추상 지표 표기법

추상 지표 표기법(abstract index notation)은 텐서와 스피너를 위한 수학적 표기법으로, 특정 기저의 성분이 아닌 유형을 나타내기 위해 지표를 사용한다. 지표는 단지 자리 표시자에 불과하며 어떤 기저와도 관련이 없으며, 특히 숫자가 아니다. 따라서 리치 미적분학과 혼동해서는 안 된다. 이 표기법은 로저 펜로즈에 의해 현대 추상 텐서 표기법에서 축약과 공변 미분을 설명하는 어려움을 보완하기 위해 아인슈타인 합 규약의 형식적인 측면을 사용하면서 관련된 표현의 명시적 공변성을 보존하는 방법으로 도입되었다.

를 벡터 공간이라 하고 를 그 쌍대 공간이라 하자. 예를 들어, 2차 공변 텐서 를 고려해 보자. 그러면 는 에 대한 쌍선형 형식으로 식별될 수 있다. 즉, 의 두 인수에 대한 함수로, 한 쌍의 슬롯으로 표현될 수 있다.


추상 지표 표기법은 단지 라틴 문자로 슬롯에 레이블을 붙인 것으로, 슬롯의 레이블 지정 외에는 중요성이 없다(즉, 숫자가 아니다).


두 텐서 사이의 텐서 축약 (또는 대각합)은 지표 레이블의 반복으로 표현되며, 한 레이블은 반변적이고 (인자 에 해당하는 위 지표) 다른 레이블은 공변적이다 (인자 에 해당하는 아래 지표). 따라서 예를 들어,


는 텐서 의 마지막 두 슬롯에 대한 대각합이다. 반복된 지표로 텐서 축약을 표현하는 이 방식은 아인슈타인 합 규약과 형식적으로 유사하다. 그러나 지표가 숫자가 아니기 때문에 합을 의미하지는 않는다. 오히려  유형의 텐서 인자와  유형의 텐서 인자 사이의 추상적인 기저 독립적인 대각합 연산 (또는 자연 짝짓기)에 해당한다.

 추상 지표와 텐서 공간 

일반적인 동차 텐서는 와 의 사본들의 텐서곱의 원소이다.

이 텐서곱의 각 인자에 대해 각 반변  인자에는 위쪽에 라틴 문자를, 각 공변  위치에는 아래쪽에 라틴 문자를 붙여 레이블을 지정한다. 이런 식으로 곱을 다음과 같이 쓴다.

또는 간단히

마지막 두 표현은 첫 번째와 동일한 객체를 나타낸다. 이 유형의 텐서는 예를 들어 다음과 같은 유사한 표기법을 사용하여 나타낸다.

 축약 

일반적으로 공간의 텐서곱에 하나의 반변 인자와 하나의 공변 인자가 나타날 때마다 관련 축약 (또는 대각합) 사상이 존재한다. 예를 들어,

는 텐서곱의 처음 두 공간에 대한 대각합이다.는 처음과 마지막 공간에 대한 대각합이다.

이러한 대각합 연산은 지표의 반복으로 텐서에 표시된다. 따라서 첫 번째 대각합 사상은 다음과 같이 주어진다.

두 번째는 다음과 같다.


 꼬임 
단일 벡터 공간의 모든 텐서곱에 대해 꼬임 사상이 관련되어 있다. 예를 들어, 꼬임 사상

은 두 텐서 인자를 교환한다 (따라서 간단한 텐서에 대한 동작은 로 주어진다). 일반적으로 꼬임 사상은 텐서 인자를 치환하여 작용하는 대칭군 (군론)의 원소들과 일대일 대응한다. 여기서 는 치환  (서로소 순환 치환의 곱으로 표현됨)에 관련된 꼬임 사상을 나타낸다.

꼬임 사상은 미분기하학에서 예를 들어, 비안키 항등식을 표현하는 데 중요하다. 여기서 을 의 텐서로 간주되는 리만 텐서라 하자. 그러면 첫 번째 비안키 항등식은 다음과 같이 주장한다.

추상 지표 표기법은 다음과 같이 꼬임을 처리한다. 특정 텐서곱에 대해 추상 지표의 순서가 고정된다 (일반적으로 사전식 순서이다). 꼬임은 지표의 레이블을 치환하여 표기법으로 표현된다. 따라서 예를 들어, 리만 텐서의 경우

비안키 항등식은 다음과 같이 된다.

 반대칭화와 대칭화 
일반적인 텐서는 반대칭화되거나 대칭화될 수 있으며, 해당 표기법이 존재한다.

예시를 통해 표기법을 설명한다. 세 개의 원소에 대한 대칭군이 인 유형-(0,3) 텐서 를 반대칭화해 보자.


마찬가지로 대칭화할 수 있다.


 같이 보기 
 펜로즈 그래프 표기법
 아인슈타인 표기법
 지표 표기법
 텐서
 반대칭 텐서
 지표 올리기 및 내리기
 벡터의 공변성 및 반변성

 각주 

분류:수학 표기법
분류:텐서