곡률 형식

미분기하학에서 곡률 형식()은 주다발 위의 접속의 곡률을 나타낸다. 리만 기하학에서의 리만 곡률 텐서는 곡률 형식의 특수한 경우로 간주될 수 있다.

 정의 
G를 리 군이라 하고, 그 리 대수를 라 하자. P → B를 주 G-다발이라 하자. ω를 P 위의 에레스만 접속이라 하자 (이는 P 위의 -값 1차 형식이다).

그러면 곡률 형식은 P 위의 -값 2차 형식으로 다음과 같이 정의된다.

(다른 규약에서는 1/2가 나타나지 않는다.) 여기서 는 외미분을 나타내고, 는 "리 대수 값 형식" 문서에 정의되어 있으며, D는 외공변미분을 나타낸다. 다른 용어로 표현하면,since . Here we use also the  Kobayashi convention  for the exterior derivative of a one form which is then 

여기서 X, Y는 P의 접벡터이다.

Ω에 대한 또 다른 표현도 있다. X, Y가 P 위의 수평 벡터장이라면,Proof: 

여기서 hZ는 Z의 수평 성분을 의미하고, 오른쪽에서 수직 벡터장과 이를 생성하는 리 대수 원소(기본 벡터장)를 동일시했으며, 는 외미분 공식에서 규약적으로 사용되는 정규화 인수의 역수이다.

접속은 곡률이 사라지면 평탄하다고 한다. 즉, Ω = 0. 동등하게, 접속은 구조군이 동일한 기저군으로 축소될 수 있지만 이산 위상을 갖는 경우에 평탄하다.

 벡터 다발에서의 곡률 형식 
E → B가 벡터 다발인 경우, ω를 1차 형식들의 행렬로 생각할 수도 있으며, 위의 공식은 E의 구조 방정식인 카르탕의 방정식이 된다.

여기서 는 쐐기곱이다. 더 정확히 말하면, 와 가 ω와 Ω의 성분을 나타내면 (따라서 각 는 일반적인 1차 형식이고 각 는 일반적인 2차 형식이다),

예를 들어, 리만 다양체의 접다발의 경우, 구조군은 O(n)이고 Ω는 O(n)의 리 대수, 즉 반대칭 행렬에 값을 가지는 2차 형식이다. 이 경우 형식 Ω는 곡률 텐서의 대체 설명이다. 즉,

리만 곡률 텐서에 대한 표준 표기를 사용한다.

 비앙키 항등식 

가 틀다발 위의 정규 벡터 값 1차 형식일 때, 접속 형식 의 비틀림 는 구조 방정식으로 정의되는 벡터 값 2차 형식이다.

여기서 위에서와 같이 D는 외공변미분을 나타낸다.

첫 번째 비앙키 항등식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

두 번째 비앙키 항등식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

이는 더 일반적으로 주다발의 어떤 접속에 대해서도 유효하다.

비앙키 항등식은 텐서 표기로 다음과 같이 쓸 수 있다.

축약된 비앙키 항등식은 일반 상대성 이론의 핵심 구성 요소인 아인슈타인 방정식에서 아인슈타인 텐서를 유도하는 데 사용된다.

 같이 보기 
 주접속
 굽은 시공간의 수학에 대한 기본적인 소개
 축약된 비앙키 항등식
 아인슈타인 텐서
 아인슈타인 방정식
 일반 상대성 이론
 천-사이먼스 형식
 리만 다양체의 곡률
 게이지 이론

 각주 

 참고 문헌 
 Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, 와일리 인터사이언스.

분류:미분기하학