산술기하학

수학에서 산술기하학(arithmetic geometry)은 대략적으로 대수기하학의 기법을 수론의 문제에 적용하는 학문이다. 산술기하학은 대수다양체의 유리점을 연구하는 디오판토스 기하학을 중심으로 한다.

더 추상적인 용어로, 산술기하학은 대수적 정수환의 환의 스펙트럼 상의 유한형인 스킴을 연구하는 학문으로 정의될 수 있다.

 개요 
산술기하학의 고전적인 관심 대상은 유리점이다. 즉, 수체, 유한체, p-진수체 또는 대수 함수체, 즉 대수적으로 닫힌 체가 아닌 (실수를 제외한) 체 상에서 다항 방정식계의 해집합이다. 유리점은 그 산술적 복잡성을 측정하는 높이 함수에 의해 직접적으로 특성화될 수 있다.

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 상에서 정의된 대수다양체의 구조는 대수기하학의 현대적이고 추상적인 발전과 함께 관심의 중심 영역이 되었다. 유한체 상에서는 에탈 코호몰로지가 대수다양체와 관련된 위상적 불변량을 제공한다. p-진 호지 이론은 복소수 상의 다양체의 코호몰로지적 특성이 p-진수 상의 다양체로 확장되는지 여부를 조사하는 도구를 제공한다.

 역사 
19세기: 초기 산술기하학
19세기 초, 카를 프리드리히 가우스는 유리수 계수를 가진 동차다항식 방정식에 비영 유리해만 존재한다면 비영 정수해도 존재한다고 관찰했다.

1850년대에 레오폴트 크로네커는 크로네커-베버 정리를 공식화하고, 인자 이론을 도입했으며, 수론과 대수학 사이에 수많은 다른 연결을 만들었다. 그는 이후 "liebster Jugendtraum" ("가장 소중한 청춘의 꿈")을 제안했는데, 이는 후에 힐베르트가 수정된 형태로 그의 열두 번째 문제로 제시했으며, 수론이 정수 상의 다항식환의 몫환으로만 작동하는 목표를 제시한다.

20세기 초중반: 대수적 발전과 베유 추측
1920년대 후반, 앙드레 베유는 대수기하학과 수론 사이에 깊은 연결을 보여주었으며, 그의 박사 연구는 아벨 다양체의 유리점 집합이 유한생성 아벨 군임을 증명하는 모델-베유 정리로 이어졌다.A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers .

대수기하학의 현대적 기초는 1930년대와 1940년대에 오스카 자리스키 등에 의해 가환대수학의 발전(값매김 이론과 아이디얼 이론 포함)에 기반하여 개발되었다.

1949년, 앙드레 베유는 유한체 상의 대수다양체의 국소 제타 함수(local zeta-function)에 대한 획기적인 베유 추측을 제기했다. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil  이 추측들은 대수기하학과 수론 사이의 틀을 제공하여 알렉산더 그로텐디크가 1950년대와 1960년대에 장피에르 세르와 함께 층 이론을, 그리고 나중에는 스킴 이론을 사용하여 기초를 재구성하도록 이끌었다. 버나드 드워크는 1960년에 네 가지 베유 추측 중 하나(국소 제타 함수의 유리성)를 증명했다. 그로텐디크는 1965년까지 마이클 아틴과 장루이 베르디에와 함께 두 가지 베유 추측을 증명하기 위해 에탈 코호몰로지 이론을 개발했다. 마지막 베유 추측(리만 가설의 유사체)은 1974년에 피에르 들리뉴에 의해 최종적으로 증명되었다.

20세기 중후반: 모듈러성, p-진 방법론 등의 발전
1956년에서 1957년 사이에 다니야마 유타카와 시무라 고로는 타원 곡선을 모듈러 형식과 연결시키는 다니야마-시무라 추측 (현재는 모듈러성 정리로 알려짐)을 제기했다. 이 연결은 궁극적으로 앤드루 와일스가 1995년에 개발한 모듈러성 리프팅의 대수기하학적 기법을 통해 수론의 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 증명으로 이어졌다.

1960년대에 시무라 고로는 모듈러 곡선의 일반화로서 시무라 다양체를 도입했다. 1979년 이래로 시무라 다양체는 랭글랜즈 프로그램에서 추측을 시험하기 위한 자연스러운 예제 영역으로서 중요한 역할을 해왔다.

1977년과 1978년 논문에서 배리 메이저는 꼬임 추측을 증명하여 유리수 상의 타원 곡선의 가능한 꼬임 부분군에 대한 완전한 목록을 제공했다. 메이저의 이 정리의 첫 번째 증명은 특정 모듈러 곡선 상의 유리점에 대한 완전한 분석에 의존했다. 1996년에는 로이크 메렐에 의해 꼬임 추측의 증명이 모든 수체로 확장되었다.

1983년에 게르트 팔팅스는 모델 추측을 증명하여, 종수가 1보다 큰 곡선은 유한개의 유리점만을 가진다는 것을 보여주었다 (모델-베유 정리는 유리점 집합의 유한 생성만을 증명하며 유한성을 직접 증명하지 않는다).

2001년, GLn에 대한 국소 랭글랜즈 추측의 증명은 특정 시무라 다양체의 기하학에 기반을 두었다.

2010년대에 페터 숄체는 p-진 체 상의 산술기하학에서 퍼펙토이드 공간과 새로운 코호몰로지 이론을 개발했으며, 이는 갈루아 표현과 가중치 단조성 추측의 특정 사례에 적용되었다.

 같이 보기 
 아나벨 기하학
 프로베니오이드
 산술 역학
 아벨 다양체의 산술
 버치-스위너턴다이어 추측
 대수 곡선의 모듈라이 공간
 지겔 모듈러 다양체
 지겔의 정수점 정리
 범주론

 각주