다중 척도 해석

수학 및 물리학에서 다중 척도 해석(, 또는 다중 척도 방법()이라고도 함)은 독립 변수의 작은 값과 큰 값 모두에 대해 섭동 이론 문제의 해에 대한 균일하게 유효한 근삿값을 구성하는 데 사용되는 기술을 포함한다. 이는 독립 변수에 대해 빠른 척도와 느린 척도 변수를 도입한 다음, 이 변수들을 빠르고 느리게 마치 독립적인 것처럼 처리함으로써 수행된다. 그 후 섭동 문제의 해 과정에서, 새로운 독립 변수에 의해 도입된 추가적인 자유는 (원치 않는) 영년항을 제거하는 데 사용된다. 후자는 근사 해에 제약을 가하는데, 이를 가해 조건()이라고 한다.

약 1980년대부터의 수학 연구는 좌표 변환과 불변 다양체가 다중 척도 모델링에 대한 더 견고한 지원을 제공한다고 제안한다(예를 들어, 중심 다양체 및 느린 다양체 참조).

 예시: 비감쇠 더핑 방정식 
섬네일|431x431px|여기서 정규 섭동 이론과 다중 척도 해석 모두에 대한  접근 방식의 차이점과 에 대한 정확한 해와 비교할 수 있다.

 미분 방정식과 에너지 보존 
다중 척도 해석 방법의 예시로 비감쇠 비강제 더핑 방정식을 고려해보자.This example is treated in: Bender & Orszag (1999) pp. 545–551.

이는 비선형 진동자를 설명하는 2차 상미분 방정식이다. (양의) 비선형성 매개변수 0 < ε ≪ 1의 작은 값에 대한 해 y(t)를 찾는다. 비감쇠 더핑 방정식은 해밀턴 계로 알려져 있다.

여기서 q = y(t)이고 p = dy/dt이다. 결과적으로 해밀턴 H(p, q)는 보존량이며, 주어진 초기 조건에 대해 H0 =  +  ε와 같다. 이는 q와 p 모두 유계여야 함을 의미한다.
q의 경계는 p = 0일 때 H를 H0와 동일시하여 찾는다. 이고, 그런 다음 q4 항을 제거한다. 이는 실제로 |q|의 상한이지만, q4 항을 유지하면 더 복잡한 공식으로 더 작은 경계가 제공된다.

 단순 섭동 계열 해법 
문제에 대한 정규 섭동 계열 접근 방식은 를 작성하고 이를 비감쇠 더핑 방정식에 대입하는 방식으로 진행된다. 의 거듭제곱을 일치시키면 다음 방정식 계가 얻어진다.

초기 조건에 따라 이들을 풀면 다음이 얻어진다.

정사각형 괄호 안의 마지막 항은 영년항이다. 즉, |t|가 커질수록 무한히 증가한다. 특히, 일 때 이 항은 O(1)이며, 선행 항과 같은 크기 차수를 가진다. 항들이 무질서해졌기 때문에, 이 계열은 더 이상 해의 점근적 전개가 아니다.

 다중 척도 방법 
를 넘어 유효한 해를 구성하기 위해 다중 척도 해석 방법이 사용된다. 느린 척도 t1을 도입한다.

그리고 해 y(t)가 t와 t1 모두에 의존하는 섭동 계열 해라고 가정한다.

그러므로:

dt1/dt = ε를 사용한다. 유사하게:

그러면 더핑 방정식에 대한 다중 척도 섭동 계열의 0차 및 1차 문제는 다음과 같다.

 해 
0차 문제는 일반적인 해를 가진다.

여기서 A(t1)는 0차 해 Y0(t, t1)에 대한 복소수 값 진폭이고 i2 = −1이다. 이제 1차 문제에서 미분 방정식의 우변에 있는 강제항은 다음과 같다.

여기서 c.c.는 이전 항들의 켤레 복소수를 나타낸다. 영년항의 발생은 – 아직 알려지지 않은 – 진폭 A(t1)에 대해 가해 조건을 부과함으로써 방지할 수 있다.

초기 조건  및 을 만족하는 가해 조건의 해는 다음과 같다.

그 결과, 다중 척도 해석에 의한 근사 해는 다음과 같다.

를 사용하며 에 대해 유효하다. 이는 린드스테트-푸앙카레 방법을 사용하여 발견된 비선형 진동수 변화와 일치한다.

이 새로운 해는 까지 유효하다. 다중 척도 방법을 사용하는 고차 해는 추가적인 느린 척도, 즉 ,  등을 도입해야 한다. 그러나 이는 섭동 계열 해에서 가능한 모호성을 초래하며, 신중한 처리가 필요하다(참조: ; ).Bender & Orszag (1999) p. 551.

 진폭/위상 변수로의 좌표 변환 
대안적으로, 현대적인 접근 방식은 다음에 설명된 정규 형식 방법과 같은 좌표 변환을 사용하여 이러한 종류의 모델을 도출한다.

새로운 좌표 에서 와 같은 해를 찾는데, 여기서 진폭 는 천천히 변하고 위상 는 거의 일정한 속도로 변한다. 즉,  간단한 대수를 통해 다음 좌표 변환을 찾는다.

더핑 방정식을 반지름은 상수 이고 위상은 다음과 같이 진화하는 한 쌍으로 변환한다.

즉, 더핑 진동은 일정한 진폭 을 가지지만 진폭에 따라 다른 진동수 를 가진다.

더 어려운 예시는 복소 지수(이전 다중 시간 척도 접근 방식에서도 사용됨)를 포함하는 시간 의존적 좌표 변환을 사용하여 더 잘 처리된다. 웹 서비스는 광범위한 예시에 대해 분석을 수행한다.

 같이 보기 
 점근적 일치 전개 방법
 WKB 근사
 평균화 방법
 크릴로프-보고류보프 평균화 방법

 내용주 

 각주 




 외부 링크 

분류:점근 해석
분류:수리물리학
분류:섭동 이론