아틀라스 (다양체)

수학, 특히 위상수학에서 아틀라스(atlas)는 다양체를 설명하는 데 사용되는 개념이다. 아틀라스는 대략적으로 다양체의 개별 영역을 설명하는 개별 좌표계로 구성된다. 일반적으로 아틀라스의 개념은 다양체와 벡터 다발 및 기타 올다발과 같은 관련 구조의 형식적인 정의의 기초를 이룬다.

좌표계

아틀라스의 정의는 좌표계의 개념에 달려 있다. 위상 공간 M에 대한 좌표계는 M의 열린 부분집합 U에서 유클리드 공간의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 이다. 좌표계는 전통적으로 순서쌍 로 기록된다.

유클리드 공간에서 좌표계를 선택하면 에 좌표가 정의된다. 의 점 의 좌표는 의 좌표로 정의된다. 좌표계와 이러한 좌표계로 구성된 쌍을 국소 좌표계, 좌표 차트, 좌표 패치, 좌표 맵 또는 국소 프레임이라고 한다.

아틀라스의 형식적 정의
위상 공간 에 대한 아틀라스는 을 덮는 (즉, )  상의 좌표계들의 족 이다. 만약 고정된 n에 대해 각 좌표계의 상이 n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합이면, 은 n차원 다양체라고 한다.

아틀라스의 복수형은 atlases이며, 일부 저자는 atlantes를 사용하기도 한다.

차원 다양체  상의 아틀라스 는 다음 조건을 만족하면 적절한 아틀라스라고 한다.

 각 좌표계의 상은  또는 이며, 여기서 는 닫힌 반공간이다.
 는 의 국소 유한 덮개이다.
 이며, 여기서 는 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 열린 공이다.

모든 제2 가산 다양체는 적절한 아틀라스를 허용한다. 또한, 가 제2 가산 다양체 의 열린 덮개이면,  상에는 가 의 덮개의 세분인 적절한 아틀라스 가 존재한다.

전이 사상

전이 사상은 아틀라스의 두 좌표계를 비교하는 방법을 제공한다. 이 비교를 위해 한 좌표계와 다른 좌표계의 역함수의 합성을 고려한다. 이 합성은 두 좌표계를 그들의 정의역의 교집합으로 제한하지 않으면 잘 정의되지 않는다. (예를 들어, 유럽 지도가 있고 러시아 지도가 있다면, 이 두 지도를 그들의 겹치는 부분, 즉 러시아의 유럽 부분에서 비교할 수 있다.)

더 정확하게 말하자면, 와 가 다양체 M에 대한 두 좌표계이고 가 공집합이 아니라고 가정하자.
전이 사상 는 다음으로 정의되는 사상이다.

와 가 모두 위상동형사상이므로 전이 사상 도 위상동형사상이다.

추가 구조
다양체에 단순히 위상적 구조 이상의 구조를 원하는 경우가 많다. 예를 들어, 다양체 위의 함수의 미분에 대한 명확한 개념을 원한다면, 전이 함수가 미분 가능한 아틀라스를 구성할 필요가 있다. 이러한 다양체를 미분 다양체라고 한다. 미분 다양체가 주어지면 접벡터와 방향도함수의 개념을 명확하게 정의할 수 있다.

각 전이 함수가 매끄러운 함수이면 아틀라스를 매끄러운 아틀라스라고 하고, 다양체 자체를 매끄럽다고 한다. 또는 전이 맵이 k개의 연속 미분 계수만 갖도록 요구할 수도 있으며, 이 경우 아틀라스를 라고 한다.

매우 일반적으로, 각 전이 함수가 유클리드 공간의 유사군 에 속하면 아틀라스를 -아틀라스라고 한다. 아틀라스의 좌표계 사이의 전이 맵이 국소 자명화를 보존하면 아틀라스는 올다발의 구조를 정의한다.

 같이 보기 
 매끄러운 아틀라스
 매끄러운 틀

 각주 



, Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

 외부 링크 
 아틀라스 by 롤랜드, 토드

분류:다양체