외로운 주자 추측

수론과 조합론에서, 외로운 주자 추측(-走者推測, )은 n명의 주자가 서로 다른 속도로 원 위에서 달릴 때, 각 주자는 언젠가 모든 다른 주자와의 거리가 1/n 이상만큼 벌어진다는 추측이다. (주자들은 같은 곳에서 동시에 출발하며, 각 주자의 속도는 상수라고 가정한다.)

7명 이하인 경우는 증명되었으나 나머지는 미해결이다.

 정의 
외로운 주자 추측은 다음과 같은 추측이다. 임의의 양의 정수  및 양의 실수 에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 가 존재한다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 명의 주자가 단위원 위의 같은 곳에서 동시에 달리기 시작한다고 하자. 편의상 가장 느린 주자의 속도를 0으로 고정하고, 나머지 주자들의 속도가 이라고 하자. 그렇다면 번째 주자와 가장 느린 주자 사이의 거리는 와  중 작은 하나이다. 외로운 주자 추측은 가장 느린 주자와 다른 주자들 사이의 거리가 모두  이상이 되는 시점이 존재한다고 추측한다.

속도가 정수인 경우가 참이라면, 전체 추측이 참임이 알려져 있다. 따라서 이 추측은 원군  위에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

임의의 에 대하여, 가 를 나타내는 실수가 이와 가장 가까운 정수로부터 떨어진 거리라고 하자. 즉, 이는 와 원점 사이의 가장 가까운 거리이다. 이제, 임의의 유한 개의 양의 정수의 집합 에 대하여

라고 하자. 가 콤팩트 리 군이므로, 이 상한은 사실 최댓값이다. 이제, 임의의 양의 정수 에 대하여,

라고 하자. 이를 외로움 간극()이라고 한다.

그렇다면, 디리클레 근사 정리에 따라

이며, 따라서

이다.

외로운 주자 추측은 다음과 같다.

 참고 문헌 



 외부 링크 


분류:추측
분류:수론의 미해결 문제