사영 힐베르트 공간

수학 및 양자역학의 기초에서 복소수 힐베르트 공간 의 사영 힐베르트 공간() 또는 광선 공간 은 0이 아닌 벡터 의 동치류 의 집합이며,  상의 동치 관계 에 의해 정의된다.

는 를 만족하는 0이 아닌 복소수 가 존재할 때 성립한다.

이는 복소 힐베르트 공간에 적용된 일반적인 사영화 구성이다. 양자역학에서 동치류 는 광선() 또는 사영 광선()이라고도 불린다. 각 사영 광선은 0이 아닌 복소수의 복사본이며, 위상적으로는 한 점이 제거된 2차원 평면이다.

 개요 

사영 힐베르트 공간의 물리적 중요성은 양자역학에서 파동 함수 와 가 에 대해 동일한 물리적 상태를 나타낸다는 것이다. 보른 규칙에 따르면 시스템이 물리적이고 측정 가능하다면 해당 파동 함수는 단위 노름, 즉 을 가져야 하며, 이 경우 정규화된 파동 함수라고 부른다. 단위 노름 제약은 광선 내에서 를 완전히 결정하지 않는데, 이는 가 절댓값이 1인 임의의  (즉 원군  작용)에 곱해져도 정규화를 유지하기 때문이다. 이러한 는 가 전체 위상이라고 불리는 로 쓸 수 있다.

이러한 로 인해 달라지는 광선은 동일한 상태에 해당한다(관측 가능량의 C* 대수와 에 대한 표현이 주어졌을 때의 양자 상태 (대수적 정의) 참조). 어떤 측정으로도 광선의 위상을 복원할 수 없으며, 이는 관측 불가능하다. 은 제1종 게이지 군이라고 한다.

가 관측 가능량 대수의 기약표현이라면 광선은 순수 상태를 유도한다. 광선의 볼록 선형 결합은 자연스럽게 밀도 행렬을 생성하며, 이는 (기약표현의 경우에도) 혼합 상태에 해당한다.

가 유한 차원, 즉 인 경우, 힐베르트 공간은 유한 차원 내적 공간으로 축소되고 사영 광선 집합은 복소 사영 공간으로 간주될 수 있다. 이는 유니터리 군 의 동차 공간이다. 즉,

이는 힐베르트 공간의 노름에서 파생된 푸비니-슈투디 계량이라는 켈러 계량을 갖는다.

따라서 예를 들어 2차원 복소 힐베르트 공간(하나의 큐비트를 설명하는 공간)의 사영화는 복소 사영 직선 이다. 이는 블로흐 구면 또는 동등하게 리만 구로 알려져 있다. 이 경우 사영화 구성에 대한 자세한 내용은 호프 올뭉치를 참조하라.

 곱 
사영 힐베르트 공간의 곱집합은 사영 공간이 아니다. 세그레 사상은 두 사영 공간의 곱집합을 두 힐베르트 공간의 텐서곱과 관련된 사영 공간으로의 매장이다. 이는 로 주어진다. 양자 이론에서 이는 구성 요소의 상태로부터 복합 시스템의 상태를 만드는 방법을 설명한다. 이는 단지 매장일 뿐 전사가 아니다. 텐서곱 공간의 대부분은 그 치역에 포함되지 않으며 얽힌 상태를 나타낸다.

 같이 보기 
 복소 사영 공간
 사영 표현
 사영 공간

 내용주 

 각주 





분류:힐베르트 공간