얇은 렌즈

광학에서 얇은 렌즈(thin lens)는 광축을 따라 렌즈의 두 표면 사이의 거리인 두께가 렌즈 표면의 곡률 반지름에 비해 무시할 수 있는 렌즈이다. 두께를 무시할 수 없는 렌즈는 때때로 두꺼운 렌즈라고 불린다.

얇은 렌즈 근사는 렌즈의 두께로 인한 광학적 효과를 무시하고 광선 추적 계산을 단순화한다. 이는 종종 행렬광학과 같은 기술에서 근축 근사와 결합된다.

 초점 거리 
공기 중 렌즈의 초점 거리 f는 렌즈 제작자 공식으로 주어진다.

여기서 n은 렌즈 재료의 굴절률, R1과 R2는 두 표면의 곡률 반지름, d는 렌즈의 두께이다. 여기서 R1은 첫 번째 표면이 볼록하면 양수, 오목하면 음수로 간주한다. 렌즈의 뒷면의 경우 부호가 반대이다. R2는 표면이 오목하면 양수, 볼록하면 음수이다. 이는 임의의 부호규약이다. 일부 저자는 반지름에 대해 다른 부호를 선택하며, 이는 초점 거리 방정식이 바뀐다.

얇은 렌즈의 경우 d는 곡률 반지름(R1 또는 R2) 중 하나보다 훨씬 작다. 이러한 조건에서 렌즈 제작자 공식의 마지막 항은 무시할 수 있으며, 공기 중 얇은 렌즈의 초점 거리는 다음으로 근사할 수 있다.

 스넬의 법칙을 이용한 유도 
섬네일|얇은 평볼록 렌즈의 굴절
반지름 의 첫 번째 표면과 평평한 뒷면으로 구성된 굴절률 의 재료로 만들어진 얇은 렌즈를 고려해 보자.

스넬의 법칙을 적용하면, 첫 번째 표면에 입사하는 빛은 에 따라 굴절된다. 여기서 는 경계면에 대한 입사각이고 는 굴절각이다.

두 번째 표면의 경우 이며, 여기서 는 입사각이고 는 굴절각이다.

작은 각도에 대해 이다. 문제의 기하는 다음과 같다.

섬네일|upright=1.5|얇은 평볼록 렌즈에 의한 초점
입사 광선이 광축과 평행하고 광축으로부터 거리 만큼 떨어져 있다면

위의 식에 대입하면 다음과 같다.

이 광선은  거리에서 광축과 교차하며, 이는 다음으로 주어진다.

두 식을 결합하면 이 된다.

반지름 과 를 가진 두 렌즈가 서로 가까이 배치되면 초점 거리의 역수를 더하여 얇은 렌즈 공식을 얻을 수 있음을 알 수 있다.

 상 형성 
섬네일|얇은 렌즈 광선 규칙
특정 광선은 근축 광선 근사에서 얇은 렌즈를 통과할 때 간단한 규칙을 따른다.
렌즈의 한쪽에서 축에 평행하게 들어오는 모든 광선은 다른 쪽의 초점 를 향해 진행한다(그림에서 빨간색).
앞면의 초점 을 통과한 후 렌즈에 도달하는 모든 광선은 다른 쪽에서 축에 평행하게 나간다(파란색).
렌즈의 중심을 통과하는 모든 광선은 방향을 바꾸지 않는다(녹색).

렌즈 앞의 물체(예: 상단)의 동일한 지점에서 세 개의 광선을 추적하면, 이들의 교차점은 물체 이미지의 해당 지점 위치를 표시한다. 이 광선들의 경로를 따르면 물체 거리 so와 이미지 거리 si(이 거리는 렌즈에 대한 거리) 사이의 관계가 다음과 같음을 알 수 있다.

이는 가우스 얇은 렌즈 방정식으로 알려져 있으며, 부호 규약은 다음과 같다.

+가우스 렌즈 방정식의 부호 규약매개변수의미+ 부호− 부호so물체와 렌즈 사이의 거리.실제 물체가상 물체si이미지와 렌즈 사이의 거리.실제 이미지가상 이미지f렌즈의 초점 거리.수렴 렌즈발산 렌즈yo광축에서 물체의 높이.정립 물체도립 물체yi광축에서 이미지의 높이정립 이미지도립 이미지MT이미징에서의 횡 배율(= yi 대 yo의 비율).이미지가 물체와 같이 똑바로 서 있음이미지가 물체에 대해 뒤집혀 있음
섬네일|가우스 렌즈 방정식에 대한 이미지 거리 si 및 배율 MT 대 물체 거리 so의 플롯 - 점선은 가상 이미지를 나타냄
얇은 렌즈 방정식이 다음과 같이 쓰여지는 데카르트 부호 규약과 같은 다른 부호 규약도 있다.

두꺼운 렌즈의 경우, 방정식의 매개변수가 렌즈의 주평면에 대한 것이라는 수정과 함께 동일한 형태의 렌즈 방정식이 적용 가능하다.

 물리 광학 
스칼라 파동 광학에서 렌즈는 파면의 위상을 변경하는 부분이다. 수학적으로 이는 파면에 다음 함수를 곱하는 것으로 이해할 수 있다.

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 각주 

분류:렌즈