보어-몰레루프 정리

수학적 해석학에서 보어-몰레루프 정리(Bohr–Mollerup theorem)는 덴마크 수학자 하랄 보어와 요하네스 몰레루프가 증명한 정리이다. 이 정리는 에 대해 정의된 감마 함수를 다음과 같이 특성한다.

구간 에서 다음 세 가지 속성을 동시에 갖는 유일한 양의 함수 이다.

 , 그리고
 에 대해  그리고
 는 로그적으로 볼록하다.

이 정리의 설명은 아르틴의 저서 "감마 함수"에 있으며, 이는 아르틴 저작물 모음집으로 AMS에서 재출판되었다.

이 정리는 이미 증명되었다고 보어와 몰레루프가 생각했기 때문에 복소해석학 교과서에 처음 출판되었다.

이 정리는 다양한 함수(어떤 차수의 볼록성 또는 오목성을 갖는 함수)에 대한 광범위한 일반화를 허용한다.

정리
보어-몰레루프 정리.     는 가 볼록하고 인 를 만족하는 유일한 함수이다.

증명
가 위에서 설정된 가정된 속성들, 즉 와 가 볼록하고 을 갖는 함수라고 하자. 로부터 다음을 설정할 수 있다.

이라는 조건은  속성이 정수의 계승을 복제하게 만들므로, 이고 가 존재한다면 이라고 결론 내릴 수 있다. 에 대한 우리의 관계 때문에, 만약 에 대해 를 완전히 이해할 수 있다면, 우리는 의 모든 값에 대해 를 이해하는 것이다.

, 에 대해, 점 과 를 연결하는 선분의 기울기 는 가 볼록하다고 가정했으므로 인 각 인수에 대해 단조롭게 증가한다. 따라서 다음을 안다.

로그의 여러 속성을 사용하여 단순화한 다음 (지수 함수가 단조롭게 증가하므로 부등식을 유지한다) 지수화하면 다음을 얻는다.

이전 작업에서 이것은 다음과 같이 확장된다.

따라서

마지막 줄은 강력한 진술이다. 특히, 이는 의 모든 값에 대해 참이다. 즉, 의 어떤 선택에 대해서도 는 우변보다 크지 않으며, 마찬가지로 의 다른 어떤 선택에 대해서도 는 좌변보다 작지 않다. 각 단일 부등식은 독립적으로 존재하며 독립적인 진술로 해석될 수 있다. 이 사실 때문에, 우리는 RHS와 LHS에 대해 서로 다른  값을 자유롭게 선택할 수 있다. 특히, RHS에 을 유지하고 LHS에 을 선택하면 다음을 얻는다.

이 마지막 줄에서 함수가 두 표현식 사이에 끼워져 있다는 것이 분명하며, 이는 극한의 존재나 수렴과 같은 다양한 것들을 증명하는 일반적인 분석 기법이다. 이라고 하자.

이므로 마지막 부등식의 왼쪽은 극한에서 오른쪽과 같아지며,

는 그 사이에 끼워져 있다. 이것은 다음을 의미할 수밖에 없다.

이 증명에서 이것은 다음을 의미한다.

는 에 속하는 세 가지 특정 속성을 갖는다. 또한, 증명은 특성 속성이 참일 경우 유효해야 하는 에 대한 특정 표현을 제공한다. 따라서, 에서 에 할당된 모든 속성을 갖는 다른 함수는 없다.

남아있는 느슨한 끝은 다음인 모든 에 대해 가 의미가 있다는 것을 증명하는 질문이다.

가 존재한다. 문제는 우리의 첫 번째 이중 부등식

가 이라는 제약으로 구성되었다는 것이다. 예를 들어, 이라면 가 단조롭게 증가한다는 사실은 을 만들 것이고, 이는 전체 증명이 구성된 부등식과 모순된다. 그러나,

이는 극한이 정의된 모든  값으로 를 부트스트랩하는 방법을 보여준다.

 같이 보기 
 빌란트 정리

 각주 

분류:감마 함수 및 관련 함수
분류:복소해석학 정리