야코비의 네 제곱수 정리

수론에서 야코비의 네 제곱수 정리는 주어진 자연수 을 네 개의 제곱(정수)의 합으로 표현하는 방법의 수를 계산하는 공식이다.

 역사 
이 정리는 1834년에 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 증명되었다.

 정리 
항의 순서가 다르거나 제곱되는 정수(제곱 자체가 아님)가 다른 경우 서로 다른 것으로 간주된다. 예를 들어 1을 표현하는 8가지 방법 중 3가지는 다음과 같다.

n을 네 개의 제곱수 합으로 표현하는 방법의 개수는 다음과 같다 (약수 함수 참조):

 n이 홀수이면 n의 모든 약수 합의 8배

 n이 짝수이면 n의 홀수 약수 합의 24배

즉, 4로 나누어 떨어지지 않는 모든 약수의 합의 8배이다.

여기서 바로 도출되는 결과는 이다; 이 홀수인 경우  .

따라서 식을 아래처럼 다시 쓸 수 있다.

여기서 n이 4로 나누어지지 않을 때 두 번째 항은 0으로 간주한다.

특별하게 소수  에 대해선 간단한 공식을 얻을 수 있다: , 이는 소수의 약수가 1과 자기 자신뿐이므로, 약수의 합이 p + 1이 되기 때문이다..

의 어떤 값들은 무한히 자주 반복된다. 왜냐하면 이 짝수일 경우,  이기 때문이다.

(2의 거듭제곱을 곱해도 r₄의 값이 변하지 않음. 즉,  ).

한편, 의 값은 제한 없이 커질 수 있다. 구체적으로, n이 커질 때  이 보다 큰 경우가 무한히 많다는 것이 증명되었다..

 증명 
이 정리는 야코비 삼중곱으로 시작하여 간단하게 증명할 수 있다.

증명에 따르면 4차원 정수 격자 Z 4 의 세타 급수는 특정 레벨의 모듈러 형태가 되며, 이는 결국 아이젠슈타인 급수들의 선형 조합으로 표현될 수 있다.

 계산 결과 
수식의 일부 값은 다음과 같다.
0123456789101824322448966424104144
다른 값들은 Online Encyclopedia of Integer Sequences(OEIS)의 시퀀스 A000118 에서 확인할 수 있다.

 참고 

 라그랑주의 4제곱 정리
 램버트 급수
 제곱합 함수

 노트 

 참고문헌 





 외부 링크 



분류:수론 정리