시간 척도 미적분학

수학에서 시간 척도 미적분학(Time-scale calculus)은 차분 방정식 이론과 미분방정식 이론을 통합하고, 적분 및 미분학과 유한 차분 미적분학을 통합하여 하이브리드 시스템을 연구하기 위한 형식을 제공한다. 이는 이산 및 연속 데이터를 동시에 모델링해야 하는 모든 분야에 응용된다. 이 이론은 새로운 미분 정의를 제공하는데, 실수에 정의된 함수를 미분할 경우 표준 미분과 동일하지만, 정수에 정의된 함수를 사용할 경우 전진 차분 연산자와 동일하다.

 역사 

시간 척도 미적분학은 1988년 독일 수학자 슈테판 힐거에 의해 소개되었다. 그러나 이와 유사한 아이디어는 이전에 사용되었으며, 적분과 합을 통합하는 리만-스틸티어스 적분의 도입까지 거슬러 올라간다.

 동적 방정식 
미분방정식에 관한 많은 결과는 차분방정식에 해당하는 결과로 쉽게 이어지지만, 다른 결과들은 연속적인 결과와는 완전히 다른 것처럼 보인다. 시간 척도 상의 동적 방정식 연구는 이러한 불일치를 밝혀내고, 결과를 두 번 증명하는 것을 피하는 데 도움을 준다. 즉, 한 번은 미분방정식에 대해, 또 한 번은 차분방정식에 대해 증명하는 것을 피한다. 일반적인 아이디어는 미지의 함수의 도메인이 시간 척도(시간 집합이라고도 함)인 동적 방정식에 대해 결과를 증명하는 것이다. 시간 척도는 실수의 임의의 닫힌 부분 집합일 수 있다. 이러한 방식으로 결과는 실수 집합이나 정수 집합뿐만 아니라 칸토어 집합과 같은 더 일반적인 시간 척도에도 적용된다.

시간 척도 상의 미적분학의 세 가지 가장 인기 있는 예는 미분학, 차분 미적분학, 양자 미적분학이다. 시간 척도 상의 동적 방정식은 개체군 동역학과 같은 응용 분야에 대한 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 계절 동안 지속적으로 진화하고, 겨울에는 알이 부화하거나 휴면하는 동안 사라지고, 새 계절에 부화하여 겹치지 않는 개체군을 형성하는 곤충 개체군을 모델링할 수 있다.

 형식적 정의 
시간 척도(또는 측정 사슬)는 실직선 의 닫힌 부분 집합이다. 일반적인 시간 척도에 대한 일반적인 표기는 이다.

가장 흔하게 접하는 시간 척도의 두 가지 예는 실수 와 이산 시간 척도 이다.

시간 척도 내의 단일 점은 다음과 같이 정의된다.

 시간 척도에 대한 연산 
섬네일|upright=2.0|이산 시간 척도에서의 전방 점프, 후방 점프, 그리고 입상도 연산자
전방 점프 및 후방 점프 연산자는 주어진 점 의 오른쪽 및 왼쪽에 있는 시간 척도에서 가장 가까운 점을 나타낸다. 형식적으로:

 (전진 이동/점프 연산자)
 (후진 이동/점프 연산자)

입상도 는 한 점에서 오른쪽으로 가장 가까운 점까지의 거리이며 다음과 같이 주어진다.

오른쪽 조밀한 의 경우 이고 이다.
왼쪽 조밀한 의 경우 

 점의 분류 
섬네일|upright=2.0|다양한 분류를 가진 시간 척도 상의 여러 점
임의의 에 대해 는 다음이다.
 이면 왼쪽 조밀
 이면 오른쪽 조밀
 이면 왼쪽 산재
 이면 오른쪽 산재
 왼쪽 조밀하고 오른쪽 조밀하면 조밀
 왼쪽 산재하고 오른쪽 산재하면 고립

오른쪽 그림에 설명된 대로:
 점 은 조밀하다.
 점 는 왼쪽 조밀하고 오른쪽 산재한다.
 점 은 고립되어 있다.
 점 는 왼쪽 산재하고 오른쪽 조밀하다.

 연속성 
시간 척도의 연속성은 조밀성과 동등하게 재정의된다. 시간 척도는 점 에서 오른쪽 조밀하면 점 에서 오른쪽 연속이라고 말한다. 유사하게, 시간 척도는 점 에서 왼쪽 조밀하면 점 에서 왼쪽 연속이라고 말한다.

 미분 
함수를 다음과 같이 정의한다.

(여기서 R은 어떤 바나흐 공간이 될 수 있지만, 단순화를 위해 실직선으로 설정된다).

정의: 델타 미분(힐거 미분이라고도 함) 는 다음 경우에만 존재한다.

모든 에 대해 의 근방 가 존재하여 다음을 만족한다.

 내의 모든 에 대해.

로 가정하자. 그러면 , , 는 표준 미적분학에서 사용되는 미분이다. 만약 (정수)이면, , , 는 차분 방정식에서 사용되는 전진 차분 연산자이다.

 적분 

델타 적분은 델타 미분에 대한 원함수로 정의된다. 만약 가 연속 미분 를 갖는다면 다음과 같이 설정한다.

 라플라스 변환 및 Z변환 

시간 척도 상의 함수에 대한 라플라스 변환을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 시간 척도에 대해 동일한 변환표를 사용한다. 이 변환은 시간 척도 상의 동적 방정식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 만약 시간 척도가 음이 아닌 정수이면 이 변환은 수정된 Z변환과 동일하다.

 편미분 

편미분 방정식과 편차분 방정식은 시간 척도 상의 편동적 방정식으로 통합된다.

 다중 적분 

시간 척도 상의 다중 적분은 Bohner(2005)에서 다루어진다.

 시간 척도 상의 확률 동적 방정식 

확률미분방정식과 확률차분 방정식은 시간 척도 상의 확률 동적 방정식으로 일반화될 수 있다.

 시간 척도 상의 측도론 

모든 시간 척도에는 다음을 통해 정의된 자연적인 측도가 관련되어 있다.

여기서 는 르베그 측도를 나타내고 는 에 정의된 후진 시프트 연산자이다. 델타 적분은 이 측도에 대한 일반적인 르베그-스틸티어스 적분으로 판명된다.

그리고 델타 미분은 이 측도에 대한 라돈-니코딤 미분으로 판명된다.

 시간 척도 상의 분포 

디랙 델타 함수와 크로네커 델타는 시간 척도 상에서 힐거 델타로 통합된다.



 시간 척도 상의 분수계 미적분학 

시간 척도 상의 분수계 미적분학은 Bastos, Mozyrska, Torres에 의해 다루어진다.

 같이 보기 

 프랙탈 분석 (칸토어 집합 상의 동적 방정식의 경우)
 다중 척도 해석
 평균 방법
 크릴로프-보고류보프 평균화 방법

 각주 

 더 읽어보기 

 시간 척도 상의 동적 방정식 Journal of Computational and Applied Mathematics 특별호 (2002)
 동적 방정식 및 응용 Advances in Difference Equations 특별호 (2006)
 시간 척도 상의 동적 방정식: 질적 분석 및 응용 Nonlinear Dynamics And Systems Theory 특별호 (2009)

 외부 링크 
 베일러 대학교 시간 척도 그룹
 Timescalewiki.org

분류:미적분학
분류:동역학계
분류:점화식