한 다양체의 자명한 경우를 제외하고) 각 등방성 좌표가 내포된 구 내의 거리를 충실하게 나타내지 않으며, 방사형 좌표도 방사형 거리를 충실하게 나타내지 않는다는 것을 의미한다. 반면에, 일정한 시간 초평면에서의 각도는 왜곡 없이 표현되며, 이는 차트의 이름이 유래한 이유이다.

등방성 차트는 일반 상대성이론과 같은 중력의 계량 이론에서 정적 시공간의 구형 대칭 시공간에 가장 자주 적용되지만, 예를 들어 구형으로 맥동하는 유체 구를 모델링하는 데에도 사용될 수 있다. 아인슈타인 장 방정식의 고립된 구형 대칭 해의 경우, 먼 거리에서는 등방성 차트와 슈바르츠실트 차트가 민코프스키 시공간의 일반적인 극좌표계와 점점 더 유사해진다.

 정의 
등방성 차트(정적 구형 대칭 시공간에서)에서 시공간 계량 (일명 선 요소)은 다음과 같은 형태를 취한다.

문맥에 따라 를 방사형 좌표의 미정 함수로 간주하는 것이 적절할 수 있다(예: 아인슈타인 장 방정식의 정확한 정적 구형 대칭 해를 유도할 때). 또는 특정 함수(일부 매개변수에 의존할 수 있는)를 대입하여 특정 로렌츠 시공간에서 등방성 좌표 차트를 얻을 수 있다.

 킬링 벡터장 
구형 대칭 정적 시공간의 킬링 벡터장의 리 대수는 등방성 차트에서 슈바르츠실트 차트와 동일한 형태를 취한다. 즉, 이 대수는 시간꼴 비회전 킬링 벡터장

와 세 개의 공간꼴 킬링 벡터장

에 의해 생성된다. 여기서 가 비회전적이라는 것은 해당 시간꼴 합동의 소용돌이 텐서가 소멸한다는 것을 의미한다. 따라서 이 킬링 벡터장은 초평면 직교한다. 시공간이 비회전 시간꼴 킬링 벡터장을 허용한다는 사실은 실제로 정적 시공간의 정의적 특징이다. 한 가지 즉각적인 결과는 일정 시간 좌표면 가 (등거리) 공간 초평면(공간꼴 초곡면)의 계열을 형성한다는 것이다.

슈바르츠실트 차트와 달리 등방성 차트는 이러한 초평면의 매립 다이어그램을 구성하는 데 적합하지 않다.

 정적 내포된 구들의 계열 
표면 는 둥근 구로 나타나며 (극좌표 방식으로 궤적을 그릴 때), 선 요소의 형태에서 우리는 이 표면 중 어느 하나에 제한된 계량이 다음과 같음을 알 수 있다.

여기서 는 좌표이고 는 단위 반지름의 2구면에서의 리만 계량이다. 즉, 이 내포된 좌표 구는 실제로 기하학적 구를 나타내지만,  대신 의 등장은 방사형 좌표가 일반적인 유클리드 공간의 구에서와 같은 방식으로 면적에 해당하지 않는다는 것을 보여준다. 슈바르츠실트 좌표와 비교하면, 방사형 좌표는 내포된 구의 관점에서 자연스러운 해석을 갖는다.

 좌표 특이점 
 궤적은 등방성 차트의 경계를 표시하며, 슈바르츠실트 차트와 마찬가지로 이 두 궤적이 동일시된다고 암묵적으로 가정하여, 우리의 가상의 둥근 구들이 실제로 위상학적 구가 되도록 한다.

슈바르츠실트 차트와 마찬가지로, 이 좌표의 일부 값에서 계량 또는 그 역함수가 발산하면 방사형 좌표의 범위가 제한될 수 있다.

 계량 가설 풀이 
위에 주어진 선 요소는 f, g를 등방성 좌표 r의 미정 함수로 간주하며, 일반 상대성이론(또는 다른 중력의 계량 이론)에서 정적 구형 대칭 해를 유도하는 데 가설 풀이 계량으로 자주 사용된다.

예시로, 카르탕의 외미분법을 사용하여 연결과 곡률을 계산하는 방법을 간략하게 설명한다. 먼저, 선 요소에서 코프레임장을 읽어낸다.

여기서 는 의 미정 매끄러운 함수로 간주한다. (우리의 시공간이 이 특정 삼각법 형태를 갖는 틀을 허용한다는 사실은 정적, 구형 대칭 로렌츠 다양체에서 등방성 차트의 개념에 대한 또 다른 동등한 표현이다.) 외미분을 취하고 첫 번째 카르탕 구조 방정식을 사용하여, 사라지지 않는 연결 1형식

을 찾는다. 다시 외미분을 취하고 두 번째 카르탕 구조 방정식에 대입하여 곡률 2형식을 찾는다.

 같이 보기 
 정적 시공간
 구형 대칭 시공간
 정적 구형 대칭 완벽 유체
 슈바르츠실트 좌표: 정적 구형 대칭 시공간을 위한 또 다른 인기 있는 차트
 일반 상대성이론의 틀장: 틀장과 코프레임장에 대한 더 많은 정보

 각주 


분류:로런츠 다양체