마슈케의 정리

수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 딴 마슈케의 정리(Maschke's theorem)는 유한군의 표현을 기약표현으로 분해하는 것에 관한 군 표현 이론의 정리이다. 마슈케의 정리는 유한군 G의 표현을 실제로 계산하지 않고도 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다. 이 정리가 적용될 때, 모든 표현은 기약 부분(구성 요소)의 직합이므로, 모든 표현을 분류하는 작업을 기약표현을 분류하는 더 관리하기 쉬운 작업으로 줄인다. 더욱이, 조르당-횔더 정리에 따르면, 기약 부분 표현의 직합으로의 분해는 유일하지 않을 수 있지만, 기약 부분들은 잘 정의된 중복도를 가진다. 특히, 표수 0인 체 위의 유한군 표현은 지표에 의해 동형 사상까지 결정된다.

 공식화 

마슈케의 정리는 일반적인 (유한 차원) 표현이 직합 연산을 사용하여 기약 부분 표현으로부터 구성되는 시점이 언제인가 하는 질문에 답한다. 이 질문(및 그 답)은 군 표현 이론에 대한 다른 관점에 따라 다르게 공식화된다.

 군론적 

마슈케의 정리는 일반적으로 다음 결과의 따름정리로 공식화된다:

그러면 따름정리는 다음과 같다:

군 의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 -불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래  위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 의 직교 여공간으로 를 구성함으로써 증명되었다.

 모듈론적 
유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 의 표현은 군환  위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, 와  (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:

이 결과의 중요성은 잘 발달된 반단순환 이론, 특히 웨더번-아르틴 정리에 의해 주어진 분류에서 비롯된다. 가 복소수 체인 경우, 이는 대수 가 각 기약 표현에 대해 여러 개의 복소수 행렬 대수 사본의 곱임을 보여준다.합산되는 항의 수는 계산할 수 있으며, 군의 켤레류의 수와 같다는 것이 밝혀졌다. 만약 체 가 표수 0이지만 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 예를 들어 가 실수 또는 유리수 체인 경우, 다소 더 복잡한 명제가 성립한다: 군환 는  위의 나눗셈환 위에서 정의된 행렬 대수의 곱이다. 합산되는 항들은  위에서 정의된 의 기약 표현에 해당한다.표현은 다른 체 위에서 다르게 분해될 수 있으므로 주의해야 한다: 표현은 실수 위에서는 기약일 수 있지만 복소수 위에서는 아닐 수 있다.

 범주론적 

반단순 범주의 언어로 재구성된 마슈케의 정리는 다음과 같이 서술된다.

 증명 
 군론적 
W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. 를 사영 함수, 즉 모든 에 대해 라 하자.

로 정의하자. 여기서 는 W와 V에 대한 G의 표현인 의 약어이다. 그러면 는 표현  아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 에 대해,

따라서 이면 가 된다. 따라서 에 대한 의 제한도 표현이다.

의 정의에 의해, 모든 에 대해 이므로 이고, 모든 에 대해 이다. 따라서 이고 이다. 그러므로 이다.

 모듈론적 
V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자.

그러면 φ는 다시 사영이다: 분명히 K-선형이고, K[G]를 V로 매핑하며, V에 대한 항등을 유도한다 (따라서 K[G]를 V 위로 매핑한다). 게다가 다음이 성립한다.

따라서 φ는 사실 K[G]-선형이다. 분할 완전열에 의해 이다. 이것은 모든 부분 모듈이 직합 인자임을 증명하며, 즉 K[G]가 반단순임을 증명한다.

 역 명제 
위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.

증명. 에 대해 로 정의한다. 이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 임을 증명할 것이다. V가 주어지고, 가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, 라 하자. 그러면 이므로 이고

이므로 는 I와 V 모두의 비영 원소이다. 이것은 모든 V에 대해 V가 I의 직접 보완이 아님을 증명하므로, K[G]는 반단순이 아니다.

 비예시 
이 정리는 G가 무한군이거나 체 K의 표수가 #G를 나누는 경우에는 적용될 수 없다. 예를 들어,

 무한군 와 로 정의된 표현 를 고려해보자. 로 생성된 의 1차원 부분 공간을 라 하자. 그러면 W에 대한 의 제한은 의 자명 부분 표현이다. 그러나 W, U 모두 의 부분 표현이고 를 만족하는 U는 없다. 이러한 U는 1차원이어야 하지만, 에 의해 보존되는 모든 1차원 부분 공간은 의 고유벡터에 의해 생성되어야 하며, 유일한 고유벡터는 이다.
 소수 p, 군 , 체 , 그리고 로 정의된 표현 를 고려해보자. 간단한 계산을 통해 에 대한 고유벡터는 여기에서 단 하나뿐이므로, 동일한 논리에 따라 의 1차원 부분 표현은 유일하며, 는 두 개의 1차원 부분 표현의 직합으로 분해될 수 없다.

 내용주 

 각주 

분류:군론 정리
분류:표현론 정리