22/7가 π를 초과한다는 증명

유리수 가  (파이)보다 크다는 수학적 증명은 고대로부터 전해져 왔다. 이러한 증명 중 하나는 비교적 최근에 개발되었지만 미적분학의 기본적인 기술만을 필요로 하며, 그 수학적 우아성과 디오판토스 근사 이론과의 연관성 때문에 현대 수학에서 주목을 받았다. 스티븐 루카스는 이 증명을 "를 근사하는 것과 관련된 더 아름다운 결과 중 하나"라고 부른다.
줄리안 해빌은 의 연분수 근사에 대한 논의를 이 결과로 마무리하며, 이 맥락에서 "언급하지 않을 수 없는" 것으로 묘사한다.

이 증명의 주된 목적은 독자들에게  가 실제로 보다 크다는 것을 납득시키는 것이 아니다.  값을 계산하는 체계적인 방법은 존재한다. 만약 가 약 3.14159라는 것을 안다면,  <  (약 3.142857)이라는 것은 자명하게 따른다. 그러나 이 증명에서 사용된 방법으로  < 임을 보이는 것은 가 약 3.14159임을 보이는 것보다 훨씬 적은 노력을 필요로 한다.

배경
는 널리 사용되는 의 디오판토스 근사이다. 이는 의 간단한 연분수 전개에서 수렴하는 값이다. 이 값들의 소수 전개에서 쉽게 알 수 있듯이, 이 값은 보다 크다.

이 근사는 고대부터 알려져 있었다. 아르키메데스는 기원전 3세기에 이 과대평가라는 최초의 알려진 증명을 저술했지만, 그가 이 근사를 처음 사용한 사람은 아닐 수도 있다. 그의 증명은 이 96개의 변을 가진 정다각형의 둘레와 이를 외접하는 원의 지름의 비율보다 크다는 것을 보여줌으로써 진행된다.

 증명 
영국의 전기 기술자 도널드 퍼시 달젤(Donald Percy Dalzell, 1898–1988)이 1944년에 처음 고안한 증명은 매우 간결하게 표현될 수 있다.

따라서  > 이다.

이 적분의 계산은 1968년 퍼트넘 대회의 첫 문제였다.
이것은 대부분의 퍼트넘 대회 문제보다 쉽지만, 이 대회는 종종 매우 친숙한 것을 가리키는 것처럼 보이는 난해한 문제들을 특징으로 한다. 이 적분은 인도 공과대학교 입학 시험에서도 사용되었다.2010 IIT Joint Entrance Exam, question 41 on page 12 of the mathematics section.

적분 계산의 세부 사항
적분이 양수인 것은 피적분 함수가 비음수라는 사실에서 따른다. 분모는 양수이고 분자는 음이 아닌 수들의 곱이다. 또한 피적분 함수가 적분 범위 내의 적어도 한 지점, 예를 들어 에서 엄격하게 양수임을 쉽게 확인할 수 있다. 피적분 함수는 그 지점에서 연속이고 다른 곳에서는 음이 아니므로, 0에서 1까지의 적분은 엄격하게 양수여야 한다.

적분이 실제로 원하는 양과 같다는 것을 보이는 것이 남았다.



( 다항식 장제법을 참조하라.)

빠른 상한과 하한
에서는 분모에  대신 1을 대입하면 적분의 하한을 얻고, 분모에  대신 0을 대입하면 상한을 얻을 수 있다고 지적했다..

따라서 다음을 얻는다.

그러므로 소수 전개에서 3.1412 <  < 3.1421이다. 이 한계는 와 0.015% 미만으로 차이 난다. 또한 을 참조하라..

355/113가 를 초과한다는 증명
에서 논의된 바와 같이, 잘 알려진 디오판토스 근사이자 훨씬 더 나은 의 상한 추정치인 는 다음 관계에서 비롯된다.

여기서 소수점 이하 첫 여섯 자리 숫자는 의 것과 일치한다. 분모에  대신 1을 대입하면 하한을 얻는다.

분모에  대신 0을 대입하면 이 값의 두 배가 상한이 되므로,

소수 전개로 보면, 이것은 를 의미하며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 의 숫자이다.

확장
위의 아이디어는 에 대한 더 나은 근사를 얻기 위해 일반화될 수 있다. 또한  및  (두 참고문헌 모두 계산은 제공되지 않음)를 참조하라. 명시적인 계산을 위해서는 모든 정수 에 대해 다음을 고려하라.

여기서 중간 적분은 다음으로 평가된다.

를 포함한다. 마지막 합은 라이프니츠의  공식에도 나타난다. 보정 항과 오차 한계는 다음과 같이 주어진다.

여기서 중심이항계수의 근사(물결표는 양변의 몫이 큰 에 대해 1로 수렴한다는 것을 의미함)는 스털링 근사에서 따르며, 적분들이 로 빠르게 수렴함을 보여준다.

이러한 적분들의 계산: 모든 정수  및 에 대해 다음이 성립한다.

이 공식을 번 재귀적으로 적용하면 다음을 얻는다.

또한,

첫 번째 등식은 에 대한 항들이 상쇄되기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 첫 번째 합에서 지수 이동 에서 비롯된다.

이 두 결과를 적용하면 다음을 얻는다.

정수 에 대해, 부분 적분을 번 사용하여 다음을 얻는다.

으로 설정하면 다음을 얻는다.

방정식 (1)을 0부터 1까지 방정식 (2)와 를 사용하여 적분하면 를 포함하는 주장된 방정식을 얻는다.

에 대한 결과는 위에 주어져 있다. 에 대해서는 다음을 얻는다.

그리고

따라서 이며, 하한과 상한의 굵은 숫자는 의 숫자이다. 비슷하게 에 대해서는,

보정 항과 오차 한계는 다음과 같다.

따라서 이다. 에 대한 다음 단계는 다음과 같다.

와 함께

이는 를 제공한다.

 같이 보기 
 의 근사
 원주율 계산 연표
 린데만-바이어슈트라스 정리 (가 초월수라는 증명)
 원주율 관련 목록
 의 무리성 증명

내용주

 각주 

 외부 링크 
 1968년 퍼트넘 대회의 문제들, 이 증명은 질문 A1로 등재되어 있다.

분류:원주율