스펙트럼 밀도

섬네일|right|시간에 따른 음성 파형(왼쪽)은 넓은 오디오 전력 스펙트럼(오른쪽)을 갖는다.
신호 처리에서 연속 시간 신호 의 전력 스펙트럼 은 해당 신호를 구성하는 진동수 성분 으로의 일률 분포를 설명한다. 푸리에 해석학은 모든 물리적 신호가 연속적인 범위에 걸쳐 진동수의 분포로 분해될 수 있으며, 이 때 일부 전력이 불연속적인 진동수에 집중될 수 있음을 보여준다. 노이즈를 포함한 모든 유형의 신호의 에너지 또는 일률의 통계적 평균을 그 진동수 내용의 관점에서 분석한 것을 스펙트럼 밀도()라고 한다.

신호의 에너지가 유한한 시간 간격 주위에 집중되어 있을 때, 특히 총 에너지가 유한할 경우, 에너지 스펙트럼 밀도()를 계산할 수 있다. 더 일반적으로 사용되는 것은 전력 스펙트럼 밀도(, PSD, 또는 단순히 전력 스펙트럼())로, 모든 시간 동안 또는 측정 기간에 비해 충분히 긴 시간(특히 측정 지속 시간과 관련하여) 동안 존재하는 신호에 적용되며, 무한한 시간 간격에 걸쳐 존재할 수도 있다. PSD는 그러한 신호의 총 에너지가 일반적으로 무한하기 때문에 발견될 스펙트럼 일률 분포를 나타낸다. 스펙트럼 성분을 합하거나 적분하면 총 일률(물리적 과정의 경우) 또는 분산(통계적 과정의 경우)이 산출되며, 이는 파르세발의 정리에 따라 시간 영역에서 를 적분하여 얻는 것과 동일하다.

물리적 과정 의 스펙트럼은 종종 의 본질에 대한 필수적인 정보를 포함한다. 예를 들어, 악기의 음높이와 음색은 스펙트럼 분석을 통해 결정될 수 있다. 광원의 색은 전자기파의 전기장 이 극히 높은 진동수로 진동할 때의 스펙트럼에 의해 결정된다. 이러한 시계열 데이터로부터 스펙트럼을 얻는 것은 푸리에 변환과 푸리에 해석에 기반한 일반화를 포함한다. 많은 경우, 실제로는 시간 영역이 직접적으로 포착되지 않는다. 예를 들어 분광기에서 분산 프리즘을 사용하여 빛의 스펙트럼을 얻거나, 소리가 내이의 청각 수용기에 미치는 영향을 통해 인지될 때, 각 수용기는 특정 진동수에 민감하게 반응한다.

그러나 이 문서는 시계열이 알려져 있거나(적어도 통계적인 의미에서) 직접 측정되는(예: 컴퓨터로 샘플링된 마이크에 의해) 상황에 초점을 맞춘다. 전력 스펙트럼은 통계적 신호 처리 및 확률 과정의 통계적 연구뿐만 아니라 물리학 및 공학의 다른 많은 분야에서 중요하다. 일반적으로 과정은 시간의 함수이지만, 공간 주파수의 관점에서 분해되는 공간 영역의 데이터에 대해서도 유사하게 논의할 수 있다.

 단위 

물리학에서 신호는 전자기파, 음파 또는 메커니즘의 진동과 같은 파동일 수 있다. 신호의 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 진동수의 함수로서 신호의 일률 밀도를 설명한다. 전력 스펙트럼 밀도는 일반적으로 SI 단위인 와트당 헤르츠 (W/Hz)로 표현된다.

예를 들어, 시간에 따라 변하는 전압만으로 신호가 정의되는 경우, 주어진 전압과 관련된 특정 일률은 없다. 이 경우 "일률"은 신호의 제곱으로 계산되는데, 이는 항상 해당 신호가 특정 온저항으로 전달하는 실제 일률에 비례하기 때문이다. 따라서 PSD에 대해 V2⋅Hz−1 단위를 사용할 수 있다. 에너지 스펙트럼 밀도(ESD)는 V2⋅s⋅Hz−1 단위를 가질 것인데, 에너지는 일률에 시간을 곱한 값이기 때문이다(예: 와트시).

일반적인 경우, PSD의 단위는 단위 주파수당 분산 단위의 비율이 된다. 따라서 예를 들어, 시간(초)에 따른 변위 값(미터)의 계열은 m2/Hz 단위의 PSD를 가질 것이다.
무작위 진동 분석에서는 가속도의 PSD에 대해 g02⋅Hz−1 단위를 사용할 수 있으며, 여기서 g0는 표준 중력을 나타낸다.

수학적으로는 신호나 독립 변수에 물리적 차원을 할당할 필요가 없다. 다음 논의에서는 x(t)의 의미는 지정되지 않지만, 독립 변수는 시간으로 가정된다.

 단측 vs. 양측 
PSD는 양의 주파수만을 사용하는 단측 함수이거나 양의 주파수와 음의 주파수를 모두 사용하는 양측 함수일 수 있지만, 양측 함수의 경우 진폭은 절반이 된다. 노이즈 PSD는 일반적으로 공학에서는 단측으로, 물리학에서는 양측으로 표현된다.

 정의 
 에너지 스펙트럼 밀도  

신호 처리에서 신호 의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

총 에너지가 유한하다고 가정하면(즉, 는 제곱 적분 가능 함수) 파르세발의 정리(또는 플랑슈렐의 정리)를 적용할 수 있다. 즉,

여기서

는 진동수 (헤르츠)에서의 의 푸리에 변환이다. 이 정리는 이산 시간의 경우에도 유효하다. 왼쪽 항의 적분은 신호의 에너지이므로,  값은 무한히 작은 진동수 간격으로 곱해진 밀도 함수로 해석될 수 있으며, 진동수 간격 에서 진동수 에 포함된 신호의 에너지를 설명한다.

따라서 의 에너지 스펙트럼 밀도()는 다음과 같이 정의된다.

함수 와 의 자기상관은 푸리에 변환 쌍을 형성하며, 이 결과는 위너-힌친 정리로도 알려져 있다(또한 주기함수 참고).

신호의 에너지 스펙트럼 밀도를 어떻게 측정하는지에 대한 물리적인 예시로, 가 온저항 의 전송선로를 따라 전파되는 전기 펄스의 전위(볼트)를 나타낸다고 가정하고, 이 선로가 임피던스 매칭된 저항기로 종단되어 있다고 가정하자(그래서 모든 펄스 에너지가 저항기로 전달되고 반사되지 않는다). 옴의 법칙에 따라, 시간 에 저항기로 전달되는 일률은 와 같으므로, 총 에너지는 펄스 지속 시간 동안 를 시간에 대해 적분하여 찾을 수 있다. 진동수 에서의 에너지 스펙트럼 밀도  값을 찾기 위해, 전송선로와 저항기 사이에 관심 진동수 근처의 좁은 진동수 범위(라고 하자)만 통과시키는 대역통과 필터를 삽입하고, 저항기에서 소모되는 총 에너지 를 측정할 수 있다. 그러면 에서의 에너지 스펙트럼 밀도 값은 로 추정된다. 이 예시에서, 일률 가 V2⋅Ω−1 단위를 가지므로, 에너지 는 V2⋅s⋅Ω−1 = J 단위를 가지며, 따라서 에너지 스펙트럼 밀도의 추정치 는 J⋅Hz−1 단위를 가진다. 많은 상황에서, 로 나누는 단계를 생략하여 에너지 스펙트럼 밀도가 대신 V2⋅Hz−1 단위를 갖도록 하는 것이 일반적이다.

이 정의는 이산 시간 에서 샘플링된 신호와 같이 가산 무한한 수의 값 을 가진 이산 신호로 간단하게 일반화된다.

여기서 는 의 이산시간 푸리에 변환이다.  샘플링 간격 는 올바른 물리 단위를 유지하고  극한에서 연속적인 경우를 복구하기 위해 필요하다. 그러나 수학 과학에서는 간격을 종종 1로 설정하는데, 이는 일반성을 희생하고 결과를 단순화한다. (또한 정규화된 진동수 (단위)를 참조하라.)

 전력 스펙트럼 밀도 
섬네일|right|300px|각도 스케일로 측정한 우주 마이크로파 배경 복사 온도 이방성의 전력 스펙트럼. 실선은 비교를 위한 이론 모델이다.
위의 에너지 스펙트럼 밀도 정의는 에너지가 하나의 시간 창 주위에 집중되는 과도 신호(펄스형 신호)에 적합하다. 그러면 일반적으로 신호의 푸리에 변환이 존재한다. 모든 시간 동안 연속적인 신호의 경우, 정상 과정에 존재하는 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 정의해야 한다. 이는 이전에 주어진 간단한 예시에서처럼 신호 또는 시계열의 일률이 진동수에 따라 어떻게 분포되는지를 설명한다. 여기서 일률은 실제 물리적 일률일 수도 있고, 추상적인 신호의 편의를 위해 단순히 신호의 제곱 값과 동일시되는 경우가 더 많다. 예를 들어, 통계학자들은 시간  함수(또는 다른 독립 변수)의 분산을 연구하며, 전기 신호(다른 물리적 과정과 더불어)와의 유추를 사용하여 물리적 일률이 관련되지 않더라도 이를 전력 스펙트럼이라고 부르는 것이 일반적이다. 만약 를 따르는 물리적 전압원을 생성하여 1 옴저항기의 단자에 인가한다면, 실제로 그 저항기에서 소모되는 순간 일률은  와트로 주어질 것이다.

따라서 모든 시간 동안의 신호 의 평균 일률 는 다음과 같은 시간 평균으로 주어진다. 여기서 주기 는 임의의 시간 에 중심을 둔다.

적분의 경계 내 시간 제한보다 신호 자체 내 시간 제한을 다루는 것이 더 편리할 때, 평균 전력은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

여기서 이고 는 임의 기간 내에서 1이고 그 외에서는 0이다.

가 0이 아닌 경우, 적분은 적어도 만큼 빠르게 무한대로 증가해야 한다. 이것이 신호의 에너지를 사용할 수 없는 이유이다. 그 적분은 발산하기 때문이다.

신호 의 주파수 성분을 분석할 때, 일반적인 푸리에 변환 를 계산하고 싶을 수도 있다. 그러나 많은 관심 신호의 경우 일반적인 푸리에 변환이 형식적으로 존재하지 않는다.일부 저자들(예: )은 전력 스펙트럼 밀도를 정의하기 위해 정규화되지 않은 푸리에 변환을 형식적으로 사용한다.

여기서 는 디랙 델타 함수이다. 이러한 형식적인 진술은 때때로 직관을 안내하는 데 유용할 수 있지만, 항상 최대한 주의해서 사용해야 한다. 하지만 적절한 조건 하에서 푸리에 변환의 특정 일반화(예: 푸리에-스틸체스 변환)는 여전히 파르세발의 정리를 따른다. 따라서,

여기서 적분 내의 함수는 전력 스펙트럼 밀도()를 정의한다.

그럼 합성곱 정리에 따르면 는 와 의 시간 합성곱의 푸리에 변환으로 간주될 수 있으며, 여기서 *는 복소 켤레를 나타낸다.

Eq.2를 도출하기 위해, 우리는 유용한 에 대한 표현을 찾을 것이다. 사실, 우리는 임을 증명할 것이다. 다음을 먼저 주목하자.

그리고 로 두면, 일 때 가 되고 그 반대도 마찬가지이다. 따라서

여기서 마지막 줄에서는 와 가 더미 변수임을 활용했다.
따라서, 우리는 다음을 얻는다.

Q.E.D.

이제, 위에서 증명한 항등식을 사용하여 eq.2를 증명하자. 또한, 로 대체한다. 이 방식으로, 우리는 다음을 얻는다.

여기서 3번째 줄에서 4번째 줄로 넘어갈 때 합성곱 정리가 사용되었다.

이제 위 시간 합성곱을 주기 로 나누고 로 극한을 취하면, 가 에르고딕이라는 조건 하에 비-윈도우 신호 의 자기상관 함수 가 된다. 이 조건은 대부분의 실제 사례에서 참이지만, 전부는 아니다. 위너-힌친 정리는 더 약한 가설 하에서 임의의 광의 정상 과정에 대해 이 공식의 의미를 부여한다: 는 절대 적분 가능할 필요는 없으며, 존재하기만 하면 된다. 그러나 적분은 더 이상 통상적인 방식으로 해석될 수 없다. 이 공식은 함수 대신 분포(로랑 슈바르츠의 의미에서, 통계적 누적 분포 함수의 의미가 아님)를 포함하는 것으로 해석될 때에도 의미를 갖는다. 가 연속적이면, 보흐너의 정리를 사용하여 푸리에 변환이 양의 측도로 존재함을 증명할 수 있으며, 이 측도의 분포 함수는 F이다(그러나 반드시 함수로서 존재하거나 확률 밀도를 가질 필요는 없다).

의 에르고딕성을 가정하면, 전력 스펙트럼 밀도는 자기상관 함수 의 푸리에 변환으로 다시 한 번 찾을 수 있으며, 이 특성은 위너-힌친 정리로 알려져 있다.

많은 저자들은 이 관계를 사용하여 신호의 푸리에 변환 대신 자기상관 함수의 관점에서 전력 스펙트럼 밀도를 정의한다.

주어진 진동수 대역  (여기서 ) 내의 신호 전력은 진동수에 대해 적분하여 계산할 수 있다. 이므로, 양의 진동수 대역과 음의 진동수 대역에 동일한 양의 전력이 할당될 수 있으며, 이는 다음 형식에서 2의 인자를 설명한다(이러한 사소한 인자는 사용된 관례에 따라 달라진다).

더 일반적으로, 유사한 기술을 사용하여 시간 가변 스펙트럼 밀도를 추정할 수 있다. 이 경우 시간 간격 는 무한대에 접근하는 대신 유한하다. 이로 인해 보다 작은 진동수가 샘플링되지 않고 의 정수배가 아닌 진동수에서의 결과가 독립적이지 않으므로 스펙트럼 커버리지 및 해상도가 감소한다. 이러한 단일 시계열만 사용하는 경우, 추정된 전력 스펙트럼은 매우 "노이즈"가 많을 것이다. 그러나 지정된 시간 창에서 평가된 의 실현 통계 앙상블에 해당하는 많은(또는 무한한) 수의 단기 스펙트럼을 사용하여 (위 방정식에서) 기대값을 평가할 수 있다면 이를 완화할 수 있다.

에너지 스펙트럼 밀도와 마찬가지로, 전력 스펙트럼 밀도의 정의는 이산 시간 변수 으로 일반화될 수 있다. 이전과 같이, 의 창을 고려할 수 있으며, 신호는 총 측정 기간  동안 이산 시간 에서 샘플링된다.

단일 PSD 추정은 유한한 수의 샘플링을 통해 얻을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 이전과 같이, 실제 PSD는 (따라서 )이 무한대에 접근하고 기대값이 형식적으로 적용될 때 달성된다. 실제 응용에서는 개별 측정의 이론적 PSD를 더 정확하게 추정하기 위해 유한 측정 PSD를 여러 번의 시도에 걸쳐 평균화한다. 이렇게 계산된 PSD는 때때로 주기 함수라고 불린다. 이 주기 함수는 추정 횟수와 평균화 시간 간격 가 무한대에 접근할 때 실제 PSD로 수렴한다.

두 신호 모두 전력 스펙트럼 밀도를 가질 경우, 유사하게 교차 스펙트럼 밀도를 계산할 수 있다. PSD가 자기상관과 관련되어 있듯이, 교차 스펙트럼 밀도는 교차상관과 관련되어 있다.

 전력 스펙트럼 밀도의 특성 
PSD의 일부 속성은 다음과 같다.

 교차 전력 스펙트럼 밀도  

각각 전력 스펙트럼 밀도 와 를 갖는 두 신호 와 가 주어졌을 때, 교차 전력 스펙트럼 밀도(, CPSD) 또는 교차 스펙트럼 밀도(, CSD)를 정의할 수 있다. 먼저, 이러한 결합 신호의 평균 전력을 고려해보자.

전력 스펙트럼 밀도 유도에 사용된 것과 동일한 표기법과 방법을 사용하여 파르세발의 정리를 활용하면 다음을 얻을 수 있다.

여기서 와 의 기여는 이미 이해되고 있다. 이므로, 교차 전력에 대한 전체 기여는 일반적으로 개별 CPSD 중 하나의 실수부의 두 배이다. 이전과 마찬가지로, 여기에서 이 곱들을 시간 합성곱의 푸리에 변환으로 다시 표현하고, 이를 주기로 나누고  극한을 취하면 교차상관 함수의 푸리에 변환이 된다.

여기서 는 와 의 교차상관이고, 는 와 의 교차상관이다. 이에 비추어 볼 때, PSD는 인 CSD의 특별한 경우로 볼 수 있다. 만약 와 가 실제 신호(예: 전압 또는 전류)라면, 이들의 푸리에 변환 와 는 일반적으로 관례에 따라 양의 진동수로 제한된다. 따라서 일반적인 신호 처리에서 완전한 CPSD는 단순히 두 CPSD 중 하나를 두 배로 스케일링한 것이다.

이산 신호  및 의 경우, 교차 스펙트럼 밀도와 교차 공분산 사이의 관계는 다음과 같다.

 추정 

스펙트럼 밀도 추정의 목표는 시간 샘플 시퀀스에서 무작위 신호의 스펙트럼 밀도를 추정하는 것이다. 신호에 대해 알려진 바에 따라 추정 기술은 모수적 또는 비모수적 접근 방식을 포함할 수 있으며, 시간 영역 또는 주파수 영역 분석을 기반으로 할 수 있다. 예를 들어, 일반적인 모수적 기술은 관측값을 자기회귀모형에 맞추는 것을 포함한다. 일반적인 비모수적 기술은 주기 함수이다.

스펙트럼 밀도는 일반적으로 푸리에 변환 방법(예: 웰치 방법)을 사용하여 추정되지만, 최대 엔트로피 스펙트럼 추정과 같은 다른 기술도 사용할 수 있다.

 관련 개념 
 신호의 스펙트럼 중심은 스펙트럼 밀도 함수의 중간점, 즉 분포를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 진동수이다.
  스펙트럼 에지 진동수(SEF), 일반적으로 "SEF x"로 표현되며, 주어진 신호의 총 전력 중 x퍼센트가 위치하는 진동수를 나타낸다. 일반적으로 x는 75에서 95 범위이다. 특히 뇌전도 모니터링에 사용되는 인기 있는 측정치로, SEF는 마취의 깊이와 잠의 단계를 추정하는 데 다양하게 사용되어 왔다.
  스펙트럼 엔벨로프는 스펙트럼 밀도의 엔벨로프 곡선이다. 이는 한 시점(정확히는 하나의 창)을 설명한다. 예를 들어, 분광기를 사용하는 원격탐사에서 특징의 스펙트럼 엔벨로프는 관심 있는 각 스펙트럼 대역의 밝기 수준 범위로 정의되는 스펙트럼 속성의 경계이다.
 스펙트럼 밀도는 시간의 함수가 아니라 진동수의 함수이다. 그러나 더 긴 신호의 작은 창의 스펙트럼 밀도를 계산하여 창과 관련된 시간에 따라 플롯할 수 있다. 이러한 그래프를 스펙트로그램이라고 한다. 이는 단시간 푸리에 변환 및 웨이블릿과 같은 여러 스펙트럼 분석 기술의 기본이다.
  "스펙트럼"은 일반적으로 위에서 논의한 바와 같이 신호 내용의 진동수 분포를 나타내는 전력 스펙트럼 밀도를 의미한다. 전달 함수(예: 보데 선도, 처프)의 경우, 완전한 주파수 응답은 전력 대 진동수와 위상 대 진동수(위상 스펙트럼 밀도, 위상 스펙트럼 또는 스펙트럼 위상)의 두 부분으로 그래프화될 수 있다. 덜 일반적으로, 두 부분은 전달 함수의 실수부와 허수부일 수 있다. 이는 진동수의 함수로서 위상(또는 동등하게 실수부와 허수부)도 포함하는 전달 함수의 주파수 응답과 혼동되어서는 안 된다. 시간 영역 임펄스 응답 는 위상 부분 없이 전력 스펙트럼 밀도만으로는 일반적으로 고유하게 복구될 수 없다. 비록 이들도 푸리에 변환 쌍이지만, 푸리에 변환이 실수 값이어야 한다고 강제하는 대칭성(자기상관의 경우처럼)은 없다. 초단파 펄스#스펙트럼 위상, 위상 잡음, 군 지연을 참조하라.
  때때로 진폭 스펙트럼 밀도(ASD)를 접하게 되는데, 이는 PSD의 제곱근이다. 전압 신호의 ASD는 V⋅Hz−1/2 단위를 갖는다. 이는 스펙트럼의 모양이 비교적 일정할 때 유용하다. ASD의 변화는 신호 전압 수준 자체의 변화에 비례하기 때문이다. 그러나 PSD를 사용하는 것이 수학적으로 선호되는데, 오직 그 경우에만 곡선 아래의 영역이 모든 진동수 또는 지정된 대역폭에 걸쳐 실제 일률의 관점에서 의미를 갖기 때문이다.

 응용 분야 

시간에 따라 변하는 변수로 표현될 수 있는 모든 신호는 해당 진동수 스펙트럼을 가진다. 여기에는 가시광선(색으로 인지됨), 악음(음높이로 인지됨), 라디오/TV(진동수 또는 때로는 파장으로 지정됨)와 같은 친숙한 개체와 심지어 지구의 규칙적인 자전도 포함된다. 이러한 신호가 진동수 스펙트럼의 형태로 관찰될 때, 수신된 신호 또는 이를 생성하는 기본 과정의 특정 측면이 드러난다. 어떤 경우에는 진동수 스펙트럼에 사인파 성분에 해당하는 뚜렷한 피크가 포함될 수 있다. 또한 기본 피크의 고조파에 해당하는 피크가 있을 수 있는데, 이는 단순히 사인파가 아닌 주기적인 신호를 나타낸다. 또는 연속적인 스펙트럼이 공진에 해당하는 강하게 증폭된 좁은 진동수 간격이나 노치 필터에 의해 생성될 수 있는 거의 0에 가까운 전력을 포함하는 진동수 간격을 보여줄 수도 있다.

 전기공학 
섬네일|right|수평축은 진동수, 수직축은 위로 갈수록 시간이 증가하는 FM 라디오 신호의 스펙트로그램.
신호의 전력 스펙트럼 개념과 사용은 전기공학에서, 특히 무선 통신, 레이더 및 관련 시스템, 그리고 수동 원격탐사 기술을 포함한 전자 통신 시스템에서 근본적이다. 스펙트럼 애널라이저라고 불리는 전자 계측기는 신호의 전력 스펙트럼을 관찰하고 측정하는 데 사용된다.

스펙트럼 애널라이저는 입력 신호의 단시간 푸리에 변환 (STFT)의 크기를 측정한다. 분석되는 신호가 정상 과정으로 간주될 수 있다면, STFT는 그 전력 스펙트럼 밀도의 좋은 평활화된 추정치이다.

 우주론 
초기 우주의 밀도 변화인 초기 우주의 양자요동은 공간 스케일의 함수로서 변화의 일률을 나타내는 전력 스펙트럼으로 정량화된다.

 같이 보기 
 비스펙트럼
 밝기 온도
 소음의 색상
 최소 제곱 스펙트럼 분석
 노이즈 스펙트럼 밀도
 스펙트럼 밀도 추정
 스펙트럼 효율
 스펙트럼 누설
 스펙트럼 일률 분포
 휘틀 가능성
 윈도우 함수

 내용주 

 각주 












 외부 링크 
 Power Spectral Density Matlab scripts

분류:분광학
분류:파동
분류:신호 처리
분류:주파수대
분류:푸리에 해석학
분류:산란
분류:주파수 영역 분석