바이어슈트라스 변환

수학에서 카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 명명된 함수 의 바이어슈트라스 변환()Ahmed I. Zayed, Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18. CRC Press, 1996.은 를 중심으로 하는 가우스 함수로 가중된 의 값을 평균하여 얻은 의 "평활화된" 버전이다.

섬네일|right|400px|함수  (검은색)와 다섯 가지  매개변수에 대한 일반화된 바이어슈트라스 변환 그래프. 표준 바이어슈트라스 변환 는  (녹색)인 경우에 해당한다

특히, 다음으로 정의되는 함수 이다.

이는 f와 가우스 함수의 합성곱이다.

계수 는 가우스 함수가 총 적분값이 1이 되도록 선택되며, 결과적으로 상수 함수는 바이어슈트라스 변환에 의해 변경되지 않는다.

 대신 로도 쓴다. 정의 적분이 수렴하지 않을 때 가 모든 실수 에 대해 존재할 필요는 없다는 점에 유의해야 한다.

바이어슈트라스 변환은 열 방정식 (또는 등가적으로 상수 확산 계수를 갖는 확산 방정식)과 밀접한 관련이 있다. 만약 함수 가 상수 열전도도가 1인 무한히 긴 막대의 각 지점에서의 초기 온도를 나타낸다면,  시간 단위 후의 막대의 온도 분포는 함수 로 주어진다. 1과 다른  값을 사용함으로써 우리는 의 일반화된 바이어슈트라스 변환()을 정의할 수 있다.

일반화된 바이어슈트라스 변환은 주어진 적분 가능한 함수 를 해석 함수로 임의로 잘 근사하는 수단을 제공한다.

 이름 
바이어슈트라스는 바이어슈트라스 근사 정리의 원래 증명에서 이 변환을 사용했다. 이 변환은 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 가우스 변환() 또는 가우스-바이어슈트라스 변환()이라고도 불리며, 이를 광범위하게 연구한 에이나르 카를 힐레의 이름을 따서 힐레 변환()이라고도 불린다. 아래에 언급된 일반화 는 신호 처리에서는 가우스 필터로, 영상 처리 ( 에서 구현될 때)에서는 가우시안 블러로 알려져 있다.

 일부 중요 함수의 변환 
 상수 함수 
모든 상수 함수는 자체 바이어슈트라스 변환이다.

 다항식 
어떤 다항식의 바이어슈트라스 변환은 같은 차수의 다항식이며, 실제로 같은 최고차 항 계수를 가진다 (점근적 성장은 변하지 않는다). 실제로 이 차 (물리학자의) 에르미트 다항식을 나타낸다면, 의 바이어슈트라스 변환은 단순히 이다. 이는 에르미트 다항식의 생성함수가 바이어슈트라스 변환의 정의에 사용되는 가우스 핵과 밀접하게 관련되어 있다는 사실을 활용하여 증명할 수 있다.

 지수, 사인, 코사인 
지수 함수  (여기서 는 임의의 상수)의 바이어슈트라스 변환은 이다. 따라서 함수 는 고유값 을 갖는 바이어슈트라스 변환의 고유함수이다.

 (여기서 는 임의의 실수 상수이고 는 허수 단위)인 의 바이어슈트라스 변환을 사용하고 오일러 항등식을 적용하면, 함수 의 바이어슈트라스 변환은 이고 함수 의 바이어슈트라스 변환은 임을 알 수 있다.

 가우스 함수 
함수 의 바이어슈트라스 변환은

특히 가 음수로 선택된 경우를 주목할 만하다. 만약 이면 는 가우스 함수이고 그 바이어슈트라스 변환 또한 가우스 함수이지만, "더 넓은" 가우스 함수이다.

 일반적인 속성 
바이어슈트라스 변환은 각 함수 에 새로운 함수 를 할당한다. 이 할당은 선형이다. 또한, 변환은 병진 불변성을 가지는데, 이는 함수 의 변환이 라는 것을 의미한다. 이 두 가지 사실은 일반적으로 합성곱을 통해 정의되는 모든 적분 변환에 대해 더 일반적으로 참이다.

만약 변환 가 실수 와 에 대해 존재한다면, 그 사이의 모든 실수 값에 대해서도 존재하며 그곳에서 해석 함수를 형성한다. 또한, 는 를 만족하는 의 모든 복소수 값에 대해 존재하며 복소평면의 해당 띠 위에서 정칙 함수를 형성한다. 이것은 위에서 언급된 의 "평활도"에 대한 형식적인 진술이다.

만약 가 전체 실수 축에 대해 적분 가능하면 (즉, ), 그 바이어슈트라스 변환 도 그러하며, 추가적으로 모든 에 대해 이면 모든 에 대해 이고 와 의 적분은 같다. 이것은 총 열 에너지가 열 방정식에 의해 보존되거나, 총 확산 물질의 양이 확산 방정식에 의해 보존된다는 물리적 사실을 나타낸다.

위의 내용을 사용하여 와 에 대해 이고 임을 보일 수 있다. 결과적으로 바이어슈트라스 변환은 유계 작용소 를 생성한다.

만약 가 충분히 매끄러우면, 의 차 미분의 바이어슈트라스 변환은 의 바이어슈트라스 변환의 차 미분과 같다.

바이어슈트라스 변환 W와 양측 라플라스 변환 을 연결하는 공식이 있다. 만약 다음과 같이 정의한다면

그러면

 로우패스 필터 

위에서 의 바이어슈트라스 변환이 이고, 에 대해서도 유사하다는 것을 보았다. 신호 처리의 관점에서 볼 때, 이는 신호 가 주파수 를 포함하면 (즉, 와 의 조합인 항을 포함하면), 변환된 신호 도 같은 주파수를 포함하지만, 진폭은  인수가 곱해진다는 것을 시사한다. 이로 인해 높은 주파수가 낮은 주파수보다 더 많이 감소하며, 따라서 바이어슈트라스 변환은 로우패스 필터 역할을 한다. 이는 연속 푸리에 변환으로도 다음과 같이 보일 수 있다. 푸리에 변환은 신호를 주파수 관점에서 분석하고, 합성곱을 곱셈으로 변환하며, 가우스 함수를 가우스 함수로 변환한다. 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수와의 합성곱이므로, 푸리에 변환된 신호를 가우스 함수와 곱한 다음 역 푸리에 변환을 적용하는 것이다. 주파수 공간에서 가우스 함수와의 이 곱셈은 높은 주파수를 흐리게 하는데, 이는 바이어슈트라스 변환의 "평활화" 속성을 설명하는 또 다른 방법이다.

 역변환 
가우스 함수의 라플라스 변환과 밀접하게 관련되어 있으며 허버드-스트라토노비치 변환의 실수 아날로그인 다음 공식은 비교적 쉽게 설정할 수 있다:

이제 u를 형식 미분 연산자 D = d/dx로 대체하고 라그랑주 시프트 연산자를 활용한다.
,
(테일러 급수 공식과 지수 함수 정의의 결과)를 사용하여 다음을 얻는다.

따라서 바이어슈트라스 변환 에 대한 다음 형식적인 표현을 얻는다.

여기서 오른쪽의 연산자는 함수 f(x)에 다음과 같이 작용하는 것으로 이해된다.

위의 형식적인 유도는 수렴에 대한 세부 사항을 생략했으며, 따라서 공식 는 보편적으로 유효하지 않다. 잘 정의된 바이어슈트라스 변환을 갖지만 가 의미 있게 정의될 수 없는 여러 함수 가 있다.

그럼에도 불구하고 이 규칙은 여전히 매우 유용하며, 예를 들어 위에서 언급한 다항식, 지수 및 삼각 함수의 바이어슈트라스 변환을 유도하는 데 사용될 수 있다.

따라서 바이어슈트라스 변환의 형식적인 역변환은 다음과 같이 주어진다.

다시 말하지만, 이 공식은 보편적으로 유효하지는 않지만 지침으로 사용될 수 있다. 오른쪽 항 연산자가 올바르게 정의되면 특정 함수 클래스에 대해 정확하다는 것을 보일 수 있다.G. G. Bilodeau, "The Weierstrass Transform and Hermite Polynomials". Duke Mathematical Journal 29 (1962), p. 293-308

대신, 바이어슈트라스 변환을 약간 다른 방식으로 역변환할 수도 있다. 해석 함수

에 를 적용하면 다음을 얻는다.

이는 (물리학자의) 에르미트 다항식 의 기본적인 속성을 다시 사용한 것이다.

다시 말하지만, 에 대한 이 공식은 최종 급수가 수렴하는지 확인하지 않았기 때문에 기껏해야 형식적이다. 그러나 예를 들어 인 경우, 에서의 의 모든 미분을 알면 계수 을 얻기에 충분하며, 이를 통해 를 에르미트 다항식 급수로 재구성할 수 있다.

바이어슈트라스 변환을 역변환하는 세 번째 방법은 위에서 언급한 라플라스 변환과의 연결과 라플라스 변환에 대한 잘 알려진 역변환 공식을 활용한다. 그 결과는 아래에 분포에 대해 기술되어 있다.

 일반화 

가우스 핵  대신 와 합성곱을 사용하여 연산자 , 즉 일반화된 바이어슈트라스 변환을 정의할 수 있다.

 값이 작으면, 는 에 매우 가깝지만 매끄럽다. 가 클수록 이 연산자는 를 더 많이 평균화하고 변화시킨다. 물리적으로 는  시간 단위 동안 열 (또는 확산) 방정식을 따르는 것에 해당하며, 이는 가산적이다.

이는 "  시간 단위 동안 확산한 다음  시간 단위 동안 확산하는 것은  시간 단위 동안 확산하는 것과 같다"는 의미이다. 를 항등 연산자 (즉, 디랙 델타 함수와의 합성곱)로 설정하여 까지 확장할 수 있으며, 이들은 1-매개변수 반군을 형성한다.

일반화된 바이어슈트라스 변환에 사용되는 핵 는 때때로 가우스-바이어슈트라스 핵()이라고 불리며, 에서의 확산 방정식 에 대한 그린 함수이다.
는 로부터 계산될 수 있다. 함수 가 주어졌을 때, 새로운 함수 를 정의하면, 이는 치환법의 결과이다.

바이어슈트라스 변환은 특정 종류의 분포 또는 "일반화된 함수"에 대해서도 정의될 수 있다.Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5. CRC Press, 1989 예를 들어, 디랙 델타 함수의 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수 이다.
이러한 맥락에서 엄밀한 역변환 공식이 증명될 수 있다. 예를 들어,

여기서 는 가 존재하는 임의의 고정된 실수이고, 적분은 실수부가 인 복소평면의 수직선 위에서 확장되며, 극한은 분포의 의미에서 취해진다.

더 나아가, 바이어슈트라스 변환은 에서 정의된 실수값 (또는 복소수값) 함수 (또는 분포)에 대해서도 정의될 수 있다. 위와 동일한 합성곱 공식을 사용하지만, 적분은  전체에 걸쳐 확장되는 것으로 해석하고 표현 은 벡터 의 유클리드 길이의 제곱으로 해석한다. 적분 앞의 계수는 가우스 함수가 총 적분 값이 1이 되도록 조정해야 한다.

보다 일반적으로, 바이어슈트라스 변환은 모든 리만 다양체에서 정의될 수 있다. 거기서 열 방정식은 (다양체의 라플라스-벨트라미 연산자를 사용하여) 공식화될 수 있으며, 바이어슈트라스 변환 는 초기 "온도 분포" 에서 시작하여 한 시간 단위 동안 열 방정식의 해를 따름으로써 주어진다.

 관련 변환 
가우스 함수 대신 핵 와의 합성곱을 고려하면, 바이어슈트라스 변환과 유사한 방식으로 주어진 함수를 평활화하고 평균화하는 푸아송 변환을 얻는다.

 같이 보기 
 가우시안 블러
 가우스 필터
 후시미 표현
 열 방정식#기본해

 내용주 

 각주 

분류:적분 변환
분류:수리물리학