기하학적 변환

수학에서 기하학적 변환(geometric transformation)은 거리를 보존하거나, 각도를 보존하거나, 비율(축척)을 보존하는 등 현저한 기하학적 근거를 가지고 있는 집합 자체(또는 다른 유사한 집합)의 모든 전단사 함수를 말한다. 더 구체적으로, 정의역과 치역이 점의 집합(대부분 실수 좌표 공간  또는 )인 함수이며, 그 함수는 역함수가 존재하도록 전단사 함수이다. 기하학 연구는 변환기하학에서와 같이 이러한 변환 연구를 통해 접근할 수 있다.

분류
기하학적 변환은 피연산자 집합의 차원에 따라 분류할 수 있다(따라서 평면 변환과 공간 변환을 구분한다). 또한 보존하는 속성에 따라 분류할 수도 있다.
 변위는 거리와 방향 각도를 보존한다(예: 평행 이동);
 등거리 변환은 각도와 거리를 보존한다(예: 유클리드 변환);
 닮음은 각도와 거리 사이의 비율을 보존한다(예: 크기 조정);
 아핀 변환은 평행성을 보존한다(예: 스케일링, 전단);
 사영 변환은 공선성을 보존한다;Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 

이러한 각 클래스는 이전 클래스를 포함한다.

평면에서 복소 좌표를 사용하는 뫼비우스 변환 (및 원 반전)은 모든 선과 원의 집합을 보존하지만, 선과 원을 서로 바꿀 수 있다.

 등각 변환은 각도를 보존하며, 1차적으로는 닮음이다.
 등적 변환은 평면의 경우 면적을, 3차원의 경우 부피를 보존한다. Bruce E. Meserve – Fundamental Concepts of Geometry, page 191.] 그리고 1차적으로 행렬식이 1인 아핀 변환이다.
 위상동형 (쌍연속 변환)은 점의 근방을 보존한다.
 미분동형 (쌍미분 변환)은 1차적으로 아핀 변환이다. 이것은 이전 변환들을 특수한 경우로 포함하며, 더 세분화될 수 있다.

같은 유형의 변환은 다른 변환 군의 부분 군이 될 수 있는 군을 형성한다.

반대 군 작용

많은 기하학적 변환은 선형대수로 표현된다. 전단사 선형 변환은 일반선형군의 요소이다. 선형 변환 A는 비특이적이다. 행 벡터 v의 경우, 행렬곱 vA는 또 다른 행 벡터 w = vA를 생성한다.

행 벡터 v의 전치는 열 벡터 vT이고, 위 등식의 전치는 이다. 여기서 AT는 열 벡터에 대한 왼쪽 작용을 제공한다.

변환 기하학에는 합성 AB가 있다. 행 벡터 v에서 시작하여 합성 변환의 오른쪽 작용은 w = vAB이다. 전치 후,

따라서 AB에 대한 관련 왼쪽 군의 작용은 이다. 반대군 연구에서는 이러한 반대가 동일한 유일한 군이 교환군이기 때문에 반대 군 작용을 구별한다.

능동적 및 수동적 변환

 같이 보기 
 좌표 변환
 에를랑겐 프로그램
 대칭 (기하학)
 운동
 반사 (기하학)
 강체 변환
 회전 (기하학)
 위상수학
 변환행렬

 각주 

 더 읽어보기 


 Dienes, Z. P.]; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
 데이비드 간스 – Transformations and geometries.

 존 매클리어리 (2013) Geometry from a Differentiable Viewpoint, 케임브리지 대학교 출판부 
 Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
 A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
 Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). 랜덤하우스 (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).

분류:기하학
분류:대칭
분류:함수와 사상
분류:변환 (함수)