이차 방정식의 근의 공식

초등대수학에서 이차 방정식의 근의 공식(Quadratic formula)은 이차 방정식의 해를 나타내는 닫힌 형식 표현이다. 완전제곱식 만들기와 같은 다른 이차 방정식 해결 방법들도 동일한 해를 도출한다.

미지수 와 계수 , , 가 알려진 실수 또는 복소수이며 인 일반적인 이차 방정식 이 주어질 때, 이 방정식을 만족하는 근 또는 영점이라고 불리는  값은 다음 이차 방정식의 근의 공식을 사용하여 찾을 수 있다.

여기서 플러스마이너스 기호 ""는 방정식이 두 개의 근을 가짐을 나타낸다. 따로 쓰면 다음과 같다.

양 는 이차 방정식의 판별식으로 알려져 있다. 계수 , , 가 실수일 때, 이면 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지며; 이면 방정식은 하나의 중근을 가지며; 이면 방정식은 실근을 가지지 않고 서로 켤레 복소수인 두 개의 서로 다른 복소근을 가진다.

기하학적으로, 근은 이차 함수 , 즉 포물선의 그래프가 -축과 교차하는  값을 나타낸다. 즉, 그래프의 -절편이다. 이차 방정식의 근의 공식은 포물선의 대칭축을 식별하는 데도 사용될 수 있다.

 완전제곱식 만들기를 이용한 유도 

이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 표준적인 방법은 일반적인 이차 방정식 에 완전제곱식 만들기 방법을 적용하는 것이다.Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986). 아이디어는 방정식을 계수로 표현된 일부 식 와 에 대해  형태로 변형하고, 양변에 제곱근을 취한 다음, 를 분리하는 것이다.

먼저, 가 0이 아니므로 방정식의 양변을 이차 계수 로 나눈다. 그런 다음, 상수항 를 빼서 우변으로 분리한다.

이제 좌변은  형태이므로, 상수 를 더하여 완전제곱식 를 만들 수 있다. 이 예에서는 양변에 를 더하여 좌변을 인수분해한다(그림 참조).

이제 좌변이 완전제곱식이므로 양변에 쉽게 제곱근을 취할 수 있다.

마지막으로, 양변에서 를 빼서 를 분리하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.

 동등한 공식 
이차 방정식의 근의 공식은 다양한 대체 표현식을 사용하여 동등하게 작성될 수 있다. 예를 들어

이것은 이차 방정식을 먼저 로 나누어 를 얻은 다음, 새로운 계수들을 표준 이차 방정식의 근의 공식에 대입하여 유도할 수 있다. 이 변형은 중간에 계산된 양 를 재사용할 수 있게 하여 관련된 산술 계산을 약간 줄일 수 있다.

 분모에 제곱근이 있는 경우  
줄리오 파냐노가 처음 언급한 잘 알려지지 않은 이차 공식은 분모에 제곱근이 있는 방정식을 통해 동일한 근을 설명한다 (이라고 가정).Specifically, Fagnano began with the equation  and found the solutions to be  (In the 18th century, the square  was conventionally written as  

여기서 마이너스-플러스 기호 ""는 표준 이차 방정식의 근의 공식과 같은 순서로 이차 방정식의 두 근이 다음과 같음을 나타낸다.

이 변형은 농담 삼아 "시타르다우크(citardauq)" 공식("quadratic"을 거꾸로 쓴 것)이라고 불린다.

가  또는 와 반대 부호를 가질 때, 뺄셈은 파국적 상쇄를 일으켜 수치 계산에서 정확도가 떨어질 수 있다. 의 부호에 따라 분자에 제곱근이 있는 이차 공식과 분모에 제곱근이 있는 이차 공식 중 하나를 선택하면 이 문제를 피할 수 있다. 아래 을 참조하라.

이 이차 방정식의 근의 공식 버전은 일반 함수의 근을 찾는 뮐러 방법에서 사용된다. 이는 비에트 정리 중 하나인 항등식 에서 표준 공식으로부터 유도될 수 있다. 또는, 방정식 의 각 변을 으로 나누어 을 얻은 다음, 표준 공식을 적용하여 두 근 을 찾고, 그 역수를 취하여 원래 방정식의 근 를 찾을 수 있다.

  다른 유도 
이차 방정식을 풀기 위한 어떤 일반적인 방법이나 알고리즘이라도 기호 계수를 가진 방정식에 적용하여 이차 방정식의 근의 공식과 동등한 어떤 닫힌 형식 표현을 유도하는 데 사용될 수 있다. 대안적인 방법들은 때로는 완전제곱식 만들기보다 간단하며, 수학의 다른 분야에 대한 흥미로운 통찰력을 제공할 수도 있다.

 슈리다라의 방법에 의한 완전제곱식 만들기 
을 분리하기 위해 로 나누는 대신, 를 곱하여 를 만들면 분수 없이 완전제곱식을 만들 수 있어 약간 더 간단할 수 있다. 이 경우 유도 단계는 다음과 같다.

 각 변에 를 곱한다.
 양변에 를 더하여 완전제곱식을 만든다.
 양변에 제곱근을 취한다.
 를 분리한다.

이 방법을 기호 계수를 가진 일반적인 이차 방정식에 적용하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.

완전제곱식을 만드는 이 방법은 고대부터 전해져 왔으며, 8세기에서 9세기 인도의 수학자 슈리다라에게 알려져 있었다.Starting from a quadratic equation of the form , Śrīdhara's method, as quoted by  바스카라 2세 (c. 1150): "Multiply both sides of the equation by a number equal to four times the [coefficient of the] square, and add to them a number equal to the square of the original [coefficient of the] unknown quantity. [Then extract the root.]".   완전제곱식을 만드는 현대 표준 방법과 비교하여, 이 대체 방법은 마지막 단계까지 분수를 피할 수 있으므로 3단계 이후에 우변에서 공통 분모를 얻기 위한 재배열이 필요하지 않다.

 대입을 통해 
또 다른 유도는 변수 변환을 사용하여 일차항을 제거한다. 그러면 방정식은 새로운 변수 와 일부 상수 표현 의 관점에서  형태를 취하며, 그 근은 이다.

를 에 대입하고, 곱을 전개하고 동류항을 결합한 다음, 에 대해 풀면 다음과 같다.

마지막으로, 양변에 제곱근을 취하고 결과적인 에 대한 표현을 다시 에 대입하면 친숙한 이차 방정식의 근의 공식이 나타난다.

 대수적 항등식을 사용하여 
다음 방법은 많은 역사적 수학자들이 사용했다.

이차 방정식 의 근을 와 라고 하자. 유도는 (어떤 두 복소수에 대해서도 유효한) 차이의 제곱에 대한 항등식에서 시작하며, 양변에 제곱근을 취할 수 있다.

계수 이므로, 이차 방정식을 로 나누어 동일한 근을 가진 일계수 다항식을 얻을 수 있다. 즉,

이는 합 과 곱 을 의미한다. 따라서 항등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

그러므로,

와 의 각 두 가지 가능성은 순서가 반대인 두 개의 동일한 근이므로, 이를 표준 이차 방정식으로 결합할 수 있다.

 라그랑주 분해식을 사용하여 

이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 또 다른 방법은 갈루아 이론의 초기 부분인 라그랑주 분해식 방법을 이용하는 것이다.Clark, A. (1984). Elements of abstract algebra. Courier Corporation. p. 146.
이 방법은 삼차 방정식과 사차 방정식의 근을 제공하도록 일반화될 수 있으며, 갈루아 이론으로 이어진다. 갈루아 이론은 근의 대칭군인 갈루아 군의 관점에서 모든 차수의 대수 방정식을 이해하고 풀 수 있게 한다.

이 접근 방식은 원래 방정식을 대수적으로 재배열하기보다는 근 자체에 초점을 맞춘다. 일계수 이차 다항식 가 주어졌을 때, 와 가 두 근이라고 가정하자. 그러면 다항식은 다음과 같이 인수분해된다.

이는 와 를 의미한다.

곱셈과 덧셈은 모두 교환적이므로, 근 와 를 교환해도 계수 와 는 변하지 않는다. 와 는 와 에 대한 대칭 다항식이라고 말할 수 있다. 특히, 이들은 기본 대칭 다항식이며 – 와 에 대한 모든 대칭 다항식은 와 로 표현될 수 있다.

다항식을 분석하고 해결하기 위한 갈루아 이론 접근 방식은 다항식의 계수가 근의 대칭 함수로 주어졌을 때, 대칭성을 "깨뜨려서" 근을 복구할 수 있는지 묻는 것이다. 이 접근 방식을 사용하면 n차 다항식을 푸는 것은 n개의 항을 재배열하는(순열) 방식과 관련이 있으며, 이를 n개 문자에 대한 대칭군이라고 하며 으로 표시한다. 이차 다항식의 경우, 두 근을 재배열하는 유일한 방법은 그대로 두거나 바꾸는 것이므로, 이차 다항식을 푸는 것은 간단하다.

근 와 를 찾기 위해, 그들의 합과 차이를 고려한다.

이들은 다항식의 라그랑주 분해식이라고 불리며, 이로부터 근은 다음과 같이 복구될 수 있다.

는 와 에 대한 대칭 함수이므로, 위에서 설명한 대로 와 로 표현될 수 있다. 특히, 이다. 그러나 는 대칭이 아니다. 왜냐하면 와 를 교환하면 가산 역원 가 나오기 때문이다. 따라서 는 대칭 다항식으로 표현될 수 없다. 그러나 그 제곱 은 근에 대해 대칭이며, 와 로 표현될 수 있다. 특히 이므로, 이는 를 의미한다. 양의 근을 취하면 대칭성이 "깨져서" 다음과 같은 결과가 나온다.

여기서 근 와 는 다음과 같이 복구된다.

이는 일계수 다항식에 대한 이차 방정식의 근의 공식이다.

, 를 대입하면 임의의 이차 다항식에 대한 일반적인 표현식이 나온다. 분해식은 다음과 같이 인식될 수 있다.

각각 일계수 다항식의 꼭짓점과 판별식이다.

유사하지만 더 복잡한 방법이 삼차 방정식에도 적용된다. 삼차 방정식은 세 개의 분해식과 와 를 연결하는 이차 방정식("분해 다항식")을 가지며, 이는 이차 방정식을 통해 풀 수 있다. 마찬가지로 사차 방정식 (4차)의 경우 분해 다항식이 삼차 방정식이 되고, 이를 다시 풀 수 있다. 오차 방정식에 동일한 방법을 적용하면 24차 다항식이 나오는데, 이는 문제를 단순화하지 않으며, 사실 오차 방정식의 해는 일반적으로 근호만을 사용하여 표현할 수 없다.

 수치 계산 

이차 방정식의 근의 공식은 실수의 이상적인 산술을 사용하여 수행될 때 정확히 옳지만, 부동소수점 이진 산술과 같이 근사적인 산술을 사용할 경우(예: 고정된 자릿수로 손으로 계산하거나 컴퓨터에서 사용 가능한 부동소수점 이진 산술), 구현에 큰 주의를 기울이지 않으면 수 표현의 한계로 인해 상당히 부정확한 결과가 발생할 수 있다. 구체적인 어려움으로는 일 때 합 를 계산할 때 파국적 상쇄가 발생할 수 있다는 점, 일 때 판별식  자체를 계산할 때 파국적 계산이 발생할 수 있다는 점, , , 가 0 또는 무한대로 표현될 때 공식이 퇴화할 수 있다는 점, 그리고 근이 정확하게 표현될 수 있는 경우에도 매우 크거나 작은 수를 곱하거나 나눌 때 오버플로 또는 언더플로가 발생할 수 있다는 점이 있다.

파국적 상쇄는 대략적으로 같은 두 숫자를 뺄 때 발생한다. 각 숫자가 독립적으로 특정 자릿수의 정밀도로 표현될 수 있지만, 각 숫자의 동일한 선행 자릿수가 상쇄되어 상대 정밀도가 낮은 차이가 발생한다. 일 때, 를 평가하면 파국적 상쇄가 발생하며, 일 때 를 평가할 때도 마찬가지이다. 표준 이차 방정식의 근의 공식을 사용할 때, 두 근 중 하나를 계산하는 것은 항상 덧셈을 포함하여 중간 계산의 작동 정밀도를 유지하는 반면, 다른 근을 계산하는 것은 뺄셈을 포함하여 이를 손상시킨다. 따라서 표준 이차 방정식의 근의 공식을 순진하게 따르면 예상보다 낮은 상대 정밀도로 하나의 결과가 나오는 경우가 많다. 불행히도, 초급 대수학 교과서에서는 이 문제를 다루지 않는 경우가 많은데, 이는 학생들이 초급 화학과 같은 다른 학교 과목에서 부정확한 결과를 얻게 하기 때문이다.

예를 들어, 주머니 계산기를 사용하여 방정식 을 풀려고 할 때, 이차 공식 의 결과는 대략 다음과 같이 계산될 수 있다.This example comes from:  

계산기가 각 단계에서 10자리의 정밀도를 사용했음에도 불구하고, 대략적으로 같은 두 숫자의 차이를 계산한 결과 에 대해 단 4개의 정확한 자릿수만 얻어졌다.

정확한 결과를 얻는 한 가지 방법은 항등식 를 사용하는 것이다. 이 예에서 는 로 계산될 수 있으며, 이는 10자리에 대해 완전히 정확하다. 또 다른 거의 동등한 접근 방식은 분모에 제곱근이 있는 이차 방정식의 근의 공식 버전을 사용하여 근 중 하나를 계산하는 것이다(위의  참조).

이차 방정식을 푸는 실제 컴퓨터 구현에서는 일반적으로 의 부호에 따라 각 근에 사용할 공식을 선택한다.

이러한 방법들은  또는 를 계산할 때 부동소수점 지수의 가능한 오버플로 또는 언더플로를 방지하지 못하며, 이는 수치적으로 표현 가능한 근이 정확하게 계산되지 못하게 할 수 있다. 더 견고하지만 계산 비용이 많이 드는 전략은 대입 로 시작하여 이차 방정식을 다음으로 변환하는 것이다.

여기서 은 부호함수이다. 라고 하면, 이 방정식은  형태를 가지며, 한 해는 이고 다른 해는 이다. 원래 방정식의 근은 와 이다.

추가적인 복잡성을 통해 제곱근의 비용과 추가적인 반올림은 지수 오버플로를 여전히 피하면서 제곱근을 2의 거듭제곱으로 근사함으로써 피할 수 있다.

 역사적 발전 
이차 방정식을 풀기 위한 가장 초기 방법은 기하학적인 것이었다. 바빌로니아 설형문자판에는 이차 방정식으로 환원될 수 있는 문제들이 포함되어 있다. 이집트 중왕국 (기원전 2050년 ~ 기원전 1650년)으로 거슬러 올라가는 이집트 베를린 파피루스에는 두 항 이차 방정식의 해가 포함되어 있다.

그리스 수학자 에우클레이데스 (기원전 300년경)는 그의 영향력 있는 수학 논문인 에우클레이데스의 원론 제2권에서 기하학적 방법을 사용하여 이차 방정식을 풀었다. 기원전 200년경 중국의 구장산술에 이차 방정식에 대한 규칙이 나타난다. 그리스 수학자 디오판토스 (기원후 250년경)는 그의 저서 아리스메티카에서 에우클레이데스의 기하적 대수학보다 더 대수학적으로 인식할 수 있는 방법으로 이차 방정식을 풀었다. 그의 해는 두 근이 모두 양수일 때도 하나의 근만을 제시한다.

인도의 수학자 브라마굽타는 그의 논문 브라마스푸타싯단타 (기원후 628년경)에 이차 방정식의 한 근을 찾는 일반적인 방법을 포함시켰는데, 당시의 방식으로 글로 쓰여져 있었다.Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012). 이차 방정식 에 대한 그의 해는 다음과 같았다: "제곱 [계수]의 네 배로 곱한 절대수에 중간항 [계수]의 제곱을 더한다; 같은 것의 제곱근에서 중간항 [계수]을 뺀 다음 제곱 [계수]의 두 배로 나눈 것이 그 값이다."
현대 표기법으로 이는 로 쓸 수 있다. 인도의 수학자 슈리다라 (8~9세기)는 바스카라 2세가 인용한 현재는 없어진 대수학 저서에서 이차 방정식을 푸는 유사한 알고리즘을 제시했다. 현대의 이차 방정식의 근의 공식은 인도에서는 스리다라차리야의 공식(Sridharacharya's formula), 브라질에서는 바스카라의 공식(Bhaskara's formula)이라고 불리기도 한다.    

9세기 페르시아 수학자 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미는 이차 방정식을 대수적으로 풀었다. 모든 경우를 다루는 이차 방정식의 근의 공식은 시몬 스테빈이 1594년에 처음 얻었다. 1637년에 르네 데카르트는 오늘날 우리가 아는 형태의 이차 방정식의 근의 공식의 특수 사례를 담은 라 지오메트리를 출판했다.

 기하학적 의미 
좌표 기하학적으로, 축에 정렬된 포물선은 이차 다항식 의 그래프인 곡선이며, 여기서 , , 는 인 실수 값 상수 계수이다.

기하학적으로 이차 방정식의 근의 공식은 포물선이 -축과 교차하는 그래프 상의 점 을 정의한다. 또한, 두 항으로 분리될 수 있다.

첫 번째 항은 대칭축인 선 를 설명한다. 두 번째 항인 는 근이 대칭축에서 떨어진 거리를 제공한다.

포물선의 꼭짓점이 -축 위에 있으면, 해당하는 방정식은 대칭선에 하나의 중근을 가지며, 이 거리 항은 0이 된다. 대수적으로는 판별식 이다.

판별식이 양수이면 꼭짓점은 -축 위에 없지만 포물선은 -축 방향으로 열려 두 번 교차하므로 해당하는 방정식은 두 개의 실근을 가진다. 판별식이 음수이면 포물선은 반대 방향으로 열려 -축과 전혀 교차하지 않으며, 방정식은 실근을 가지지 않는다. 이 경우 두 개의 복소수 근은 서로의 켤레 복소수이며, 그 실수는 대칭축의  값이다.

 차원 분석 
상수 , , 또는 가 무차원이 아니면, 와 의 양은 같은 단위를 가져야 한다. 왜냐하면 항 와 의 단위가 일치하기 때문이다. 같은 논리로, 계수 는 의 단위와 관계없이 와 같은 단위를 가져야 한다. 이는 물리량의 이차 표현이 올바르게 설정되었는지 확인하는 강력한 도구가 될 수 있다.

 같이 보기 
 대수학의 기본 정리
 비에트 정리

 내용주 

 각주 



분류:방정식
분류:초등대수학