란다우 감쇠

물리학에서 란다우 감쇠()는 발견자인 소련 물리학자 레프 란다우(1908~1968)의 이름을 따서 명명되었으며,Landau, L. "On the vibration of the electronic plasma". JETP 16 (1946), 574. English translation in J. Phys. (USSR) 10 (1946), 25. Reproduced in Collected papers of L.D. Landau, edited and with an introduction by D. ter Haar, Perg몬 프레스, 1965, pp. 445–460; and in Men of Physics: L.D. Landau, Vol. 2, Pergamon Press, D. ter Haar, ed. (1965). 플라스마 또는 유사한 환경에서 종방향 공간 전하 파동의 감쇠 (시간에 대한 지수적 감소) 효과이다.Chen, Francis F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Second Ed., 1984 Plenum Press, New York. 이 현상은 불안정성이 발생하는 것을 방지하고 매개변수 공간에 안정성 영역을 생성한다. 이후 도널드 린든-벨은 은하 역학에서 유사한 현상이 발생하고 있다고 주장했는데, 여기서는 정전기력으로 상호작용하는 전자 기체가 중력으로 상호작용하는 "별 기체"로 대체된다.Binney, J., and Tremaine, S. Galactic Dynamics, second ed. Princeton Series in Astrophysics. 프린스턴 대학교 출판부, 2008. 란다우 감쇠는 PIC 시뮬레이션과 같은 수치 시뮬레이션에서 정확하게 조작될 수 있다. 이는 란다우가 1946년에 예측한 지 거의 20년 후인 1964년에 말름베리와 워턴에 의해 실험적으로 입증되었다.

 파동-입자 상호작용 
란다우 감쇠는 위상 속도 를 가진 파동과 이 파동과 강하게 상호작용할 수 있는 약 와 동일한 속도를 가진 플라스마 내 입자들 사이의 에너지 교환으로 인해 발생한다. 보다 약간 작은 속도를 가진 입자들은 파동의 전기장에 의해 가속되어 파동 위상 속도와 함께 움직이며, 보다 약간 큰 속도를 가진 입자들은 파동에 에너지를 잃고 감속된다. 즉, 입자들은 파동과 동기화되는 경향이 있다. 이는 진행파관으로 실험적으로 입증되었다.

섬네일

이상적인 자기 유체 역학(MHD) 플라스마에서 입자 속도는 종종 맥스웰 분포 함수와 거의 같다고 간주된다. 함수의 기울기가 음수이면 파동 위상 속도보다 약간 작은 속도를 가진 입자의 수가 약간 큰 속도를 가진 입자의 수보다 많다. 따라서 파동에 에너지를 잃는 것보다 파동으로부터 에너지를 얻는 입자가 더 많으므로 파동 감쇠가 발생한다.
그러나 함수의 기울기가 양수이면 파동 위상 속도보다 약간 작은 속도를 가진 입자의 수가 약간 큰 속도를 가진 입자의 수보다 적다. 따라서 파동으로부터 에너지를 얻는 것보다 파동에 에너지를 잃는 입자가 더 많으므로 파동 에너지의 결과적인 증가가 발생한다. 그러면 란다우 감쇠는 란다우 성장으로 대체된다.

 물리적 해석 
란다우 감쇠의 수학적 이론은 다소 복잡하다. 그러나 유한 진폭 파동의 경우 간단한 물리적 해석이 있는데, 이는 엄밀히 정확하지는 않지만 이 현상을 시각화하는 데 도움이 된다.

섬네일|항해자(또는 서퍼)들이 바다 파도를 타면 파도 속도에 맞춰 속도가 빨라지거나 느려진다.

랑뮤어 파동을 바다의 파도로, 입자를 파도를 타려고 하는 서퍼로 상상할 수 있으며, 모두 같은 방향으로 움직인다. 서퍼가 파도보다 약간 느린 속도로 수면 위를 움직이면 결국 파도에 잡혀 파도를 따라 밀려갈 것이고(에너지 획득), 파도보다 약간 빠르게 움직이는 서퍼는 언덕을 오르듯이 파도를 밀어낼 것이다(파도에 에너지 손실).

이 에너지 상호작용에서 파도와 중요한 역할을 하는 것은 서퍼들뿐이라는 점을 주목할 가치가 있다. 물 위에 떠 있는 비치볼(속도 0)은 파도가 지나갈 때 위아래로 움직일 뿐 에너지를 전혀 얻지 못한다. 또한 파도보다 빠르게 움직이는 보트는 파도와 에너지를 많이 교환하지 않는다.

섬네일|초기 맥스웰 분포 플라스마의 전자들은 정전기적 파동이 있는 상태에서 1차원 위상 공간을 이동한다.

파동의 기준 프레임에서 입자의 위상 공간 궤적을 고려하면 좀 더 자세한 그림을 얻을 수 있다. 위상 속도에 가까운 입자들은 갇히게 되고 위상 속도로 파면과 함께 움직이게 된다. 원래 위상 속도보다 느렸던 이러한 입자들은 가속되는 반면, 원래 위상 속도보다 빨랐던 입자들은 감속된다. 맥스웰 분포 플라스마의 경우, 초기에는 위상 속도보다 느린 입자가 빠른 입자보다 많으므로, 플라스마는 순 에너지를 얻게 되고 파동은 에너지를 잃게 된다.

입자 역학에 대한 간단한 기계적 설명은 입자와 파동의 동기화에 대한 정량적 추정치를 제공한다. 보다 엄격한 접근 방식은 감쇠율에 비례하고 파동 진폭과 무관하게 파동 프레임에서 속도를 가진 입자에 대해 가장 강한 동기화가 발생함을 보여준다.Escande, D. F., Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D., & Doveil, F. (2018). Basic microscopic plasma physics from N-body mechanics, A tribute to Pierre-Simon de Laplace, Reviews of Modern Plasma Physics, 2, 1-68 란다우 감쇠는 임의로 작은 진폭의 파동에서 발생하므로, 이 감쇠에서 가장 활발한 입자들은 갇히는 상태와는 거리가 멀다. 이는 당연한데, 갇히는 현상은 그러한 파동에 대해 발산하는 시간 척도( 파동 진폭에 대해 )를 포함하기 때문이다.

 수학적 처리 
 블라소프 프레임에서의 섭동 이론 
이론적 처리는 비상대론적 영 자기장 한계, 블라소프-푸아송 방정식 세트에서 블라소프 방정식으로 시작한다. 작은 -장 한계에서 명시적인 해를 얻는다. 분포 함수 와 장 는 , 와 같이 급수 전개되고 동일 차수의 항들이 모인다.

1차에서 블라소프-푸아송 방정식은 다음과 같다.

란다우는 초기 교란 에 의해 발생하는 파동을 계산하고 라플라스 변환과 경로적분법을 이용하여 파수 와 감쇠 감소율  형태의 감쇠 진행파를 발견했다.

여기서 는 플라스마 진동 주파수이고 은 전자 밀도이다. 이후 니코 반 캄펜은van Kampen, N. G., "On the theory of stationary waves in plasma", Physica 21 (1955), 949–963. See http://theor.jinr.ru/~kuzemsky/kampenbio.html 동일한 결과가 푸리에 변환으로 얻어질 수 있음을 입증했다. 그는 선형화된 블라소프-푸아송 방정식이 이제 반 캄펜 모드로 알려진 특이 정규 모드의 연속 스펙트럼을 가진다는 것을 보여주었다.

여기서 는 주값을, 는 델타 함수(일반화된 함수 참조)를 나타내며

는 플라스마 유전율이다. 초기 교란을 이 모드로 분해하면 결과 파동의 푸리에 스펙트럼이 생성된다. 감쇠는  근처에서 약간 다른 주파수를 가진 이 푸리에 모드의 위상 혼합으로 설명된다.

그러나 충돌 없는 플라스마에서의 감쇠는 에너지를 무엇이 흡수하는지에 대한 의문을 제기했다. 유체 이론에서 플라스마는 분산 유전체 매질로 모델링되는데,Landau, L. D. and Lifshitz, E. M., Electrodynamics of Continuous Media §80, Pergamon Press (1984). 랑뮤어 파동의 에너지는 알려져 있다. 즉, Brillouin 인자 를 곱한 장 에너지이다. 그러나 이 모델에서는 감쇠를 유도할 수 없다. 파동과 공명 전자 사이의 에너지 교환을 계산하려면 블라소프 플라스마 이론을 2차까지 확장해야 하며, 적절한 초기 조건과 영년항(secular term)에 대한 문제가 발생한다.

섬네일 참고문헌Best, Robert W. B., "Energy and momentum density of a Landau-damped wave packet", J. Plasma Phys. 63 (2000), 371-391에서 이러한 문제들이 연구되었다. 무한 파동에 대한 2차 계산은 부족하기 때문에 확률파동이 분석된다. 영년 거동을 억제하고 에너지 밀도가 유체 이론과 일치하는 확률파동을 여기시키는 2차 초기 조건이 발견되었다. 그림은 군속도로 이동하는 확률파동의 에너지 밀도를 보여주는데, 그 에너지는 위상 속도로 움직이는 전자에 의해 운반된다. 총 에너지, 즉 곡선 아래 영역은 보존된다.

 섭동 해의 코시 문제 
엄밀한 수학적 이론은 진화 방정식(여기서는 편미분 블라소프-푸아송 방정식)에 대한 코시 문제를 풀고 해에 대한 추정치를 증명하는 데 기반을 둔다.

우선 란다우 이후로 상당히 완전한 선형화된 수학적 이론이 개발되었다.See for instance Backus, G. "Linearized plasma oscillations in arbitrary electron distributions". J. Math. Phys. 1 (1960), 178–191, 559. Degond, P. "Spectral theory of the linearized Vlasov–Poisson equation". Trans. Amer. Math. Soc. 294, 2 (1986), 435–453. Maslov, V. P., and Fedoryuk, M. V. "The linear theory of Landau damping." Mat. Sb. (N.S.) 127(169), 4 (1985), 445–475, 559.

선형화된 방정식을 넘어 비선형성을 다루는 것은 란다우 감쇠의 수학적 이론에서 오랜 문제였다.
이전에는 비선형 수준에서 한 가지 수학적 결과가 있었는데, 산란 기법을 통해 원형에서 블라소프-푸아송 방정식의 지수적으로 감쇠하는 해의 존재가 입증되었다.(이 결과는 최근Hwang, H. J. and Velázquez J. J. L. "On the Existence of Exponentially Decreasing Solutions of the Nonlinear Landau Damping Problem", Indiana Univ. Math. J. 68, 6 (2009), 2623–2660에서 확장되었다). 그러나 이러한 존재 결과는 어떤 초기 데이터가 그러한 감쇠 해로 이어질 수 있는지에 대해서는 아무것도 말해주지 않는다.

프랑스 수학자 세드리크 빌라니와 클레망 무오가 발표한 논문에서, 초기 데이터 문제가 해결되었고, 비선형 블라소프 방정식에 대해 란다우 감쇠가 처음으로 수학적으로 확립되었다. 선형적으로 안정적인 균질 정상 해의 특정 근방(해석적 또는 제브레 위상에 대해)에서 시작하는 해는 모든 시간 동안 (궤도상) 안정적이며 시간이 지남에 따라 전역적으로 감쇠된다는 것이 증명되었다. 감쇠 현상은 에너지 교환보다는 와 의 함수로서 의 규칙성 전달 측면에서 재해석된다. 대규모 변동은 속도 공간에서 점점 더 작은 규모의 변동으로 전달되며, 이는 의 함수로서 의 푸리에 스펙트럼의 변화에 해당한다. 선형 이론에서 잘 알려진 이 변화는 비선형 사례에서도 유효함이 입증되었다.

 N체 프레임에서의 섭동 이론 
원래 불가능하다고 여겨졌던 기계적 N체 설명은 뉴턴의 운동 제2법칙과 푸리에 급수를 사용하여 란다우 감쇠를 엄밀하게 계산할 수 있게 한다. 이 유도를 위해 블라소프 방정식이나 라플라스 변환은 필요하지 않다. 파동과 전자 간의 에너지(더 정확히는 운동량) 교환 계산은 유사하게 수행된다. 이 계산은 란다우 감쇠를 거의 공명하는 통과 입자의 동기화로 해석하는 것을 직관적으로 만든다.

 각주 

분류:파동