보드 선도

class=skin-invert-image|섬네일|331x331px|그림 1B: 로우패스 필터 (1차, 단일 극점) 보드 크기 선도 (상단) 및 보드 위상 선도 (하단). 빨간색 데이터 곡선은 검은색 직선으로 근사화된다.
전기공학 및 제어이론에서 보드 선도()는 시스템의 주파수 응답 그래프이다. 이는 일반적으로 주파수 응답의 크기 (일반적으로 데시벨 단위)를 나타내는 보드 크기 선도()와 위상 변위를 나타내는 보드 위상 선도()의 조합이다.

1930년대 헨드릭 웨이드 보드가 처음 고안한 바에 따르면, 이 선도는 직선 선분을 사용하여 주파수 응답을 점근적으로 근사화한 것이다.

 개요 
회로 이론 및 제어이론에 대한 그의 몇 가지 중요한 기여 중, 1930년대 벨 연구소에서 일하던 엔지니어 헨드릭 웨이드 보드는 이득 및 위상 변이 선도를 그리는 간단하지만 정확한 방법을 고안했다. 이 선도들은 그의 이름을 따 보드 이득 선도와 보드 위상 선도라고 불린다. "Bode"는 종종 영어로 로 발음되지만, 네덜란드어로는 보통 로, 영어 에 더 가깝게 발음되며, 이는 그의 가족이 선호하지만 연구자들 사이에서는 덜 흔하다.Van Valkenburg, M. E. University of Illinois at Urbana-Champaign, "In memoriam: Hendrik W. Bode (1905-1982)", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-29, No 3., March 1984, pp. 193–194. Quote: "Something should be said about his name. To his colleagues at Bell Laboratories and the generations of engineers that have followed, the pronunciation is boh-dee. The Bode family preferred that the original Dutch be used as boh-dah."

보드는 전화망에서 사용하기 위한 피드백이 있는 안정적인 앰프를 설계하는 문제에 직면했다. 그는 제조 또는 작동 중 회로 특성 변화에 대한 안정성을 유지하는 데 필요한 이득 여유 및 위상 여유를 보여주기 위해 보드 선도의 그래픽 설계 기술을 개발했다.David A. Mindell Between Human and Machine: Feedback, Control, and Computing Before Cybernetics JHU Press, 2004, ,  pp. 127–131. 개발된 원리는 서보 기구 및 기타 피드백 제어 시스템의 설계 문제에 적용되었다. 보드 선도는 주파수 영역 분석의 한 예이다.

 정의 
라플라스 영역에서 복소 진동수 를 갖는 전달 함수 를 가진 선형, 시불변 시스템의 보드 선도는 크기 선도와 위상 선도로 구성된다.

보드 크기 선도는 허수 단위 를 갖는 주파수 의 함수 의 그래프이다. 크기 선도의 -축은 로그 스케일이고 크기는 데시벨 단위로 주어진다. 즉, 크기  값은 에서 축에 표시된다.

보드 위상 선도는 의 함수로 편각 함수 의 위상을 그래프로 나타낸 것으로, 일반적으로 도 단위로 표현된다. 위상은 크기 선도와 동일한 로그 -축에 표시되지만, 위상 값은 선형 수직 축에 표시된다.

 주파수 응답 
이 섹션은 보드 선도가 시스템의 주파수 응답을 시각화하는 방법을 보여준다.

선형, 시불변 시스템에 전달 함수 가 있다고 가정하자. 시스템이 주파수 의 정현파 입력에 지속적으로 노출된다고 가정하자. 즉, 시간 부터 시간 까지 적용된다.

응답은 다음 형태가 된다.

즉, 입력에 대해 위상 만큼 이동한 진폭 를 갖는 정현파 신호이다.

응답의 크기는 다음과 같음을 알 수 있다.

그리고 위상 변이는 다음과 같다.

요약하면, 주파수 의 입력에 노출되면 시스템은 동일한 주파수로  인자만큼 증폭되고 만큼 위상 변이된 출력을 응답한다. 따라서 이 양들은 주파수 응답을 특징짓고 보드 선도에 표시된다.

 수제 보드 선도 규칙 
많은 실질적인 문제에서, 상세한 보드 선도는 정확한 응답의 점근으로 직선 선분으로 근사화될 수 있다. 다중 요소 전달 함수의 각 항의 효과는 보드 선도에서 일련의 직선으로 근사화될 수 있다. 이를 통해 전체 주파수 응답 함수의 그래픽 솔루션이 가능해진다. 디지털 컴퓨터가 널리 보급되기 전에는 지루한 계산의 필요성을 줄이기 위해 그래픽 방법이 광범위하게 사용되었다. 그래픽 솔루션은 새로운 설계의 실현 가능한 매개변수 범위를 식별하는 데 사용될 수 있었다.

보드 선도의 전제는 함수 의 로그를

그 극점과 영점의 로그의 합으로 간주할 수 있다는 것이다.

이 아이디어는 위상 선도를 그리는 방법에 명시적으로 사용된다. 진폭 선도를 그리는 방법은 이 아이디어를 암시적으로 사용하지만, 각 극점 또는 영점의 진폭 로그는 항상 0에서 시작하여 단 하나의 점근선 변화(직선)만 가지므로 이 방법을 단순화할 수 있다.

 직선 진폭 선도 
진폭 데시벨은 보통 를 사용하여 데시벨을 정의한다. 다음 형태의 전달 함수가 주어졌을 때

여기서 과 은 상수, , 이며, 는 전달 함수이다.
  (영점)인 모든 s 값에서, 선의 기울기를 데케이드당 씩 증가시킨다.
  (극점)인 모든 s 값에서, 선의 기울기를 데케이드당 씩 감소시킨다.
 그래프의 초기 값은 경계에 따라 달라진다. 초기 값은 초기 각진동수 를 함수에 대입하여 
 초기 값에서의 함수의 초기 기울기는 초기 값보다 낮은 값에 있는 영점과 극점의 수와 차수에 따라 달라지며, 처음 두 규칙을 사용하여 구한다.

기약 2차 다항식 를 처리하기 위해 많은 경우 로 근사화할 수 있다.

영점과 극점은 가 특정  또는 과 같을 때 발생한다. 이는 해당 함수가 의 크기이기 때문이며, 복소 함수이므로 이다. 따라서  항을 포함하는 영점 또는 극점이 있는 모든 곳에서 해당 항의 크기는 이다.

 보정된 진폭 선도 
직선 진폭 선도를 보정하려면:
 모든 영점에서, 선 위에  지점을 찍는다.
 모든 극점에서, 선 아래에  지점을 찍는다.
 직선을 점근선으로 사용하여 이 지점들을 지나는 부드러운 곡선을 그린다.

이 보정 방법은  또는 의 복소수 값을 처리하는 방법을 포함하지 않는다. 기약 다항식의 경우, 선도를 보정하는 가장 좋은 방법은 기약 다항식에 해당하는 극점 또는 영점에서 전달 함수의 크기를 실제로 계산하고, 그 점을 해당 극점 또는 영점의 선 위나 아래에 찍는 것이다.

 직선 위상 선도 
위에 제시된 것과 동일한 형식의 전달 함수가 주어졌을 때,

아이디어는 각 극점과 영점에 대해 별도의 선도를 그린 다음, 이들을 합하는 것이다. 실제 위상 곡선은 다음으로 주어진다.

위상 선도를 그리려면, 각 극점과 영점에 대해:
 가 양수이면, 0°에서 (기울기가 0인) 선을 시작한다.
 가 음수이면, -180°에서 (기울기가 0인) 선을 시작한다.
 불안정한 영점과 극점의 합이 홀수이면, 그 기준에 180°를 더한다.
 모든  (안정 영점 의 경우)에서,  (예: )보다 한 데케이드 전부터 시작하여 데케이드당 도씩 기울기를 증가시킨다.
 모든  (안정 극점 의 경우)에서,  (예: )보다 한 데케이드 전부터 시작하여 데케이드당 도씩 기울기를 감소시킨다.
 "불안정한" (우반평면) 극점과 영점 ()은 반대 행동을 한다.
 위상이 도 (영점의 경우) 또는 도 (극점의 경우)만큼 변경되면 기울기를 다시 평탄하게 한다.
 각 극점 또는 영점에 대해 하나의 선을 그린 후, 이 선들을 합하여 최종 위상 선도를 얻는다. 즉, 최종 위상 선도는 각 이전 위상 선도의 중첩이다.

 예시 
1차 (단일 극점) 로우패스 필터에 대한 직선 선도를 생성하려면, 각진동수로 표현된 전달 함수의 정규화된 형태를 고려한다.

보드 선도는 위 그림 1(b)에 나와 있으며, 직선 근사치의 구성은 다음에서 설명된다.

 크기 선도 
위 전달 함수의 크기 (데시벨 단위, 각진동수 형태로 정규화 및 변환됨)는 데시벨 이득 표현 로 주어진다.

그런 다음 로그 스케일에서 입력 진동수 에 대해 플롯되며, 전달 함수의 점근적(근사적) 크기 보드 선도를 형성하는 두 개의 선으로 근사화될 수 있다.
  미만의 각진동수에 대한 첫 번째 선은 0 dB의 수평선이다. 왜냐하면 낮은 주파수에서는  항이 작아서 무시할 수 있으므로 위의 데시벨 이득 방정식이 0이 되기 때문이다.
 를 초과하는 각진동수에 대한 두 번째 선은 데케이드당 −20 dB의 기울기를 갖는 선이다. 왜냐하면 높은 주파수에서는  항이 지배적이므로 위의 데시벨 이득 표현이 로 단순화되기 때문이다. 이는 데케이드당 −20 dB의 기울기를 갖는 직선이다.

이 두 선은 코너 주파수 에서 만난다. 선도에서 볼 수 있듯이 코너 주파수보다 훨씬 낮은 주파수에서는 회로의 감쇠가 0 dB이며, 이는 단위 통과 대역 이득에 해당한다. 즉, 필터 출력의 진폭이 입력의 진폭과 같다. 코너 주파수보다 높은 주파수는 감쇠되며 주파수가 높을수록 감쇠가 더 크다.

 위상 선도 
위상 보드 선도는 다음으로 주어지는 전달 함수의 위상각을 플로팅하여 얻는다.



에 대해, 여기서 와 는 각각 입력 및 차단 각진동수이다. 코너 주파수보다 훨씬 낮은 입력 주파수에서는 의 비율이 작으므로 위상각은 0에 가깝다. 비율이 증가함에 따라 위상의 절댓값이 증가하고 일 때 -45°가 된다. 코너 주파수보다 훨씬 큰 입력 주파수에 대해 비율이 증가함에 따라 위상각은 점근적으로 -90°에 접근한다. 위상 선도의 주파수 스케일은 로그 스케일이다.

 정규화된 선도 
크기 및 위상 선도 모두에서 수평 주파수 축은 정규화된(무차원) 주파수 비율 로 대체될 수 있다. 이러한 경우 선도는 정규화되었다고 하며, 모든 입력 주파수가 이제 차단 주파수 의 배수로 표현되므로 주파수 단위는 더 이상 사용되지 않는다.

영점과 극점을 가진 예시 
그림 2-5는 보드 선도의 구성을 추가로 보여준다. 극점과 영점을 모두 포함하는 이 예시는 중첩을 사용하는 방법을 보여준다. 먼저, 구성 요소들이 별도로 제시된다.

그림 2는 영점 및 로우패스 극점에 대한 보드 크기 선도를 보여주며, 두 가지를 보드 직선 선도와 비교한다. 직선 선도는 극점(영점) 위치까지 수평이며, 그 다음 데케이드당 20 dB씩 떨어지거나(올라간다). 두 번째 그림 3은 위상에 대해 동일한 작업을 수행한다. 위상 선도는 극점(영점) 위치보다 주파수 인자 10배 낮은 지점까지 수평이며, 그 다음 주파수가 극점(영점) 위치보다 10배 높아질 때까지 데케이드당 45°씩 떨어지거나(올라간다). 그런 다음 선도는 더 높은 주파수에서 최종 총 위상 변화가 90°인 상태로 다시 수평이 된다.

그림 4와 그림 5는 극점과 영점 선도의 중첩(단순 합산)이 어떻게 수행되는지 보여준다. 보드 직선 선도는 다시 정확한 선도와 비교된다. 영점은 극점보다 더 높은 주파수로 이동되어 더 흥미로운 예시를 만들었다. 그림 4에서 극점의 데케이드당 20 dB 하락이 영점의 데케이드당 20 dB 상승에 의해 저지되어 영점 위치보다 높은 주파수에서 수평 크기 선도가 되는 것을 주목하라. 그림 5의 위상 선도에서 극점과 영점 모두가 위상에 영향을 미치는 영역에서는 직선 근사치가 상당히 근사적임을 주목하라. 또한 그림 5에서 직선 선도에서 위상이 변하는 주파수 범위는 극점(영점) 위치보다 10배 위아래 주파수로 제한된다는 점을 주목하라. 극점과 영점의 위상이 모두 존재하는 경우, 직선 위상 선도는 수평이다. 이는 극점의 데케이드당 45° 하락이 두 개 모두 위상에 활성 기여를 하는 제한된 주파수 범위에서 영점의 겹치는 데케이드당 45° 상승에 의해 저지되기 때문이다.

 이득 여유 및 위상 여유 

보드 선도는 앰프의 이득 및 위상 여유를 찾아 음수 피드백 앰프의 안정성을 평가하는 데 사용된다. 이득 및 위상 여유의 개념은 다음으로 주어지는 음수 피드백 앰프의 이득 표현에 기반한다.

여기서 AFB는 피드백이 있는 앰프의 이득(폐루프 이득), β는 피드백 인자, AOL은 피드백이 없는 이득(개루프 이득)이다. 이득 AOL은 주파수의 복소 함수이며, 크기와 위상을 모두 갖는다.일반적으로 주파수가 증가하면 이득의 크기는 감소하고 위상은 더 음수가 되지만, 이는 경향일 뿐이며 특정 주파수 범위에서는 반전될 수 있다. 특이한 이득 동작은 이득 및 위상 여유의 개념을 적용할 수 없게 만들 수 있다. 이때는 나이퀴스트 선도와 같은 다른 방법을 사용하여 안정성을 평가해야 한다. 이 관계를 살펴보면, 만약 곱 βAOL = −1 (즉, βAOL의 크기는 1이고 위상은 −180°이며, 이를 바르크하우젠 안정성 기준이라고 부른다)이라면 무한한 이득(불안정성으로 해석됨)의 가능성이 있음을 알 수 있다. 보드 선도는 앰프가 이 조건을 얼마나 만족하는지 결정하는 데 사용된다.

이 결정을 위한 핵심은 두 가지 진동수이다. 첫 번째는 f180으로 표시되며, 개루프 이득이 부호를 바꾸는 주파수이다. 두 번째는 f0 dB로 표시되며, 곱 |βAOL| = 1 = 0 dB의 크기가 1이 되는 주파수이다. 즉, 주파수 f180은 조건에 의해 결정된다.

여기서 수직 막대는 복소수의 크기를 나타내며, 주파수 f0 dB는 조건에 의해 결정된다.

불안정성에 대한 근접성을 측정하는 한 가지 방법은 이득 여유이다. 보드 위상 선도는 βAOL의 위상이 −180°에 도달하는 주파수를 찾는데, 이를 f180으로 표시한다. 이 주파수를 사용하여 보드 크기 선도는 βAOL의 크기를 찾는다. 만약 |βAOL|180 ≥ 1이면, 위에서 언급했듯이 앰프는 불안정하다. 만약 |βAOL|180 < 1이면 불안정성이 발생하지 않으며, |βAOL|180의 크기와 |βAOL| = 1 사이의 dB 단위 분리를 이득 여유라고 한다. 크기 1은 0 dB이므로, 이득 여유는 단순히 다음 등가 형식 중 하나이다: .

불안정성에 대한 근접성을 측정하는 또 다른 등가 방법은 위상 여유이다. 보드 크기 선도는 |βAOL|의 크기가 1에 도달하는 주파수를 찾는데, 이를 f0 dB로 표시한다. 이 주파수를 사용하여 보드 위상 선도는 βAOL의 위상을 찾는다. 만약 βAOL(f0 dB)의 위상이 −180°보다 크다면, 어떤 주파수에서도 불안정성 조건이 충족될 수 없으며 (왜냐하면 f = f180일 때 크기가 1 미만이기 때문), f0 dB에서의 위상이 −180°보다 높은 각도 거리를 위상 여유라고 한다.

안정성 문제에 대한 단순한 예/아니오만 필요하다면, 앰프는 f0 dB < f180이면 안정적이다. 이 기준은 극점 및 영점 위치에 대한 일부 제한 사항(최소 위상 시스템)을 만족하는 앰프에 대해서만 안정성을 예측하기에 충분하다. 이러한 제한 사항이 일반적으로 충족되지만, 그렇지 않은 경우에는 나이퀴스트 선도와 같은 다른 방법을 사용해야 한다.
최적의 이득 여유 및 위상 여유는 네반린나-픽 보간법을 사용하여 계산할 수 있다.

 보드 선도를 이용한 예시 
그림 6과 7은 이득 동작과 용어를 설명한다. 3극점 앰프의 경우, 그림 6은 피드백이 없는 이득(개루프 이득) AOL에 대한 보드 선도를 피드백이 있는 이득 AFB(폐루프 이득)와 비교한다. 자세한 내용은 네거티브 피드백 증폭기를 참조.

이 예시에서, AOL은 낮은 주파수에서 100 dB이고, 1 / β는 58 dB이다. 낮은 주파수에서 AFB도 약 58 dB이다.

개루프 이득 AOL이 플로팅되고 곱 β AOL이 아니기 때문에, 조건 AOL = 1 / β가 f0 dB를 결정한다. 낮은 주파수 및 큰 AOL의 경우 피드백 이득은 AFB ≈ 1 / β이다 (이 섹션 시작 부분의 피드백 이득 공식을 참조하면 AOL이 큰 경우). 따라서 f0 dB를 찾는 동등한 방법은 피드백 이득이 개루프 이득과 교차하는 지점을 찾는 것이다. (f0 dB 주파수는 나중에 위상 여유를 찾는 데 필요하다.)

f0 dB에서 두 이득의 교차점 근처에서, 이 예시에서는 바르크하우젠 기준이 거의 충족되며, 피드백 앰프는 이득에서 거대한 피크를 보인다 (만약 β AOL = −1이었다면 무한대였을 것이다). 단위 이득 주파수 f0 dB를 넘어서면, 개루프 이득은 충분히 작아서 AFB ≈ AOL이다 (이 섹션 시작 부분의 AOL이 작은 경우에 대한 공식을 검토하라).

그림 7은 해당 위상 비교를 보여준다. 피드백 앰프의 위상은 개루프 이득의 위상이 −180°가 되는 주파수 f180까지 거의 0이다. 이 근처에서 피드백 앰프의 위상은 갑자기 급락하여 개루프 앰프의 위상과 거의 같아진다. (AOL이 작을 때 AFB ≈ AOL임을 기억하라.)

그림 6과 그림 7의 라벨링된 점을 비교하면, 이 앰프에서 단위 이득 주파수 f0 dB와 위상 전환 주파수 f180이 매우 거의 같으며, f180 ≈ f0 dB ≈ 3.332 kHz임을 알 수 있다. 이는 이득 여유와 위상 여유가 거의 0임을 의미한다. 앰프는 경계 안정 상태이다.

그림 8과 9는 다른 양의 피드백 β에 대한 이득 여유와 위상 여유를 보여준다. 피드백 계수는 그림 6 또는 7보다 작게 선택되어, 조건 | β AOL | = 1이 더 낮은 주파수로 이동한다. 이 예시에서 1 / β = 77 dB이고, 낮은 주파수에서는 AFB ≈ 77 dB이다.

그림 8은 이득 선도를 보여준다. 그림 8에서 1 / β와 AOL의 교차점은 f0 dB = 1 kHz에서 발생한다. f0 dB 근처의 이득 AFB의 피크가 거의 사라졌음을 주목하라.이득 피크가 완전히 사라지는 임계 피드백 양은 최대 평탄 또는 버터워스 설계이다.

그림 9는 위상 선도이다. 그림 8의 크기 선도에서 찾은 f0 dB = 1 kHz 값을 사용하여, f0 dB에서의 개루프 이득 위상은 -135°이며, 이는 -180°보다 45°의 위상 여유이다.

그림 9를 사용하여, −180° 위상에 대해 f180 = 3.332 kHz이다 (물론 이전에 찾은 것과 동일한 결과이다개루프 이득이 부호를 바꾸는 주파수 f180은 피드백 인자의 변화에 따라 변하지 않는다. 이는 개루프 이득의 속성이다. f180에서의 이득 값도 β의 변화에 따라 변하지 않는다. 따라서 그림 6과 7의 이전 값을 사용할 수 있었다. 그러나 명확성을 위해 그림 8과 9만을 사용하여 절차를 설명한다.). 그림 8의 f180에서의 개루프 이득은 58 dB이고, 1 / β = 77 dB이므로, 이득 여유는 19 dB이다.

안정성은 앰프 응답의 유일한 기준이 아니며, 많은 응용 분야에서 안정성보다 더 엄격한 요구 사항은 좋은 계단 응답이다. 경험칙으로, 좋은 계단 응답은 최소 45°의 위상 여유를 필요로 하며, 특히 제조 공차로 인한 부품 변동이 문제인 경우 70° 이상의 여유가 종종 권장된다. 계단 응답 문서의 위상 여유에 대한 논의도 참조하라.

 보드 플로터 
class=skin-invert-image|380px|섬네일|right|그림 10: 보드 플로터를 사용하여 플로팅된 10차 전자 필터의 진폭 다이어그램
보드 플로터는 오실로스코프와 유사한 전자 기기로, 피드백 제어 시스템이나 필터에서 회로의 전압 이득 또는 위상 변이를 진동수에 대해 나타내는 보드 다이어그램 또는 그래프를 생성한다. 이 예시는 그림 10에 나와 있다. 이는 코너(차단) 주파수와 이득 및 위상 여유를 측정하여 필터 및 피드백 제어 시스템의 안정성을 분석하고 테스트하는 데 매우 유용하다.

이는 벡터 네트워크 분석기가 수행하는 기능과 동일하지만, 네트워크 분석기는 일반적으로 훨씬 더 높은 주파수에서 사용된다.

교육 및 연구 목적을 위해, 주어진 전달 함수에 대한 보드 다이어그램을 플로팅하면 이해를 높이고 더 빠른 결과를 얻을 수 있다 (외부 링크 참조).

 관련 선도 

동일한 데이터를 다른 좌표계로 표시하는 두 가지 관련 선도는 나이퀴스트 선도와 니콜스 선도이다. 이들은 주파수를 입력으로, 주파수 응답의 크기와 위상을 출력으로 하는 매개변수 선도이다. 나이퀴스트 선도는 이를 극좌표계로 표시하며, 크기는 반지름으로, 위상은 편각(각도)으로 매핑된다. 니콜스 선도는 이를 로그 스케일의 직교 좌표계로 표시한다.

 같이 보기 
 아날로그 신호 처리
 위상 여유
 보드의 감도 적분
 보드의 크기(이득)–위상 관계
 유전 분광법

 내용주 

 각주 

 외부 링크 

 How to draw piecewise asymptotic Bode plots
 Gnuplot code for generating Bode plot: DIN-A4 printing template (pdf)

분류:신호 처리
분류:증폭 회로
분류:전자 피드백
분류:전기 매개변수
분류:플롯 (그래픽스)