허시간

허시간(imaginary time) 또는 허수 시간은 특수 상대성이론과 양자역학의 일부 접근 방식에서 나타나는 시간에 대한 수학적 표현이다. 이는 특정 우주론 이론에서 사용된다.

수학적으로 허시간은 위크 회전을 거쳐 좌표에 허수 단위 i가 곱해진 실제 시간이다. 허시간은 비현실적이거나 꾸며낸 의미에서 허수가 아니다. 단순히 허수로 표현될 뿐이다.

 기원 
수학에서 허수 단위 는 이며, 는 로 정의된다. 의 직접적인 배수인 수는 허수로 알려져 있다. 허수와 실수의 합인 수는 복소수로 알려져 있다.

특정 물리 이론에서는 시간 주기가 이런 방식으로 에 의해 곱해진다. 수학적으로, 허시간 주기 는 복소평면에서 만큼의 위크 회전을 통해 실제 시간 로부터 얻을 수 있다: .

스티븐 호킹은 그의 저서 《호두 껍질 속의 우주》에서 허시간의 개념을 대중화했다.

사실 숫자에 대한 "실수"와 "허수"라는 용어는 "유리수"와 "무리수"라는 용어와 마찬가지로 역사적인 우연에 불과하다.

 우주론에서 
 유도 
상대성이론이 채택한 민코프스키 시공간 모델에서 시공간은 4차원 표면 또는 다양체로 표현된다. 3차원 공간에서 거리의 4차원 등가는 시공간 간격이라고 불린다. 특정 시간 간격이 공간 거리와 마찬가지로 실수로 표현된다고 가정하면, 상대론적 시공간의 간격 는 일반적인 공식으로 주어지지만 시간이 음수로 바뀐다.

여기서 , , 는 각 공간 축을 따른 거리이고 는 시간 축을 따른 시간 간격 또는 "거리"이다(엄밀히 말하면 시간 좌표는 이며 는 빛의 속력이지만, 우리는 관례적으로 이 되도록 단위를 선택한다).

수학적으로 이는 다음과 같이 쓰는 것과 같다.

이러한 맥락에서 는 위에서처럼 공간과 실제 시간 사이의 관계의 특징으로 받아들여질 수도 있고, 또는 시간 자체에 통합되어 시간의 값이 그 자체로 허수 로 표시될 수도 있다. 그러면 이 방정식은 정규화된 형태로 다시 쓸 수 있다. 

마찬가지로 그 4차원 벡터는 로 쓸 수 있으며, 여기서 거리는 으로 표현되고 는 가 빛의 속력이고 시간이 허수이다.

 우주론에 대한 적용 
호킹은 1971년에 특정 상황에서 시간 간격을 허수 측정량으로 회전시키는 유용성에 주목했다.

물리 우주론에서 허시간은 일반 상대성이론 방정식의 해가 되는 특정 우주 모델에 통합될 수 있다. 특히 허시간은 알려진 물리 법칙이 무너지는 중력 특이점을 부드럽게 만들어 특이점을 제거하고 이러한 붕괴를 피하는 데 도움이 될 수 있다(하틀-호킹 상태 참조). 예를 들어, 대폭발은 보통 시간에서는 중력 특이점으로 나타나지만, 허시간으로 모델링하면 특이점을 제거할 수 있고 대폭발은 4차원 시공간의 다른 지점과 마찬가지로 기능한다. 시공간의 모든 경계는 특이점의 한 형태로, 시공간의 부드러운 특성이 무너지는 지점이다. 우주에서 모든 특이점이 제거되면 우주는 경계를 가질 수 없으며, 스티븐 호킹은 "우주의 경계 조건은 경계가 없다는 것"이라고 추측했다.

그러나 이러한 모델에 통합된 실제 물리적 시간과 허시간 사이의 관계가 입증되지 않았다는 점이 비판을 불러일으켰다. 로저 펜로즈는 대폭발에서의 허시간이 있는 리만 다양체#리만 계량("유클리드 계량"으로 불리기도 함)에서 진화하는 우주의 실제 시간이 있는 준 리만 다양체#로렌츠 다양체로의 전환이 필요하다고 지적했다. 또한, 현대 관측에 따르면 우주는 열려 있으며 대함몰로 다시 수축하지 않을 것이라고 한다. 이것이 사실로 밝혀진다면 시간의 끝 경계는 여전히 남아 있을 것이다.

 같이 보기 
 유클리드 양자 중력
 다시간 차원

 각주 

 더 읽어보기 

 외부 링크 
 The Beginning of Time — 스티븐 호킹의 허시간을 다룬 강연.
 Stephen Hawking's Universe: Strange Stuff Explained  — 허시간에 대한 PBS 웹사이트.

분류:양자역학
분류:복소수
분류:수리물리학
분류:시간의 철학