뒤부이 정리

수론에서, 뒤부이 정리()는 어떤 양의 정수를 주어진 개수(4 이상)의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있을 필요충분조건을 제시한다.

 정의 
임의의 양의 정수 에 대하여,

가 개의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수의 집합이라고 하자. 뒤부이 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 인 경우 는 유한 집합이다.

169는 양의 제곱수이며, 두 개, 세 개, 네 개의 양의 제곱수의 합이다.

에 대하여, 는 라그랑주 네 제곱수 정리에 따라 양의 제곱수이거나, 두 개, 세 개, 또는 네 개의 양의 제곱수의 합이다. 따라서 은 항상 다섯 개의 양의 제곱수의 합이다. 다섯 개의 양의 제곱수의 합은 자명하게 항상  이상이다. 즉, 는 다섯 개의 양의 제곱수의 합이 아니다. 인 경우, 계산을 통해 은 다섯 개의 양의 제곱수의 합이 아니며, 은 다섯 개의 양의 제곱수의 합임을 알 수 있다. 따라서,

이다.

만약 라면, 이므로, 은 다섯 개의 양의 제곱수의 합이며, 은 여섯 개의 양의 제곱수의 합이다. 여섯 개의 1이 아닌 양의 제곱수의 합은 자명하게  이상이다. 따라서 는 여섯 개의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한 이다. 따라서,

이다.

이제, 이며, 라고 가정하자. 만약 이며 이며 라면, 이므로, 은 개의 양의 제곱수의 합이다. 개의 1이 아닌 양의 제곱수의 합은  이상이며, 이므로 이는 보다 크다. 따라서, 는 여섯 개의 양의 제곱수의 합이 아니다. 따라서,

이다.

만약 이며 라면, 이므로, 르장드르 세 제곱수 정리에 따라 는 양의 제곱수이거나, 두 개 또는 세 개의 양의 제곱수의 합이다. 169는 세 개, 두 개의 양의 제곱수의 합이며, 양의 제곱수이므로, 은 항상 네 개의 양의 제곱수의 합이다.

만약 이며 라면, 이며, 도 169와 같은 성질을 지니므로, 은 항상 네 개의 양의 제곱수의 합이다.

이며 이거나 이며 인 경우, 계산을 통해 일 필요충분조건은 임을 알 수 있다. 즉, 인 경우 일 필요충분조건은 이다.

만약 어떤 양의 정수가 네 개의 양의 제곱수의 합이라면, 그 4배도 자명하게 네 개의 양의 제곱수의 합이다. 반대로, 만약 이며 라면, 이며, 따라서 도 네 개의 양의 제곱수의 합이다.

이제, 라고 하자. 인 양의 정수 를 잡자. 만약 이 짝수라면, 일 필요충분조건은 이며, 이므로 이는 와 동치이다. 만약 이 홀수이며 라면, 이며 또한 이다. 하지만

이므로 이는 불가능하다.

인 경우는 다음과 같다. 양의 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 인 양의 정수 가 존재한다.
 다음 세 조건이 성립한다.
 의 4로 나눈 나머지가 3인 모든 소인수의 지수는 짝수이다. (페르마 두 제곱수 정리에 따라 이는 인 정수 가 존재하는 것과 동치이다.)
 에서의 2의 소인수 지수는 홀수이다.
 의 4로 나눈 나머지가 1인 소인수가 존재한다.

인 경우는 열린 문제이다.

 역사 
르네 데카르트가 인 경우를 추측하였다.

외젠 뒤부이()가 1911년 논문에서 증명하였다. 고든 펄()이 인 경우를 독립적으로 재발견하였다.

 참고 문헌 



분류:수론 정리
분류:이차 형식