극 공간

수학의 기하학 분야에서, 랭크 n () 또는 사영 지표 의 극 공간()은 일반적으로 점들의 집합이라고 불리는 P와 부분 공간이라고 불리는 P의 특정 부분 집합들로 구성되며, 다음 공리들을 만족한다.

 모든 부분 공간은 나눗셈환 K를 갖는 사영 공간 에 대해 인 경우와 동형이다. (즉, 데자르그적인 사영기하학이다.) 각 부분 공간에 대해 해당 d를 차원이라고 부른다.
 두 부분 공간의 교집합은 항상 부분 공간이다.
 차원이 인 부분 공간 A와 A에 속하지 않는 각 점 p에 대해, p를 포함하며 가 -차원인 유일한  차원 부분 공간 B가 존재한다. 의 점들은 정확히 p와 함께 1차원 공통 부분 공간에 있는 A의 점들이다.
 적어도 두 개의 분리된  차원 부분 공간이 존재한다.

점과 선 사이의 관계만을 사용하여 약간 더 큰 부류의 객체를 정의하고 연구하는 것이 가능하다. 극 공간은 부분 선형 공간 (P,L)이며, 각 점 p ∈ P와 각 선 l ∈ L에 대해, p와 같은 선 위에 있는 l의 점들의 집합은 단일점 집합이거나 전체 l이다.

유한 극 공간(P가 유한 집합인 경우)은 조합론적 객체로도 연구된다.

 일반화 사각형 
섬네일|선당 세 개의 점을 가진 일반화 사각형; 랭크 2의 극 공간
랭크 2의 극 공간은 일반화 사각형이다. 이 경우, 후자의 정의에서, 점 p와 같은 선 위에 있는 선 의 점들의 집합은 p ∈ 인 경우에만 전체 이다. 선이 2개 이상의 점을 가지고, 점이 2개 이상의 선 위에 있으며, p가  위에 있지 않지만 의 모든 점과 같은 선 위에 있는 선 과 점 p가 존재한다는 가정 하에 전자의 정의를 후자로부터 도출할 수 있다.

 유한 고전 극 공간 
를 유한장 에 대한 차원 사영 공간이라 하고, 를 기저 벡터 공간에 대한 반사적 반선형 형식 또는 이차 형식이라 하자. 이 형식과 관련된 유한 고전 극 공간의 요소들은 에 대한 의 완전히 등방성 부분 공간(가 반선형 형식인 경우) 또는 완전히 특이 부분 공간(가 이차 형식인 경우)의 요소들이다. 형식의 비트 지표는 극 공간에 포함된 부분 공간의 가장 큰 벡터 공간 차원과 같으며, 이를 극 공간의 랭크라고 부른다. 이 유한 고전 극 공간은 다음 표로 요약할 수 있으며, 여기서 은 기저 사영 공간의 차원이고 은 극 공간의 랭크이다. 의 점의 수는 로 표기되며 과 같다. 이 와 같을 때, 일반화 사각형을 얻는다.
형식이름표기점의 수공선성 군교대심플렉틱에르미트에르미트에르미트에르미트이차쌍곡선이차포물선이차타원

 분류 
자크 티츠는 랭크가 3 이상인 유한 극 공간은 항상 위에 제시된 세 가지 유형의 고전 극 공간 중 하나와 동형임을 증명했다. 이로써 유한 일반화 사각형의 분류 문제만 남게 된다.

 각주 
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분류:사영기하학
분류:집합족