르메트르 좌표

르메트르 좌표()는 1932년 조르주 르메트르가 도입한 진공 상태에서 아인슈타인 방정식의 구형 대칭 해인 슈바르츠실트 계량을 위한 특정 좌표계이다. English translation: See also:  …  슈바르츠실트 좌표에서 르메트르 좌표로 변경하면 슈바르츠실트 반지름의 좌표 특이점이 제거된다.

 계량 
자연단위계()에서 슈바르츠실트 계량의 원래 슈바르츠실트 좌표 표현은 다음과 같다.

여기서
는 불변 간격이며;
는 슈바르츠실트 반지름이며;
은 중심 물체의 질량이며;
는 슈바르츠실트 좌표이며(점근적으로 평평한 구면좌표계로 바뀐다);
는 빛의 속력이며;
그리고 는 중력 상수이다.

이 계량은 슈바르츠실트 반지름 에서 좌표 특이점을 갖는다.

조르주 르메트르는 이것이 실제 물리적 특이점이 아니라 슈바르츠실트 반지름 내에서 정적인 슈바르츠실트 좌표가 물질적 몸체로 구현될 수 없다는 사실의 단순한 발현임을 처음으로 보여주었다. 실제로 슈바르츠실트 반지름 내부에서는 모든 것이 중심으로 떨어지며 물리적 몸체가 일정한 반지름을 유지하는 것은 불가능하다.

슈바르츠실트 좌표계에서 에서 새로운 좌표 로의 변환은 다음과 같다:

(분자와 분모는 제곱근 안에서 바뀌었다) 이는 계량의 르메트르 좌표 표현으로 이어진다.

여기서

르메트르 좌표의 계량은 슈바르츠실트 반지름 에서 특이점이 없다. 이는  지점에 해당한다. 인 중심에는 실제 중력 특이점이 남아있으며, 이는 좌표 변경으로 제거될 수 없다.

르메트르 좌표에서 사용된 시간 좌표는 굴스트란드-팡르베 좌표에서 사용된 "빗방울" 시간 좌표와 동일하다. 다른 세 개의 좌표: 굴스트란드-팡르베 좌표의 방사형 및 각도 좌표 는 슈바르츠실트 차트의 좌표와 동일하다. 즉, 굴스트란드-팡르베는 슈바르츠실트 시간 에서 빗방울 좌표 로 이동하기 위해 하나의 좌표 변환을 적용한다. 그런 다음 르메트르는 방사형 구성 요소에 두 번째 좌표 변환을 적용하여 굴스트란드-팡르베 차트의 대각선 외 항목을 제거한다.

이 문서에서 시간 좌표로 사용된  표기는 고유 시간과 혼동해서는 안 된다. 가 방사형으로 낙하하는 관찰자에게 고유 시간을 제공하는 것은 사실이지만, 다른 측지선을 따라 이동하는 관찰자에게는 고유 시간을 제공하지 않는다.

 측지선 
가 일정한 궤적은 를 이들 측지선을 따른 고유 시간으로 하는 시간꼴 측지선이다. 이들은 무한대에서 초기 속도가 0인 자유 낙하하는 입자의 운동을 나타낸다. 어떤 지점에서도 그들의 속도는 그 지점에서의 탈출 속도와 같다.

르메트르 좌표계는 동시 좌표계이다. 즉, 계량의 전역 시간 좌표는 함께 움직이는 관찰자의 고유 시간을 정의한다. 방사형으로 낙하하는 물체는 유한한 고유 시간 내에 슈바르츠실트 반지름과 중심에 도달한다.

방사형 영 측지선은 에 해당하며, 해는 이다. 여기서 는 다음의 약칭이다.

두 부호는 각각 바깥쪽으로 움직이는 빛과 안쪽으로 움직이는 빛에 해당한다. 이를 좌표 로 다시 표현하면 다음과 같다.

일 때 임을 주목하라. 이는 슈바르츠실트 반지름 내부에서 어떤 신호도 탈출할 수 없으며, 방사형으로 안팎으로 방출된 빛이 고유 시간 가 증가함에 따라 모두 원점에 도달한다는 것을 의미한다.

르메트르 좌표 차트는 측지적으로 완전하지 않다. 이는 바깥쪽으로 움직이는 방사형 영 측지선을 시간 거꾸로 추적함으로써 알 수 있다. 바깥쪽으로 움직이는 측지선은 위에서 플러스 부호에 해당한다. 에서 시작점 를 선택하면 위 방정식은 일 때 로 적분된다. 고유 시간을 거꾸로 가면 일 때 가 된다. 에서 시작하여 앞으로 적분하면 유한한 고유 시간 내에 에 도달한다. 거꾸로 가면 일 때 다시 가 된다. 따라서 계량은 에서 특이점이 없지만, 모든 바깥쪽으로 이동하는 측지선은 일 때 까지 확장된다는 결론을 내릴 수 있다.

 같이 보기 
 크루스칼-셰케레시 좌표
 에딩턴-핑켈슈타인 좌표
 르메트르-톨먼 계량
 일반상대론의 수학적 공식화 개론
 에너지-운동량 텐서
 계량 텐서 (일반 상대성이론)
 상대론적 각운동량

 각주 

분류:일반 상대성이론
분류:일반 상대성 이론의 엄밀해
분류:시공간
분류:중력