점별

수학에서 수식어 점별(pointwise)은 어떤 함수 의 각 값 를 고려하여 특정 속성이 정의됨을 나타내기 위해 사용된다. 점별 개념의 중요한 종류는 점별 연산으로, 이는 정의 영역의 각 지점에 대해 개별적으로 함수 값에 연산을 적용하여 함수에 정의된 연산이다. 중요한 관계론 또한 점별로 정의될 수 있다.

 점별 연산 
섬네일|sin (아래 그림, 파랑) 및 ln (빨강) 함수의 점별 합 (위 그림, 보라) 및 곱 (초록). 강조 표시된 수직 슬라이스는 x=2π 지점에서의 계산을 보여준다.
형식적 정의
집합 에 대한 이항 연산 는 에서 로 가는 모든 함수 집합 에 대한 연산 로 점별로 확장될 수 있다. 다음과 같다. 두 함수  및 가 주어졌을 때, 함수 는 다음과 같이 정의된다.

일반적으로 o와 O는 같은 기호로 표시된다. 단항 연산 o 및 다른 항수의 연산에도 유사한 정의가 사용된다.

예시

동일한 정의역과 공역을 가진 두 함수 와 의 점별 덧셈 는 다음과 같이 정의된다.

점별 곱 또는 점별 곱셈은 다음과 같다.

스칼라와의 점별 곱은 일반적으로 스칼라 항이 먼저 오도록 작성된다. 따라서 가 스칼라일 때:

점별 연산이 아닌 함수의 연산의 예로는 합성곱이 있다.

속성
점별 연산은 공역에 대한 해당 연산으로부터 결합법칙, 교환법칙 및 분배법칙과 같은 속성을 상속받는다.
가 어떤 대수 구조일 때, 에서 의 캐리어 집합으로 가는 모든 함수의 집합은 유사한 방식으로 동일한 유형의 대수 구조로 바뀔 수 있다.

 성분별 연산 
성분별 연산은 일반적으로 벡터에 대해 정의되며, 여기서 벡터는 어떤 자연수 과 어떤 체 에 대한 집합 의 원소이다. 임의의 벡터 의 번째 성분을 로 나타내면, 성분별 덧셈은 이다.

성분별 연산은 행렬에 대해 정의될 수 있다. 행렬 덧셈, 즉 는 성분별 연산인 반면 행렬 곱셈은 아니다.

튜플은 함수로 간주될 수 있으며, 벡터는 튜플이다. 따라서 임의의 벡터 는 인 함수 에 해당하며, 벡터에 대한 모든 성분별 연산은 해당 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산이다.

 점별 관계 
순서론에서는 함수에 대한 점별 부분 순서를 정의하는 것이 일반적이다. A, B가 부분 순서 집합일 때, 함수 A → B의 집합은 인 경우 f ≤ g로 정의하여 순서를 매길 수 있다. 점별 순서는 또한 기본 부분 순서 집합의 일부 속성을 상속받는다. 예를 들어, A와 B가 연속 격자라면 점별 순서가 있는 함수 A → B의 집합도 그렇다.Gierz et al., p. xxxiii 함수에 대한 점별 순서를 사용하여 다음과 같은 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있다.Gierz, et al., p. 26

 포셋 P의 폐포 연산자 c는 P에 대한 단조 및 멱등 자체 사상(즉, 사영 연산자)이며, idA ≤ c의 추가 속성을 가진다. 여기서 id는 항등 함수이다.
 유사하게, 사영 연산자 k는 k ≤ idA인 경우에만 핵 연산자라고 불린다.

무한 점별 관계의 예는 함수의 점별 수렴이다.

와

의 수렴은 각 에 대해 에서

 각주 

 참고 자료 
순서론 예시:
 T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, .
 G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. 스콧: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

분류:수학 용어