체적 적분

수학 (특히 다변수 미적분학)에서 체적 적분(volume integral, ∭) 또는 부피 적분은 3차원 영역에 대한 적분이다. 즉, 중적분의 특수한 경우이다. 체적 적분은 물리학에서 많은 응용 분야에 특히 중요하며, 예를 들어 선속 밀도를 계산하거나 해당 밀도 함수에서 질량을 계산하는 데 사용된다.

좌표계에서

종종 체적 적분은 미분 부피 요소 로 표현된다.

이것은 또한 함수 의 영역  내에서의 중적분을 의미할 수 있으며, 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다.

원통 좌표계에서의 체적 적분은 다음과 같다.

그리고 구면좌표계에서의 체적 적분은 (ISO 각도 표기법을 사용하여 는 방위각, 는 극축에서 측정된 각도임 (자세한 내용은 규약 참조)) 다음과 같은 형태를 갖는다.

삼중 적분은 야코비 행렬을 사용하여 데카르트 좌표계에서 임의의 다른 좌표계로 변환할 수 있다. 좌표 변환 이 있다고 가정하면, 적분을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 야코비 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

 예시 

단위 정육면체에 대해 방정식 을 적분하면 다음 결과가 나온다.

따라서 단위 정육면체의 부피는 예상대로 1이다. 이는 다소 사소한 예시이지만, 체적 적분은 훨씬 더 강력하다. 예를 들어, 단위 정육면체에 스칼라 밀도 함수가 있다면 체적 적분은 정육면체의 총 질량을 제공할 것이다. 예를 들어 밀도 함수가 다음과 같을 때:

정육면체의 총 질량은 다음과 같다.

 같이 보기 

 발산 정리
 면적분
 부피 요소
 선 요소
 선적분

 외부 링크 



분류:다변수 미적분학