프레셰 다양체

프레셰 다양체(Fréchet manifold)는 프레셰 공간을 모델 공간(model space)로 하는 위상다양체의 일종으로, 유한 차원의 매끄러운 다양체가 유클리드 공간에 의해 모형화되는 것과 유사한 개념이다. 주로 비선형 해석학, 함수해석학 및 무한차원 미분기하 영역에서 사용된다.

프레셰 다양체는 하우스도르프 공간 에 대해, 를 덮는 열린 덮개 와 각각의 프레셰 공간 로의 좌표사상

의 집합으로 이루어지며, 좌표 천이사상(transition map)

이 모두 매끄럽게(smooth) 정의될 것을 요구한다.

 특징 
프레셰 다양체는 다음과 같은 일반적인 성질을 갖는다.
 모델 공간이 프레셰 공간이므로, 바나흐 다양체보다 더 넓은 무한차원 다양체를 포함한다.
 미분구조 정의가 바나흐 공간과 달리 단순하지 않으며, 보통 Hamilton–Nash–Moser 이론에서 등장하는 "Nash–Moser 역함수 정리"가 필요하다.
 많은 자연스러운 함수 공간(예: , 매끄러운 매핑의 공간 등)이 바나흐 구조 대신 프레셰 구조를 갖기 때문에, 무한차원 기하학에서 필수적인 개념이다.

 정의 
프레셰 다양체 는 다음 조건을 만족한다.
 는 하우스도르프 공간이며 제2 가산 조건을 충족한다.
 열린 덮개 와 프레셰 공간 로의 좌표사상

   이 존재한다.
 천이사상

   이 정의역에서 매끄럽다.

 위상 동형사상 수준에서의 분류 
1969년 David Henderson의 정리에 따르면,

모든 무한차원·가분·메트릭 프레셰 다양체 는
분리 가능한 무한차원 힐베르트 공간 의 열린 부분집합과 위상동형이다.

즉, 적절한 조건을 만족하는 무한차원 프레셰 다양체는 위상적으로는 모두 하나의 모델

의 열린 부분으로 생각할 수 있다. 그러나 미분구조(smooth structure) 수준에서는 이러한 단순한 분류가 성립하지 않는다. 이는 프레셰 공간의 미분 가능성 정의가 바나흐 공간의 경우와 달리 매우 복잡하기 때문이다.

 예 
프레셰 다양체로 자연스럽게 나타나는 예는 다음과 같다.
 매끄러운 곡선의 공간 
 매끄러운 매핑 공간 
 미분동형사상군 
 매끄러운 텐서장, 미분형식 등의 공간

 관련 개념 
 바나흐 다양체
 힐베르트 다양체
 프레셰 공간
 비선형 함수해석학
 프레셰 공간에서의 미분
 Nash–Moser 역함수 정리

 참고 문헌 



 각주 

분류:수학
분류:위상수학