구간별 함수

수학에서 구간별 함수(piecewise function) 또는 구간별 정의 함수, 혼합 함수, 경우별로 정의된 함수는 함수의 정의역이 여러 구간("부분 정의역")으로 분할되어 함수가 다르게 정의될 수 있는 함수를 말한다. 구간별 정의는 결과 함수 자체의 특성이라기보다는 함수를 지정하는 방법인데, 정의역이 적어도 두 개의 점을 포함하는 모든 함수는 구간별 함수로 다시 작성할 수 있기 때문이다. 이 문서의 처음 세 문단은 "구간별"의 이러한 첫 번째 의미만을 다룬다.

구간별 선형, 구간별 매끄러움, 구간별 연속 등과 같은 용어들도 매우 흔하다. 어떤 속성 에 대해 함수가 구간별 라는 의미는 대략적으로 함수의 정의역을 속성 가 성립하는 조각들로 분할할 수 있다는 것이지만, 저자마다 약간 다르게 사용된다. 첫 번째 의미와 달리, 이것은 함수 자체의 속성이지 그것을 지정하는 방법만이 아니다. 때로는 이 용어가 삼각 분할과 관련된 더 전역적인 의미로 사용되기도 한다. 구간별 선형 다양체를 참고하라.

 표기법 및 해석 

섬네일|280px|right|절댓값 함수 의 그래프
섬네일|280px|함수 는 구간별 단조함수 (부분 정의역 , )이며 구간별 미분 가능 함수 (부분 정의역 , , )이다.
구간별 함수는 일반적인 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 함수의 본문은 함수의 배열과 관련 부분 정의역으로 구성된다. 부분 함수 또는 부분 정의역 열 뒤에 세미콜론이나 쉼표가 올 수 있다. 오른쪽 열 시작 부분의  또는 는 거의 생략되지 않는다.

부분 정의역들은 함께 전체 정의역을 덮어야 한다. 때로는 이들이 쌍별로 서로소여서 정의역의 분할을 형성해야 한다는 요구사항도 있다.실현 가능한 더 약한 요구사항은 모든 정의가 교차하는 부분 정의역에서 일치해야 한다는 것이다. 이것만으로도 함수가 "경우별로 정의"될 수 있지만, 전체 함수가 "구간별"이 되려면 부분 정의역들은 일반적으로 비어 있지 않은 구간(일부는 특이 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간일 수 있음)이어야 하며, 어떤 유계 구간에서도 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 없는 경우가 많다. 이는 유계 정의역을 가진 함수는 유한한 수의 부분 정의역만 가지며, 무한 정의역을 가진 함수는 적절하게 퍼져 있는 한 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 있음을 의미한다.

예를 들어, 절댓값 함수의 구간별 정의를 고려해보자.

0보다 작은 모든  값에 대해서는 첫 번째 부분 함수 ()가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 반전시켜 음수를 양수로 만든다. 0보다 크거나 같은 모든  값에 대해서는 두 번째 부분 함수 가 사용되며, 이는 입력 값 자체로 자명하게 평가된다.

다음 표는 특정  값에 대한 절댓값 함수를 보여준다.
 x f(x)사용된 부분 함수−3  3  −0.10.10   0  1/2 1/25   5  

주어진 입력 값에 대해 구간별 정의 함수를 평가하려면, 올바른 부분 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 부분 정의역을 선택해야 한다.

 예시 

 계단 함수 또는 구간별 상수 함수, 상수 부분 함수들로 구성됨
 구간별 선형 함수, 일차 함수 부분 함수들로 구성됨
 파워 법칙, 파워 법칙 부분 함수들로 구성된 함수
 스플라인 곡선, 다항식 부분 함수들로 구성된 함수로, 종종 조각 사이의 연결점에서 매끄러워야 하는 제약이 있음
 B-스플라인 곡선
 PDIFF
  및 기타 일반적인 범프 함수들. 이들은 무한히 미분 가능하지만, 해석성은 구간별로만 유지된다.

 구간별 정의 함수의 연속성과 미분 가능성 

섬네일|280px|구간별 이차 함수 의 그래프. 유일한 불연속점은 이다.
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 연속이려면 다음 조건이 충족되어야 한다.
 부분 함수가 해당 구간(부분 정의역)에서 연속이어야 한다.
 해당 구간 내의 어떤 부분 정의역의 끝점에서도 불연속이 없어야 한다.

예를 들어, 그림에 있는 함수는 부분 정의역들 내에서는 구간별 연속이지만, 에서 점프 불연속을 포함하므로 전체 정의역에서는 연속이 아니다. 채워진 원은 이 위치에서 오른쪽 부분 함수의 값이 사용됨을 나타낸다.

구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 미분 가능하려면, 위의 연속성 조건 외에 다음 조건들도 충족되어야 한다.
 부분 함수가 해당 열린 구간에서 미분 가능해야 한다.
 모든 구간의 끝점에서 일측 도함수가 존재해야 한다.
 두 부분 구간이 만나는 지점에서, 두 이웃한 부분 구간의 해당 일측 도함수가 일치해야 한다.
 응용 

응용 수학적 분석에서 "구간별 정규" 함수는 많은 인간 시각 시스템 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌는데, 이 모델에서 이미지는 첫 번째 단계에서 가장자리로 분리된 매끄러운 영역(마치 카툰)으로 인식된다. Here: p.8
카툰과 같은 함수는 불연속 곡선이 존재하는 것을 제외하고는 매끄러운 C2 함수이다.
특히, 쉬어렛은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하는 표현 시스템으로 사용되었다.

구간별 정의 함수는 최근접 이웃 보간법과 같은 보간법에도 일반적으로 사용된다.

 같이 보기 

 구간별 선형 연속

 각주 

분류:함수와 사상