웨더번-아르틴 정리

대수학에서 웨더번-아르틴 정리(Wedderburn–Artin theorem)는 반단순환과 반단순 대수의 분류 정리이다. 이 정리는 (아르틴) 반단순환 R은 나눗셈환 에 대한 유한개의 -by- 행렬환의 곱과 동형임을 나타내며, 여기서 정수 와 나눗셈환 는 인덱스 의 순열을 제외하고 유일하게 결정된다. 특히, 모든 단순환 좌 또는 우 아르틴 환은 나눗셈환 D에 대한 n-by-n 행렬환과 동형이며, 여기서 n과 D는 모두 유일하게 결정된다.

 정리 
을 (아르틴) 반단순환이라고 하자. 그러면 웨더번-아르틴 정리는 이 나눗셈환 에 대한 유한개의 -by- 행렬환 의 곱과 동형임을 나타내며, 여기서 정수 와 나눗셈환 는 인덱스 의 순열을 제외하고 유일하게 결정된다.

체 에 대한 대수를 위한 웨더번-아르틴 정리 버전도 있다. 이 유한 차원 반단순 -대수라면, 위의 진술에서 각 는 에 대한 유한 차원 나눗셈 대수이다. 각 의 중심이 일 필요는 없으며, 의 유한 확대일 수 있다.

이 나눗셈환 E에 대한 유한 차원 단순 대수인 경우, D가 E에 포함될 필요는 없다는 점에 유의한다. 예를 들어, 복소수에 대한 행렬환은 실수에 대한 유한 차원 단순 대수이다.

 증명 
웨더번-아르틴 정리에는 다양한 증명이 있다. 일반적인 현대적 접근 방식은 다음과 같다.

환 이 반단순환이라고 가정하자. 그러면 오른쪽 -가군 은 유한개의 단순 가군의 직합(이는 의 최소 오른쪽 아이디얼과 동일하다)과 동형이다. 이 직합을 다음과 같이 쓰자.

여기서 는 서로 동형이 아닌 단순 오른쪽 -가군이며, 번째는 중복도 로 나타난다. 이는 자기 사상환의 동형을 제공한다.

그리고 우리는 를 행렬환과 동일시할 수 있다.

여기서 의 자기 사상환 는 가 단순하므로 슈어 보조정리에 의해 나눗셈환이다. 이므로 다음과 같이 결론을 내린다.


여기서 우리는 오른쪽 가군을 사용했는데, 이는 이기 때문이다. 만약 왼쪽 가군을 사용했다면 은 의 반대환과 동형이었겠지만, 증명은 여전히 통과되었을 것이다. 더 넓은 맥락에서 이 증명을 보려면 가군의 분해를 참조하라. 중요한 특수 사례의 증명은 단순 아르틴 환을 참조하라.

 결과 
체에 대한 유한 차원 대수는 아르틴이므로, 웨더번-아르틴 정리는 체에 대한 모든 유한 차원 단순 대수가 에 대한 유한 차원 나눗셈 대수 D에 대한 n-by-n 행렬환과 동형임을 의미하며, 여기서 n과 D는 모두 유일하게 결정된다. 이는 조지프 웨더번이 보였다. 에밀 아르틴은 나중에 이 결과를 단순 좌 또는 우 아르틴 환의 경우로 일반화했다.

대수적으로 닫힌 체에 대한 유일한 유한 차원 나눗셈 대수는 체 자체이므로, 웨더번-아르틴 정리는 이 경우에 강력한 결과를 가져온다. 을 대수적으로 닫힌 체 에 대한 유한 차원 대수인 반단순환이라고 하자. 그러면 은 유한 곱 이며, 여기서 는 양의 정수이고 는 에 대한  행렬의 대수이다.

또한, 웨더번-아르틴 정리는 체 에 대한 유한 차원 중심 단순 대수를 분류하는 문제를 에 대한 유한 차원 중심 나눗셈 대수, 즉 중심이 인 에 대한 나눗셈 대수를 분류하는 문제로 축소시킨다. 이는 에 대한 모든 유한 차원 중심 단순 대수가 행렬 대수 와 동형임을 의미한다.
여기서 는 에 대한 유한 차원 중심 나눗셈 대수이다.

 같이 보기 
 마슈케 정리
 브라우어 군
 제이컵슨 밀도 정리
 초복소수
 에밀 아르틴
 조지프 웨더번

 내용주 

 각주 

 참고 문헌 








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