정수 격자

섬네일|무리수 값의 유리수 근사는 해당 값에 해당하는 기울기를 갖는 선에 가까이 놓인 점에 매핑될 수 있다

수학에서 -차원 정수 격자(), 또는 정육면체 격자()는 으로 표기되며, 정수의 -튜플인 격자점을 갖는 유클리드 공간 의 격자이다. 2차원 정수 격자는 정사각형 격자 또는 그리드 격자라고도 불린다. 은 근계 격자의 가장 간단한 예이다. 정수 격자는 홀수 유니모듈러 격자이다.

 자기동형군 
정수 격자의 자기동형군 (또는 군의 합동)은 좌표의 모든 순열과 부호 변경으로 구성되며, 2n n!의 위수를 갖는다. 행렬군으로서 이는 모든 n × n 부호 순열 행렬의 집합으로 주어진다. 이 군은 동형적으로 다음과 같은 반직접곱과 같다.

여기서 대칭군 (군론) Sn은 순열에 의해 (Z2)n에 작용한다 (이는 화환곱의 고전적인 예이다).

정사각형 격자의 경우, 이는 정사각형의 군, 또는 위수 8의 정이면체군이다. 3차원 정육면체 격자의 경우, 위수 48의 정육면체의 군, 또는 정팔면체군을 얻는다.

 디오판토스 기하학 
디오판토스 기하학 연구에서 정수 좌표를 갖는 점들의 정사각형 격자를 종종 디오판토스 평면()이라고 한다. 수학적 용어로 디오판토스 평면은 모든 정수의 환 의 곱집합 이다. 디오판토스 도형 연구는 디오판토스 평면에서 모든 쌍별 거리가 정수가 되도록 노드를 선택하는 데 초점을 맞춘다.

 거친 기하학 
거친 기하학에서 정수 격자는 유클리드 공간과 거칠게 동등하다.

 픽 정리 
섬네일|upright=0.6|, , 

1899년 게오르크 알렉산더 픽이 처음 설명한 픽 정리는 모든 꼭짓점이 2차원 정수 격자 위에 놓여 있는 단순 다각형의 넓이를 그 내부와 경계에 있는 정수점의 수로 나타내는 공식을 제공한다. CiteBank:47270

를 다각형 내부의 정수점 개수라고 하고, 를 그 경계(꼭짓점과 변을 따라 있는 점 모두 포함) 위의 정수점 개수라고 하자. 그러면 이 다각형의 넓이 는 다음과 같다.

표시된 예는 내부 점이 개, 경계 점이 개이므로, 넓이는  제곱 단위이다.

 같이 보기 
 정규 격자

 각주 

 추가 문헌 


분류:유클리드 기하학
분류:디오판토스 기하학
분류:격자점