애덤스-윌리엄슨 방정식

애덤스-윌리엄슨 방정식(Adams–Williamson equation)은 리슨 H. 애덤스와 E. D. 윌리엄슨의 이름을 따 붙여진, 밀도를 반지름의 함수로 결정하는 데 사용되는 방정식이다. 더 일반적으로는 지진파의 속도와 지구 내부의 밀도 간의 관계를 결정하는 데 사용된다.C. M. R. Fowler (2005). The Solid Earth: An Introduction to Global Geophysics. Cambridge University Press. pp. 333–. . 지구 표면의 평균 암석 밀도와 깊이의 함수로서의 P파 및 S파 속도 그래프가 주어지면 밀도가 깊이에 따라 어떻게 증가하는지 예측할 수 있다.Eugene F. Milone; William J.F. Wilson (30 January 2014). Solar System Astrophysics: Planetary Atmospheres and the Outer Solar System. Springer Science & Business Media. pp. 494–. . 이 방정식은 압축이 단열적이고 지구가 구형 대칭이며 균질하고 정역학적 평형 상태에 있다고 가정한다. 이러한 속성을 가진 구형 껍질에도 적용될 수 있다. 이는 예비 참조 지구 모델 (PREM)과 같은 지구 내부 모델의 중요한 계산식이다.

 역사 
윌리엄슨과 애덤스는 1923년 처음으로 이 이론을 개발했다. 그들은 "따라서 지구의 높은 밀도를 오직 압축만으로는 설명할 수 없다. 밀도가 높은 내부는 작은 부피로 압축된 일반적인 암석으로 구성될 수 없다. 그러므로 우리는 유일하게 합리적인 대안인 더 무거운 물질, 아마도 어떤 금속의 존재로 돌아가야 한다. 지구 지각, 운석, 태양에서의 풍부함으로 판단할 때 이는 아마도 철일 것이다."라고 결론지었다.

 이론 
두 가지 유형의 지진 실체파는 압축파(P파)와 전단파(S파)이다. 두 파동 모두 이동하는 매질의 탄성 특성, 특히 부피 탄성 계수 K, 층밀림 탄성률 μ, 밀도 ρ에 결정되는 속도를 가진다. 이러한 매개변수로 P파 속도 vp와 S파 속도 vs는 다음과 같다.

이 두 속도는 지진 매개변수로 결합될 수 있다.

등엔트로피 부피 탄성 계수의 정의는 다음과 같다.

이는 다음 식과 동일하다.

지구 중심으로부터 r 거리의 영역이 정역학적 평형 상태의 유체로 간주될 수 있다고 가정하면, 그 아래 부분의 지구로부터의 중력 인력과 그 위 부분의 압력에 의해 영향을 받는다. 또한 압축이 단열적이라고 가정하면 (따라서 열팽창은 밀도 변화에 기여하지 않는다), 압력 P(r)은 r에 따라 다음과 같이 변한다.

여기서 g(r)은 반지름 r에서의 중력 가속도이다.

, , 을 결합하면 애덤스-윌리엄슨 방정식이 도출된다.

이 방정식은 다음을 얻기 위해 적분될 수 있다.

여기서 r0는 지구 표면의 반지름이고 ρ0는 표면의 밀도이다. ρ0와 P파 및 S파 속도의 프로파일이 주어지면, 밀도의 방사형 의존성은 수치 적분을 통해 결정될 수 있다.

 각주 

분류:상미분 방정식
분류:지구물리학
분류:지구의 구조