본질적 하한과 본질적 상한

수학에서 본질적 하한(essential infimum)과 본질적 상한(essential supremum)의 개념은 상한과 하한의 개념과 관련이 있지만, 측도론 및 함수해석학에 적용되어 종종 집합의 모든 요소에 대해 유효하지는 않지만 거의 어디서나, 즉 측도 영 집합을 제외하고는 유효한 진술을 다룬다.

정확한 정의가 즉시 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 상한은 측도 영 집합의 점에서의 함수의 동작을 무시하면서 모든 곳에서 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다. 예를 들어, 에서 이고 다른 모든 곳에서 0인 함수 를 생각하면, 함수의 상한은 1이다. 그러나 이 함수의 본질적 상한은 0인데, 르베그 측도 하에서 가 특이한 단일 점에서의 함수의 동작을 무시할 수 있기 때문이다. 본질적 하한은 유사한 방식으로 정의된다.

 정의 

측도론적 질문에서 종종 그렇듯이, 본질적 상한과 하한의 정의는 함수 가 점 에서 무엇을 하는지(즉, 의 상)를 묻는 것으로 시작하지 않고, 대신 가 특정 값 와 같은 점 의 집합(즉, 의 에 대한 원상)을 묻는 것으로 시작한다.

를 집합 에 정의된 실수 값 함수라고 하자. 함수 의 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: 모든 에 대해 이고, 만약 어떤 에 대해 모든 에 대해 이면 이다.
더 구체적으로, 실수 는 모든 에 대해 이면 의 상계라고 불린다. 즉, 집합

가 공집합이면 그렇다.

를 의 상계 집합이라고 하고, 공집합의 하한을 로 정의한다. 그러면 의 상한은

정의에 따라, 상계 집합 가 공집합이면 이다.

이제 추가로 가 측도 공간이라고 가정하고, 간단히 하기 위해 함수 가 가측 함수라고 가정하자. 상한과 유사하게, 함수의 본질적 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: -거의 모든 에 대해 이고, 만약 어떤 에 대해 -거의 모든 에 대해 이면 이다. 더 구체적으로, 는 가측 집합 가 -측도 영 집합인 경우 의 라고 불린다. 즉, 의 -거의 모든 에 대해 이면 그렇다.

를 본질적 상계 집합이라고 하자. 그러면 은 유사하게 다음과 같이 정의된다.

인 경우에, 그렇지 않으면 이다.

정확히 같은 방식으로 은 의 상한으로 정의된다. 즉,

본질적 하계 집합이 공집합이 아닌 경우에, 그렇지 않으면 이다. 다시 다음 대안적인 표현식이 있다.

(집합이 공집합인 경우 이다).

 예시 

실수선 위에서 르베그 측도와 그에 상응하는 -대수 를 고려하자. 함수 를 다음 공식으로 정의한다.

이 함수의 상한(가장 큰 값)은 5이고, 하한(가장 작은 값)은 −4이다. 그러나 함수는 각각 과  집합에서만 이 값을 취하는데, 이들은 측도 영 집합이다. 다른 모든 곳에서 함수는 2의 값을 취한다. 따라서 이 함수의 본질적 상한과 본질적 하한은 모두 2이다.

다른 예로 다음 함수를 고려하자.

여기서 는 유리수를 나타낸다. 이 함수는 위아래로 무한하므로, 상한과 하한은 각각 와 이다. 그러나 르베그 측도의 관점에서 유리수의 집합은 측도 영 집합이다. 따라서 실제로 중요한 것은 이 집합의 여집합에서 일어나는 일인데, 함수는 로 주어진다. 따라서 본질적 상한은 이고 본질적 하한은 이다.

반면에 모든 실수 에 대해 정의된 함수 을 고려하자. 이 함수의 본질적 상한은 이고, 본질적 하한은 이다.

마지막으로 다음 함수를 고려하자.

그러면 모든 에 대해 이므로 이고 이다.

 속성 

만약 이면

그렇지 않고 의 측도가 0이면Dieudonné J.: Treatise On Analysis, Vol. II. Associated Press, New York 1976. p 172f.

만약 와 가 가측 함수이면

그리고

만약 와 가 가측 함수이고 거의 모든 곳에서 이면

그리고

만약 두 함수 와 의 본질적 상한이 모두 음이 아니면

함수의 본질적 상한은 본질적 하계의 하한일 뿐만 아니라 그들의 최소값이다. 유사한 결과가 본질적 하한에도 적용된다.

측도 공간 가 주어졌을 때, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수로 구성된 공간 은 반노름 공간이며, 그 반노름은 다음과 같다.

일 때 함수의 절댓값의 본질적 상한이다.

 같이 보기 
 본질적 치역


 내용주 

 각주 

분류:측도론
분류:적분학