Q-Q 플롯

upright=1.35|섬네일|right|무작위로 생성된 독립적인 표준 정규 데이터를 수직축에, 표준 정규 모집단을 수평축에 비교한 정규 Q-Q 플롯. 점들의 선형성은 데이터가 정규 분포를 따른다는 것을 시사한다.
upright=1.35|섬네일|데이터 표본과 베이불 분포를 비교한 Q-Q 플롯. 분포의 십분위수는 빨간색으로 표시되어 있다. 범위의 높은 쪽 끝에 세 개의 이상값이 명확하게 나타난다. 그 외에는 데이터가 Weibull(1,2) 모델에 잘 맞는다.
upright=1.35|섬네일|3월과 7월 오하이오주의 25개 관측소에서 측정된 표준화된 일일 최고 기온 분포를 비교한 Q-Q 플롯. 곡선 패턴은 3월보다 7월에 중심 분위수가 더 가깝게 분포하며, 7월 분포가 3월 분포에 비해 왼쪽으로 비대칭임을 시사한다. 데이터는 1893년에서 2001년까지의 기간을 포함한다.

통계학에서 Q-Q 플롯(Q–Q plot, 분위수-분위수 플롯, quantile–quantile plot)은 확률 분포를 서로의 분위수에 대해 플로팅하여 두 확률 분포를 비교하기 위한 그래픽 방법인 확률 플롯이다. 플롯의 점 은 첫 번째 분포의 동일한 분위수 (-좌표)에 대해 플로팅된 두 번째 분포의 분위수 (-좌표) 중 하나에 해당한다. 이는 매개변수가 분위수 간격의 인덱스인 매개변수 곡선을 정의한다.

비교되는 두 분포가 유사하면 Q-Q 플롯의 점들은 대략적으로 항등선  위에 놓이게 된다. 분포가 선형적으로 관련되어 있다면 Q-Q 플롯의 점들은 대략적으로 선 위에 놓이지만, 반드시  선 위에 놓이는 것은 아니다. Q-Q 플롯은 분포의 위치-척도족에서 매개변수를 추정하는 그래픽적인 수단으로도 사용될 수 있다.

Q-Q 플롯은 분포의 형태를 비교하는 데 사용되며, 위치, 척도, 비대칭도와 같은 특성이 두 분포에서 어떻게 유사하거나 다른지에 대한 그래픽적 시각을 제공한다. Q-Q 플롯은 자료 집합이나 이론적 분포를 비교하는 데 사용될 수 있다. 두 데이터 샘플을 비교하기 위한 Q-Q 플롯의 사용은 기본 분포를 비교하는 비모수적 접근 방식으로 볼 수 있다. Q-Q 플롯은 일반적으로 샘플의 히스토그램을 비교하는 것보다 더 진단적이지만 널리 알려져 있지는 않다. Q-Q 플롯은 데이터 세트를 이론적 모델과 비교하는 데 일반적으로 사용된다. 이는 수치적 요약 통계량으로 줄이지 않고 그래픽적인 적합도 평가를 제공할 수 있다. Q-Q 플롯은 또한 두 이론적 분포를 서로 비교하는 데 사용된다. Q-Q 플롯은 분포를 비교하기 때문에 산점도처럼 값이 쌍으로 관찰될 필요가 없으며, 비교되는 두 그룹의 값 수가 같을 필요도 없다.

"확률 플롯"이라는 용어는 때때로 특히 Q-Q 플롯을 지칭하거나, 때로는 더 일반적인 플롯 클래스를 지칭하며, 때로는 덜 일반적으로 사용되는 P–P 플롯을 지칭하기도 한다. 확률 플롯 상관 계수 플롯 (PPCC 플롯)은 Q-Q 플롯의 아이디어에서 파생된 양으로, 적합된 분포와 관측된 데이터의 일치도를 측정하며 때로는 데이터에 분포를 맞추는 수단으로 사용된다.

 정의 및 구성 
섬네일|upright=1.35|워싱턴 주도 20호선의 첫 개통/마지막 폐쇄 날짜와 정규 분포를 비교한 Q-Q 플롯.
오른쪽 상단 모서리에 이상값이 보인다.

Q-Q 플롯은 두 분포의 분위수를 서로 플로팅하거나 분위수 추정치를 기반으로 한 플롯이다. 플롯의 점 패턴은 두 분포를 비교하는 데 사용된다.

Q-Q 플롯을 구성하는 주요 단계는 플로팅할 분위수를 계산하거나 추정하는 것이다. Q-Q 플롯의 하나 또는 두 축이 연속 누적 분포 함수 (CDF)를 가진 이론적 분포를 기반으로 하는 경우, 모든 분위수는 고유하게 정의되며 CDF를 역변환하여 얻을 수 있다. 불연속 CDF를 가진 이론적 확률 분포가 비교되는 두 분포 중 하나인 경우, 일부 분위수가 정의되지 않을 수 있으므로 보간된 분위수를 플로팅할 수 있다. Q-Q 플롯이 데이터를 기반으로 하는 경우, 여러 분위수 추정량이 사용된다. 분위수를 추정하거나 보간해야 할 때 Q-Q 플롯을 구성하는 규칙을 플로팅 위치라고 한다.

간단한 경우는 같은 크기의 두 데이터 세트를 가질 때이다. 이 경우 Q-Q 플롯을 만들려면 각 세트를 오름차순으로 정렬한 다음 해당 값을 쌍으로 묶어 플로팅한다. 더 복잡한 구성은 다른 크기의 두 데이터 세트를 비교하는 경우이다. 이 경우 Q-Q 플롯을 구성하려면 동일한 기본 확률에 해당하는 분위수를 구성할 수 있도록 보간된 분위수 추정치를 사용해야 한다.

더 추상적으로, 두 누적 확률 분포 함수 와 가 주어지고, 연관된 분위수함수 와  (CDF의 역함수는 분위수함수이다)를 사용하여, Q-Q 플롯은 의 범위에 대해 의 -번째 분위수를 의 -번째 분위수에 대해 그린다. 따라서 Q-Q 플롯은 실수 평면 의 값을 가지는 [0,1]에 걸쳐 색인화된 매개변수 곡선이다.

일반적으로 정규성 분석을 위해 수직축은 관심 변수, 예를 들어 CDF 를 가진 의 값을 보여주고, 수평축은 를 나타내는데, 여기서 는 역 누적 정규 분포 함수를 나타낸다.

 해석 
Q-Q 플롯에 플로팅된 점들은 왼쪽에서 오른쪽으로 볼 때 항상 비감소한다. 비교되는 두 분포가 동일하면 Q-Q 플롯은 45° 선 를 따른다. 두 분포가 한 분포의 값을 선형적으로 변환한 후 일치하면 Q-Q 플롯은 어떤 선을 따르지만, 반드시  선은 아니다. Q-Q 플롯의 일반적인 추세가  선보다 평평하면, 수평축에 플로팅된 분포가 수직축에 플로팅된 분포보다 더 분산되어 있다. 반대로, Q-Q 플롯의 일반적인 추세가  선보다 가파르면, 수직축에 플로팅된 분포가 수평축에 플로팅된 분포보다 더 분산되어 있다. Q-Q 플롯은 종종 아치형이거나 S자형으로 나타나며, 이는 한 분포가 다른 분포보다 더 비대칭적이거나, 한 분포가 다른 분포보다 더 두꺼운 꼬리를 가짐을 나타낸다.

Q-Q 플롯은 분위수를 기반으로 하지만, 표준 Q-Q 플롯에서는 Q-Q 플롯의 어떤 점이 주어진 분위수를 결정하는지 판단하는 것은 불가능하다. 예를 들어, Q-Q 플롯을 검사하여 비교되는 두 분포 중 어느 하나의 중앙값을 결정하는 것은 불가능하다. 일부 Q-Q 플롯은 이러한 결정을 가능하게 하기 위해 십분위수를 표시한다.

분위수 사이의 선형 회귀의 절편과 기울기는 표본의 상대적 위치와 상대적 척도를 측정한다. 수평축에 플로팅된 분포의 중앙값이 0이면, 회귀선의 절편은 위치의 척도이고, 기울기는 척도의 척도이다. 중앙값 사이의 거리는 Q-Q 플롯에 반영된 상대적 위치의 또 다른 척도이다. "확률 플롯 상관 계수" (PPCC 플롯)는 쌍을 이룬 표본 분위수 사이의 상관 계수이다. 상관 계수가 1에 가까울수록 분포는 서로 이동되거나 스케일링된 버전과 더 가깝다. 단일 모양 매개변수를 가진 분포의 경우, 확률 플롯 상관 계수 플롯은 모양 매개변수를 추정하는 방법을 제공한다. 단순히 다른 모양 매개변수 값에 대해 상관 계수를 계산하고, 다른 유형의 분포를 비교하는 것처럼 가장 적합한 것을 사용한다.

Q-Q 플롯의 또 다른 일반적인 사용은 정규 확률 플롯에서처럼 표본의 분포를 표준 정규 분포 와 같은 이론적 분포와 비교하는 것이다. 두 데이터 샘플을 비교하는 경우와 마찬가지로, 데이터를 정렬한 다음 (공식적으로 순서통계량을 계산), 이론적 분포의 특정 분위수에 대해 플로팅한다.

 플로팅 위치 
이론적 분포에서 분위수를 선택하는 것은 문맥과 목적에 따라 달라질 수 있다. 크기가 인 표본이 주어졌을 때 한 가지 선택은 에 대해 인데, 이는 표본 분포가 실현하는 분위수이다. 이 중 마지막인 은 100번째 백분위수, 즉 이론적 분포의 최댓값에 해당하며, 때로는 무한대일 수도 있다. 다른 선택으로는 를 사용하거나,  구간의 가장 바깥쪽 두 점과 가장자리 사이, 그리고 모든 점 사이에 동일한 거리가 있도록 을 사용하여  개의 점을 배치하는 방법이 있다.

이론이나 문맥상 관련 시뮬레이션을 기반으로 하는 공식적이고 경험적인 다른 여러 선택 사항들이 제안되었다. 다음 소제목에서 이러한 내용 중 일부를 다룬다. 더 좁은 질문은 독일 전차 문제로 알려진 최댓값(모집단 최댓값 추정)을 선택하는 것으로, 이와 유사한 "표본 최댓값 + 간격" 해법이 존재하며, 가장 간단하게는 이다. 이러한 간격의 균일화에 대한 보다 공식적인 적용은 매개변수의 최대 간격 추정에서 발생한다.

 균일 분포의 순서통계량의 기댓값 
 접근법은 무작위로 추출된 ()개의 값 중 마지막 값이 처음 개의 무작위로 추출된 값 중 -번째로 작은 값을 초과하지 않을 확률에 따라 점을 플로팅하는 것과 같다.

 표준 정규 분포의 순서통계량의 기댓값 
정규 확률 플롯을 사용할 때 사용되는 분위수는 랭킷인데, 이는 표준 정규 분포의 순서통계량의 기댓값의 분위수이다.

더 일반적으로, 샤피로-윌크 검정은 주어진 분포의 순서통계량의 기댓값을 사용한다; 결과적인 플롯과 선은 위치와 척도에 대한 일반화된 최소 제곱 추정치를 제공한다 (맞춤 선의 절편과 기울기로부터).Testing for Normality, by Henry C. Thode, CRC Press, 2002, , p. 31
이것은 정규 분포에는 그다지 중요하지 않지만 (위치와 척도는 각각 평균과 표준 편차로 추정된다), 다른 많은 분포에는 유용할 수 있다.

그러나 이것은 순서통계량의 기댓값을 계산해야 하는데, 분포가 정규 분포가 아닐 경우 어려울 수 있다.

 순서통계량의 중앙값 
대안적으로, 순서통계량의 중앙값 추정치를 사용할 수 있는데, 이는 균일 분포의 순서통계량 중앙값 추정치와 분포의 분위수 함수를 기반으로 계산할 수 있다; 이는 에 의해 제안되었다.

이것은 분위수 함수를 계산할 수 있는 모든 분포에 대해 쉽게 생성할 수 있지만, 반대로 위치와 척도의 결과 추정치는 더 이상 정확히 최소 제곱 추정치가 아니며, 이는 이 작을 때만 유의미하게 다르다.

 발견적 방법 
여러 다른 공식이 아핀 대칭 플로팅 위치로 사용되거나 제안되었다. 이러한 공식은 0에서 1까지의 범위에 있는 어떤  값에 대해  형태를 가지며, 이는 와  사이의 범위를 제공한다.

표현식은 다음과 같다:

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 .Distribution free plotting position, Yu & Huang
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표본 크기 이 클 경우, 이러한 다양한 표현식 간에는 거의 차이가 없다.

 필리벤의 추정치 
순서통계량 중앙값은 분포의 순서통계량의 중앙값이다. 이는 분위수 함수와 연속 균일 분포의 순서통계량 중앙값을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 는 균일 순서통계량 중앙값이고 는 원하는 분포에 대한 분위수 함수이다. 분위수 함수는 누적 분포 함수의 역함수이다 (가 어떤 값보다 작거나 같을 확률). 즉, 확률이 주어졌을 때, 누적 분포 함수의 해당 분위수를 원한다.

제임스 J. 필리벤은 균일 순서통계량 중앙값에 대해 다음 추정치를 사용한다.

이 추정치를 사용하는 이유는 순서통계량 중앙값이 간단한 형태를 갖지 않기 때문이다.

 소프트웨어 
R 프로그래밍 언어는  패키지의 qqnorm 및 qqplot과 같은 Q-Q 플롯을 만드는 함수를 제공한다.  패키지는 많은 데이터 포인트에 대한 더 빠른 플로팅을 구현한다.

 같이 보기 
 경험적 누적 분포 함수
 프로빗 분석은 체스터 이트너 블리스에 의해 1934년에 개발되었다.

 내용주 

 각주 
 인용 

 출처 




 Cleveland, W.S. (1994) The Elements of Graphing Data, Hobart Press 





 외부 링크 

 확률 플롯
 Manuel Gimond, 경험적 Q-Q 플롯 (및 파생된 투키 평균-차이 플롯)

분류:통계 차트와 다이어그램