유클리드 양자 중력

이론물리학에서 유클리드 양자 중력()은 양자 중력의 한 버전이다. 이는 위크 회전을 사용하여 양자역학의 원리에 따라 중력의 힘을 설명하려고 한다.

  일반인의 관점에서 본 서론 

 위크 회전 

물리학에서 지안카를로 위크의 이름을 딴 위크 회전은 차원 동역학 문제에 대한 해를 찾는 방법으로, 하나의 공간 차원을 시간 차원으로 대체하여 차원에서 그 설명을 변환하는 방식이다. 보다 정확하게는 허수 변수를 실수 변수로 대체하는 변환을 통해 민코프스키 공간의 수학적 문제를 유클리드 공간의 관련 문제로 대체하는 것이다.

이것이 회전이라고 불리는 이유는 복소수를 평면으로 나타낼 때 복소수에 를 곱하는 것이 그 수를 나타내는 벡터를 원점을 중심으로  라디안 각도로 회전하는 것과 같기 때문이다.

예를 들어, 위크 회전은 거시적인 사건인 온도 확산(욕조 안에서와 같이)을 분자의 근본적인 열 운동과 연결하는 데 사용될 수 있다. 다양한 온도 기울기를 가진 욕조 부피를 모델링하려고 시도한다면 이 부피를 무한소 부피로 세분화하고 그것들이 어떻게 상호 작용하는지 살펴봐야 할 것이다. 우리는 그러한 무한소 부피가 사실 물 분자라는 것을 알고 있다. 문제 단순화를 위해 욕조의 모든 분자를 단 하나의 분자로 나타낸다면, 이 유일한 분자는 실제 분자들이 따를 수 있는 모든 가능한 경로를 따라 움직여야 한다. 경로 적분 공식화는 이 유일한 분자의 움직임을 설명하는 개념적 도구이며, 위크 회전은 경로 적분 문제를 분석하는 데 매우 유용한 수학적 도구 중 하나이다.

 양자역학에서의 응용 
다소 유사한 방식으로, 양자역학으로 설명되는 양자 물체의 움직임은 동시에 다른 위치에 존재하고 다른 속도를 가질 수 있음을 의미한다. 이는 정확한 위치와 속도를 가진 단일 경로로 설명될 수 있는 고전적인 물체(예: 당구공)의 움직임과는 분명히 다르다. 양자 물체는 단일 경로로 A에서 B로 이동하는 것이 아니라 동시에 가능한 모든 방식으로 A에서 B로 이동한다. 양자역학의 파인만 경로 적분 공식화에 따르면, 양자 물체의 경로는 가능한 모든 경로의 가중 평균으로 수학적으로 설명된다. 1966년 디윗은 파인만의 새로운 규칙을 모든 차수로 확장하는 명시적으로 게이지 불변인 함수-적분 알고리즘을 발견했다. 이 새로운 접근 방식의 매력은 일반 상대성이론에서 특이점이 불가피할 때 특이점이 없다는 점이다.

일반 상대성이론의 또 다른 운영상의 문제는 사용되는 수학적 도구의 복잡성 때문에 계산이 어렵다는 점이다. 반면에 경로 적분은 19세기 말부터 역학에서 사용되어 왔으며 잘 알려져 있다. 또한, 경로 적분 형식주의는 고전 물리학과 양자 물리학 모두에서 사용되므로 일반 상대성이론과 양자 이론을 통합하기 위한 좋은 출발점이 될 수 있다. 예를 들어, 양자역학적 슈뢰딩거 방정식과 고전적 열 방정식은 위크 회전으로 연결된다. 따라서 위크 관계는 고전적 현상을 양자 현상과 관련시키는 좋은 도구이다. 유클리드 양자 중력의 목표는 위크 회전을 사용하여 거시적 현상인 중력과 더 미시적인 것 사이의 연결을 찾는 것이다.

 더 엄격한 처리 
유클리드 양자 중력은 양자장론으로 공식화된, 위크 회전된 버전의 양자 중력을 의미한다. 이 공식화에서 사용되는 다양체는 유사 리만 다양체 대신 4차원 리만 다양체이다. 또한 다양체는 콤팩트, 연결되어 있고 경계가 없다(즉, 특이점이 없다)고 가정한다. 일반적인 양자장론적 공식화를 따르면, 진공에서 진공으로의 진폭은 이제 고려되는 양자장인 계량 텐서에 대한 함수 적분으로 작성된다.

여기서 φ는 모든 물질장을 나타낸다. 아인슈타인-힐베르트 작용을 참조하라.

 ADM 형식과의 관계 
유클리드 양자 중력은 정준 양자 중력에 사용되는 ADM 형식과 관련되며 다양한 상황에서 휠러-디윗 방정식을 복구한다. 일부 물질장 가 있다면 경로 적분은 다음과 같다.

여기서 에 대한 적분은 3-계량, 경과 함수 , 이동 벡터 에 대한 적분을 포함한다. 그러나 우리는 가 경계에서 경과 함수와 이동 벡터에 독립적이어야 한다고 요구하므로 다음을 얻는다.

여기서 는 3차원 경계이다. 이 표현이 0이 된다는 것은 함수 미분도 0이 되어 휠러-디윗 방정식을 제공함을 의미한다. 미분동형사상 제약에 대해서도 유사한 진술을 할 수 있다(대신 이동 함수에 대해 함수 미분을 취한다).

 각주 






  Formally relates Euclidean quantum gravity to ADM formalism.




분류:양자중력