다이애딕

수학, 특히 다중선형대수학에서 다이애딕(dyadic) 또는 다이애딕 텐서(dyadic tensor)는 벡터 미적분학에 맞는 표기법으로 작성된 2차 텐서이다.

두 유클리드 벡터를 곱하는 방법에는 여러 가지가 있다. 스칼라곱은 두 벡터를 받아 스칼라를 반환하는 반면, 벡터곱은 유사벡터를 반환한다. 이 둘은 모두 중요한 기하학적 해석을 가지며 수학, 물리학, 공학에서 널리 사용된다. 다이애딕 곱은 두 벡터를 받아 이 맥락에서 다이애딕이라고 불리는 2차 텐서를 반환한다. 다이애딕은 물리적 또는 기하학적 정보를 담는 데 사용될 수 있지만, 일반적으로 이를 기하학적으로 해석하는 직접적인 방법은 없다.

다이애딕 곱은 벡터 덧셈에 대해 분배적이고 스칼라배에 대해 결합적이다. 따라서 다이애딕 곱은 두 피연산자 모두에서 선형이다. 일반적으로 두 다이애딕은 더하여 다른 다이애딕을 얻을 수 있으며, 숫자로 곱하여 다이애딕을 스케일링할 수 있다. 그러나 이 곱은 교환적이지 않다. 벡터의 순서를 바꾸면 다른 다이애딕이 된다.

다이애딕 대수의 형식은 벡터의 다이애딕 곱을 포함하도록 벡터 대수를 확장한 것이다. 다이애딕 곱은 다른 벡터와의 스칼라곱 및 벡터곱과도 결합적이며, 이를 통해 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱을 결합하여 다른 스칼라, 벡터 또는 다이애딕을 얻을 수 있다.

또한 행렬 대수의 일부 측면을 가지는데, 벡터의 수치 성분은 행 벡터와 열 벡터로 배열될 수 있고, 2차 텐서의 성분은 정사각 행렬로 배열될 수 있다. 또한 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱은 모두 행렬 형식으로 표현될 수 있다. 다이애딕 표현은 행렬 등가물과 매우 유사할 수 있다.

다이애딕과 벡터의 스칼라곱은 다른 벡터를 제공하며, 이 결과의 스칼라곱을 취하면 다이애딕에서 파생된 스칼라를 얻을 수 있다. 주어진 다이애딕이 다른 벡터에 미치는 영향은 간접적인 물리적 또는 기하학적 해석을 제공할 수 있다.

다이애딕 표기법은 1884년 조사이어 윌러드 기브스에 의해 처음 확립되었다. 이 표기법과 용어는 오늘날 비교적 구식이다. 물리학에서의 용도는 연속체 역학 및 전자기학을 포함한다.

이 문서에서 대문자 굵은 변수는 다이애딕(다이애드 포함)을 나타내고, 소문자 굵은 변수는 벡터를 나타낸다. 대안적인 표기법은 각각 이중 및 단일 위 또는 아래 막대를 사용한다.

 정의 및 용어 

 다이애딕, 외적 및 텐서곱 

다이애드는 차수 2, 계수 1인 텐서이며, 두 유클리드 벡터(일반적으로 복소수 벡터)의 다이애딕 곱인 반면, 다이애딕은 차수 2인 일반 텐서이다(전체 계수일 수도 있고 아닐 수도 있다).

이 곱에 대해 여러 가지 동등한 용어와 표기법이 있다.
 두 벡터 와 의 다이애딕 곱은 로 표기된다(병렬로; 기호, 곱셈 기호, 십자, 점 등 없음).
 두 열 벡터 와 의 외적은  또는 로 표기되고 정의되며, 여기서 는 전치 행렬을 의미한다.
 두 벡터 와 의 텐서곱은 로 표기된다.

다이애딕 맥락에서 이들은 모두 동일한 정의와 의미를 가지며 동의어로 사용되지만, 텐서곱은 용어의 더 일반적이고 추상적인 사용의 한 예이다.

 3차원 유클리드 공간 

동등한 사용법을 설명하기 위해 3차원 유클리드 공간을 고려하고, 다음을 가정한다.

여기서 i, j, k (e1, e2, e3로도 표기됨)는 이 벡터 공간의 표준 기저 벡터이다(또한 데카르트 좌표계 참조). 그러면 a와 b의 다이애딕 곱은 합으로 표현될 수 있다.

또는 행 벡터 및 열 벡터로부터의 확장으로, 3×3 행렬(또한 a와 b의 외적 또는 텐서곱의 결과)로 표현될 수 있다.


다이애드는 다이애딕의 구성 요소(합의 단항식 또는 행렬의 항목)이다. 즉, 한 쌍의 기저 벡터의 다이애딕 곱에 숫자가 스칼라배된 것이다.

표준 기저 (및 단위) 벡터 i, j, k는 다음과 같은 표현을 가진다.

(전치될 수 있다), 표준 기저 (및 단위) 다이애드는 다음과 같은 표현을 가진다.


표준 기저에서의 간단한 수치 예시는 다음과 같다.


 N차원 유클리드 공간 

유클리드 공간이 N-차원이고,

여기서 ei와 ej는 N차원의 표준 기저 벡터이다 (ei의 i는 벡터의 구성 요소가 아닌 특정 벡터를 선택한다, ai에서처럼). 그러면 대수 형식으로 이들의 다이애딕 곱은 다음과 같다.


이것은 다이애딕의 비오니온(nonion) 형식으로 알려져 있다. 행렬 형식의 외적/텐서곱은 다음과 같다.


다이애딕이라고도 하는 다이애딕 다항식 A는 여러 벡터 ai와 bj로 구성된다.


N개 미만의 다이애드의 합으로 줄일 수 없는 다이애딕은 완전하다고 한다. 이 경우, 구성 벡터는 동일 평면상에 있지 않다. Chen (1983)을 참조하라.

 분류 

다음 표는 다이애딕을 분류한다.
 {| class="wikitable"
|-
!
! 행렬식
! 수반 행렬
! 행렬 및 그 계수
|-
! 영(Zero)
| = 0
| = 0
| = 0; 계수 0: 모든 원소가 0
|-
! 선형(Linear)
| = 0
| = 0
| ≠ 0; 계수 1: 적어도 하나는 0이 아닌 원소를 가지며 모든 2×2 부분행렬식은 0 (단일 다이애딕)
|-
! 평면
| = 0
| ≠ 0 (단일 다이애딕)
| ≠ 0; 계수 2: 적어도 하나는 0이 아닌 2×2 부분행렬식
|-
! 완전(Complete)
| ≠ 0
| ≠ 0
| ≠ 0; 계수 3: 0이 아닌 행렬식
|}

 항등식 

다음 항등식은 텐서곱의 정의의 직접적인 결과이다.Spencer (1992), page 19.

 다이애딕 대수 

 다이애딕과 벡터의 곱 

벡터와 다이애딕에 대해 정의된 네 가지 연산이 있으며, 이는 벡터에 대해 정의된 곱으로부터 구성된다.
 {| class="wikitable"
|- valign="top"
!
! 왼쪽
! 오른쪽
|- valign="top"
! 스칼라곱
| 
| 
|- valign="top"
! 벡터곱
| 
| 
|}

 다이애딕과 다이애딕의 곱 

하나의 다이애딕을 다른 다이애딕에 적용하는 다섯 가지 연산이 있다. a, b, c, d를 실수 벡터라고 하자. 그러면 다음과 같다.
 {| class="wikitable"
|-
!
!
! 점(Dot)
! 교차(Cross)
|- valign="top"
! 점(Dot)
| 스칼라곱(Dot product)

| 이중 스칼라곱(Double-dot product)

그리고

| 점-교차곱(Dot–cross product)

|- valign="top"
! 교차(Cross)
| 
| 교차-점곱(Cross–dot product)

| 이중 교차곱(Double cross product)

|}

두 일반 다이애딕을 다음과 같이 두자.

그러면 다음과 같다.
 {| class="wikitable"
|-
!
!
! 점(Dot)
! 교차(Cross)
|- valign="top"
! 점(Dot)
| 스칼라곱(Dot product)

| 이중 스칼라곱(Double dot product)

그리고

| 점-교차곱(Dot–cross product)

|- valign="top"
! 교차(Cross)
| 
| 교차-점곱(Cross–dot product)

| 이중 교차곱(Double cross product)

|}

 이중 스칼라곱 

이중 스칼라곱의 첫 번째 정의는 프로베니우스 내적이다.


더 나아가,

이므로, 다음과 같다.

따라서 이중 스칼라곱의 두 번째 가능한 정의는 단지 두 번째 다이애딕에 추가적인 전치를 가한 첫 번째 정의이다. 이러한 이유로 이중 스칼라곱의 첫 번째 정의가 선호되지만, 일부 저자들은 여전히 두 번째 정의를 사용한다.

 이중 벡터곱 

두 벡터 a와 b로 형성된 모든 다이애드는 이중 벡터곱이 0임을 알 수 있다.


그러나 정의에 따라 다이애딕의 자신에 대한 이중 벡터곱은 일반적으로 0이 아니다. 예를 들어, 여섯 개의 다른 벡터로 구성된 다이애딕 A는

0이 아닌 자체 이중 벡터곱을 갖는다.


 텐서 축약 

박차(spur) 또는 확장 계수(expansion factor)는 다이애딕을 좌표 기저에서 각 다이애딕 곱을 벡터의 스칼라곱으로 대체하여 형식적으로 확장함으로써 발생한다.

지표 표기법에서는 다이애딕의 지표 축약이다.


3차원에서만 회전 계수(rotation factor)는 모든 다이애딕 곱을 벡터곱으로 대체함으로써 발생한다.


지표 표기법에서는 A와 레비치비타 텐서의 축약이다.


 단위 다이애딕 

어떤 벡터 a에 대해서도 다음과 같은 성질을 만족하는 단위 다이애딕 I가 존재한다.


3개의 벡터 a, b, c의 기저가 주어지고, 쌍대 기저 가 주어지면, 단위 다이애딕은 다음과 같이 표현된다.


표준 기저에서 (i, j, k의 정의는 위 섹션  참조),


명시적으로, 단위 다이애딕의 오른쪽에 있는 스칼라곱은 다음과 같다.

그리고 왼쪽에 있는 것은


해당 행렬은 다음과 같다.


이것은 텐서곱의 언어를 사용하여 더 신중한 기초 위에 놓일 수 있다("병렬 표기법"의 논리적 내용이 무엇을 의미할 수 있는지 설명). V가 유한 차원 벡터 공간인 경우, V상의 다이애딕 텐서는 V와 그 쌍대 공간의 텐서곱에 있는 기본 텐서이다.

V와 그 쌍대 공간의 텐서곱은 V에서 V로의 선형 변환 공간과 동형이다. 다이애딕 텐서 vf는 단순히 V의 모든 w를 f(w)v로 보내는 선형 변환이다. V가 유클리드 n-공간일 때, 우리는 내적을 사용하여 쌍대 공간을 V 자체와 식별할 수 있으며, 다이애딕 텐서를 유클리드 공간의 두 벡터의 기본 텐서곱으로 만든다.

이러한 의미에서 단위 다이애딕 ij는 3차원에서 자신으로 가는 함수로, a1i + a2j + a3k를 a2i로 보내고, jj는 이 합을 a2j로 보낸다. 이제 ii + jj + kk가 항등원인 (정확한) 의미가 드러난다. 즉, 표준 기저의 각 단위 벡터를 해당 기저의 벡터 계수로 스케일링한 것을 합산하는 효과를 가지므로 a1i + a2j + a3k를 자기 자신으로 보낸다.

 단위 다이애딕의 속성 


여기서 "tr"은 대각합을 나타낸다.

 예시 

 벡터 사영 및 배제 

0이 아닌 벡터 a는 항상 두 개의 수직 구성 요소, 즉 단위 벡터 n의 방향에 평행한 (‖) 구성 요소와 이에 수직한 (⊥) 구성 요소로 분할될 수 있다.


평행 성분은 벡터 사영으로 찾을 수 있으며, 이는 a와 다이애딕 nn의 스칼라곱과 동일하다.

그리고 수직 성분은 벡터 배제로 찾을 수 있으며, 이는 a와 다이애딕 의 스칼라곱과 동일하다.


 회전 다이애딕 

 2차원 회전 

다이애딕

는 2차원에서 90° 반시계 방향 회전 연산자이다. 벡터 r = xi + yj에 왼쪽에서 점곱을 하면 다음 벡터가 생성된다.

요약하면

또는 행렬 표기법으로


임의의 각도 θ에 대해, 평면에서 반시계 방향 회전에 대한 2차원 회전 다이애딕은

여기서 I와 J는 위와 같으며, 모든 2차원 벡터 a = axi + ayj의 회전은 다음과 같다.


 3차원 회전 

벡터 a의 일반적인 3차원 회전은 단위 벡터 ω 방향의 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전하는 것으로, 다이애딕 형태의 로드리게스 회전 공식을 사용하여 수행할 수 있다.

여기서 회전 다이애딕은

이며, ω의 데카르트 성분 또한 다이애딕의 성분을 구성한다.


Ω가 a에 미치는 영향은 벡터곱이다.

이는 열 벡터와 함께 벡터곱 행렬의 다이애딕 형태이다.

 로런츠 변환 

특수 상대성이론에서 단위 벡터 n 방향으로 속도 v를 가진 로런츠 부스트는 다음과 같이 표현될 수 있다.


여기서

는 로런츠 인자이다.

 관련 용어 
일부 저자들은 다이애딕이라는 용어를 삼진(triadic), 사진(tetradic), 다진(polyadic)과 같은 관련 용어로 일반화한다.For example, 

 같이 보기 
 크로네커 곱
 이중 벡터
 폴리아딕 대수
 단위 벡터
 다중 벡터
 미분 형식
 사원수
 체 (수학)

 내용주 

 설명 노트 

 인용 

 참고 문헌 
  Chapter 2

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 외부 링크 
 벡터 해석, 수학 및 물리학 학생용 교재, J. 윌라드 기브스 박사 LLD, 에드윈 비드웰 윌슨 박사의 강의 기반
 고급 장 이론, I.V.린델
 벡터 및 다이애딕 해석
 텐서 해석 입문
 Nasa.gov, 물리학 및 공학 학생을 위한 텐서 해석의 기초 및 상대성 이론 입문, J.C. Kolecki
 Nasa.gov, 물리학 및 공학 학생을 위한 텐서 입문, J.C. Kolecki

분류:텐서