등방성 이차 형식

수학에서 체 F에 대한 이차 형식은 형식이 0으로 평가되는 0이 아닌 벡터가 있는 경우 등방성(isotropic)이라고 한다. 그렇지 않으면 정부호 이차 형식이다. 더 명시적으로, q가 F 위의 벡터 공간 V에 대한 이차 형식인 경우, V의 0이 아닌 벡터 v는 이면 등방성이라고 한다. 이차 형식은 0이 아닌 등방성 벡터(또는 영벡터)가 존재할 때만 등방성이다.

가 이차 공간이고 W가 V의 부분 공간이라고 가정하자. 그러면 W는 그 안에 등방성 벡터가 있으면 V의 등방성 부분 공간, 그 안에 있는 모든 벡터가 등방성이면 완전 등방성 부분 공간, 그리고 (0이 아닌) 등방성 벡터를 포함하지 않으면 정부호 부분 공간이라고 한다. 이차 공간의 는 완전 등방성 부분 공간의 최대 차원이다.

실수 위에서, 더 일반적으로 F가 실폐체인 경우 (따라서 부호가 정의됨), 이차 형식이 비퇴화이고 부호 를 가지면 그 등방성 지수는 a와 b의 최소값이다. 실수 위에서 등방성 형식의 중요한 예는 유사 유클리드 공간에서 발생한다.

 쌍곡 평면 

2가 아닌 표수의 체 F와 라고 하자. V의 일반 원소 를 고려하면, 이차 형식 와 는 q를 r처럼 보이게 하고 그 반대로도 만드는 V에 대한 선형 변환이 존재하기 때문에 동등하다. 명백히, 와 은 등방성이다. 이 예시는 이차 형식 이론에서 쌍곡 평면이라고 불린다. 일반적인 예시로는 F = 실수인 경우가 있는데, 이 경우 와 는 쌍곡선이다. 특히, 은 단위 쌍곡선이다. Milnor와 Husemoller는 r의 이변수 다항식 항의 부호가 나타나기 때문에 쌍곡 평면에 대해  표기법을 사용했다.

아핀 쌍곡 평면은 에밀 아르틴이 을 기저로 가지고 을 만족하는 이차 공간으로 설명했는데, 여기서 곱은 이차 형식을 나타낸다.Emil Artin (1957) Geometric Algebra, page 119 via 인터넷 아카이브

편극 항등식을 통해 이차 형식은 대칭 쌍선형 형식 와 관련된다.

두 벡터 u와 v는 일 때 직교한다. 쌍곡 평면의 경우, 이러한 u와 v는 쌍곡선-직교한다.

 분리 이차 공간 
이차 형식을 가진 공간은 자체 직교 여공간과 같은 부분 공간이 존재하면 분리(또는 대사적)이다. 이는 등방성 지수가 차원의 절반과 같다는 것과 동등하다. 쌍곡 평면이 그 예시이며, 2가 아닌 표수의 체 위에서는 모든 분리 공간은 쌍곡 평면의 직합이다.

 이차 형식 분류와의 관계 

이차 형식 분류의 관점에서 볼 때, 정부호 이차 형식을 가진 공간은 임의 차원의 이차 공간을 위한 기본 구성 요소이다. 일반적인 체 F에 대해 정부호 이차 형식의 분류는 간단하지 않은 문제이다. 반대로 등방성 형식은 일반적으로 다루기가 훨씬 쉽다. 비트 분해 정리에 따르면, 체 위의 모든 내적 공간은 분리 공간과 정부호 이차 형식을 가진 공간의 직교 직합이다.

 체론 
 F가 대수적으로 닫힌 체, 예를 들어 복소수 체이고 가 차원이 2 이상인 이차 공간이면, 그것은 등방성이다.
 F가 유한체이고 가 차원이 3 이상인 이차 공간이면, 그것은 등방성이다 (이는 슈발레-바르닝 정리의 결과이다).
 F가 P진수 체 Qp이고 가 차원이 5 이상인 이차 공간이면, 그것은 등방성이다.

 같이 보기 
 등방성 직선
 극 공간
 비트 환
 비트 환 (형식)
 보편 이차 형식

 각주 

 피트 L. 클라크, Quadratic forms chapter I: Witts theory from 마이애미 대학교 (플로리다주) in 코럴게이블즈.
 람짓윈 (1973) Algebraic Theory of Quadratic Forms, §1.3 Hyperbolic plane and hyperbolic spaces, W. A. Benjamin.
 람짓윈 (2005) Introduction to Quadratic Forms over Fields, 미국 수학회  .



분류:이차 형식