수학 문제

수학 문제(mathematical problem)는 수학적 방법으로 표현되고, 분석되며, 가능하면 해결될 수 있는 문제다. 이는 태양계 행성의 궤도를 계산하는 것과 같은 실제 세계의 문제일 수도 있고, 힐베르트 문제와 같은 더 추상적인 성격의 문제일 수도 있다. 러셀의 역설처럼 수학의 본질 자체에 관한 문제일 수도 있다.

 실제 세계 문제 
비공식적인 "실제 세계" 수학 문제는 "아담에게 사과가 5개 있는데 존에게 3개를 주었다. 아담에게 몇 개가 남았는가?"와 같이 구체적인 상황과 관련된 질문이다. 이러한 질문은 문제를 해결하는 데 필요한 수학을 알고 있더라도 "5 − 3"과 같은 일반적인 수학적 연습보다 해결하기가 더 어렵다. 문장제로 알려진 이들은 수학 교육에서 학생들이 실제 상황을 추상적인 수학 언어와 연결하도록 가르치는 데 사용된다.

일반적으로 실제 세계 문제를 해결하기 위해 수학을 사용하려면 첫 번째 단계는 문제의 수학적 모델을 구성하는 것이다. 이는 문제의 세부 사항을 추상화하는 것을 포함하며, 모델러는 원래 문제를 수학적 문제로 번역할 때 본질적인 측면을 잃지 않도록 주의해야 한다. 문제가 수학의 세계에서 해결된 후에는 해를 원래 문제의 맥락으로 다시 번역해야 한다.

 추상적인 문제 
추상적인 수학 문제는 수학의 모든 분야에서 발생한다. 수학자들은 보통 이들을 그 자체로 연구하지만, 그렇게 함으로써 수학의 영역 밖에서도 응용될 수 있는 결과를 얻을 수 있다. 이론물리학은 역사적으로 영감의 풍부한 원천이었다.

일부 추상적인 문제들은 고전 기하학의 자와 컴퍼스 작도만을 사용하여 원적 문제와 각의 삼등분을 해결하는 것과 같이 해결 불가능하다는 것이 엄격하게 증명되었으며, 일반적인 오차 방정식을 대수적으로 해결하는 것도 마찬가지다. 또한 튜링 기계의 정지 문제와 같이 소위 판단 불가능한 문제들도 증명 가능하게 해결 불가능하다.

상대적으로 최근에 해결된 잘 알려진 어려운 추상 문제로는 사색 정리, 페르마의 마지막 정리, 푸앵카레 추측이 있다.

컴퓨터는 수학자들의 동기를 이해할 필요 없이 그들의 일을 수행한다., "두 번째 시험은 그러한 기계들이 우리 중 누구보다 동등하거나 아마 더 완벽하게 많은 것을 실행할 수 있지만, 지식에서가 아니라 오로지 그들의 기관의 배치에 따라 행동한다는 것을 발견할 수 있는 다른 특정 부분에서는 의심할 여지 없이 실패할 것이라는 점이다. 왜냐하면 이성은 모든 경우에 동등하게 사용될 수 있는 보편적인 도구이지만, 이들 기관은 반대로 각 특정 행동에 대해 특정 배열이 필요하기 때문이다. 따라서 어떤 기계에도 우리의 이성이 우리를 행동하게 하는 방식과 동일한 방식으로 삶의 모든 상황에서 행동하게 할 만큼 충분한 기관의 다양성이 존재한다는 것은 도덕적으로 불가능하다." 번역: , page =57, "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organs ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement impossible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir." 형식적인 정의와 컴퓨터로 확인할 수 있는 연역적 추론은 수학 과학에 절대적으로 중요하다.

 문제가 연습으로 퇴화 
평가를 위해 문제 해결을 사용하는 수학 교육자들은 앨런 H. 쇼엔펠드가 제기한 문제를 가지고 있다.
매년 매우 다른 문제가 사용될 때, 시험 점수를 어떻게 비교할 수 있는가? (만약 매년 비슷한 문제가 사용된다면, 교사와 학생들은 그것들이 무엇인지 알게 되고, 학생들은 그것들을 연습할 것이다. 그러면 문제가 연습이 되고, 시험은 더 이상 문제 해결을 평가하지 않는다.)Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Assessing mathematical proficiency,  preface pages x, xi, Mathematical Sciences Research Institute, Cambridge University Press 
거의 두 세기 전에 실베스트르 라크루아도 같은 문제에 직면했다.
... 학생들끼리 소통할 수 있는 질문들을 다양하게 해야 한다. 비록 그들이 시험에 실패하더라도, 나중에 통과할 수도 있다. 따라서 질문의 분포, 주제의 다양성, 또는 답변은 후보들을 서로 정밀하게 비교할 기회를 잃을 위험이 있다.S. F. Lacroix (1816) Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier, page 201
이러한 문제의 연습으로의 퇴화는 역사 속 수학의 특징이다. 예를 들어, 19세기 케임브리지 수학 트리포스 준비를 설명하면서 앤드루 워윅은 다음과 같이 썼다.
... 당시 표준 문제들 중 많은 계열은 원래 18세기 가장 위대한 수학자들의 능력을 시험했다.Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, page 145, 시카고 대학교 출판부 

 같이 보기 

 수학의 미해결 문제 목록
 문제 해결
 수학 게임

 각주 

 , translated from

 외부 링크 



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