르장드르 세 제곱수 정리

수론에서, 르장드르 세 제곱수 정리()는 양의 정수 이 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건은 이 의 꼴이 아닌 것이라는 정리이다.

이 정리의 모든 알려진 증명은 페르마 두 제곱수 정리나 라그랑주 네 제곱수 정리의 증명보다 어렵다. 이는 브라마굽타-피보나치 항등식이나 오일러의 네 제곱수 항등식과 유사한 항등식이 세 제곱수에서는 존재하지 않기 때문이다. 즉, 세 정수의 제곱의 합과 세 정수의 제곱의 합의 곱은 세 정수의 제곱의 합이 아닐 수 있다.

이 정리의 표준적인 증명은 다음과 같은 수론의 결과들을 사용한다.
 행렬식이 1인 모든 정수 계수 3항 양의 정부호 형식은 항상 세 변수의 제곱의 합과 정수 계수 동치이다. 이는 에르미트 축소를 사용하여 보일 수 있다.
 디리클레 등차수열 정리. 이에 따르면 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다. 다만 이 정리의 증명에서는 하나 이상의 소수가 포함되어 있다는 사실만을 사용한다.
 이차 상호 법칙

아드리앵마리 르장드르가 처음 증명하였다. 카를 프리드리히 가우스는 르장드르와 독립적으로 이 정리의 더 강한 형태를 증명하였다. 표준적인 증명은 페터 구스타프 르죈 디리클레가 제시하였다.

 정의 
르장드르 세 제곱수 정리에 따르면, 임의의 양의 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 세 정수 가 존재한다.
 임의의 음이 아닌 정수  및 정수 에 대하여, 
세 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 없는 (즉, 의 꼴인) 양의 정수의 열은 다음과 같다.
7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95, … .

양의 정수 이 세 정수의 제곱의 합이며 이라고 하자. 그렇다면

이므로

이다. 즉, 는 모두 짝수이다. 따라서 도 세 정수의 제곱의 합이다.

수학적 귀납법에 따라, 만약 이 세 정수의 제곱의 합이며 가 인 음이 아닌 정수라면, 도 세 정수의 제곱의 합이다. 따라서, 만약 이 세 정수의 제곱의 합이라면 임을 보이면 충분하다.

이라고 하자. 그렇다면

이므로

이다.

만약 이 세 정수의 제곱의 합이라면, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여 도 자명하게 세 정수의 제곱의 합이다. 따라서, 만약 이며 이라면 이 세 정수의 제곱의 합임을 보이면 충분하다.

행렬식이 1인 모든 정수 계수 3항 양의 정부호 형식은 정수 계수 3항 이차 형식 과 정수 계수 동치이다. (이는 행렬식이 1인 정수 계수 3항 양의 정부호 형식의 에르미트 축소가 다름 아닌 이기 때문이다.) 또한, 서로 정수 계수 동치인 두 정수 계수 이차 형식이 나타내는 정수들은 자명하게 일치한다. 따라서,

인 정수 계수 3항 양의 정부호 형식 와 세 정수 를 찾으면 충분하다.

가 다음과 같은 꼴

인 경우만을 생각하자. (는 정수.) 이 경우 자명하게 이다. 따라서,

인 계수 를 찾으면 충분하다. 인 경우 두 번째 부등식과 세 번째 부등식은 첫 번째 부등식을 함의한다. (실제로 이며 이다.) 따라서 첫 번째 부등식은 생략하여도 좋다. 따라서

인 정수 와 양의 정수 를 찾으면 충분하다. 즉,

의 정수해 가 존재하게 만드는 양의 정수 를 찾으면 된다.

이며 이므로, 이다. 만약 이라면, 이며, 디리클레 등차수열 정리에 따라 이 소수인 음이 아닌 정수 이 존재한다. 이라고 하자. 그렇다면 은 소수이며,

이다. 이차 상호 법칙에 따라,

이다. 즉, 의 정수해 가 존재한다.

만약 이라면, 이며, 디리클레 등차수열 정리에 따라 가 소수인 음이 아닌 정수 이 존재한다. 이라고 하자. 그렇다면 는 소수이며,

이다. 이차 상호 법칙에 따라,

이다. 즉, 의 정수해 가 존재한다. 또한, 는 홀수이므로 이다. 중국인의 나머지 정리에 따라 의 정수해 가 존재한다.

마찬가지로, 인 경우에도 의 정수해 가 존재하는 양의 정수 를 찾을 수 있다. 이는 충분조건의 증명을 마친다.

 따름정리 
라그랑주 네 제곱수 정리는 르장드르 세 제곱수 정리의 자명한 따름정리이다. 만약 이 의 꼴이 아니라면, 은 세 정수의 제곱의 합이며, 특히 네 정수의 제곱의 합이다. 만약 이라면, 은 세 정수의 제곱의 합이며, 따라서 은 네 정수의 제곱의 합이다.

 역사 
디오판토스와 클로드 가스파르 바셰 드 메지리아크(, 1581~1638)는 인 정수가 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건을 논의하였으나, 이들이 주장한 필요충분조건은 정확하지 않았다.

피에르 드 페르마가 양의 정수가 세 정수의 제곱의 합일 필요충분조건을 처음 정확하게 제시하였으며, 마랭 메르센에게 보낸 서신에서 의 꼴인 정수는 세 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 없음을 증명하였다.

레온하르트 오일러는 유레카 정리가 의 꼴인 정수는 항상 세 정수의 제곱의 합임을 함의한다는 사실을 발견하였다.

1796년에 카를 프리드리히 가우스는 유레카 정리를 증명하였다. 1798년에 아드리앵마리 르장드르가 세 제곱수 정리를 처음 증명하였다. 얼마 지나지 않은 1801년 가우스는 양의 정수를 최대 공약수가 1인 세 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 수를 세는 공식을 얻어내었으며, 이는 그의 저서 《산술 연구》()에 실렸다.

1850년에 페터 구스타프 르죈 디리클레가 더 단순한 증명을 발표하였으며, 이는 오늘날 널리 알려진 증명이다.

 참고 문헌 



 외부 링크 


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