떨리는 손 완전 균형

게임 이론에서 떨리는 손 완전 균형(Trembling hand perfect equilibrium)은 라인하르트 젤텐이 처음 제안한 내시 균형의 한 유형이다. 떨리는 손 완전 균형은 플레이어가 "손이 미끄러지는" 또는 "떨리는" 현상을 통해 의도하지 않은 전략을 선택할 수 있다는 가능성을 고려하여, 비록 확률이 미미하더라도 균형 밖의 플레이 가능성을 고려하는 균형이다.

 정의 

먼저 교란된 게임을 정의한다. 교란된 게임은 기본 게임의 복사본으로, 완전히 혼합된 전략만 플레이할 수 있다는 제한이 있다.
완전히 혼합된 전략은 모든 순수 전략이 양의 확률로 플레이되는  플레이어 전략 게임에서의 혼합 전략이다.
이것이 플레이어의 "떨리는 손"이다. 그들은 때때로 의도했던 것과 다른 전략을 플레이한다. 그런 다음 혼합 전략 프로필 이 떨리는 손 완전 균형이라고 정의한다. 만약 교란된 게임 전략 프로필의 수열 이 로 수렴하고, 모든 와 모든 플레이어 에 대해 전략 가 에 대한 최적 반응이라면 말이다.

참고: 모든 완전 혼합 내시 균형은 완전 균형이다.

참고 2: 모든 유한 정규형 게임의 혼합 전략 확장은 적어도 하나의 완전 균형을 갖는다.Selten, R.: Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games. Int. J. Game Theory4, 1975, 25–55.

 예시 

다음 정규형 행렬에 나타난 게임은 두 가지 순수 전략 내시 균형을 가진다. 즉, 와 이다. 그러나 만이 떨리는 손 완전 균형이다.

플레이어 1(행 플레이어)이 인 혼합 전략 을 플레이한다고 가정하자.

플레이어 2가 L을 플레이할 때의 기대 이득은 다음과 같다:

플레이어 2가 R 전략을 플레이할 때의 기대 이득은 다음과 같다:

작은  값에 대해 플레이어 2는 R에 최소 가중치를, L에 최대 가중치를 부여하여 기대 이득을 최대화한다. 대칭적으로, 플레이어 1은 플레이어 2가 혼합 전략 을 플레이할 경우 D에 최소 가중치를, U에 최대 가중치를 부여해야 한다. 따라서 은 떨리는 손 완전 균형이다.

그러나 전략 프로필 에 대해서는 유사한 분석이 실패한다.

플레이어 2가 혼합 전략 을 플레이한다고 가정하자. 플레이어 1이 U를 플레이할 때의 기대 이득은 다음과 같다:

플레이어 1이 D를 플레이할 때의 기대 이득은 다음과 같다:

의 모든 양수 값에 대해 플레이어 1은 D에 최소 가중치를, U에 최대 가중치를 부여하여 기대 이득을 최대화한다. 따라서 플레이어 1의 행동에 작은 오류 가능성이 있을 때 플레이어 2(그리고 대칭적으로 플레이어 1)는 L로 가장 자주 이탈하여 기대 이득을 최대화하므로 은 떨리는 손 완전 균형이 아니다.

 2인 게임의 균형 

2×2 게임의 경우, 떨리는 손 완전 균형 집합은 두 가지 비지배 전략으로 구성된 균형 집합과 일치한다. 위 예시에서 <Down,Right> 균형이 불완전하다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 플레이어 2에게 Left가 Right를 (약하게) 지배하고, 플레이어 1에게 Up이 Down을 (약하게) 지배하기 때문이다.

 확장형 게임의 균형 
떨리는 손 완전성의 정의를 확장형 게임으로 확장하는 두 가지 방법이 있다.

 확장형을 정규형 게임의 간결한 설명으로 해석하고 위에 설명된 개념을 이 정규형 게임에 적용할 수 있다. 결과적으로 교란된 게임에서는 확장형 게임의 모든 전략이 0이 아닌 확률로 플레이되어야 한다. 이는 정규형 떨리는 손 완전 균형이라는 개념으로 이어진다.
 또는 떨림이 게임이 플레이될 때 플레이어가 무시할 수 있는 확률로 저지르는 실수를 모델링하는 것으로 해석될 수 있음을 상기할 수 있다. 이러한 실수는 플레이어가 플레이 중 특정 시점에 의도했던 것과 다른 움직임을 하는 것으로 구성될 가능성이 가장 높다. 플레이어가 의도했던 것과 다른 전략, 즉 전체 게임을 플레이하기 위한 잘못된 계획을 선택하는 것으로는 거의 구성되지 않을 것이다. 이를 포착하기 위해 모든 정보집합에서 모든 움직임이 0이 아닌 확률로 취해져야 한다고 요구함으로써 교란된 게임을 정의할 수 있다. 떨림 확률이 0으로 갈 때 이러한 교란된 게임의 균형 극한을 확장형 떨리는 손 완전 균형이라고 한다.

정규형 떨리는 손 완전 균형과 확장형 떨리는 손 완전 균형의 개념은 비교 불가능하다. 즉, 확장형 게임의 균형은 정규형 떨리는 손 완전 균형일 수 있지만 확장형 떨리는 손 완전 균형이 아닐 수 있으며 그 반대도 마찬가지이다.
이에 대한 극단적인 예로, 장프랑수아 메르텐스는 어떤 확장형 떨리는 손 완전 균형도 허용되지 않는 2인 확장형 게임의 예시를 들었는데, 이 게임의 확장형 떨리는 손 완전 균형과 정규형 떨리는 손 완전 균형의 집합은 서로 겹치지 않는다.

확장형 떨리는 손 완전 균형은 연속 균형이기도 하다. 확장형 게임의 정규형 떨리는 손 완전 균형은 연속 균형일 수 있지만 반드시 그런 것은 아니다. 사실, 정규형 떨리는 손 완전 균형은 부분게임 완전 균형일 필요조차 없다.

 완전성 문제 
마이어슨(1978)Myerson, Roger B. "Refinements of the Nash equilibrium concept." International journal of game theory 7.2 (1978): 73-80.은 완전성이 엄격하게 지배되는 전략의 추가에 민감하다고 지적하며, 대신 고유 균형으로 알려진 또 다른 개선된 개념을 제안했다.

 각주 

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분류:게임 이론
분류:비협력 게임