파괴역학

파괴역학(fracture mechanics)은 재료 내 균열 전파를 연구하는 역학 분야이다. 균열에 작용하는 구동력을 계산하기 위해 분석 고체역학 방법을 사용하고, 재료의 파괴 저항 특성을 파악하기 위해 실험 고체역학 방법을 사용한다.

이론적으로, 날카로운 균열 선단 앞의 응력은 무한대가 되므로 균열 주변 상태를 설명하는 데 사용할 수 없다. 파괴역학은 균열에 작용하는 하중을 특성화하는 데 사용되며, 일반적으로 단일 매개변수를 사용하여 균열 선단에서의 완전한 하중 상태를 설명한다. 여러 가지 다른 매개변수가 개발되었다. 균열 선단에서의 소성 구역이 균열 길이에 비해 작을 때, 균열 선단에서의 응력 상태는 재료 내의 탄성력의 결과이며 선형 탄성 파괴역학 (LEFM)이라고 불리며 응력확대계수 를 사용하여 특성화할 수 있다. 균열에 작용하는 하중이 임의적일 수 있지만, 1957년 G. 어윈은 어떤 상태도 세 가지 독립적인 응력확대계수의 조합으로 축소될 수 있음을 발견했다.
 모드 I – 개방 모드 (균열 평면에 수직인 인장 변형력),
 모드 II – 미끄럼 모드 (균열 평면에 평행하고 균열 선단에 수직으로 작용하는 층밀림 변형력), 그리고
 모드 III – 찢김 모드 (균열 평면에 평행하고 균열 선단에 평행하게 작용하는 층밀림 변형력).

균열 선단에서의 소성 구역 크기가 너무 클 때는 J-적분 또는 균열선단개구변위와 같은 매개변수를 사용하여 탄성-소성 파괴역학을 사용할 수 있다.

특성화 매개변수는 균열 선단의 상태를 설명하며, 이는 실험 조건과 연관되어 유사성을 보장할 수 있다. 균열 성장은 매개변수가 일반적으로 특정 임계값을 초과할 때 발생한다. 응력 부식 응력 강도 임계값이 초과되면 부식이 균열을 천천히 성장시킬 수 있다. 유사하게, 작은 결함은 주기적인 하중에 노출될 때 균열 성장을 초래할 수 있다. 피로라고 알려진 이 현상에서, 긴 균열의 경우 성장 속도는 인가된 하중에 의해 균열이 겪는 응력 강도 범위 에 크게 좌우된다는 것이 밝혀졌다. 응력 강도가 재료의 파괴인성을 초과하면 급속 파괴가 발생한다. 균열 성장의 예측은 손상 허용 기계 설계 분야의 핵심이다.

동기
재료 제조, 가공, 기계 가공 및 성형 공정은 완성된 기계 부품에 결함을 유발할 수 있다. 제조 공정에서 발생하는 내부 및 표면 결함은 모든 금속 구조물에서 발견된다. 이러한 결함이 모두 사용 조건에서 불안정한 것은 아니다. 파괴역학은 안전한 (즉, 성장하지 않는) 결함과 균열로 전파되어 결함이 있는 구조물의 파괴를 유발할 수 있는 결함을 발견하기 위한 결함 분석이다. 이러한 내재된 결함에도 불구하고, 손상 허용 분석을 통해 구조물의 안전한 작동을 달성하는 것이 가능하다. 파괴역학은 중요 연구 주제로 채 백 년도 되지 않았으므로 비교적 새로운 분야이다.

파괴역학은 다음 질문에 정량적인 답을 제공하려고 노력해야 한다.
 균열 크기의 함수로서 부품의 강도는 얼마인가?
 사용 하중 하에서 어떤 균열 크기가 허용될 수 있는가? 즉, 최대 허용 균열 크기는 얼마인가?
 특정 초기 크기(예: 최소 감지 가능한 균열 크기)에서 최대 허용 균열 크기까지 균열이 성장하는 데 얼마나 걸리는가?
 특정 사전 존재 결함 크기(예: 제조 결함)가 존재한다고 가정할 때 구조물의 서비스 수명은 얼마인가?
 균열 감지에 사용할 수 있는 기간 동안 구조물은 균열 검사를 얼마나 자주 받아야 하는가?

선형 탄성 파괴역학
 그리피스 기준 
섬네일|right|무한히 큰 판의 중앙에 길이 의 그리피스 균열(결함)을 사용하여 균열이 급격하게 전파되는 응력 수준 를 계산할 수 있다.

파괴역학은 제1차 세계 대전 중 영국 항공 공학자 A. A. 그리피스에 의해 – 따라서 그리피스 균열이라는 용어가 사용됨 – 취성 재료의 파괴를 설명하기 위해 개발되었다.. 그리피스의 연구는 두 가지 모순된 사실에 의해 동기가 부여되었다.
 벌크 유리를 파괴하는 데 필요한 응력은 약 이다.
 유리의 원자 결합을 끊는 데 필요한 이론적 응력은 약 이다.

이러한 상충되는 관찰을 조화시키기 위한 이론이 필요했다. 또한 그리피스 자신이 수행한 유리 섬유 실험은 섬유 직경이 감소함에 따라 파괴 응력이 증가한다는 것을 시사했다. 따라서 그리피스 이전에 재료 파괴를 예측하는 데 광범위하게 사용되었던 단축 인장 강도는 시편에 독립적인 재료 특성이 될 수 없었다. 그리피스는 실험에서 관찰된 낮은 파괴 강도와 강도의 크기 의존성이 벌크 재료에 미세한 결함이 존재하기 때문이라고 제안했다.

결함 가설을 검증하기 위해 그리피스는 실험용 유리 시편에 인공 결함을 도입했다. 인공 결함은 시편의 다른 결함보다 훨씬 큰 표면 균열 형태였다. 실험 결과, 결함 길이()의 제곱근과 파괴 응력()의 곱이 거의 일정하다는 것을 보여주었으며, 이는 다음 방정식으로 표현된다.

이 관계를 선형 탄성 이론으로 설명하는 것은 문제가 있다. 선형탄성 이론은 선형 탄성 재료에서 날카로운 결함 선단의 응력(및 변형률)이 무한대라고 예측한다. 이 문제를 피하기 위해 그리피스는 자신이 관찰한 관계를 설명하기 위한 열역학적 접근법을 개발했다.

균열의 성장, 균열 양쪽 표면의 확장은 표면 에너지의 증가를 필요로 한다. 그리피스는 탄성판의 유한 균열에 대한 탄성 문제를 해결하여 균열의 표면 에너지 측면에서 상수 에 대한 표현을 찾았다. 간단히 말해, 접근 방식은 다음과 같았다.

 단축 인장 하중을 받는 완벽한 시편에 저장된 위치 에너지를 계산한다.
 인가된 하중이 작업을 하지 않도록 경계를 고정하고 시편에 균열을 도입한다. 균열은 응력을 완화하여 균열 면 근처의 탄성 에너지를 감소시킨다. 반면에 균열은 시편의 총 표면 에너지를 증가시킨다.
 균열 길이의 함수로 자유 에너지 (표면 에너지 - 탄성 에너지)의 변화를 계산한다. 파괴는 자유 에너지가 임계 균열 길이에서 최고값에 도달할 때 발생하며, 그 이상에서는 균열 길이가 증가함에 따라 자유 에너지가 감소하여 파괴를 유발한다. 이 절차를 사용하여 그리피스는 다음을 발견했다.

여기서 는 재료의 영률이고 는 재료의 표면 에너지 밀도이다.  및 를 가정하면 그리피스가 예측한 파괴 응력이 유리에 대한 실험 결과와 완벽하게 일치한다.

하중에 수직인 균열이 있는 얇은 직사각형 판의 간단한 경우, 에너지 방출률 는 다음과 같다.

여기서 는 인가된 응력, 는 균열 길이의 절반, 는 영률이며, 이는 평면 변형률의 경우 판 강성 계수 로 나누어야 한다. 변형 에너지 방출률은 물리적으로 균열 성장에 의해 에너지가 흡수되는 속도로 이해할 수 있다.

그러나 다음도 성립한다.

 ≥ 이면 균열이 전파되기 시작하는 기준이 된다.

균열 전파 전에 심하게 변형된 재료의 경우, 선형 탄성 파괴역학 공식은 더 이상 적용되지 않으며, 연성 재료의 파괴와 같이 균열 선단 근처의 응력 및 변위장을 설명하기 위한 수정된 모델이 필요하다.

 어윈의 수정 
섬네일|upright=1.5|연성 재료의 균열 선단 주변 소성 구역

그리피스의 연구는 1950년대 초까지 공학계에서 크게 무시되었다. 그 이유는 (a) 실제 구조 재료에서는 파괴를 유발하는 데 필요한 에너지 수준이 해당 표면 에너지보다 몇 배 더 높고, (b) 구조 재료에는 항상 균열 선단 주변에 비탄성 변형이 있어 균열 선단에서 무한 응력을 갖는 선형 탄성 매체의 가정이 매우 비현실적이라는 것이다.E. Erdogan (2000) Fracture Mechanics, International Journal of Solids and Structures, 37, pp. 171–183.

그리피스의 이론은 유리와 같은 취성 재료에 대한 실험 데이터와 훌륭하게 일치한다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 비록  관계가 여전히 성립하지만, 그리피스의 이론이 예측한 표면 에너지(γ)는 일반적으로 비현실적으로 높다. 제2차 세계 대전 중 미국 해군 연구소 (NRL)에서 G. R. 어윈Irwin G (1957), Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, Journal of Applied Mechanics 24, 361–364.이 이끄는 연구 그룹은 연성 재료의 파괴에 소성이 중요한 역할을 해야 한다는 것을 깨달았다.

연성 재료(그리고 심지어 취성으로 보이는 재료에서도Orowan, E., 1949. Fracture and strength of solids. Reports on Progress in Physics XII, 185–232.)에서는 균열 선단에 소성 영역이 발생한다. 인가된 하중이 증가하면 소성 영역의 크기가 증가하여 균열이 성장하고 균열 선단 뒤의 탄성 변형된 재료가 하중을 해제한다. 균열 선단 근처의 소성 하중 및 언로딩 주기는 열로서 에너지의 소산을 초래한다. 따라서 취성 재료에 대해 그리피스가 고안한 에너지 균형 관계에 소산 항을 추가해야 한다. 물리적으로 말하면, 취성 재료에 비해 연성 재료에서는 균열 성장을 위해 추가적인 에너지가 필요하다.

어윈의 전략은 에너지를 두 부분으로 나누는 것이었다.
 균열이 성장함에 따라 방출되는 저장된 탄성 변형 에너지. 이것은 파괴의 열역학적 구동력이다.
 소성 소산과 표면 에너지 (및 작동할 수 있는 다른 소산력)를 포함하는 소산 에너지. 소산 에너지는 파괴에 대한 열역학적 저항을 제공한다.
그러면 총 에너지는 다음과 같다.

여기서 는 표면 에너지이고 는 균열 성장 단위 면적당 소성 소산(및 다른 원천으로부터의 소산)이다.

그리피스 에너지 기준의 수정된 버전은 다음과 같이 작성될 수 있다.

유리와 같은 취성 재료의 경우, 표면 에너지 항이 지배적이며 이다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 소성 소산 항이 지배적이며 이다. 유리 전이 온도 근처의 고분자의 경우, 2에서 1000  사이의 중간  값을 갖는다.

 응력확대계수 

어윈과 그의 동료들의 또 다른 중요한 업적은 선형 탄성 고체에서 균열 선단 주변의 점근적 응력 및 변위장 측면에서 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산하는 방법을 찾는 것이었다. 모드 I 하중에서 응력장에 대한 이 점근적 표현은 다음 식에 따라 응력확대계수 와 관련된다.

여기서 는 코시 응력, 은 균열 선단으로부터의 거리, 는 균열 평면에 대한 각도, 는 균열 형상 및 하중 조건에 따라 달라지는 함수이다. 어윈은 를 응력확대계수라고 불렀다. 는 무차원량이므로, 응력확대계수는  단위로 표현될 수 있다.

응력 강도는 변형 에너지 방출률을 대체했으며, 파괴인성이라는 용어가 표면 약화 에너지를 대체했다. 이 두 용어는 그리피스가 사용한 에너지 용어와 간단하게 관련되어 있다.

그리고

여기서 는 모드  응력 강도, 는 파괴 인성, 는 푸아송 비이다.

파괴는 일 때 발생한다. 평면 변형률 변형의 특수한 경우 는 가 되며 재료 특성으로 간주된다. 첨자 는 균열이 전파되도록 재료에 하중을 가하는 여러 가지 방법 때문에 발생한다. 이는 모드  또는 와는 대조적으로 소위 "모드 " 하중을 나타낸다.

에 대한 표현은 응력확대계수 문서에서 논의된 바와 같이 중앙 균열이 있는 무한 판 이외의 형상에 대해서는 달라진다. 따라서 형상을 특성화하기 위해 무차원 보정 계수 를 도입해야 한다. 이 보정 계수는 종종 기하학적 형상 계수라고도 불리며, 경험적으로 결정된 일련의 값을 통해 주어진 균열 또는 노치의 유형 및 형상을 설명한다. 따라서 우리는 다음을 얻는다.

여기서 는 유한 너비 의 판에 두께 관통 균열 길이 가 포함된 경우 균열 길이와 판 너비의 함수이다.

 변형 에너지 방출 

어윈은 균열 주변의 소성 구역 크기가 균열 크기에 비해 작으면 균열 성장에 필요한 에너지가 균열 선단에서의 응력 상태(소성 구역)에 크게 의존하지 않는다는 것을 처음으로 관찰했다. 다시 말해, 순수 탄성 해법을 사용하여 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산할 수 있다.

균열 성장 또는 변형 에너지 방출률에 대한 에너지 방출률은 균열 성장 단위 면적당 탄성 변형 에너지의 변화로 계산될 수 있다. 즉,

여기서 U는 시스템의 탄성 에너지이고 a는 균열 길이이다. 위의 표현을 평가하는 동안 하중 P 또는 변위 u는 일정하다.

어윈은 모드 I 균열(개방 모드)에 대해 변형 에너지 방출률과 응력확대계수가 다음과 같은 관계를 갖는다는 것을 보여주었다.

여기서 E는 영률, ν는 푸아송 비, KI는 모드 I의 응력확대계수이다. 어윈은 또한 선형 탄성체 내 평면 균열의 변형 에너지 방출률이 가장 일반적인 하중 조건에 대해 모드 I, 모드 II(미끄럼 모드), 모드 III(찢김 모드) 응력확대계수 측면에서 표현될 수 있음을 보여주었다.

다음으로 어윈은 취성 파괴 동안 에너지 소산 구역의 크기와 모양이 거의 일정하게 유지된다는 추가 가정을 채택했다. 이 가정은 단위 파괴면을 만드는 데 필요한 에너지가 재료에만 의존하는 상수라는 것을 시사한다. 이 새로운 재료 특성은 파괴인성이라는 이름이 주어졌으며 GIc로 지정되었다. 오늘날에는 평면 변형률 조건에서 발견되는 임계 응력확대계수 KIc가 선형 탄성 파괴역학의 정의 속성으로 받아들여진다.

 균열 선단 소성 구역 
이론적으로 반지름이 거의 0인 균열 선단에서의 응력은 무한대로 수렴한다. 이는 실제 응용에서는 불가능한 응력 특이점으로 간주된다. 이러한 이유로 파괴역학 분야의 수치 연구에서는 종종 균열을 둥근 끝의 노치로 표현하는 것이 적절하며, 균열 선단 특이점을 대체하는 형상 의존적 응력집중 영역을 사용한다. 실제로는 실제 재료 내 균열 선단에서의 응력 집중은 유한한 값을 가지지만, 시편에 가해지는 공칭 응력보다 더 큰 것으로 밝혀졌다.

그럼에도 불구하고, 그러한 균열이 자발적으로 전파되는 것을 막는 어떤 종류의 메커니즘이나 재료 특성이 있어야 한다. 가정은 균열 선단에서의 소성 변형이 균열 선단을 효과적으로 무디게 한다는 것이다. 이 변형은 주로 해당 방향으로 가해지는 응력(대부분의 경우 일반 데카르트 좌표계의 y-방향), 균열 길이, 시편의 형상에 따라 달라진다. 이 소성 변형 영역이 균열 선단으로부터 얼마나 확장되었는지 추정하기 위해 어윈은 재료의 항복 강도를 균열을 따라 (x 방향) y-방향의 원거리 응력과 동일시하고 유효 반지름을 구했다. 이 관계로부터 균열이 임계 응력확대계수까지 하중을 받는다고 가정하여, 어윈은 균열 선단에서의 이상적인 소성 변형 영역 반지름에 대한 다음 표현을 개발했다.

이상적인 재료 모델은 이 소성 영역이 균열 선단에 중심을 둔다는 것을 보여주었다. 이 방정식은 균열 선단을 넘어선 소성 변형 영역의 근사 이상 반지름을 제공하며, 이는 많은 구조 과학자들에게 유용하다. 왜냐하면 재료가 응력을 받을 때 어떻게 거동하는지에 대한 좋은 추정치를 제공하기 때문이다. 위 방정식에서 응력확대계수와 재료 인성의 지표인  및 항복 응력 는 재료와 그 특성, 그리고 소성 영역 크기에 대해 많은 것을 보여주기 때문에 중요하다. 예를 들어, 가 높으면 재료가 인성이 높다고 추론할 수 있고, 가 낮으면 재료가 더 연성이라는 것을 알 수 있다. 이 두 매개변수의 비율은 소성 영역의 반지름에 중요하다. 예를 들어, 가 작으면  대 의 제곱 비율이 커져 더 큰 소성 반지름을 초래한다. 이는 재료가 소성 변형할 수 있으므로 인성이 높다는 것을 의미한다. 이 균열 선단을 넘어선 소성 영역 크기 추정치는 균열 존재 시 재료가 어떻게 거동할지를 더 정확하게 분석하는 데 사용될 수 있다.

단일 사건 하중에 대해 위에서 설명한 것과 동일한 과정이 주기 하중에도 적용된다. 주기 하중을 받는 시편에 균열이 존재하면 시편은 균열 선단에서 소성 변형을 일으켜 균열 성장을 지연시킨다. 과부하 또는 이탈이 발생하면 이 모델은 재료가 이전에 경험한 것보다 갑작스러운 응력 증가를 수용하도록 약간 변경된다. 충분히 높은 하중(과부하)에서 균열은 균열을 포함하던 소성 영역 밖으로 성장하여 원래 소성 변형의 주머니를 남긴다. 이제 과부하 응력이 시편을 완전히 파괴할 만큼 충분히 높지 않다고 가정하면, 균열은 새로운 균열 선단 주변에서 추가적인 소성 변형을 겪어 잔류 소성 응력 영역을 확장한다. 이 과정은 새로운 소성 영역이 일반적인 응력 조건에서보다 크기 때문에 재료의 인성을 더욱 높이고 수명을 연장한다. 이를 통해 재료는 더 많은 하중 주기를 겪을 수 있다. 이 아이디어는 과부하 이벤트를 겪는 중앙 균열이 있는 알루미늄의 그래프를 통해 더욱 설명될 수 있다.

 한계 
섬네일|right|upright=1.2|1943년, 항구에서 S.S. 스케넥터디호가 취성 파괴로 두 동강 났다.

그러나 NRL 연구원들에게 문제가 발생했는데, 해군 재료, 예를 들어 선박용 강철은 완벽하게 탄성적이지 않고 균열 선단에서 상당한 소성 변형을 겪기 때문이었다. 어윈의 선형 탄성 파괴역학의 기본 가정 중 하나는 소규모 항복으로, 소성 구역의 크기가 균열 길이에 비해 작다는 조건이다. 그러나 이 가정은 구조용 강철의 특정 유형 파괴에는 상당히 제한적이며, 이러한 강철은 취성 파괴에 취약하여 여러 차례의 치명적인 사고로 이어졌다.

선형-탄성 파괴역학은 구조용 강철에 대한 실용적 사용이 제한적이며 파괴인성 테스트는 비용이 많이 들 수 있다.

탄성-소성 파괴역학
섬네일|right|upright=1.2|아메리칸 항공 587편에서 분리되어 치명적인 추락을 초래한 수직 꼬리 날개.

대부분의 공학 재료는 큰 하중을 포함하는 작동 조건에서 일부 비선형 탄성 및 비탄성 거동을 보인다. 이러한 재료에서는 선형 탄성 파괴역학의 가정이 성립하지 않을 수 있다. 즉,
 균열 선단의 소성 구역이 균열 크기와 같은 크기 정도를 가질 수 있다.
 소성 구역의 크기와 모양이 인가된 하중이 증가하고 균열 길이가 증가함에 따라 변할 수 있다.

따라서 탄성-소성 재료의 균열 성장을 위한 보다 일반적인 이론이 필요하며, 이는 다음을 설명할 수 있어야 한다.
 균열 선단에서의 공극(박리)의 핵생성, 성장 및 합체를 포함하는 초기 균열 성장을 위한 국부 조건.
 추가 균열 성장 및 불안정한 파괴를 위한 전역 에너지 균형 기준.

 CTOD 

역사적으로, 탄성-소성 영역에서 파괴 인성 결정을 위한 첫 번째 매개변수는 균열 선단 개구 변위(CTOD) 또는 "균열 정점에서의 개구"였다. 이 매개변수는 높은 인성으로 인해 선형 탄성 파괴역학 모델로는 특성화할 수 없었던 구조용 강철 연구 중에 웰스(Wells)가 결정했다. 그는 파괴가 발생하기 전에 균열의 벽이 벌어지고, 파괴 후 균열 선단이 소성 변형으로 인해 날카로운 상태에서 둥글게 변했다는 것을 주목했다. 또한, 뛰어난 인성을 가진 강철에서 균열 선단의 둥글어짐이 더욱 두드러졌다.

CTOD에는 여러 가지 대체 정의가 있다. 가장 일반적인 두 가지 정의에서 CTOD는 원래 균열 선단에서의 변위와 90도 교차점이다. 후자의 정의는 라이스(Rice)가 제안했으며, 이러한 유한 요소 모델에서 CTOD를 추론하는 데 일반적으로 사용된다. 균열 선단이 반원으로 무뎌지면 이 두 정의는 동일하다는 점에 유의해야 한다.

대부분의 CTOD 실험실 측정은 3점 굽힘으로 하중이 가해진 가장자리 균열 시편에서 이루어졌다. 초기 실험에서는 균열에 삽입되는 평평한 패들 모양 게이지를 사용했다. 균열이 열리면 패들 게이지가 회전하고 전자 신호가 x-y 플로터로 전송되었다. 그러나 이 방법은 패들 게이지로 균열 선단에 도달하기 어려웠기 때문에 부정확했다. 오늘날에는 균열 입구에서의 변위 V가 측정되며, 시편 절반이 강체이고 힌지 점(균열 선단)을 중심으로 회전한다고 가정하여 CTOD를 추론한다.

 R-곡선 

탄성-소성 파괴역학 방향의 초기 시도는 어윈의 균열 확장 저항 곡선, 균열 성장 저항 곡선 또는 R-곡선이었다. 이 곡선은 탄성-소성 재료에서 파괴 저항이 균열 크기 증가에 따라 증가한다는 사실을 인정한다. R-곡선은 균열 크기의 함수로 총 에너지 소산율을 나타내는 그래프이며, 느리고 안정적인 균열 성장 및 불안정한 파괴 과정을 조사하는 데 사용될 수 있다. 그러나 R-곡선은 1970년대 초반까지 응용 분야에서 널리 사용되지 않았다. 주된 이유는 R-곡선이 시편의 형상에 따라 달라지며 균열 구동력을 계산하기 어려울 수 있다는 점으로 보인다.

 J-적분 

1960년대 중반, 제임스 R. 라이스 (당시 브라운 대학교 재직)와 G. P. 체레파노프는 균열 선단 변형이 충분하여 부품이 더 이상 선형-탄성 근사를 따르지 않는 경우를 설명하기 위해 독립적으로 새로운 인성 측정법을 개발했다. 균열 선단 앞의 비선형 탄성 (또는 단조 변형 이론 소성) 변형을 가정하는 라이스의 분석은 J-적분으로 지정된다.. 이 분석은 균열 선단에서의 소성 변형이 하중을 받는 부품의 가장자리까지 확장되지 않는 상황으로 제한된다. 또한 재료의 가정된 비선형 탄성 거동이 실제 재료의 하중 반응에 대해 형상과 크기 면에서 합리적인 근사치여야 한다. 탄성-소성 파괴 매개변수는 JIc로 지정되며, 아래 방정식을 사용하여 관습적으로 KIc로 변환된다. 또한 J-적분 접근 방식은 선형-탄성 거동에 대한 그리피스 이론으로 환원된다는 점에 유의해야 한다.

J-적분의 수학적 정의는 다음과 같다.

여기서
는 균열 정점 주위의 임의의 시계 방향 경로,
는 변형 에너지 밀도,
는 견인력 벡터의 성분,
는 변위 벡터의 성분,
는 경로 를 따라 증가하는 길이, 그리고
와 는 응력 및 변형률 텐서이다.

공학자들은 KIc를 사용하여 파괴 인성을 특성화하는 데 익숙해졌기 때문에 JIc를 KIc로 환원하는 관계가 사용되어 왔다.
 여기서 는 평면응력의 경우이고 는 평면변형률의 경우이다.

 점착 영역 모델 

균열 선단 주변의 상당한 영역이 소성 변형을 겪었을 때, 균열의 추가 확장 가능성과 균열 성장 및 분기 방향을 결정하는 다른 접근 방식이 사용될 수 있다. 수치 계산에 쉽게 통합되는 간단한 기술은 1960년대 초 바렌블라트와 더그데일(Dugdale)이 독립적으로 제안한 개념에 기반한 점착 영역 모델 방법이다. 더그데일-바렌블라트 모델과 그리피스 이론 간의 관계는 1967년 윌리스에 의해 처음 논의되었다.. 취성 파괴의 맥락에서 두 접근 방식의 등가성은 1968년 라이스에 의해 제시되었다.

 전이 결함 크기 
섬네일|upright=1.2|균열 크기의 함수로서의 파괴 응력

재료가 항복 강도 와 모드 I 파괴 인성 를 가진다고 가정하자. 파괴역학에 따르면, 재료는 응력 에서 파괴된다. 소성 이론에 따르면, 재료는 일 때 항복한다. 이 곡선들은 일 때 교차한다. 이  값은 전이 결함 크기 라고 불리며, 구조물의 재료 특성에 따라 달라진다. 일 때는 파괴가 소성 항복에 의해 지배되고, 일 때는 파괴역학에 의해 지배된다. 공업용 합금의  값은 100 mm이고 세라믹의 경우 0.001 mm이다. 제조 공정이 마이크로미터 단위의 결함을 유발할 수 있다고 가정하면, 세라믹은 파괴로 인해 파괴될 가능성이 더 높은 반면, 공업용 합금은 소성 변형으로 인해 파괴될 것이다.

콘크리트 파괴 분석
콘크리트 파괴 분석은 콘크리트의 균열 전파 및 관련 파괴 모드를 연구하는 파괴역학의 한 부분이다. 콘크리트는 건설에 널리 사용되므로, 파괴 분석 및 보강 모드는 콘크리트 연구의 중요한 부분이며, 다양한 콘크리트는 부분적으로 파괴 특성으로 특징지어진다.Lecture Notes in Fracture Mechanics by Victor E. Saouma 일반적인 파괴에는 인장 강도 하에서 앵커 주변에 형성되는 원뿔 모양 파괴가 포함된다.

바잔트(Bažant, 1983)는 콘크리트와 같이 균질한 특성이 특정 범위에서 무작위로 변하는 재료에 대한 균열대 모델을 제안했다. 그는 또한 일반 콘크리트에서 크기 효과가 임계 응력확대계수에 강한 영향을 미 미친다는 것을 관찰했으며,Bažant, Z.P., and Planas, J. (1998). Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials. CRC Press, Boca Raton, Florida 다음 관계를 제안했다.  =  / √(1+{/}),Bažant, Z. P., and Pang, S.-D. (2006) "Mechanics based statistics of failure risk of quasibrittle structures and size effect on safety factors". Proc. Nat'l Acad. Sci., USA 103 (25), pp. 9434–9439 
여기서  = 응력확대계수,  = 인장 강도,  = 시편 크기,  = 최대 골재 크기,  = 경험적 상수.

원자 파괴역학
원자 파괴역학(AFM)은 파괴 시 원자 규모에서 재료의 거동과 특성을 연구하는 비교적 새로운 분야이다. 이는 파괴역학의 개념을 원자 시뮬레이션과 통합하여 균열이 어떻게 시작되고 전파되며 재료의 미세구조와 상호 작용하는지 이해한다. 분자 동역학 (MD) 시뮬레이션과 같은 기술을 사용하여 AFM은 균열 형성 및 성장의 기본 메커니즘, 원자 결합의 역할, 재료 결함 및 불순물이 파괴 거동에 미치는 영향에 대한 통찰력을 제공할 수 있다.

 같이 보기 
  – 파괴역학 및 피로 균열 성장 분석 소프트웨어







 , 불연속성, 특히 파괴가 있는 변형에 초점을 맞춘 연속체 역학 공식





 각주 

더 읽어보기
 Buckley, C.P. "Material Failure", Lecture Notes (2005), 옥스퍼드 대학교.
 Davidge, R.W., Mechanical Behavior of Ceramics, Cambridge Solid State Science Series, (1979)
 Demaid, Adrian, Fail Safe, Open University (2004)
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 Zehnder, Alan. Fracture Mechanics, SpringerLink, (2012).

 외부 링크 
 비선형 파괴역학 노트 by John Hutchinson 교수, 하버드 대학교
 얇은 필름 및 다층막 파괴 노트 by John Hutchinson 교수, 하버드 대학교
 파괴역학 by Piet Schreurs, TU 아인트호벤, 네덜란드


분류:구조역학