고전 전자기학의 공변 형식

고전 전자기학의 공변 형식(Covariant formulation of classical electromagnetism)은 특수 상대성이론의 형식론에서 직교 관성 좌표계를 사용하여 로런츠 변환에 대해 명백히 불변하는 형태로 고전 전자기학의 법칙(특히, 맥스웰 방정식 및 로런츠 힘)을 작성하는 방법을 의미한다. 이러한 표현들은 고전 전자기학의 법칙이 모든 관성 좌표계에서 동일한 형태를 취함을 쉽게 증명할 수 있게 하며, 또한 장과 힘을 한 기준계에서 다른 기준계로 변환하는 방법을 제공한다. 그러나 이는 휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식 또는 비직교 좌표계만큼 일반적이지는 않다.

 공변 개체 

 예비 사차원 벡터 

다음 종류의 로런츠 텐서가 이 문서에서 물체나 입자를 설명하는 데 사용될 수 있다:
 사차원 변위: 
 사차원 속도:  여기서 γ(u)는 3차원 속도 u에서의 로런츠 인자이다.
 사차원 운동량:  여기서 는 3차원 운동량, 는 총 에너지, 는 정지 질량이다.
 사차원 기울기: 
 달랑베르시안 연산자는 로 표기된다: 

다음 텐서 분석의 부호는 계량 텐서에 사용된 부호 규약에 따라 달라진다. 여기서 사용된 규약은 이며, 이는 민코프스키 계량 텐서에 해당한다:

 전자기장 텐서 

전자기장 텐서는 전기장과 자기장을 공변 반대칭 텐서로 결합한 것으로, 그 원소는 B-장량이다.

그리고 그 지표를 올린 결과는

여기서 E는 전기장, B는 자기장, c는 빛의 속력이다.

 사차원 전류 

사차원 전류는 전하 밀도 ρ와 전류 밀도 j를 결합한 반변 사차원 벡터이다:

 사차원 퍼텐셜 

전자기 사차원 퍼텐셜은 전위 (또한 스칼라 퍼텐셜이라고도 불린다) ϕ와 자기 벡터 퍼텐셜 (또는 벡터 퍼텐셜) A를 포함하는 공변 사차원 벡터로 다음과 같다:

전자기 퍼텐셜의 미분은

휘어진 시공간으로 일반화하는 미분 형식의 언어에서, 이들은 각각 1-형식 와 2-형식 의 성분이다. 여기서 는 외미분이고 는 쐐기곱이다.

 전자기 에너지-운동량 텐서 

전자기 에너지-운동량 텐서는 운동량 사차원 벡터의 플럭스 밀도로 해석될 수 있으며, 전체 에너지-운동량 텐서에 대한 전자기장의 기여분인 반변 대칭 텐서이다:

여기서 는 진공의 유전율, μ0는 진공의 투자율, 포인팅 벡터는

그리고 맥스웰 변형력 텐서는 다음과 같다:

전자기장 텐서 F는 다음 방정식으로 전자기 에너지-운동량 텐서 T를 구성한다:Classical Electrodynamics, Jackson, 3rd edition, page 609

여기서 η는 민코프스키 계량 텐서 (부호 를 가진다)이다. 다음 사실을 사용한다:

이는 맥스웰 방정식에 의해 예측된다.

공변 및 반변 지표를 포함하지 않으므로 더 간단할 수 있는 전자기 에너지-운동량 텐서에 대한 다른 공변 표현은 다음과 같다:

여기서 F'는 전치 전자기 텐서 또는 등가적으로 -F이며, 별표는 행렬 곱셈을 나타낸다.

 진공에서의 맥스웰 방정식 

진공에서 (또는 거시적 물질 설명을 포함하지 않는 미시적 방정식의 경우), 맥스웰 방정식은 두 개의 텐서 방정식으로 작성될 수 있다.

두 개의 비동차 맥스웰 방정식인 가우스 법칙과 앙페르 회로 법칙 (맥스웰의 보정 포함)은 ( 계량으로) 다음으로 결합된다:Classical Electrodynamics by Jackson, 3rd Edition, Chapter 11 Special Theory of Relativity

동차 방정식 – 패러데이 전자기 유도 법칙과 가우스 자기 법칙은 을 형성하며, 이는 레비치비타 이중성을 사용하여 다음과 같이 작성될 수 있다:

여기서 Fαβ는 전자기장 텐서, Jα는 사차원 전류, εαβγδ는 레비치비타 기호, 지표는 아인슈타인 표기법에 따라 동작한다.

이러한 각 텐서 방정식은 β의 각 값에 대해 네 개의 스칼라 방정식에 해당한다.

반대칭 텐서 표기와 부분 미분을 위한 쉼표 표기 ((리치 미적분학 참조))를 사용하면 두 번째 방정식은 더 간결하게 다음과 같이 작성될 수 있다:

소스가 없는 경우, 맥스웰 방정식은 다음으로 축소된다:

이는 장 세기 텐서의 전자기파 방정식이다.

 로렌츠 게이지에서의 맥스웰 방정식 

로렌츠 게이지 조건은 로런츠 불변 게이지 조건이다. (이는 쿨롱 게이지와 같은 다른 게이지 조건과 대비될 수 있으며, 한 관성 기준계에서 유효하더라도 일반적으로 다른 기준계에서는 유효하지 않다.) 이는 사차원 퍼텐셜의 관점에서 다음과 같이 표현된다:

로렌츠 게이지에서 미시적 맥스웰 방정식은 다음과 같이 작성될 수 있다:

 로런츠 힘 

 하전 입자 
200px|섬네일|움직이는 (순간 속도 v) 하전 입자 (전하 q)에 작용하는 로런츠 힘 f. E장과 B장은 공간과 시간에서 변한다.

전자기장 (EM)은 전하를 띤 물질의 움직임에 영향을 미친다: 로런츠 힘 때문이다. 이러한 방식으로 EM장은 감지될 수 있다 ((입자물리학의 응용과 오로라와 같은 자연 현상에서)). 상대론적 형태로, 로런츠 힘은 다음과 같이 장 세기 텐서를 사용한다.E와 B에서 기원하는 힘 외에는 다른 힘이 존재하지 않는다는 가정, 즉 중력, 약한 또는 강한 힘이 없다는 가정이 이루어진다.

좌표 시간 t의 관점에서 표현하면 다음과 같다:

여기서 pα는 사차원 운동량, q는 전하, xβ는 위치이다.

기준계에 독립적인 형태로 표현하면, 사차원 힘은 다음과 같다:

여기서 uβ는 사차원 속도, τ는 입자의 고유 시간이며, 이는 에 의해 좌표 시간과 관련된다.

 연속 전하 
200px|섬네일|움직이는 연속 전하 분포 (전하 밀도 ρ)에 작용하는 공간 부피당 로런츠 힘 f.

전자기학으로 인한 힘의 밀도 (그 공간 부분은 로런츠 힘이다)는 다음과 같이 주어진다:

그리고 전자기 에너지-운동량 텐서와 다음과 같이 관련된다:

 보존 법칙 

 전하 
연속 방정식:

은 전하량 보존 법칙을 표현한다.

 전자기 에너지-운동량 

맥스웰 방정식을 사용하면 (위에 정의된) 에너지-운동량 텐서가 다음 미분 방정식을 만족하며, 이는 전자기장 텐서와 전류 사차원 벡터와 관련된다는 것을 알 수 있다:

또는

이는 전자기 상호작용에 의한 선형 운동량 및 에너지 보존을 표현한다.

 물질에서의 공변 개체 

 자유 및 속박 사차원 전류 

여기서 주어진 전자기 방정식들을 풀기 위해서는 전류 Jν를 계산하는 방법에 대한 정보를 추가해야 한다. 종종 전류를 두 부분, 즉 자유 전류와 속박 전류로 분리하는 것이 편리하며, 이들은 서로 다른 방정식으로 모델링된다;

여기서

맥스웰의 거시적 방정식이 사용되었으며, 전기 변위 D와 자화 강도 H의 정의도 추가되었다:

여기서 M은 자기화이고 P는 전기 편극이다.

 자화-편극 텐서 

속박 전류는 P와 M 장에서 파생되며, 이는 반대칭 반변 자화-편극 텐서를 형성한다

However, the  assumption that ,  ,  and even , are relativistic tensors in a polarizable medium, is without foundation. The quantityis not a four vector in a polarizable medium, so  does not produce a tensor.

이는 속박 전류를 결정한다

 전기 변위 텐서 

이를 Fμν와 결합하면 D와 H 장을 다음과 같이 결합하는 반대칭 반변 전자기 변위 텐서를 얻는다:

세 장 텐서는 다음과 같이 관련된다:

이는 위에 주어진 D 및 H 장의 정의와 동일하다.

 물질에서의 맥스웰 방정식 

결과적으로 앙페르 회로 법칙,

그리고 가우스 법칙,

은 하나의 방정식으로 결합된다:

위에 정의된 속박 전류와 자유 전류는 자동으로 그리고 개별적으로 보존된다

 구성 방정식 

 진공 

진공에서 장 텐서와 변위 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다:

반대칭성은 이 16개의 방정식을 단 6개의 독립적인 방정식으로 축소시킨다. Fμν를 일반적으로 다음과 같이 정의하기 때문에

구성 방정식은 진공에서 가우스-앙페르 법칙과 결합하여 다음을 얻을 수 있다:

변위의 관점에서 전자기 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다:

여기서 δαπ는 크로네커 델타이다. 위쪽 지표가 η로 낮아지면 대칭이 되고 중력장의 소스 중 일부가 된다.

 선형, 비분산성 물질 

따라서 전류 Jν를 모델링하는 문제는 두 가지 (바라건대) 더 쉬운 문제로 축소되었다 — 자유 전류 Jνfree를 모델링하고 자화 및 편극 를 모델링하는 것이다. 예를 들어, 저주파에서 가장 간단한 물질의 경우 다음과 같다:

여기서 물질의 순간 공변 관성 기준계에 있으며, σ는 그 도전율, χe는 그 전기 감수율, χm은 그 자기 감수율이다.

선형 물질 (즉, E는 D에 비례하고 B는 H에 비례한다)에 대해 민코프스키가 제안한  텐서와 F 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다:

여기서 u는 물질의 사차원 속도, ε와 μ는 각각 물질의 고유 유전율과 투자율 (즉, 물질의 정지 기준계에서), 는 호지 쌍대 연산자를 나타낸다.

 고전 전자기학을 위한 라그랑지언 

 진공 
고전 전자기학의 라그랑지언 밀도는 두 구성 요소로 이루어진다: 장 구성 요소와 소스 구성 요소:

상호작용 항에서 사차원 전류는 다른 전하를 띤 장의 전기 전류를 그 변수들의 관점에서 표현하는 많은 항들의 약어로 이해되어야 한다; 사차원 전류 자체는 기본 장이 아니다.

전자기 라그랑지언 밀도 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다:

다음 사항에 유의하면

대괄호 안의 표현은

두 번째 항은

그러므로 전자기장의 운동 방정식은

이는 위의 가우스-앙페르 방정식이다.

 물질 

자유 전류와 속박 전류를 분리하여, 라그랑지언 밀도를 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같다:

라그랑주 방정식을 사용하여 의 운동 방정식을 유도할 수 있다.

벡터 표기법의 등가 표현은 다음과 같다:

 같이 보기 

 공변 고전 장론
 전자기장 텐서
 전자기파 방정식
 임의의 운동을 하는 전하에 대한 리에나르-비헤르트 퍼텐셜
 움직이는 자석과 도체 문제
 비동차 전자기파 방정식
 프로카 작용
 양자 전기역학
 상대론적 전자기학
 슈튀켈베르크 작용
 휠러-파인만 흡수체 이론

 내용주 

 각주 

 더 읽어보기 
 파인만 물리학 강의 Vol. II Ch. 25: 상대론적 표기법의 전자기학





분류:전자기학
분류:특수 상대성이론
분류:물리학 개념