자크-베라 검정

통계학에서 자크-베라 검정(Jarque–Bera test)은 표본 데이터가 정규 분포와 일치하는 비대칭도와 첨도를 가지는지 여부를 확인하는 적합도 검정이다. 이 검정은 카를로스 자크와 아닐 K. 베라의 이름을 따서 명명되었다.
검정 통계량은 항상 음수가 아니다. 0에서 멀리 떨어져 있으면 데이터가 정규 분포를 따르지 않는다는 신호이다.

검정 통계량 JB는 다음과 같이 정의된다.

여기서 n은 관측치 수(또는 일반적으로 자유도)이고, S는 표본 비대칭도, K는 표본 첨도이다.

여기서 와 는 각각 3차 및 4차 중심 모멘트의 추정값이며, 는 표본 평균이고,
는 2차 중심 모멘트인 분산의 추정값이다.

데이터가 정규 분포에서 나온 경우, JB 통계량은 점근적으로 두 자유도를 가진 카이제곱 분포를 따르므로, 이 통계량을 사용하여 데이터가 정규 분포에서 나왔다는 가설을 검정할 수 있다. 귀무 가설은 비대칭도가 0이고 초과 첨도가 0이라는 결합 가설이다. 정규 분포에서 추출된 표본은 기대 비대칭도가 0이고 기대 초과 첨도가 0(첨도 3과 동일)이다. JB의 정의에서 알 수 있듯이, 이로부터의 모든 편차는 JB 통계량을 증가시킨다.

작은 표본의 경우 카이제곱 근사는 지나치게 민감하여 귀무 가설이 참일 때에도 종종 기각한다. 또한, p-값의 분포는 균일 분포에서 벗어나 특히 작은 p-값에 대해 오른쪽으로 치우친 단봉 분포가 된다. 이는 높은 1종 오류율을 초래한다. 아래 표는 작은 표본에 대해 참 알파 수준과 다른, 카이제곱 분포로 근사된 일부 p-값을 보여준다.

+주어진 표본 크기에서 참 알파 수준에 해당하는 계산된 p-값 참 α 수준  20  30  50  70  100 0.1 0.307  0.252  0.201  0.183  0.1560 0.05 0.1461  0.109  0.079  0.067  0.062 0.025 0.051  0.0303  0.020  0.016  0.0168 0.01 0.0064  0.0033  0.0015  0.0012  0.002
(이 값들은 매트랩에서 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 근사되었다.)

매트랩의 구현에서 JB 통계량 분포에 대한 카이제곱 근사는 큰 표본 크기(> 2000)에만 사용된다. 작은 표본의 경우, p-값을 보간하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션에서 파생된 테이블을 사용한다.

역사
이 통계량은 카를로스 M. 자크와 아닐 K. 베라가 호주 국립대학교에서 박사 학위 논문을 작업하는 동안 도출되었다.

회귀 분석에서의 자크-베라 검정
로버트 홀, 데이비드 릴리언 외 (1995)에 따르면, 다중 회귀 분석과 함께 이 검정을 사용할 때 올바른 추정값은 다음과 같다.

여기서 n은 관측치 수이고 k는 방정식에 대한 잔차를 검토할 때의 회귀변수 수이다.

구현
 ALGLIB는 C++, C#, Delphi, Visual Basic 등에서 자크-베라 검정을 구현한다.
 그레틀은 자크-베라 검정을 구현한다.
 줄리아는 HypothesisTests 패키지에 JarqueBeraTest라는 자크-베라 검정을 구현한다.
 매트랩은 "jbtest" 함수로 자크-베라 검정을 구현한다.
 파이썬 statsmodels는 "statsmodels.stats.stattools.py"로 자크-베라 검정을 구현한다.
 R은 자크-베라 검정을 구현한다. 예를 들어 tseries 패키지에는 jarque.bera.test가 있고, moments 패키지에는 jarque.test가 있다.
 울프럼은 JarqueBeraALMTest라는 내장 함수를 포함하고 있으며, 가우시안 분포에 대한 테스트에 국한되지 않는다.

 같이 보기 
 다고스티노 K-제곱 검정, 첨도와 비대칭도에 기반한 또 다른 검정.

 각주 

 추가 자료 







분류:통계학